1、2019-2020 学年四川省成都市学年四川省成都市郫都区郫都区高三（上）高三（上）10 月月考数学试卷（文科）月月考数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. 1 （5 分）已知集合 A5，4，3，2，1，0，1，2，B1，2，3，4，则如图中阴影部分所 表示的集合为（ ） A5，4，3，2，1，0，1，2，3，4 B1，2 C5，4，3，2，1，0 D5，4，3，2，1，0，1，2 2 （5 分）已知复数
2、 z14+29i，z26+9i，其中 i 为虚数单位，若 z（z2z1）i，则 z 的共轭复数 的虚部 是（ ） A2i B2 C2i D2 3（5分） 在3， 5和2， 4两个集合中各取一个数组成一个两位数， 则这个两位数能被5整除的概率是 （ ） A B C D 4 （5 分）一个频数分布表（样本容量为 30）不小心被损块了一部分，只记得样本中数据在20，60）上的 频率为 0.8，则估计样本40，60）内的数据个数为（ ） 分组 10，20） 20，30） 30，40） 频数 3 4 5 A14 B15 C16 D17 5 （5 分）函数 f（x）|x2|lnx 在定义域内零点的个数为（
3、 ） A0 B1 C2 D3 6 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S550，S10200，则 a10+a11的值为（ ） A20 B40 C60 D80 7 （5 分）已知函数 f（x）alnx+bx2的图象在点 P（1，1）处的切线与直线 xy+10 垂直，则 a 的值为 （ ） A1 B1 C3 D3 8 （5 分）已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 ， 内则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9 （5 分）已知命题 p：若 xy，则x+y0；命题 q：若，则 xy
4、在命题pq；pq；p （q） ；（p）q 中，真命题的是（ ） A B C D 10 （5 分）某简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（ ） A B C D 11 （5 分）与圆 C1：x2+y26x+4y+120，C2：x2+y214x2y+140 都相切的直线有（ ） A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 12 （5 分）已知函数，其中 e 是自然对数的底数则关于 x 的不等式 f（2x1）+f（x1） 0 的解集为（ ） A B （2，+） C D （，2） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）若
5、，则 tan 14（5 分） 如图， 在ABC 中， O 为 BC 中点， 若 AB1， AC3， 则 15 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 a1+a3+a521，a2+a4+a642，则 S9 16 （5 分）在三棱锥 PABC 中，PB6，AC3，G 为PAC 的重心，过点 G 作三棱锥的一个截面，使 截面平行于直线 PB 和 AC，则截面的周长为 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，
6、对居民用水情况进行了调查， 通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨） ，将数据按照0，0.5） ，0.5，1） ， 4，4.5分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图 （1）求直方图中 a 的值； （2）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，说明理由； （3）估计居民月均用水量的中位数 18 （12 分）已知函数 （1）求函数 f（x）的最小正周期，以及 f（x）单调递增区间； （2）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bc8，b，a，c 成等差数列；若函数 f（x） 的图象经过点，求 a 的值 19 （12
7、 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，ABAD，BCBD，平面 ABD平面 BCD，点 E、F（E 与 A、 D 不重合）分别在棱 AD，BD 上，且 EFAD求证： （1）EF平面 ABC； （2）ADAC 20（12 分） 已知椭圆的右焦点为， 长半轴长与短半轴长的比值为 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设经过点 A（1，0）的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N若点 B（0，1）在以线段 MN 为 直径的圆上，求直线 l 的方程 21 （12 分）已知函数，其中 e 是自然对数的底数 （1）当 a0 时，求函数 f（x）的极值； （2）若x1，+） ，不等式 f（x）1 恒
8、成立，求实数 a 的取值范围 22 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为（x3）2+（y4）225以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）直线，直线，若 l1，l2与曲线 C 分别交于异于极点的 A，B 两点，求AOB 的面积 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. 1 （5 分）已知集合 A5，4，3，2，1
9、，0，1，2，B1，2，3，4，则如图中阴影部分所 表示的集合为（ ） A5，4，3，2，1，0，1，2，3，4 B1，2 C5，4，3，2，1，0 D5，4，3，2，1，0，1，2 【分析】阴影部分表示的是集合 A 中除去集合 B 中的元素，由此得解 【解答】解：阴影部分表示的是集合 A 中除去集合 B 中的元素，由集合 A5，4，3，2，1， 0，1，2，B1，2，3，4，可得所求为5，4，3，2，1，0 故选：C 【点评】本题考查集合的运算，考查 Venn 图的运用，属于基础题 2 （5 分）已知复数 z14+29i，z26+9i，其中 i 为虚数单位，若 z（z2z1）i，则 z 的共
10、轭复数 的虚部 是（ ） A2i B2 C2i D2 【分析】由已知求得 z2z1，再由复数代数形式的乘除运算求得 z，进一步求出 得答案 【解答】解：z14+29i，z26+9i， z2z1（6+9i）（4+29i）220i， 则 z（z2z1）i（220i）i20+2i， z 的共轭复数 的虚部是2 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3（5分） 在3， 5和2， 4两个集合中各取一个数组成一个两位数， 则这个两位数能被5整除的概率是 （ ） A B C D 【分析】数出组成的所有两位数的个数，即能被 5 整除的两位数的个数，即可得到这个两位数能
11、被 5 整 除的概率 【解答】解：依题意，在3，5和2，4两个集合中各取一个数组成一个两位数共有 228 个， 在3，5和2，4两个集合中各取一个数组成一个两位数，能被 5 整除的有 122 个， 这个两位数能被 5 整除的概率 P， 故选：C 【点评】本题考查了古典概型的概率，考查计数原理和排列组合，主要考查计算能力，属于基础题 4 （5 分）一个频数分布表（样本容量为 30）不小心被损块了一部分，只记得样本中数据在20，60）上的 频率为 0.8，则估计样本40，60）内的数据个数为（ ） 分组 10，20） 20，30） 30，40） 频数 3 4 5 A14 B15 C16 D17 【
12、分析】由样本中数据在20，60）上的频率为 0.8，求出样本中数据在20，60）上的频数为 24，由此能 估计样本在40，60）内的数据个数 【解答】解：一个频率分布表（样本容量为 30）不小心被损坏了一部分， 只记得样本中数据在20，60）上的频率为 0.8， 样本中数据在20，60）上的频数为：300.824， 估计样本在40，60）内的数据个数为：244515 故选：B 【点评】本题考查频数的求法，涉及到频率分布表等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考 查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题 5 （5 分）函数 f（x）|x2|lnx 在定义域内零点的个数为（ ） A0 B1
13、 C2 D3 【分析】先求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数 y1|x2|，y2 lnx（x0）的图象求出方程的根的个数，即为函数零点的个数 【解答】解：由题意，函数 f（x）的定义域为（0，+） ； 由函数零点的定义，f（x）在（0，+）内的零点即是方程|x2|lnx0 的根 令 y1|x2|，y2lnx（x0） ，在一个坐标系中画出两个函数的图象： 由图得，两个函数图象有两个交点， 故方程有两个根，即对应函数有两个零点 故选：C 【点评】本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系，通过转化和作图求出函数零点的 个数 6 （5 分）已知等差数列an的前
14、 n 项和为 Sn，且 S550，S10200，则 a10+a11的值为（ ） A20 B40 C60 D80 【分析】利用等差数列an的前 n 项和公式列方程求出 a12，d4，由此能求出 a10+a11 【解答】解：等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S550，S10200， ， 解得 a12，d4， a10+a112a1+19d80 故选：D 【点评】本题考查等差数列的两项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是 基础题 7 （5 分）已知函数 f（x）alnx+bx2的图象在点 P（1，1）处的切线与直线 xy+10 垂直，则 a 的值为 （ ） A1 B1 C
15、3 D3 【分析】求得 f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得 a，b 的方程，解方程可得所 求值 【解答】解：函数 f（x）alnx+bx2的导数为 f（x）+2bx， 在点 P（1，1）处的切线斜率为 a+2b， 切线与直线 xy+10 垂直，可得 a+2b1， 且 aln1+b1，解得 b1，a3， 故选：C 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查两直线垂直的条件，方程思想和运算能力，属于基 础题 8 （5 分）已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 ， 内则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充
16、要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】直线 a，b 分别在两个不同的平面 ， 内，则“直线 a 和直线 b 相交”“平面 和平面 相 交” ，反之不成立 【解答】解：直线 a，b 分别在两个不同的平面 ， 内，则“直线 a 和直线 b 相交”“平面 和平面 相交” ， 反之不成立 “直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题 9 （5 分）已知命题 p：若 xy，则x+y0；命题 q：若，则 xy在命题pq；pq；p （q） ；（p）q 中，真命题的是（ ） A B C D 【
17、分析】直接利用真值表的应用求出结果 【解答】解：命题 p：若 xy，则x+y0；为真命题命题 q：若，则 xy为假命题 所以pq 为假命题，pq 为真命题，p（q）为真命题；（p）q 为假命题 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：真值表的应用，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题型 10 （5 分）某简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（ ） A B C D 【分析】几何体是一个简单的空间组合体，前面是半个圆锥，圆锥的底面是半径为 2 的圆，母线长是 6， 后面是一个三棱锥，三棱锥的底边长是 4、高为 2 的等腰三角形，三棱锥的高是 2 ，求出两个几何体 的体积，求和得到结
18、果 【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单的空间组合体， 前面是半个圆锥，圆锥的底面是半径为 2 的圆，母线长是 4， 根据勾股定理知圆锥的高是2， 半个圆锥的体积是222， 后面是一个三棱锥，三棱锥的底是边长为 4、高为 2 的等腰三角形，三棱锥的高是 2， 三棱锥的体积是 422， 几何体的体积是： 故选：B 【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体直观图，考查锥体的体积公式， 本题是中档题 11 （5 分）与圆 C1：x2+y26x+4y+120，C2：x2+y214x2y+140 都相切的直线有（ ） A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 【分析】先求出两圆的
19、圆心和半径，判断两个圆的位置关系，从而确定与它们都相切的直线条数 【解答】解：圆 C1：x2+y26x+4y+120，C2：x2+y214x2y+140 的方程可化为， ； 圆 C1，C2的圆心分别为（3，2） ， （7，1） ；半径为 r11，r26 两圆的圆心距r2r1； 两个圆内切， 它们只有 1 条公切线 故选：A 【点评】本题主要考查圆与圆位置关系，直线与圆的位置关系的判断，属于基础题 12 （5 分）已知函数，其中 e 是自然对数的底数则关于 x 的不等式 f（2x1）+f（x1） 0 的解集为（ ） A B （2，+） C D （，2） 【分析】先判断函数的单调性和奇偶性，再根据
20、函数的单调性和奇偶性解不等式，求得 x 的范围 【解答】解：函数exe x 满足 f（x）f（x） ， 故 f（x）为奇函数 且是单调递增函数， 关于 x 的不等式 f（2x1）+f（x1）0， 即关于 x 的不等式为 f（2x1）f（x+1） ， 2x1x+1，求得 x2， 故选：B 【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于基础题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）若，则 tan 【分析】由及正切的差角公式计算即可 【解答】解： 故答案为： 【点评】本题主要考查正切的差角公式，考查配角思想，属于
21、基础题 14（5 分） 如图， 在ABC 中， O 为 BC 中点， 若 AB1， AC3， 则 【分析】利用向量的中点坐标公式即可得出，两边再作数量积即可得出 【 解 答 】 解 ： 由 题 意 可 得， | | 故答案为 【点评】熟练掌握向量的中点坐标公式即可得出及数量积运算是解题的关键 15 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 a1+a3+a521，a2+a4+a642，则 S9 511 【分析】由等比数列an的前 n 项和求出 21q42，解得 a11，q2，由此能求出 S9 【解答】解：等比数列an的前 n 项和为 Sn， a1+a3+a521，a2+a4+a642，
22、21q42， 解得 a11，q2， S9511 故答案为：511 【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 16 （5 分）在三棱锥 PABC 中，PB6，AC3，G 为PAC 的重心，过点 G 作三棱锥的一个截面，使 截面平行于直线 PB 和 AC，则截面的周长为 8 【分析】如图所示，过 G 作 EFAC，分别交 PA，PC 于点 E，F过点 F 作 FMPB 交 BC 于点 M，过 点 E 作 ENPB 交 AB 于点 N由作图可知：四点 EFMN 共面可得，EFMN2同理 可得：ENFM2 【解答】解：如图所示，过点 G 作
23、EFAC，分别交 PA，PC 于点 E，F 过点 F 作 FMPB 交 BC 于点 M，过点 E 作 ENPB 交 AB 于点 N 由作图可知：ENFM，四点 EFMN 共面 可得 MNACEF，ENPBFM ， 可得 EFMN2 同理可得：ENFM2 截面的周长为 8 故答案为：8 【点评】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，考查 了推理能力用途计算能力，属于中档题 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）我国是世界上严重
24、缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查， 通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨） ，将数据按照0，0.5） ，0.5，1） ， 4，4.5分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图 （1）求直方图中 a 的值； （2）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，说明理由； （3）估计居民月均用水量的中位数 【分析】 （1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为 1，能求出 a （2）先求出 100 位居民月均用水量不低于 3 吨的频率，由此能估计 30 万居民中月均用水量不低于 3 吨 的人数 （3）设中位数为 x 吨
25、，利用频率分布直方图列出方程，能估计居民月均用水量的中位数 【解答】解： （1）由频率分布直方图可知，月均用水量在0，0.5）的频率为 0.080.50.04 同理，在0.5，1） ， （1，5，2，2，2.5） ，3，3.5） ，3.5，4） ，4，4.5等组的频率分别为 0.08，0.21， 0.25，0.06，0.04，0.02 由 1（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）0.5a+0.5a， 解得 a0.30 （2）由（1）知，100 位居民月均用水量不低于 3 吨的频率为：0.06+0.04+0.020.12 由以上样本的频率分布， 可以估计 30
26、万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为：3000000.1236000 （3）设中位数为 x 吨 前 5 组的频率之和为： 0.04+0.08+0.15+0.21+0.250.730.5， 而前 4 组的频率之和为：0.04+0.08+0.15+0.210.480.5， 2x2.5 由 0.50（x2）0.50.48，解得 x2.04 故可估计居民月均用水量的中位数为 2.04 吨 【点评】本题考查实数值的求法，考查频数、中位数的估计，考查频率分布直方图等基础知识，考查数 据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题 18 （12 分）已知函数 （1）求函数 f（x）的最小正周期，以
27、及 f（x）单调递增区间； （2）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bc8，b，a，c 成等差数列；若函数 f（x） 的图象经过点，求 a 的值 【分析】 （1）通过二倍角的三角函数化简函数的解析式，求出函数的周期利用正弦函数的单调区间转化 求解函数的单调区间即可 （2）求出 A，通过 bc8，b，a，c 成等差数列；结合余弦定理，求解 a 即可 【解答】解： （1） ， 所以函数 f（x）的最小正周期， 由，得，其中 kZ 所以 f（x）单调递增区间 （2）由函数 f（x）的图象经过点，即， 得或，kZ， 又 0A，所以 由余弦定理，得， 代入，得，即 a218，
28、从而 【点评】本题考查三角形的解法，两角和与差的三角函数以及等差数列的通项公式的应用，考查转化思 想以及计算能力，是中档题 19 （12 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，ABAD，BCBD，平面 ABD平面 BCD，点 E、F（E 与 A、 D 不重合）分别在棱 AD，BD 上，且 EFAD求证： （1）EF平面 ABC； （2）ADAC 【分析】 （1）利用 ABEF 及线面平行判定定理可得结论； （2）通过取线段 CD 上点 G，连结 FG、EG 使得 FGBC，则 EGAC，利用线面垂直的性质定理可知 FGAD，结合线面垂直的判定定理可知 AD平面 EFG，从而可得结论 【解答】证明：
29、 （1）ABAD，EFAD，且 A、B、E、F 四点共面， ABEF，又EF平面 ABC，AB平面 ABC， EF平面 ABC； （2）在线段 CD 上取点 G，连结 FG、EG 使得 FGBC，则 EGAC， BCBD，FGBC，FGBD， 又平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，FG平面 BCD， FG平面 ABD，AD平面 ABD，FGAD， ADEF，且 EFFGF， AD平面 EFG，EG平面 EFG，ADEG， EGAC，ADAC 【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定 定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方
30、法的积累，属于中档题 20（12 分） 已知椭圆的右焦点为， 长半轴长与短半轴长的比值为 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设经过点 A（1，0）的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N若点 B（0，1）在以线段 MN 为 直径的圆上，求直线 l 的方程 【分析】 （1）利用已知条件列出方程，求出 a，b，即可得到椭圆方程 （2）设出直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理，结合点 B（0，1）在以线段 MN 为直径的圆上，转化 求解即可 【解答】解： （1）由题可知，a2b2+c2，a2，b1椭圆 C 的方程为 （2）易知当直线 l 的斜率为 0 或直线 l 的斜率不存在时，不合题意
31、当直线 l 的斜率存在且不为 0 时，设直线 l 的方程为 xmy+1，M（x1，y1） ，N（x2，y2） 联立，消去 x，可得（4+m2）y2+2my30 16m2+480， 点 B 在以 MN 为直径的圆上， （m2+1）y1y2+（m1） （y1+y2）+20， ， 整理，得 3m22m50， 解得 m1 或 直线 l 的方程为 x+y10 或 3x5y30 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题 21 （12 分）已知函数，其中 e 是自然对数的底数 （1）当 a0 时，求函数 f（x）的极值； （2）若x1，+） ，不等式 f（x）1 恒
32、成立，求实数 a 的取值范围 【 分 析 】（ 1 ） 当a 0时 ， 定 义 域 为 （ ， + ）， 求 导 得 ，方程 f（x）0 的根为 x0 或 x2，列表，即可分析 出 f（x）极值 （2）从问题入手分析，由条件知，2ax2ex对x1 恒成 立令 g（x）x2ex，求出 g（x）单调性，分析出 g（x）最大值，使得 2ag（x）max，即可 【解答】解： （1）当 a0 时，定义域为（，+） ； 求导得：， 方程 f（x）0 的根为 x0 或 x2， 列表得： x x0 x0 0 x2 x2 x2 f（x） + 0 0 + f（x） 极大值 极小值 由上表可以 f（x）极大值f（0
33、）0， （2）， 由条件知，2ax2ex对x1 恒成立， 令 g（x）x2ex， h（x）g（x）2xex， h（x）2ex 当 x1，+）时，h（x）2ex2e0， h（x）g（x）2xex在1，+）上单调递减， h（x）2xex2e0， 即 g（x）0， g（x）x2ex在1，+）上单调递减， g（x）x2exg（1）1e， 则若 f（x）1 在1，+）上恒成立， 则需 2ag（x）max1e， 即实数 a 的取值范围是 【点评】本题考查导数的综合应用，恒成立问题，属于中档题 22 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为（x3）2+（y4）225以坐标原点 O 为极点，x
34、 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）直线，直线，若 l1，l2与曲线 C 分别交于异于极点的 A，B 两点，求AOB 的面积 【分析】 （1）直接利用转换关系把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用极径和三角形面积公式的应用求出结果 【解答】解： （1）曲线 C 的普通方程为（x3）2+（y4）225， 即 x2+y26x8y0 曲线 C 的极坐标方程为 6cos+8sin （2）设， 把代入 6cos+8sin， 得， 把代入 6cos+8sin， 得， 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形 面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型
