1、 2019-2020 学年四川省成都市学年四川省成都市郫都区郫都区高三（上）高三（上）9 月月考数学试卷（理科）月月考数学试卷（理科） 一、选择题：本大題共一、选择题：本大題共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目项是符合题目 要求的要求的.请将你选择的答案涂到笞题卡上请将你选择的答案涂到笞题卡上 1 （5 分）已知复数 z 满足（i 是虚数单位） ，则|z|（ ） A0 B C1 D 2 （5 分）已知集合 Ax|y，Bx|x22x30，xZ，则 AB（ ） A1，2，3 B1，2 C2
2、D1 3 （5 分）设函数，则 f（f（1） ）（ ） A0 B1 C2 D3 4 （5 分）若向量 ， 是非零向量，则“| + | |”是“ ， 夹角为”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为（ ） A16 B164 C322 D644 6 （5 分）函数 f（x）的图象大致为（ ） A B C D 7 （5 分）设 XN（1，1） ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形 ABCD 中随机投掷 100000 个点， 则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ） 注：
3、若 XN（，2） ，则 P（X+）0.6826，P（2X+2）0.9544 A60380 B65870 C70280 D75390 8 （5 分）为了配平化学方程式 aFeS2+bO2cFe2O3+dSO2，某人设计了一个如图所示的程序框图， 则处应分别填入（ ） A B C D 9 （5 分） 已知双曲线1 （a0， b0） 两条渐近线的夹角为 60， 则该双曲线的离心率为 （ ） A B C或 2 D4 10 （5 分）若函数 f（x）ex（sinx+a）在区间上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ） A B （1，+） C D1，+） 11（5 分） 已知球 O 的半径为 4， 矩形
4、ABCD 的顶点都在球 O 的球面上， 球心 O 到平面 ABCD 的距离为 2， 则此矩形的最大面积为（ ） A12 B18 C24 D30 12 （5 分）定义在0，+）上的函数 f（x）满足：当 0 x2 时，f（x）2xx2：当 x2 时，f（x） 3f（x2） 记函数 f（x）的极大值点从小到大依次记为 a1，a2，an，并记相应的极大值为 b1， b2，bn，则 a1b1+a2b2+a20b20的值为（ ） A19320+1 B19319+1 C20319+1 D20320+1 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13
5、（5 分）若实数 x，y 满足则 zx+y 的最大值为 14 （5 分）二项式（+）8的展开式的常数项是 15 （5 分）已知 aR，命题 p：x1，2，x2a0，命题 q：xR，x2+2ax+2a0，若命题 pq 为真 命题，则实数 a 的取值范围是 16 （5 分）已知点 A（0，1） ，抛物线 C：y2ax（a0）的焦点为 F，连接 FA，与抛物线 C 相交于点 M， 延长 FA，与抛物线 C 的准线相交于点 N，若|MN|2|FM|，则实数 a 的值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小題，共小題，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、
6、证明过程或演算步骤. 17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知（sinA+sinB） （ab）（sinCsinB） c （1）求 A； （2）已知 a2，ABC 的面积为的周长 18 （12 分）已知三棱柱 ABCA1B1C1中，ABACAA12，侧面 ABB1A1底面 ABC，D 是 BC 的中点， B1BA60，B1DAB （）求证：ACAB； （）求二面角 C1ADB 的余弦值 19 （12 分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了 100 位居民作为样本，就最近 一年来网购消费金额（单位：千元） ，网购次数和支付方式等进行了问
7、卷调査经统计这 100 位居民的网 购消费金额均在区间0，30内，按0，5， （5，10， （10，15， （15，20， （20，25， （25，30分成 6 组，其频率分布直方图如图所示 （1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数； （2）将网购消费金额在 20 千元以上者称为“网购迷” ，补全下面的 22 列联表，并判断有多大把握认 为“网购迷与性别有关系” ； 男 女 合计 网购迷 20 非网购迷 45 合计 100 （3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响统计 最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如表所示： 网购总次数
8、支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 80 40 16 24 乙 90 60 18 12 将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购 2 次，记两人采用支付宝支付的次数之和为 ，求 的数学期望 附：观测值公式： 临界值表： P（K2k0） 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为长为半 径的圆与直线 xy+0 相切，过点 P（4，0）的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点 （1）求椭
9、圆 C 的方程； （2）若原点 O 在以线段 AB 为直径的圆内，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 21 （12 分）已知函数 f（x）x2alnx1， （aR） （1）若函数 f（x）有且只有一个零点，求实数 a 的取值范围； （2）若函数 g（x）ex+x2exf（x）10 对 x1，+）恒成立，求实数 a 的取值范围 （e 是自 然对数的底数，e2.71828） 选考題：共选考題：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分，作答时请写题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分，作答时请写 清题号清题号.选修选修 4-4：坐标
10、系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为， （t 为参数） ，在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C1：2cos， （）求 C1与 C2交点的直角坐标； （）若直线 l 与曲线 C1，C2分别相交于异于原点的点 M，N，求|MN|的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知关于 x 的函数 f（x）|x+1|+|xm| （1）若 f（x）3 对所有的 xR 恒成立，求实数 m 的取值范围； （2）若关于 x 的不等式 f（m）2mx2x 的解集非空，求实数 m 的取值范围 参考答案与试题解析参考答
11、案与试题解析 一、选择题：本大題共一、选择题：本大題共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目项是符合题目 要求的要求的.请将你选择的答案涂到笞题卡上请将你选择的答案涂到笞题卡上 1 （5 分）已知复数 z 满足（i 是虚数单位） ，则|z|（ ） A0 B C1 D 【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数的模长公式进行计算即可 【解答】解：i， 则|z|1 故选：C 【点评】本题主要考查复数模长的计算，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键 2 （5 分）已知集合 Ax|y，Bx|
12、x22x30，xZ，则 AB（ ） A1，2，3 B1，2 C2 D1 【分析】根据集合条件求出集合的等价条件，结合集合交集的定义进行运算即可 【解答】解：Ax|yx|x1，Bx|x22x30，xZx|1x3，xZ0，1， 2， 则 AB1，2， 故选：B 【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键 3 （5 分）设函数，则 f（f（1） ）（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】根据题意，由函数的解析式可得 f（1）0，进而结合函数的解析式计算可得答案 【解答】解：根据题意，则 f（1）log210， 则 f（f（1） ）f（0）4010； 故选：A 【点评】本题
13、考查分段函数的求值，注意分段函数解析式的形式，属于基础题 4 （5 分）若向量 ， 是非零向量，则“| + | |”是“ ， 夹角为”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合向量的运算进行判断即可 【解答】解：| + | | |2+| |2+2| |2+| |220， 向量 ， 是非零向量，0 ， 夹角为 “| + | |”是“ ， 夹角为”的充要条件 故选：C 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量的运算是解决本题的关键 5 （5 分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何
14、体的体积为（ ） A16 B164 C322 D644 【分析】直接利用三视图的图形转换和几何体的体积公式的应用求出结果 【解答】解：根据几何体的三视图： 得到：该几何体是由一个长为 2，宽为 4 高为 2 的长方体，挖去一个半径为 1，高为 4 的圆柱构成， 故：V2， 16 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和 转化能力，属于基础题型 6 （5 分）函数 f（x）的图象大致为（ ） A B C D 【分析】利用函数的导数判断函数的单调性以及函数的值域，判断函数的图象即可 【解答】解：函数 f（x）的定义域为：x0，xR，当 x
15、0 时，函数 f（x），可得 函数的极值点为：x1，当 x（0，1）时，函数是减函数，x1 时，函数是增函数，并且 f（x）0， 选项 B、D 满足题意 当 x0 时，函数 f（x）0，选项 D 不正确，选项 B 正确 故选：B 【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及函数的图象的判断，考查计算能力 7 （5 分）设 XN（1，1） ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形 ABCD 中随机投掷 100000 个点， 则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ） 注：若 XN（，2） ，则 P（X+）0.6826，P（2X+2）0.9544 A60380 B65870 C70280
16、 D75390 【分析】根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，利用几何概型即可计算 【解答】解：XN（1，1） ，且 P（X+）0.6826， 向正方形 ABCD 中随机投掷 1 个点，则点落入阴影部分的概率为 P1P（0X2）10.3413 0.6587 向正方形 ABCD 中随机投掷 100000 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是 1000000.6587 65870 故选：B 【点评】本题考查了正态分布、几何概型，属于中档题 8 （5 分）为了配平化学方程式 aFeS2+bO2cFe2O3+dSO2，某人设计了一个如图所示的程序框图， 则处应分别填入（ ） A B C D
17、【分析】结合元素守恒可得：，结合程序框图即可得解 【解答】解：结合元素守恒可得： 故选：D 【点评】本题主要考查了程序框图的应用，考查了推理论证能力，属于基础题 9 （5 分） 已知双曲线1 （a0， b0） 两条渐近线的夹角为 60， 则该双曲线的离心率为 （ ） A B C或 2 D4 【分析】 先根据双曲线方程求得渐近线的斜率进而根据夹角是 60， 求得的值， 进而根据 c 求得 c，进而离心率可得 【解答】解：双曲线1 的渐近线方程为 yx， 渐近线斜率是，而夹角是 60， 因为两直线关于 x 轴对称， 所以和 x 轴夹角是 30或 60， 即tan30或 tan60， 若，即a2b2
18、， c2a2+b2a2， e2， e（负的舍去） ； 若，b23a2， c2a2+b24a2，e24， 即 e2 所以 e，或 e2 故选：C 【点评】本题主要考查了双曲线的性质，主要是离心率的求法，注意两直线的夹角问题时要注意考虑两 个方面 10 （5 分）若函数 f（x）ex（sinx+a）在区间上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ） A B （1，+） C D1，+） 【分析】 函数 f （x） ex（sinx+a） 在区间上单调递增， ex0， 可得 f （x） ex（sinx+a+cosx） 0， 即 sinx+a+cosx0， 于是 a （sinx+cosx） ， 在区间上恒成
19、立 利 用三角函数的单调性即可得出 【解答】解：f（x）ex（sinx+a+cosx） ， 函数 f（x）ex（sinx+a）在区间上单调递增，ex0， f（x）ex（sinx+a+cosx）0，即 sinx+a+cosx0， a（sinx+cosx），在区间上恒成立 ，可得：x+ ， a1 则实数 a 的取值范围是1，+） 故选：D 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、三角函数的单调性，考查了推理能力与计 算能力，属于难题 11（5 分） 已知球 O 的半径为 4， 矩形 ABCD 的顶点都在球 O 的球面上， 球心 O 到平面 ABCD 的距离为 2， 则此矩形的最大面积
20、为（ ） A12 B18 C24 D30 【分析】推导出 BD4，当 ABAD 时，矩形 ABCD 的面积最大，此时 AB2+AD22AB248，由此 能求出此矩形的最大面积 【解答】解：球 O 的半径为 4，矩形 ABCD 的顶点都在球 O 的球面上， 球心 O 到平面 ABCD 的距离为 2， 2，BD4， 当 ABAD 时，矩形 ABCD 的面积最大， 此时 AB2+AD22AB248， 解得 AB2AD224， 此矩形的最大面积 SAB224 故选：C 【点评】本题考查矩形的最大面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考 查运算求解能力，是中档题 12 （5 分）
21、定义在0，+）上的函数 f（x）满足：当 0 x2 时，f（x）2xx2：当 x2 时，f（x） 3f（x2） 记函数 f（x）的极大值点从小到大依次记为 a1，a2，an，并记相应的极大值为 b1， b2，bn，则 a1b1+a2b2+a20b20的值为（ ） A19320+1 B19319+1 C20319+1 D20320+1 【分析】由二次函数的最值求法，可得 f（x）的最小极大值点和极大值，再讨论 x 的范围，可得其余的 极大值点和极大值，再由数列的错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和 【解答】解：当 0 x2 时，f（x）2xx21（x1）2， 可得 f（x）的极大值
22、点 a11，b11， 当 2x4，即有 0 x22，可得 f（x）3f（x2）31（x3）2， 可得 a23，b23， 当 4x6，即有 0 x42，可得 f（x）9f（x4）91（x5）2， 可得 a35，b39， 即有 a2039，b3319， 则 S20a1b1+a2b2+a20b2011+33+59+39319， 3S2013+39+527+39320， 相减可得2S201+2（3+9+27+319）39320 1+239320， 化简可得 S201+19320， 故选：A 【点评】本题考查函数的极值的求法，以及数列的错位相减法，考查等比数列的求和公式，考查化简运 算能力，属于中档题
23、二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5 分）若实数 x，y 满足则 zx+y 的最大值为 3 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线 zx+y 过点 A（1，2）时， z 最大值即可 【解答】解：先根据实数 x，y 满足画出可行域， 由得 A（1，2） 然后平移直线 0 x+y， 当直线 zx+y 过点 A（1，2）时，z 最大值为 3 故答案为：3 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题 14 （5 分）二项式（+）8的展开式的常数项是 7 【分析】写出二项展
24、开式的通项并整理，由 x 的指数为 0 求得 r 值，则答案可求 【解答】解：由 令0，得 r2 二项式（+）8的展开式的常数项是 故答案为：7 【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题 15 （5 分）已知 aR，命题 p：x1，2，x2a0，命题 q：xR，x2+2ax+2a0，若命题 pq 为真 命题，则实数 a 的取值范围是 a2，或 a1 【分析】若命题“pq”是真命题，则命题 p，q 均为真命题，进而可得答案 【解答】解：若命题 p： “x1，2，x2a0”为真； 则 1a0， 解得：a1， 若命题 q： “xR，x2+2ax+2a0”为真， 则4a
25、24（2a）0， 解得：a2，或 a1， 若命题“pq”是真命题，则 a2，或 a1， 故答案为：a2，或 a1 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，函数恒成立问题，方程根的存在性及 个数问题，难度中档 16 （5 分）已知点 A（0，1） ，抛物线 C：y2ax（a0）的焦点为 F，连接 FA，与抛物线 C 相交于点 M， 延长 FA，与抛物线 C 的准线相交于点 N，若|MN|2|FM|，则实数 a 的值为 【分析】由题意可得直线 AF 的方程为 y1x，设 M（x1，y1） ，N（，y2） ，利用|MN|2|FM|， 可得 x1，y1将 M（x1，y1）代入抛物线的
26、方程可得答案 【解答】解：抛物线 C：y2ax（a0）的焦点为 F（，0） ，准线方程为 x，点 A（0，1） ， 可得直线 AF 的方程为 y1x， 设 M（x1，y1） ，N（，y2） ， 由点 N 在直线 AF 上， 可得 y21（）2 由|MN|2|FM|，即|FM|：|MN|1：2， 可得，y1， 代入直线的方程可得 x1， 将 M（x1，y1）代入抛物线的方程可得a， 所以 a； 故答案为：a 【点评】本题考查直线与抛物线的关系，抛物线的性质，属于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小題，共小題，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字
27、说明、证明过程或演算步骤. 17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知（sinA+sinB） （ab）（sinCsinB） c （1）求 A； （2）已知 a2，ABC 的面积为的周长 【分析】 （1）由已知结合正弦定理可得，b2+c2a2bc，然后结合余弦定理可求 cosA，进而可求 A （2）由（1）及三角形的面积公式可求 bc，进而可求 b+c，即可求解 【解答】解： （1）（sinA+sinB） （ab）（sinCsinB）c， 由正弦定理可得， （a+b） （ab）（cb）c， 化简可得，b2+c2a2bc， 由余弦定理可得，cosA， 0A，
28、， （2）b2+c2a2bc，a2， （b+c）243bc， S， bc2， 则 b+c， ABC 的周长为 2+ 【点评】本题综合考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式等知识的综合应用，属于中档试题 18 （12 分）已知三棱柱 ABCA1B1C1中，ABACAA12，侧面 ABB1A1底面 ABC，D 是 BC 的中点， B1BA60，B1DAB （）求证：ACAB； （）求二面角 C1ADB 的余弦值 【分析】 （）取 AB 中点 O，连结 OD、B1O，推导出 B1OAB，B1DAB，从而 AB平面 B1OD，AB OD，由此能证明 ODAC，ACAB （）以 O 为坐标原点，分别
29、为 OB，OD，OB1为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，由此能证明二面 角 C1ADB 的余弦值 【解答】解： （）证明：取 AB 中点 O，连结 OD、B1O， 在AB1B 中，ABB1B，B1BA60， AB1B 等边三角形，B1OAB， B1DAB，B1O 与 B1D 相交于 B1， AB平面 B1OD， ABOD， ODAC，ACAB （）解：以 O 为坐标原点，分别为 OB，OD，OB1为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 令 ABACAA12， 则 C（1，2，0） ，A（1，0，0） ，D（0，1，0） ，B（1，0，0） ，B1（0，0，） ， （1，0，） ，（0，
30、2，0） ， （1，2，） ，（1，1，0） ， 设平面 ADC1的法向量 （x，y，z） ， 则，令 x1，得 （1，1，） ， 平面 ADB 的法向量 （0，0，1） ， cos， 由图得二面角 C1ADB 的平面角为钝角， 二面角 C1ADB 的余弦值为 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位 置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 （12 分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了 100 位居民作为样本，就最近 一年来网购消费金额（单位：千元） ，网购次数和支付方式等进行了问卷调査经统计这 100 位居
31、民的网 购消费金额均在区间0，30内，按0，5， （5，10， （10，15， （15，20， （20，25， （25，30分成 6 组，其频率分布直方图如图所示 （1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数； （2）将网购消费金额在 20 千元以上者称为“网购迷” ，补全下面的 22 列联表，并判断有多大把握认 为“网购迷与性别有关系” ； 男 女 合计 网购迷 20 非网购迷 45 合计 100 （3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响统计 最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如表所示： 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次
32、数 微信支付次数 甲 80 40 16 24 乙 90 60 18 12 将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购 2 次，记两人采用支付宝支付的次数之和为 ，求 的数学期望 附：观测值公式： 临界值表： P（K2k0） 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】 （1）根据中位数在中间位置，即该数前的数出现频率为 0.5，结合频率分布直方图估计即可； （2）根据题意，补充完整列联表，根据表中数据，计算出 K2的值，查临界值表判断即可； （3）根据统计数据，甲使用支付宝的概率为
33、，乙使用支付宝的概率为，甲、乙两人在下 周内各自网购 2 次，两人采用支付宝支付的次数之和为 所有可能的取值为 0，1，2，3，4，分别计算 出各个取值对应的概率，即可得到随机变量 的分布列，求出期望即可 【解答】解： （1）依题意，因为 0.015+0.025+0.0450.350.5， 而 0.015+0.025+0.045+0.0650.650.5，所以中位数位于15，20）之间，所以中位数为 15+ 17.5 （2） 依题意， 消费金额在 20 千元以上的频率为： 0.045+0.0350.35， 所以网购迷” 人数为 1000.35 35 人，非网购迷的人数为 1003565 人 所
34、以补全的列联表如下： 男 女 合计 网购迷 15 20 35 非网购迷 45 20 65 合计 60 40 100 所以6.593 所以有 97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系” ； （3）根据统计数据，甲使用支付宝的概率为，乙使用支付宝的概率为，甲、乙两人在下 周内各自网购 2 次，两人采用支付宝支付的次数之和 所有可能的取值为 0，1，2，3，4， P（0），P（1）+ P（2）+， P （3） +， P （4） 所以随机变量 的分布列为： 0 1 2 3 4 P 所以 的数学期望 E（）+2+3+4 【点评】本题考查了频率分布直方图的识别和应用，独立性经验，离散型随机变量的概率分布列
35、主要 考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题 20 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为长为半 径的圆与直线 xy+0 相切，过点 P（4，0）的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若原点 O 在以线段 AB 为直径的圆内，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 【分析】 （1）由离心率公式和直线与圆相切的条件，列出方程组求出 a、b 的值，代入椭圆方程即可； （2） 联立直线与椭圆方程， 由此利用根的判别式、 韦达定理、 向量的数量积， 即可直线斜率的取值范围 【解答】解（1）由，得，可得， 又 b，b2
36、3，a24 故椭圆的方程为； （2）由题意知直线 l 方程为 yk（x4） 联立，得（4k2+3）x232k2x+64k2120 由（32k2）24（4k2+3） （64k212）0，得 k2 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则， +16k2 原点 O 在以线段 AB 为直径的圆内， 0， 由，解得k 当原点 O 在以线段 AB 为直径的圆内时，直线 l 的斜率 k（） 【点评】本题考查椭圆方程，考查向量的运算，解题时注意根的判别式、韦达定理、数量积的合理运用， 属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）x2alnx1， （aR） （1）若函数 f（x）有且只有一个零点，求
37、实数 a 的取值范围； （2）若函数 g（x）ex+x2exf（x）10 对 x1，+）恒成立，求实数 a 的取值范围 （e 是自 然对数的底数，e2.71828） 【分析】 （1）推导出由此根据 a0，a0 分类讨论，利用导数的性质能求出 a 的取值范围 （2）推导出，x1，+） 由此利用 a0、a0 分类讨论经，利用导数的性质能求 出 a 的取值范围 【解答】解： （1）f（x）x2alnx1， （aR） ， 当 a0 时，f（x）0 恒成立，f（x）单调递增， f（1）0，f（x）有唯一零点，即 a0 符合题意； 当 a0 时，令 f（x）0，解得 x，列表如下： x （0，） （，+）
38、 f（x） 0 + f（x） 最小值 由表可知，函数 f（x）在（0，）上递减，在（，+）上递增 （i）当1，即 a2 时，f（x）minf（1）0，a2 符合题意； （ii）当1，即 0a2 时，f（）f（1）0， f（）+110，1， 故存在 x1（，） ，使得 f（x1）f（1）0，0a2 不符题意； （iii）当1，即 a2 时，f（）f（1）0， f（a1）（a1）2aln（a1）1a（a2ln（a1） ） ， 设 a1t1，a2ln（a1）t1lntt1lnth（t） ，则0， h（t）单调递增，即 h（t）h（1）0，f（a1）0，a1， 故存在 x2（，a1） ，使得 f（x2
39、）f（1）0，a2 不符题意； 综上，a 的取值范围为（，02 （2）g（x）alnx+exex，则 g（x），x1，+） 当 a0 时，g（x）0 恒成立，g（x）单调递增，g（x）g（1）0， 即 a0 符合题意； 当 a0 时，g（x）0 恒成立，g（x）单调递增， 又g（1）a0，g（ln（ea） ）0， 存在 x0（1，ln（ea） ） ，使得 g（x0）0，且当 x（1，x0）时，g（x）0， 即 g（x）在（1，x0）上单调递减，g（x0）g（1）0，即 a0 不符题意 综上，a 的取值范围为0，+） 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查导数性质、分类讨论思想、函数的单调性
40、、最值等基础 知识，考查运算求解能力，是中档题 选考題：共选考題：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分，作答时请写题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分，作答时请写 清题号清题号.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为， （t 为参数） ，在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C1：2cos， （）求 C1与 C2交点的直角坐标； （）若直线 l 与曲线 C1，C2分别相交于异于原点的点 M，N，求|MN|的最大值 【分
41、析】 （）由两曲线的极坐标方程结合极坐标与直角坐标的互化公式可得 C1与 C2交点的直角坐标方 程，联立求解即可； （）不妨设 0，点 M，N 的极坐标分别为（1，） ， （2，） ，作差后取绝对值，再由三角函数 求最值 【解答】解： （）由 2cos，得 22cos， 则曲线 C1的直角坐标方程为 x2+y22x， 由，得， 则曲线 C2的直角坐标方程为 由，解得或， 故 C1与 C2交点的直角坐标为（0，0） ，； （）不妨设 0，点 M，N 的极坐标分别为（1，） ， （2，） 当时，|MN|取得最大值 2 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查计算能力，是中档题 选修选修 4-5：
42、不等式选讲：不等式选讲 23已知关于 x 的函数 f（x）|x+1|+|xm| （1）若 f（x）3 对所有的 xR 恒成立，求实数 m 的取值范围； （2）若关于 x 的不等式 f（m）2mx2x 的解集非空，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）利用绝对值不等式求得 f（x）的最小值，然后将不等式恒成立转化为最小值成立； （2） ）f（m）2mx2x 的解集非空，|m+1|2m（x2x）min， 【解答】解： （1）f（x）|x+1|+|xm|m+1|3，m+13 或 m+13， m2 或 m4， 故 m 的取值范围为（，42，+） （2）f（m）2mx2x 的解集非空，|m+1|2m（x2x）min， |m+1|2m， 当 m时，2m0|m+1|2m恒成立，即 m， 当 m时，2m0，m+10，m+12m，解得， 由得，实数 m 的取值范围是（， 【点评】本题考查了函数恒成立问题，属中档题
