1、2021 年湖北省武汉市年湖北省武汉市江夏区江夏区九年级元月调考数学模拟试卷九年级元月调考数学模拟试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1如图图标中是中心对称图形的为（ ） A B C D 2若 x1，x2是一元二次方程 x22x30 的两个根，则 x1x2的值是（ ） A2 B3 C2 D3 3在平面直角坐标系中，与点 P 关于原点对称的点 Q 为（1，3） ，则点 P 的坐标是（ ） A （1，3） B （1，3） C （1，3） D （1，3） 4将抛物线 yx2向右平移 2 个单位后，抛物线的解析式为（ ） Ay（x+2）
2、2 Byx2+2 Cy（x2）2 Dyx22 5下列事件中，是必然事件的是（ ） A经过长期努力学习，你会成为科学家 B抛出的篮球会下落 C打开电视机，正在直播 NBA D从一批灯泡中任意拿一个灯泡，能正常发光 6已知圆中两条平行的弦之间距离为 1，其中一弦长为 8，若半径为 5，则另一弦长为（ ） A6 B2 C6 或 2 D以上说法都不对 7共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放 1000 辆单车，计划第三个月投放单车数量 比第一个月多 440 辆设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为 x，则所列方程正确的 为（ ） A1000（1+x）21000+440 B10
3、00（1+x）2440 C440（1+x）21000 D1000（1+2x）1000+440 8如图所示，是一个滑轮的起重装置，已知滑轮的半径为 10cm，一条半径 OA 绕轴心 O 按逆时针方向旋 转，当重物上升 5cm 时，则半径 OA 转过的面积是（假设绳索与滑轮之间没有滑动） （ ） A15cm2 B20cm2 C25cm2 D30cm2 9某位篮球爱好者进行了三轮投篮试验，结果如下表： 轮数 投球数 命中数 命中率 第一轮 10 8 0.8 第二轮 15 10 0.67 第三轮 12 9 0.75 则他的投篮命中率为（ ） A B C D不能确定 10已知非负数 a，b，c 满足 a
4、+b2，c3a4，设 Sa2+b+c 的最大值为 m，最小值为 n，则 mn 的值 为（ ） A9 B8 C1 D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11某事件经过 500000000 次试验，出现的频率是 0.3，它的概率估计值是 12如图，A、B、C 为O 上三点，ACB20，则BAO 的度数为 度 13某种产品预计两年内成本将下降 36%，则年平均下降率为 14已知扇形的圆心角为 120，弧长等于一个半径为 5cm 的圆的周长，则扇形的面积为 15 如图， 正六边形 ABCDEF 中， 若四边形 ACDF 的面积
5、是 20cm2， 则正六边形 ABCDEF 的面积 cm2 16如图，以 AB 为边作边长为 8 的正方形 ABCD，动点 P、Q 在正方形 ABCD 的边上运动，且 PQ8，若 点 P 从点 A 出发，沿 ABCD 的线路，向 D 点运动，点 Q 只能在线段 AD 上运动，求点 P 从 A 到 D 的运动过程中，PQ 的中点 O 所经过的路径的长为 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，共小题，共 72 分）分） 17解方程：x22x150 18如图，ABC 的三个顶点都在O 上，直径 AD6cm，DAC2B （1）连 CO，证明：AOC 为等边三角形； （2）求 AC 的长 19小明在一
6、幅长为 80cm，宽为 50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂 图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，求金色纸边的宽度 20现有若干个完全相同的硬币（硬币的正、反面图案不同） ，按如下方式抛掷硬币： 方式一：从中选取一枚硬币抛掷； 方式二：从中选取两枚硬币抛掷； 方式三：从中选取三枚硬币抛掷 请你在每一种抛掷方式中，各找出一种随机现象，使得这三种随机现象的概率相等（要求：概率不能为 0 或 1） ，并说明理由 21已知：如图，A 是O 上一点，半径 OC 的延长线与过点 A 的直线交于 B 点，OCBC，ACOB （1）求证：AB 是O 的切线；
7、 （2）若ACD45，OC2，求弦 CD 的长 22某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克 30 元物价部门规定其销售单价不 高于每千克 60 元，不低于每千克 30 元经市场调查发现：日销售量 y（千克）是销售单价 x（元）的一 次函数，且当 x60 时，y80；x50 时，y100，在销售过程中，每天还要支付其他费用 450 元 （1）求出 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围 （2）求该公司销该原料日获利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （3）当销售单价为多少元时，该公司日获利润最大？最大获利是多少元？ 23如图 1，已知点 E 为
8、正方形 ABCD 对角线 CA 延长线上一点，过 E 点作 EFCB 交其延长线于点 F，且 EF4，AC （1）如图 1，连接 BE，求线段 BE 的长； （2）将等腰 RtCEF 绕 C 点旋转至如图 2 的位置，连接 AE，M 点为 AE 的中点，连接 MD、MF，求 MD 与 MF 的关系； （3）将CEF 绕 C 点旋转一周，请直接写出点 M 在这个过程中的运动路径长为 24已知抛物线 y（m+1）2+（m2）x3 （1）无论 m 取何值，抛物线必过第三象限一个定点，则该定点的坐标为 ； （不影响后两问解答） （2）当 m0 时，不与坐标轴平行的直线 l1与抛物线有且只有一个交点 P
9、（2，a） ，求直线 l1的解析式； （3） 在 （2） 的条件下， 直线 ykx+b 交抛物线于 M， N 两点 （M 在 N 的右侧） ， PQy 轴交 MN 于点 Q， 若 MQNQ，求 k 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1如图图标中是中心对称图形的为（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念判断即可 【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、是中心对称图形，故此选项正确； C、不是中心对称图形，故此选项错误； D、不是中心对称图形，故此选项错误 故选：B 2若 x1，x2是一元二次方程 x22x30 的
10、两个根，则 x1x2的值是（ ） A2 B3 C2 D3 【分析】由“x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2，x1x2”可得 x1x2 ，套入数据即可得出结论 【解答】解：x1，x2是一元二次方程 x22x30 的两个根， x1x23 故选：B 3在平面直角坐标系中，与点 P 关于原点对称的点 Q 为（1，3） ，则点 P 的坐标是（ ） A （1，3） B （1，3） C （1，3） D （1，3） 【分析】直接利用关于原点对称点的性质分析得出答案 【解答】解：与点 P 关于原点对称的点 Q 为（1，3） ， 点 P 的坐标是： （1，3） 故选：D 4将抛
11、物线 yx2向右平移 2 个单位后，抛物线的解析式为（ ） Ay（x+2）2 Byx2+2 Cy（x2）2 Dyx22 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可 【解答】解：根据题意 yx2的图象向右平移 2 个单位得 y（x2）2 故选：C 5下列事件中，是必然事件的是（ ） A经过长期努力学习，你会成为科学家 B抛出的篮球会下落 C打开电视机，正在直播 NBA D从一批灯泡中任意拿一个灯泡，能正常发光 【分析】经过长期努力学习，你会成为科学家；打开电视机，正在直播 NBA；从一批灯泡中任意拿一个 灯泡，正常发光这些事件都是随机事件，而抛出的篮球会一定下落，这是必然事件 【解答】解：A
12、、经过长期努力学习，你会成为科学家，这是一个随机事件，所以 A 选项错误； B、抛出的篮球会一定下落，这是必然事件，所以 B 选项正确； C、打开电视机，可能正在直播 NBA，这是一个随机事件，所以 C 选项错误； D、从一批灯泡中任意拿一个灯泡，可能正常发光，也可能不能正常发光，这是一个随机事件，所以 D 选项错误 故选：B 6已知圆中两条平行的弦之间距离为 1，其中一弦长为 8，若半径为 5，则另一弦长为（ ） A6 B2 C6 或 2 D以上说法都不对 【分析】如图，分 CD8 和 AB8 这两种情况，利用垂径定理和勾股定理分别求解可得 【解答】解：如图， 若 CD8， 则 CFCD4，
13、 OCOA5， OF3， EF1， OE2， 则 AE， AB2AE2； 若 AB8， 则 AEAB4， OAOC5， OE3， EF1， OF4， 则 CF3， CD2CF6； 综上，另一弦长为 6 或 2， 故选：C 7共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放 1000 辆单车，计划第三个月投放单车数量 比第一个月多 440 辆设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为 x，则所列方程正确的 为（ ） A1000（1+x）21000+440 B1000（1+x）2440 C440（1+x）21000 D1000（1+2x）1000+440 【分析】根据题意可以列出相应的
14、一元二次方程，从而可以解答本题 【解答】解：由题意可得， 1000（1+x）21000+440， 故选：A 8如图所示，是一个滑轮的起重装置，已知滑轮的半径为 10cm，一条半径 OA 绕轴心 O 按逆时针方向旋 转，当重物上升 5cm 时，则半径 OA 转过的面积是（假设绳索与滑轮之间没有滑动） （ ） A15cm2 B20cm2 C25cm2 D30cm2 【分析】 重物上升 5m， 则滑轮转过的弧长也是 5m， 再由 S扇形lR， 即可求出半径 OA 转过的面积 【解答】解：由题意得，半径 OA 转过的弧长为 5m， 则半径 OA 转过的面积lR51025cm2 故选：C 9某位篮球爱好
15、者进行了三轮投篮试验，结果如下表： 轮数 投球数 命中数 命中率 第一轮 10 8 0.8 第二轮 15 10 0.67 第三轮 12 9 0.75 则他的投篮命中率为（ ） A B C D不能确定 【分析】 根据用频率估计概率得到的是近似值， 随实验次数的增多， 值越来越精确， 进而分析得出即可 【解答】解：由于三轮投篮试验次数较少且命中率变化较大，故无法得出他的投篮命中率 故选：D 10已知非负数 a，b，c 满足 a+b2，c3a4，设 Sa2+b+c 的最大值为 m，最小值为 n，则 mn 的值 为（ ） A9 B8 C1 D 【分析】用 a 表示出 b、c 并求出 a 的取值范围，再
16、代入 S 整理成关于 a 的函数形式，然后根据二次函数 的增减性求出 m、n 的值，再相减即可得解 【解答】解：a+b2，c3a4， b2a，c3a+4， b，c 都是非负数， ， 解不等式得，a2， 解不等式得，a， a2， 又a 是非负数， 0a2， Sa2+b+ca2+（2a）+3a+4， a2+2a+6， 对称轴为直线 a1， a0 时，最小值 n6， a2 时，最大值 m22+22+614， mn1468 故选：B 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11某事件经过 500000000 次试验，出现的频率是 0.3，它的概率估计值是 0.3 【分析】在同样条件下，大量反复试验
17、时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，据此进行解答 【解答】解：大量实验的基础上，频率的值接近概率， 可知，一个事件经过 5000000000 次的试验，它的频率是 0.3，则它的概率估计值是 0.3 故答案为 0.3 12如图，A、B、C 为O 上三点，ACB20，则BAO 的度数为 70 度 【分析】根据圆周角定理先求出O，再利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质求解 【解答】解：连接 OB， ACB20 AOB2C40 OBOA BAOOAB70 13某种产品预计两年内成本将下降 36%，则年平均下降率为 20% 【分析】可以设成本为 1，降低以后的成本降低前的成本（1降低率） ，设
18、年平均下降率为 x，则降低 一次以后的成本是（1x） ，降低二次后的成本是（1x）2，根据题意列出方程即可 【解答】解：设成本为 1，年平均下降率为 x， 依题意列方程： （1x）2136%， 解得 x10.220%，x21.8（舍去） 答：年平均下降率为 20% 故答案为 20% 14已知扇形的圆心角为 120，弧长等于一个半径为 5cm 的圆的周长，则扇形的面积为 75cm2 【分析】先利用周长公式计算出弧长，再根据弧长公式计算出扇形的半径，最后求扇形的面积即可 【解答】解：半径为 5cm 的圆的周长10， 10，解得 R15cm 扇形的面积75cm2 故答案为：75cm2 15 如图，
19、正六边形 ABCDEF 中， 若四边形 ACDF 的面积是 20cm2， 则正六边形 ABCDEF 的面积 30 cm2 【分析】首先得出 SABCBGACSACFAFAC，进而求出即可 【解答】解：过点 B 作 BGAC 于点 G，连接 CF， 正六边形 ABCDEF 中， ABC120，ABBCCDDEEFAF， BAC30， BGABAF， SABCBGACSACFAFAC， 四边形 ACDF 的面积是 20cm2， SABCSACF5cm2， 则正六边形 ABCDEF 的面积 2（SABC+SACF）2（5+10）30（cm2） 故答案为：30 16如图，以 AB 为边作边长为 8 的
20、正方形 ABCD，动点 P、Q 在正方形 ABCD 的边上运动，且 PQ8，若 点 P 从点 A 出发，沿 ABCD 的线路，向 D 点运动，点 Q 只能在线段 AD 上运动，求点 P 从 A 到 D 的运动过程中，PQ 的中点 O 所经过的路径的长为 4+8 【分析】根据题意将问题分类讨论，三种情况依次讨论：一个是依据斜边上的中线+圆的定义得到弧的轨 迹，一个可以用中垂线来理解 【解答】解： （1）当 P 在 AB 上，Q 在 AD 上时，AO，由圆的定义可以知 O 的轨迹为 EF 这段 圆弧 （2）同理当 P 在 CD 上，Q 在 AD 上时，DO，由圆的定义可以知 O 的轨迹为 EG 这
21、段圆弧 （3）Q 在 AD 上，P 在 BC 上，可知 PQAB，O 的运动轨迹为 FG 这条线段 综上分析：O 的运动路径长为：4+8 故答案：4+8 三解答题三解答题 17解方程：x22x150 【分析】利用十字相乘法将方程左边的多项式分解因式，利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解 【解答】解：x22x150， 分解因式得： （x5） （x+3）0， 可得 x50 或 x+30， 解得：x15，x23 18如图，ABC 的三个顶点都在O 上，直径 AD6cm，DAC2B （1）连 CO，证明：AOC 为等边三角形； （2
22、）求 AC 的长 【分析】 （1）根据圆周角定理得到AOC2B，加上DAC2B，所以AOCDAC，然后根据 等边三角形的判定方法可得到结论； （2）直接利用等边三角形的性质求解 【解答】 （1）证明：连接 OC，如图， AOC2B，DAC2B AOCDAC， OCAC， 而 OCOA， OAOCAC， OAC 为等边三角形； （2）解：OAC 为等边三角形， ACOAAD63（cm） 19小明在一幅长为 80cm，宽为 50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂 图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，求金色纸边的宽度 【分析】设金色纸边的宽度为 xc
23、m，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm，根据题目条件列 出方程，求出其解就可以 【解答】解：设金色纸边的宽度为 xcm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm， 根据题意得： （80+2x） （50+2x）5400， 解得：x170（不符合题意，舍去） ，x25 答：金色纸边的宽度为 5cm 20现有若干个完全相同的硬币（硬币的正、反面图案不同） ，按如下方式抛掷硬币： 方式一：从中选取一枚硬币抛掷； 方式二：从中选取两枚硬币抛掷； 方式三：从中选取三枚硬币抛掷 请你在每一种抛掷方式中，各找出一种随机现象，使得这三种随机现象的概率相等（要求：概率不能为
24、0 或 1） ，并说明理由 【分析】 根据三种方式分别得出方式一： 出现正面向上的概率与方式二： 出现一正一反的概率和方式三： 出现两个反面以上的概率，即可得出答案 【解答】解：方式一：从中选取一枚硬币抛掷；出现正面向上的概率为：， 方式二：从中选取两枚硬币抛掷，可能出现的情况为：正正，反反，正反，反正， 出现一正一反的概率为：， 方式三：从中选取三枚硬币抛掷，出现两个反面以上的概率为： 故方式一：出现正面向上的概率与方式二：出现一正一反的概率和方式三：出现两个反面以上的概率相 等 21已知：如图，A 是O 上一点，半径 OC 的延长线与过点 A 的直线交于 B 点，OCBC，ACOB （1）
25、求证：AB 是O 的切线； （2）若ACD45，OC2，求弦 CD 的长 【分析】 （1）求证：AB 是O 的切线，可以转化为证OAB90的问题来解决本题应先说明ACO 是等边三角形，则O60；又 ACOB，进而可以得到 OAACOB，则可知B30，即可 求出OAB90 （2）作 AECD 于点 E，CDDE+CE，因而就可以转化为求 DE，CE 的问题，根据勾股定理就可以得 到 【解答】 （1）证明：如图，连接 OA； OCBC，ACOB， OCBCACOA ACO 是等边三角形 OOCA60， ACBC， CABB， 又OCA 为ACB 的外角， OCACAB+B2B， B30，又OAC6
26、0， OAB90， AB 是O 的切线； （2）解：作 AECD 于点 E， O60， D30 ACD45，ACOC2， 在 RtACE 中，CEAE； D30， AD2， DEAE， CDDE+CE+ 22某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克 30 元物价部门规定其销售单价不 高于每千克 60 元，不低于每千克 30 元经市场调查发现：日销售量 y（千克）是销售单价 x（元）的一 次函数，且当 x60 时，y80；x50 时，y100，在销售过程中，每天还要支付其他费用 450 元 （1）求出 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围 （2）求该公司销该原
27、料日获利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （3）当销售单价为多少元时，该公司日获利润最大？最大获利是多少元？ 【分析】 （1）根据 y 与 x 成一次函数解析式，设为 ykx+b，把 x 与 y 的两对值代入求出 k 与 b 的值，即 可确定出 y 与 x 的解析式，并求出 x 的范围即可； （2）根据利润单价销售量列出 W 关于 x 的二次函数解析式即可； （3）利用二次函数的性质求出 W 的最大值，以及此时 x 的值即可 【解答】解： （1）设 ykx+b，根据题意得： ， 解得：k2，b200， y2x+200（30 x60） ； （2）W（x30） （2x+200）4
28、50 2x2+260 x6450 2（x65）2+2000； （3）W2（x65）2+2000， 30 x60， x60 时，w 有最大值为 1950 元， 当销售单价为 60 元时，该公司日获利最大为 1950 元 23如图 1，已知点 E 为正方形 ABCD 对角线 CA 延长线上一点，过 E 点作 EFCB 交其延长线于点 F，且 EF4，AC （1）如图 1，连接 BE，求线段 BE 的长； （2）将等腰 RtCEF 绕 C 点旋转至如图 2 的位置，连接 AE，M 点为 AE 的中点，连接 MD、MF，求 MD 与 MF 的关系； （3）将CEF 绕 C 点旋转一周，请直接写出点 M
29、 在这个过程中的运动路径长为 4 【分析】 （1）连接 BE，求出 BF，利用勾股定理即可解决问题 （2）结论：MDMF，MDMF延长 FM 到 P，使得 MPMF，连接 PD，PA，延长 PA 交 CF 于 K想 办法证明PDF 是等腰直角三角形即可 （3）接 AC，取 AC 的中点 O，连接 OM由三角形中位线定理可得 OM2，推出点 M 的运动轨迹 是以 O 为圆心，2为半径的圆，由此即可解决问题 【解答】解： （1）如图 1 中，连接 BE 四边形 ABCD 是正方形， ACB45，ABBC，ABC90， AC， ABBC1， EFCF， F90， FCEFEC45， EFFC4， F
30、B3， BE5 （2）结论：MDMF，MDMF 理由：延长 FM 到 P，使得 MPMF，连接 PD，PA，延长 PA 交 CF 于 K EMMA，MFMP，EMFAMP， EMFAMP（SAS） ， PAEFCF，EFMAPM， PKEF， EFCF， PKCF， AKCADC90， DAK+DCK180， DAK+PAD180， PADDCF， CDAD， PADFCD（SAS） ， DPDF，PDAFDC， PDFADC90， PMMF， DMMFPM，DMFM DMMF，DMMF （3）连接 AC，取 AC 的中点 O，连接 OM AMME，AOOC， OMEC， EC4， OM2，
31、OM 为定长， 点 M 的运动轨迹是以 O 为圆心，2为半径的圆， 当CEF 绕 C 点旋转一周，M 的轨迹为整个圆， 因此路径长为 4， 故答案为 4 24已知抛物线 y（m+1）2+（m2）x3 （1）无论 m 取何值，抛物线必过第三象限一个定点，则该定点的坐标为 （，） ； （不影响 后两问解答） （2）当 m0 时，不与坐标轴平行的直线 l1与抛物线有且只有一个交点 P（2，a） ，求直线 l1的解析式； （3） 在 （2） 的条件下， 直线 ykx+b 交抛物线于 M， N 两点 （M 在 N 的右侧） ， PQy 轴交 MN 于点 Q， 若 MQNQ，求 k 的值 【分析】 （1）
32、提取公因数 m 可得出 ym（x2+x）+x22x3，进而可得出当 x2+x0，即 x0 或 x 时，y 值与 m 无关，代入 x0，x可求出定点的坐标，取其第三象限的点的坐标即可得出结 论； （2）利用点的坐标特征可得出点 P 的坐标，设直线 l1的解析式为 ymx+n（m0） ，利用一次函数图象 上点的坐标特征可得出 n2m3，即直线 l1的解析式为 ymx2m3，将 ymx2m3 代入 y x22x3 整理后可得出关于 x 的一元二次方程，由直线 l1与抛物线有且只有一个交点可得出0，解 之可得出 m 的值，再将其代入 ymx2m3 中即可得出结论； （3）过点 Q 作直线 lx 轴，过
33、点 M 作 ME直线 l 于点 E，过点 N 作 NF直线 l 于点 F，则MEQ NFQ（AAS） ，利用全等三角形的性质可得出 QEQF，进而可得出 xM+xN2xP4，将 ykx+b 代入 代入 yx22x3 整理后可得出关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系可得出 xM+xNk+2，进而 可得出 k+24，解之即可得出结论 【解答】解： （1）y（m+1）x2+（m2）x3m（x2+x）+x22x3， 当 x2+x0，即 x0 或 x时，y 值与 m 无关 当 x0 时，y3；当 x时，y， 该定点的坐标为（，） ； （2）当 m0 时，yx22x3 点 P（2，a）为抛物线 y
34、x22x3 上的点， a222233， 点 P 的坐标为（2，3） 设直线 l1的解析式为 ymx+n（m0） ， 点 P（2，3）为直线 l1上的点， 2m+n3， n2m3， 直线 l1的解析式为 ymx2m3 将 ymx2m3 代入 yx22x3，得：x22x3mx2m3， 整理，得：x2（2+m）x+2m0 直线 l1与抛物线有且只有一个交点， （2+m）2412m0， 解得：m1m22， 直线 l1的解析式为 y2x7 （3）在图 2 中，过点 Q 作直线 lx 轴，过点 M 作 ME直线 l 于点 E，过点 N 作 NF直线 l 于点 F， 在MEQ 和NFQ 中， ， MEQNFQ（AAS） ， QEQF， xExQxQxF，即 xMxPxPxN， xM+xN2xP4 将 ykx+b 代入 yx22x3，得：x22x3kx+b， 整理，得：x2（k+2）x3b0， xM+xNk+2， k+24， k2
