1、2021 年年四川省成都市郫都区四川省成都市郫都区中考数学一诊试卷中考数学一诊试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 13 的倒数是（ ） A3 B3 C D 2下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ） A B C D 3我们的祖国地域辽阔，其中领水面积约为 370000km2把 370000 这个数用科学记数法表示为（ ） A37104 B3.7105 C0.37106 D3.7106 4在平面直角坐标系中，点 P（3，2）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ） A （3，2） B （2，3） C （3，2） D （3
2、，2） 5已知，则的值为（ ） A1 B1 C1 D无法确定 6在 5 轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是 90 分，甲的成绩方差是 15，乙 的成绩方差是 3，下列说法正确的是（ ） A甲的成绩比乙的成绩稳定 B乙的成绩比甲的成绩稳定 C甲、乙两人的成绩一样稳定 D无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 7如图，在已知的ABC 中，按以下步骤作图： 分别以 B，C 为圆心，以大于BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点 M，N； 作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD 若 CDAC，A50，则ACB 的度数为（ ） A90 B95 C100 D105 8若关于 x 的方程0
3、有增根，则 m 的值是（ ） A B C3 D3 9如图，ACEFDB，若 AC8，BD12，则 EF（ ） A3 B C4 D 10已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，有以下结论： a+b+c0；ab+c1；abc0；4a2b+c0；ca1， 其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 16 分）分） 11分解因式：a2bb 12已知一次函数 ykx+k，若 y 随 x 的增大而增大，则它的图象经过第 象限 13如图，ABC 是O 的内接三角形，C30，O 的半径为 5，若点 P
4、是O 上的一点，在ABP 中，PBAB，则 PA 的长为 14已知一个两位数，它的十位上的数字 x 比个位上的数字 y 大 1，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得 到的新数比原数小 9，求这两位数所列的方程组是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 54 分）分） 15 （1）计算： （2）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解 16先化简，再求值：，其中 a，b 满足（a2）2+0 17某市少年宫为小学生开设了绘画、音乐、舞蹈和跆拳道四类兴趣班，为了解学生对这四类兴趣班的喜 爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如下表所示） ，将调查结果
5、整理后绘制了一幅不完整的 统计表： 最受欢迎兴趣班调查问卷 统计表 选项 兴趣班 请选择 兴趣班 频数 频率 A 绘画 A 0.35 B 音乐 B 18 0.30 C 舞蹈 C 15 b D 跆拳道 D 6 你好!请选择一个（只能选一个）你最喜欢的兴趣 班，在其后空格内打“，谢谢你的合作 合 计 a 1 （1）统计表中的 a ，b ； （2）根据调查结果，请你估计该市 2000 名小学生中最喜欢“绘画”兴趣班的人数； （3）王姝和李要选择参加兴趣班，若他们每人从 A、B、C、D 四类兴趣班中随机选取一类，请用画树 状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一类的概率 18 某区域平面示意图如图所示，
6、 点 D 在河的右侧， 红军路 AB 与某桥 BC 互相垂直 某校 “数学兴趣小组” 在“研学旅行”活动中，在 C 处测得点 D 位于西北方向，又在 A 处测得点 D 位于南偏东 65方向，另 测得 BC414m，AB300m，求出点 D 到 AB 的距离 （参考数据 sin650.91，cos650.42，tan652.14） 19如图，一次函数 ykx+b（k0）的图象与反比例函数 y（m0）的图象交于二、四象限内的 A、B 两点，与 x 轴交于 C 点，点 A 的坐标为（2，3） ，点 B 的坐标为（4，n） （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）在 x 轴上是否存在点 P，使
7、APC 是直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理 由 20.如图，AB 是O 的直径，C，G 是O 上两点，且，过点 C 的直线 CDBG 于点 D，交 BA 的 延长线于点 E，连接 BC，交 OD 于点 F （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若，求证：AEAO； （3）连接 AD，在（2）的条件下，若 CD，求 AD 的长 一填空题（共一填空题（共 5 小题）小题） 21已知 a，b 都是实数，则 ab的值为 22已知 x1，x2是关于 x 的一元二次方程 x25x+a0 的两个实数根，且 x12x2210，则 a 23如图，RtABC 中，ACB90，B30，A
8、C1，且 AC 在直线 l 上，将ABC 绕点 A 顺时针 旋转到， 可得到点 P1， 此时 AP12； 将位置的三角形绕点 P1 顺时针旋转到位置， 可得到点 P2， 此时 AP22+； 将位置的三角形绕点 P2 顺时针旋转到位置， 可得到点 P3， 此时 AP33+； 按此规律继续旋转，直到点 P2020为止，则 AP2020等于 24如图，过原点的直线与反比例函数 y（x0） 、反比例函数 y（x0）的图象分别交于 A、B 两 点，过点 A 作 y 轴的平行线交反比例函数 y（x0）的图象于 C 点，以 AC 为边在直线 AC 的右侧作 正方形 ACDE，点 B 恰好在边 DE 上，则正
9、方形 ACDE 的面积为 25如图，在正方形 ABCD 中，AB2，点 E 是 CD 的中点，连接 AE，将ADE 沿 AE 折叠至AHE，连 接 BH，延长 AE 和 BH 交于点 F，BF 与 CD 交于点 G，则 FG 二解答题（共二解答题（共 3 小题）小题） 26为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，当种植樱桃的面 积 x 不超过 15 亩时， 每亩可获得利润 y1900 元； 超过 15 亩时， 每亩获得利润 y （元） 与种植面积 x （亩） 之间的函数关系如表（为所学过的一次函数，反比例函数或二次函数中的一种） x（亩） 20 25 30 3
10、5 y（元） 1800 1700 1600 1500 （1）请求出种植樱桃的面积超过 15 亩时每亩获得利润 y 与 x 的函数关系式； （2）如果小王家计划承包荒山种植樱桃，受条件限制种植樱桃面积 x 不超过 50 亩，设小王家种植 x 亩 樱桃所获得的总利润为 W 元，求小王家承包多少亩荒山获得的总利润最大，并求总利润 W（元）的最大 值 27天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1） 问题发现： 如图 1， 在等边ABC 中， 点 P 是边 BC 上任意一点， 连接 AP， 以 AP 为边作等边APQ， 连接 CQ求证：BPCQ； （2） 变式探究： 如图
11、2， 在等腰ABC 中， ABBC， 点 P 是边 BC 上任意一点， 以 AP 为腰作等腰APQ， 使 APPQ，APQABC，连接 CQ判断ABC 和ACQ 的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图 3，在正方形 ADBC 中，点 P 是边 BC 上一点，以 AP 为边作正方形 APEF，Q 是 正方形 APEF 的中心，连接 CQ若正方形 APEF 的边长为 6，CQ2，求正方形 ADBC 的边长 28在同一直角坐标系中，抛物线 C1yax22x3 与抛物线 C2：yx2+mx+n 关于 y 轴对称，C2与 x 轴交 于 A、B 两点，其中点 A 在点 B 的左侧交 y 轴于点 D
12、 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）对于抛物线 C2：yx2+mx+n 在第三象限部分的一点 P，作 PFx 轴于 F，交 AD 于点 E，若 E 关 于 PD 的对称点 E恰好落在 y 轴上，求 P 点坐标； （3）在抛物线 C1上是否存在一点 G，在抛物线 C2上是否存在一点 Q，使得以 A、B、G、Q 四点为顶点 的四边形是平行四边形？若存在，求出 G、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 13 的倒数是（ ） A3 B3 C D 【分析】根据倒数的定义即可得出答案 【解答】解：3 的倒数是 故选：C
13、 2下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ） A B C D 【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图 【解答】解：A、立方体的俯视图是正方形，故此选项错误； B、圆柱体的俯视图是圆，故此选项错误； C、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项正确； D、圆锥体的俯视图是圆，故此选项错误； 故选：C 3我们的祖国地域辽阔，其中领水面积约为 370000km2把 370000 这个数用科学记数法表示为（ ） A37104 B3.7105 C0.37106 D3.7106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数
14、变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：370000 用科学记数法表示应为 3.7105， 故选：B 4在平面直角坐标系中，点 P（3，2）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ） A （3，2） B （2，3） C （3，2） D （3，2） 【分析】根据关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得出结论 【解答】解：根据轴对称的性质，得点 P（3，2）关于 x 轴对称的点的坐标为（3，2） 故选：D 5已知，则的值为（ ） A1 B1 C1 D无法确定 【分析】根据已知等式得
15、到 a 与 b 异号，即 ab0，原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值 【解答】解：+0， a 与 b 异号，即 ab0， |ab|ab， 则原式1 故选：B 6在 5 轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是 90 分，甲的成绩方差是 15，乙 的成绩方差是 3，下列说法正确的是（ ） A甲的成绩比乙的成绩稳定 B乙的成绩比甲的成绩稳定 C甲、乙两人的成绩一样稳定 D无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 【分析】根据方差的意义求解可得 【解答】解：乙的成绩方差甲成绩的方差， 乙的成绩比甲的成绩稳定， 故选：B 7如图，在已知的ABC 中，按以下步骤作图： 分别以 B，C 为
16、圆心，以大于BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点 M，N； 作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD 若 CDAC，A50，则ACB 的度数为（ ） A90 B95 C100 D105 【分析】由 CDAC，A50，根据等腰三角形的性质，可求得ADC 的度数，又由题意可得：MN 是 BC 的垂直平分线， 根据线段垂直平分线的性质可得： CDBD， 则可求得B 的度数， 继而求得答案 【解答】解：CDAC，A50， ADCA50， 根据题意得：MN 是 BC 的垂直平分线， CDBD， BCDB， BADC25， ACB180AB105 故选：D 8若关于 x 的方程0 有增根，则 m 的值
17、是（ ） A B C3 D3 【分析】先将方程化为整式方程，由分式方程有增根可求解 x 值，再将 x 值代入计算即可求解 m 值 【解答】解：由0 得 6x2m0， 关于 x 的方程0 有增根， x3， 当 x3 时，632m0， 解得 m， 故选：A 9如图，ACEFDB，若 AC8，BD12，则 EF（ ） A3 B C4 D 【分析】证明BEFBCA，关键相似三角形的性质得到，进而得到+1，代入已知 数据计算即可 【解答】解：ACEF， BEFBCA， ， 同理， +1， +1， 解得，EF， 故选：D 10已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，有以下结论： a+b+c0；a
18、b+c1；abc0；4a2b+c0；ca1， 其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴及 抛物线当 x1、x1 和 x2 时的情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：当 x1 时，ya+b+c0，故正确； 当 x1 时，yab+c1，故正确； 由抛物线的开口向下知 a0，与 y 轴的交点为在 y 轴的正半轴上， c0，对称轴为 x1，得 2ab， a、b 同号，即 b0， abc0，故正确； 对称轴为 x1， 点（0，1）的对称点为（2，1） ， 当 x2 时，y4a2b+c1
19、，故错误； x1 时，ab+c1，又1，即 b2a， ca1，故正确 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题） 11分解因式：a2bb b（a+1） （a1） 【分析】首先提取公因式 b，进而利用平方差公式分解因式得出答案 【解答】解：a2bb b（a21） b（a+1） （a1） 故答案为：b（a+1） （a1） 12已知一次函数 ykx+k，若 y 随 x 的增大而增大，则它的图象经过第 一、二、三 象限 【分析】根据一次函数 ykx+k，y 随 x 的增大而增大，可以得到 k0，然后即可得到一次函数 ykx+k 的图象经过哪几个象限 【解答】解：一次函数 ykx+k，y 随
20、x 的增大而增大， k0， 一次函数 ykx+k 的图象经过第一、二、三象限， 故答案为：一、二、三 13如图，ABC 是O 的内接三角形，C30，O 的半径为 5，若点 P 是O 上的一点，在ABP 中，PBAB，则 PA 的长为 5 【分析】连接 OA、OP，连接 OB 交 AP 于 H，根据圆周角定理得到AOB2C60，根据正弦的概 念计算即可 【解答】解：连接 OA、OP，连接 OB 交 AP 于 H， 由圆周角定理得，AOB2C60， PBAB， POB60，OBAP， 则 AHPHOPsinPOH， AP2AH5， 故答案为：5 14已知一个两位数，它的十位上的数字 x 比个位上的
21、数字 y 大 1，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得 到的新数比原数小 9，求这两位数所列的方程组是 【分析】根据“该数的十位上的数字 x 比个位上的数字 y 大 1，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得 到的新数比原数小 9” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，此题得解 【解答】解：依题意得： 故答案为： 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 15 （1）计算： （2）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解 【分析】 （1）本题涉及绝对值的意义、特殊角的三角函数值、二次根式的化简、零指数幂四个考点在 计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求
22、得计算结果； （2）先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解即可 【解答】解： （1）原式34+2+1 32+2+1 4； （2）， 解不等式得，x3， 解 x+24x3 得，x2， 不等式组的解集是 3x2， 不等式组的整数解是：2，1，0，1，2 16先化简，再求值：，其中 a，b 满足（a2）2+0 【分析】先化简分式，然后将 a、b 的值代入计算即可 【解答】解：原式 ， a，b 满足（a2）2+0， a20，b+10， a2，b1， 原式1 17某市少年宫为小学生开设了绘画、音乐、舞蹈和跆拳道四类兴趣班，为了解学生对这四类兴趣班的喜 爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如
23、下表所示） ，将调查结果整理后绘制了一幅不完整的 统计表： 最受欢迎兴趣班调查问卷 统计表 选项 兴趣班 请选择 兴趣班 频数 频率 A 绘画 A 0.35 B 音乐 B 18 0.30 C 舞蹈 C 15 b D 跆拳道 D 6 你好!请选择一个（只能选一个）你最喜欢的兴趣 班，在其后空格内打“，谢谢你的合作 合 计 a 1 （1）统计表中的 a 60 ，b 0.25 ； （2）根据调查结果，请你估计该市 2000 名小学生中最喜欢“绘画”兴趣班的人数； （3）王姝和李要选择参加兴趣班，若他们每人从 A、B、C、D 四类兴趣班中随机选取一类，请用画树 状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一类
24、的概率 【分析】 （1）用 B 选项人数除以它所占的百分比得到 a 的值，然后用 C 选项的频数除以 a 得到 b 的值； （2）用 2000 乘以样本中最喜欢“绘画”兴趣班的人数所占的百分比即可； （3） 画树状图展示所有 16 种等可能的结果数， 找出恰好选中同一类的结果数， 然后根据概率公式求解， 【解答】解： （1）调查的总人数为 180.360（人） ，即 a60， b0.25； 故答案为 60；0.25； （2）20000.35700， 所以估计该市 2000 名小学生中最喜欢“绘画”兴趣班的人数为 700 人； （3）画树状图为： 共有 16 种等可能的结果数，其中两人恰好选中同
25、一类的结果数为 4， 所以两人恰好选中同一类的概率 18 某区域平面示意图如图所示， 点 D 在河的右侧， 红军路 AB 与某桥 BC 互相垂直 某校 “数学兴趣小组” 在“研学旅行”活动中，在 C 处测得点 D 位于西北方向，又在 A 处测得点 D 位于南偏东 65方向，另 测得 BC414m，AB300m，求出点 D 到 AB 的距离 （参考数据 sin650.91，cos650.42，tan652.14） 【分析】过点 D 作 DEAB 于 E，过 D 作 DFBC 于 F，则四边形 EBFD 是矩形，设 DEx，根据 BE DFCF，列方程可得结论 【解答】解：如图，过点 D 作 DE
26、AB 于 E，过 D 作 DFBC 于 F，则四边形 EBFD 是矩形， 设 DEx， 在 RtADE 中，AED90， tanDAE， AE， BE300， 又 BFDEx， CF414x， 在 RtCDF 中，DFC90，DCF45， DFCF414x， 又 BEDF， 即：300414x， 解得：x214， 故：点 D 到 AB 的距离是 214m 19如图，一次函数 ykx+b（k0）的图象与反比例函数 y（m0）的图象交于二、四象限内的 A、B 两点，与 x 轴交于 C 点，点 A 的坐标为（2，3） ，点 B 的坐标为（4，n） （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）在
27、x 轴上是否存在点 P，使APC 是直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理 由 【分析】 （1）将点 A 的坐标代入 y（m0）得：m236，则反比例函数的表达式为：y ，将点 B 的坐标代入上式并解得：n，故点 B（4，） ，即可求解； （2）分APC 为直角、P（P）AC 为直角两种情况，分别求解即可 【解答】解： （1）将点 A 的坐标代入 y（m0）得：m236， 则反比例函数的表达式为：y， 将点 B 的坐标代入上式并解得：n，故点 B（4，） ， 将点 A、B 的坐标代入一次函数表达式 ykx+b 得：，解得：， 故一次函数的表达式为：yx+； （2）yx+，令
28、 y0，则 x2，故点 C（2，0） ， 当APC 为直角时， 则点 P（2，0） ； 当P（P）AC 为直角时， 由点 A、C 的坐标知，PC4，AP3，则 AC5， cosACP，解得：CP， 则 OP2， 故点 P 的坐标为： （2，0）或（，0） 20.如图，AB 是O 的直径，C，G 是O 上两点，且，过点 C 的直线 CDBG 于点 D，交 BA 的 延长线于点 E，连接 BC，交 OD 于点 F （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若，求证：AEAO； （3）连接 AD，在（2）的条件下，若 CD，求 AD 的长 【分析】 （1）要证明 CD 是O 的切线，连接 OC，只要证
29、明OCE90即可，根据题目中的条件，可 以证明 OCBD，再根据 CDBG 于点 D，从而可以证明结论成立； （2）根据三角形相似的判定与性质，可以证明 AEAO； （3）在（2）的条件下，CD，然后根据三角形相似和勾股定理可以求得 AD 的长 【解答】 （1）证明：连接 OC， OCOB， OCBOBC，OBCCBD， CBDOCB， OCBD， ECOEDB， CDBG 于点 D， EDB90， ECO90， OC 是O 的半径， CD 是O 的切线； （2）OCBD， OCFDBF，COFBDF， OCFDBF， ， ， ， OCBD， EOCEBD， ， ， 设 OE2a，则 EB3a
30、， OBa， AOa， EAa， AEAO； （3）OCOAa，EO2a， OCEO， 又OCE90， E30， BDE90，BC 平分EBD， EBD60，OBCDBC30， CD， BC2，BD， ， OC， 作 DMAB 于点 M， DMB90， BD，DBM60， BM，DM， OC， AB， AMABBM， DMA90，DM， AD 一填空题（共一填空题（共 5 小题）小题） 21已知 a，b 都是实数，则 ab的值为 4 【分析】利用二次根式有意义的条件得到得，解得 a，则可得到对应 b 的值，然后利用负 整数指数幂的意义计算 【解答】解：根据题意得，解得 a， 当 a时，b2，
31、所以 ab（） 24 故答案为 4 22已知 x1，x2是关于 x 的一元二次方程 x25x+a0 的两个实数根，且 x12x2210，则 a 【分析】由两根关系，得根 x1+x25，x1x2a，解方程得到 x1+x25，即 x1x22，即可得到结论 【解答】解：由两根关系，得根 x1+x25，x1x2a， 由 x12x2210 得（x1+x2） （x1x2）10， 若 x1+x25，即 x1x22， （x1x2）2（x1+x2）24x1x2254a4， a， 故答案为： 23如图，RtABC 中，ACB90，B30，AC1，且 AC 在直线 l 上，将ABC 绕点 A 顺时针 旋转到， 可得
32、到点 P1， 此时 AP12； 将位置的三角形绕点 P1 顺时针旋转到位置， 可得到点 P2， 此时 AP22+； 将位置的三角形绕点 P2 顺时针旋转到位置， 可得到点 P3， 此时 AP33+； 按此规律继续旋转，直到点 P2020为止，则 AP2020等于 2021+673 【分析】仔细审题，发现将 RtABC 绕点 A 顺时针旋转，每旋转一次，AP 的长度依次增加 2，1， 且三次一循环，按此规律即可求解 【解答】解：ACB90，B30，AC1， AB2，BC， 将ABC 绕点 A 顺时针旋转到，可得到点 P1，此时 AP12； 将位置的三角形绕点 P1顺时针旋转到位置可得到点 P2，
33、此时 AP22+； 将位置的三角形绕点 P2顺时针旋转到位置，可得到点 P3，此时 AP33+； 202036731 AP2020673（3+）+22021+673， 故答案为：2021+673 24如图，过原点的直线与反比例函数 y（x0） 、反比例函数 y（x0）的图象分别交于 A、B 两 点，过点 A 作 y 轴的平行线交反比例函数 y（x0）的图象于 C 点，以 AC 为边在直线 AC 的右侧作 正方形 ACDE，点 B 恰好在边 DE 上，则正方形 ACDE 的面积为 44 【分析】设直线 AB 的解析式为 ykx，A（m，） ，B（n，） ，则 C（m，） ，根据直线的解析式求 得
34、 k，进而求得 nm，根据 ACAE，求得1，因为 S正方形AC2（）2即 可求得正方形 ACDE 的面积； 【解答】解：设直线 AB 的解析式为 ykx，A（m，） ，B（n，） ，C（m，） ， k， nm， ACAE，即nm， m，解得：1， S正方形AC2（）244（1）44； 25如图，在正方形 ABCD 中，AB2，点 E 是 CD 的中点，连接 AE，将ADE 沿 AE 折叠至AHE，连 接 BH，延长 AE 和 BH 交于点 F，BF 与 CD 交于点 G，则 FG 【分析】过点 H 作 MNAD，交 AB 于 M，交 CD 于 N，通过证明AMHHNE，可得， 可得 MH2E
35、N，HN，可求 EN 的长，即可求 BM，MH，HN 的长，由平行线分线段成比例可得 HG，GN，EG，GF 的长 【解答】解：过点 H 作 MNAD，交 AB 于 M，交 CD 于 N， BADBMN90，DMNC90， 四边形 ADNM 是矩形， AMDM，MNAD2， 将ADE 沿 AE 折叠至AHE， AHAD2，AHE90，HEDE1， AHM+EHN90，且MAH+AHM90， MAHEHN，且AMHENH90， AMHHNE， ， ， MH2EN，HN， MH+HNMN2， 2EN+2， EN， MH，HN，AM， BM， BH， ABCD， ， NG，HG， BG，EG， AB
36、CD， ， FG， 故答案为： 二解答题（共二解答题（共 3 小题）小题） 26为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，当种植樱桃的面 积 x 不超过 15 亩时， 每亩可获得利润 y1900 元； 超过 15 亩时， 每亩获得利润 y （元） 与种植面积 x （亩） 之间的函数关系如表（为所学过的一次函数，反比例函数或二次函数中的一种） x（亩） 20 25 30 35 y（元） 1800 1700 1600 1500 （1）请求出种植樱桃的面积超过 15 亩时每亩获得利润 y 与 x 的函数关系式； （2）如果小王家计划承包荒山种植樱桃，受条件限制种植樱桃
37、面积 x 不超过 50 亩，设小王家种植 x 亩 樱桃所获得的总利润为 W 元，求小王家承包多少亩荒山获得的总利润最大，并求总利润 W（元）的最大 值 【分析】 （1）根据题意设 ykx+b，如何待定系数法求解可得； （2）根据总利润每亩利润亩数，分 0 x15 和 15x110 两种情况分别求解可得 【解答】解： （1）设 ykx+b， 将 x20、y1800 和 x30、y1600 代入得：， 解得：， y20 x+2200， （2）当 0 x15 时，W1900 x， 当 x15 时，W最大28500 元； 当 15x50 时，W（20 x+2200）x 20 x2+2200 x 20（
38、x55）2+60500， x50， 当 x50 时，W 最大60000 元， 综上，小王家承包 50 亩荒山获得的总利润最大，并求总利润 W 的最大值为 60000 元 27天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1） 问题发现： 如图 1， 在等边ABC 中， 点 P 是边 BC 上任意一点， 连接 AP， 以 AP 为边作等边APQ， 连接 CQ求证：BPCQ； （2） 变式探究： 如图 2， 在等腰ABC 中， ABBC， 点 P 是边 BC 上任意一点， 以 AP 为腰作等腰APQ， 使 APPQ，APQABC，连接 CQ判断ABC 和ACQ 的数量关系，并
39、说明理由； （3）解决问题：如图 3，在正方形 ADBC 中，点 P 是边 BC 上一点，以 AP 为边作正方形 APEF，Q 是 正方形 APEF 的中心，连接 CQ若正方形 APEF 的边长为 6，CQ2，求正方形 ADBC 的边长 【分析】 （1）问题发现易证 ABAC，APAQ，BAPCAQ，由 SAS 证得BAPCAQ，即可得 出结论； （2）变式探究由等腰三角形的性质得出BAC（180ABC） ，PAQ（180APQ） ， 由APQABC，得出BACPAQ，证得BACPAQ，得出，易证BAPCAQ， 则BAPCAQ，得出ABCACQ； （3）解决问题连接 AB、AQ，由正方形的性质
40、得出，BAC45，PAQ45， 易证BAPCAQ， 由， 得出ABPACQ， 则， 求出 BPCQ4， 设 PCx，则 BCAC4+x，在 RtAPC 中，AP2AC2+PC2，代入求出 x2+，即可得出结果 【解答】 （1）问题发现： 证明：ABC 与APQ 都是等边三角形， ABAC，APAQ，BACPAQ60， BAP+PACPAC+CAQ， BAPCAQ， 在BAP 和CAQ 中， BAPCAQ（SAS） ， BPCQ； （2）变式探究： 解：ABC 和ACQ 的数量关系为：ABCACQ；理由如下： 在等腰ABC 中，ABBC， BAC（180ABC） ， 在等腰APQ 中，APPQ，
41、 PAQ（180APQ） ， APQABC， BACPAQ， BACPAQ， ， BAP+PACPAC+CAQ， BAPCAQ， BAPCAQ， ABCACQ； （3）解决问题： 解：连接 AB、AQ，如图 3 所示： 四边形 ADBC 是正方形， ，BAC45， Q 是正方形 APEF 的中心， ，PAQ45， BAP+PACPAC+CAQ， BAPCAQ， ， ABPACQ， ， CQ2， BPCQ4， 设 PCx，则 BCAC4+x， 在 RtAPC 中，AP2AC2+PC2， 即 62（4+x）2+x2， 解得：x2， x0， x2+， 正方形 ADBC 的边长4+x42+2+ 28在
42、同一直角坐标系中，抛物线 C1yax22x3 与抛物线 C2：yx2+mx+n 关于 y 轴对称，C2与 x 轴交 于 A、B 两点，其中点 A 在点 B 的左侧交 y 轴于点 D （1）求 A、B 两点的坐标； （2）对于抛物线 C2：yx2+mx+n 在第三象限部分的一点 P，作 PFx 轴于 F，交 AD 于点 E，若 E 关 于 PD 的对称点 E恰好落在 y 轴上，求 P 点坐标； （3）在抛物线 C1上是否存在一点 G，在抛物线 C2上是否存在一点 Q，使得以 A、B、G、Q 四点为顶点 的四边形是平行四边形？若存在，求出 G、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）
43、由对称可求得 a、n 的值，则可求得两函数的对称轴，可求得 m 的值，则可求得两抛物线 的函数表达式；由 C2的函数表达式可求得 A、B 的坐标； （2）可判定四边形 PEDE是菱形，然后根据 PEDE 的条件，列出方程求解； （3）由题意可知 AB 可能为平行四边形的边或对角线，利用平行四边形的性质，可设出 G 点坐标和 Q 点坐标，代入 C2的函数表达式可求得 G、Q 的坐标 【解答】解： （1）C1、C2关于 y 轴对称， C1与 C2的交点一定在 y 轴上，且 C1与 C2的形状、大小均相同， a1，n3， C1的对称轴为 x1， C2的对称轴为 x1， m2， C1的函数表示式为 y
44、x22x3，C2的函数表达式为 yx2+2x3； 在 C2的函数表达式为 yx2+2x3 中，令 y0 可得 x2+2x30， 解得 x3 或 x1， A（3，0） ，B（1，0） ； （2）点 E、E关于直线 PD 对称， EPDEPD，DEDE，PEPE PE 平行于 y 轴，EPDPDE， EPDPDE， PEDE， PEDEPEDE， 即四边形 PEDE是菱形 当四边形 PEDE是菱形存在时，由直线 AD 解析式 yx3，ADO45， 设 P（a，a2+2a3） ，E（a，a3） ， DEa，PEa3a22a+3a23a， ，解得 a10（舍去） ，a2， （3）存在 AB 的中点为（
45、1，0） ，且点 G 在抛物线 C1上，点 Q 在抛物线 C2上， 当 AB 为平行四边形的一边时， GQAB 且 GQAB， 由（2）可知 AB1（3）4， GQ4， 设 G（t，t22t3） ，则 Q（t+4，t22t3）或（t4，t22t3） ， 当 Q（t+4，t22t3）时，则 t22t3（t+4）2+2（t+4）3， 解得 t2， t22t34+435， G（2，5） ，Q（2，5） ； 当 Q（t4，t22t3）时，则 t22t3（t4）2+2（t4）3， 解得 t2， t22t34433， G（2，3） ，Q（2，3） ， 当 AB 为平行四边形的对角线时，设 G（m，m22m3） ，Q（n，n2+2n3） ， ， 解得 m，n2或 m，n2+， G（，2） ，Q（2，2）或 G（，2） ，Q（2+，2） 综上可知，存在满足条件的点 G、Q，其坐标为 G（2，5） ，Q（2，5）或 G（2，3） ，Q（2，3） 或 G（，2） ，Q（2，2）或 G（，2） ，Q（2+，2）
