1、 第 1 页（共 24 页） 2021 年江苏省无锡市八校联盟高考数学第三次适应性试卷年江苏省无锡市八校联盟高考数学第三次适应性试卷 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）若角 的终边经过点 P（3，a） （a0） ，则（ ） Asin0 Bsin0 Ccos0 Dcos0 2 （5 分）设函数 y= 4 2的定义域为 A，函数 yln（x1）的定义域为 B，则 AB （ ） A （1，2） B （1，2 C
2、 （2，1） D2，1） 3 （5 分）设实数 x 满足 x0，函数 y2+3x+ 4 +1的最小值为（ ） A43 1 B43 +2 C42 +1 D6 4 （5 分）有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示为了 保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为 0.7m，若行车道总宽度为 7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为（ ） A3.3m B3.5m C3.8m D4.5m 5 （5 分）函数 f（x）= + +2在，的图象大致为（ ） A B 第 2 页（共 24 页） C D 6 （5 分）若函数 f（x）同时满足：定义域内存在
3、实数 x，使得 f（x） f（x）0；对 于定义域内任意 x1，x2，当 x1x2时，恒有（x1x2） f（x1）f（x2）0；则称函数 f（x）为“DM 函数” 下列函数中是“DM 函数”的为（ ） Af（x）x3 Bf（x）sinx Cf（x）ex 1 Df（x）lnx 7（5分） 已知等差数列an的公差为2， 前n项和为Sn， 且S1， S2， S4成等比数列 令= 1 +2， 数列bn的前 n 项和为 Tn，若对于nN*，不等式 Tn 恒成立，则实数 的取值范围 是（ ） A 1 3 B 1 5 C 1 5 D0 8 （5 分）若椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)上的点(2， 5
4、 3)到右准线的距离为 5 2，过点 M（0， 1）的直线 l 与 C 交于两点 A，B，且 = 2 3 ，则 l 的斜率为（ ） A1 3 B 1 3 C 1 2 D1 9 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求的全部选对的得有多项符合题目要求的全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9 （5 分） 如图， 已知 ABCDA1B1C1D1为正方体， E， F 分别是 BC， A1C 的中点，
5、则 （ ） A1 (11 1 ) = 0 第 3 页（共 24 页） B(11 + 1 + 1 )2= 62 C向量1 与向量1 的夹角是 60 D异面直线 EF 与 DD1所成的角为 45 10 （5 分）我们把离心率为5;1 2 的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为5:1 2 的双 曲线称为黄金双曲线，则（ ） A曲线 2 3 2 5:1 = 1是黄金双曲线 B如果双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)是黄金双曲线，那么 b2ac（c 为半焦距） C如果双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)是黄金双曲线，那么右焦点 F2到一条渐近线 的距离等于焦距的四分之一 D 过双曲线： 2 2
6、 2 2 = 1(0，0)的右焦点 F2且垂直于实轴的直线 l交 C于 M、 N 两点，O 为坐标原点，若MON90，则双曲线 C 是黄金双曲线 11 （5 分）已知（2+x） （12x）5a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则（ ） Aa0的值为 2 Ba5的值为 16 Ca1+a2+a3+a4+a5+a6的值为5 Da1+a3+a5的值为 120 12 （5 分）对于定义在 R 上的函数 f（x） ，若存在正实数 a、b，使得 f（x+a）f（x）+b 对一切 xR 均成立，则称 f（x）是“控制增长函数” 在以下四个函数中是“控制增长 函数”的有（ ） Af（
7、x）ex B() = | Cf（x）sin（x2） Df（x）xsinx 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前 287前 212） ，是古希腊伟大的物理 学家、数学家、天文学第 13 题家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦 与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成 的三角形面积的三分之二这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿 第 4 页（共 24 页） 基米德三角形 在平面直角坐标系心中， 已知直线 l： y4 与
8、抛物线 C： = 1 4 2交于 A， B 两点，则弦与拋物线 C 所围成的封闭图形的面积为 14 （5 分）地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准震 级（M）是用据震中 100 千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示 的里氏震级的计算公式为 MlgAlgA0，其中 A 是被测地震的最大振幅，A0是“标准 地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差） 根 据该公式可知，7.5 级地震的最大振幅是 6 级地震的最大振幅的 倍（精确到 1） 15 （5 分）将正奇数按如图所示的规律排列： 则 2021 在第 行，从左向右第
9、个数 16 （5 分）若不等式（ax2+bx+1）ex1 对一切 xR 恒成立，其中 a，bR，e 为自然对数 的底数，则 a+b 的取值范围是 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分 17 （10 分）在3csinAacosC，( + 4) = 2 + 3，a 2+b2c2+3ab 这三个条 件中选一个，补充在下面问题中，并加以解答 已知ABC 中的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 S，若 c4，B105， _，求 a 和 S 18 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 an+Sn1，bn= 2 +1 ，nN* （1）求数列
10、an，bn的通项公式； （2）设 cn= 2+1(+2) +1 ，数列cn的前 n 项和为 Tn，求证： 3 16 1 4 19 （12 分）2019 年 4 月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“3+1+2”高考新模 式为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三 年级 800 名学生的选科情况，部分数据如表： 性别 科目 男生 女生 合计 第 5 页（共 24 页） 物理 300 历史 150 合计 400 800 （1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有 99.9%的把握认为该校学生选择物理或 历史与性别有关； （2）该校为了提高选择历史科目学生的数
11、学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中 抽取 5 人，组成数学学习小组一段时间后，从该小组中抽取 3 人汇报数学学习心得记 3 人中男生人数为 X，求 X 的分布列和数学期望 E（X） 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+) P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 20 （12 分）如图，在正六边形 ABCDEF 中，将ABF 沿直线 BF 翻折至ABF，使得平 面 ABF平面 BCDEF，O，H 分别为 BF 和 AC 的中点 （1）证明：OH平面 AEF； （2）求平面 ABC 与平面 ADE 所成锐二面角的余弦值 21 （12
12、分）对于定义在 D 上的函数 f（x） ，如果存在实数 x0，使得 f（x0）x0，那么称 x0 是函数 f（x）的一个不动点已知 f（x）ax2+1 （1）当 a2 时，求 f（x）的不动点； （2）若函数 f（x）有两个不动点 x1，x2，且 x12x2 求实数 a 的取值范围； 设 g（x）logaf（x）x，求证：g（x）在（a，+）上至少有两个不动点 22 （12 分）已知 O 为坐标原点，椭圆： 2 4 + 2= 1，点 D，M，N 为 C 上的动点，O， M，N 三点共线，直线 DM，DN 的斜率分别为 k1，k2（k1k20） 第 6 页（共 24 页） （1）证明：12= 1
13、 4； （2）当直线 DM 过点（1，0）时，求 1 | + 19 21:22 的最小值； （3）若 k1+k20，证明：|OD2|+|OM|2为定值 第 7 页（共 24 页） 2021 年江苏省无锡市八校联盟高考数学第三次适应性试卷年江苏省无锡市八校联盟高考数学第三次适应性试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）若角 的终边经过点 P（3，a） （a0） ，则（
14、） Asin0 Bsin0 Ccos0 Dcos0 【解答】解：角 的终边经过点 P（3，a） （a0） ， 由三角函数的定义可知： sin= 32+2符号不确定，故 A，B 圴错误； cos= 3 32+2 0，故 C 正确，D 错误 故选：C 2 （5 分）设函数 y= 4 2的定义域为 A，函数 yln（x1）的定义域为 B，则 AB （ ） A （1，2） B （1，2 C （2，1） D2，1） 【解答】解：函数 y= 4 2的定义域为 A，函数 yln（x1）的定义域为 B， Ax|4x20 x|2x2， Bx|x10 x|x1 ABx|1x2（1，2 故选：B 3 （5 分）设实
15、数 x 满足 x0，函数 y2+3x+ 4 +1的最小值为（ ） A43 1 B43 +2 C42 +1 D6 【解答】解：x0，x+10， y2+3x+ 4 +1 = 2 + 3( + 1) 3 + 4 +1 = 3( + 1) + 4 +1 1 23( + 1) 4 +1 1 = 43 1，当且仅当3( + 1) = 4 +1，即 = 23 3 10时等号成立， 函数 y2+3x+ 4 +1的最小值为 43 1 故选：A 4 （5 分）有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示为了 第 8 页（共 24 页） 保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向
16、上的高度之差至少为 0.7m，若行车道总宽度为 7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为（ ） A3.3m B3.5m C3.8m D4.5m 【解答】解：如图所示建立直角坐标系， 设抛物线的方程为：x22py， 点 C 的纵坐标坐标为 2.47.24.8， 横坐标为 9.624.8， 所以点 C 的坐标为（4.8，4.8） ，代入抛物线方程可得： p2.4，所以抛物线方程为：x24.8y， 在点 B 时，x3.6，则 y2.7， 则限制高度为 h+0.7+2.77.2， 解得 h3.8， 故选：C 5 （5 分）函数 f（x）= + +2在，的图象大致为（ ） A 第 9 页（共 24 页）
17、B C D 【解答】解：f（x）= + +2，x， f（x）= ()+2 = + +2 = f（x） ， f（x）为，上的奇函数，因此排除 A； 又 f（）= + +2 = 1+2 0，因此排除 B，C； 故选：D 6 （5 分）若函数 f（x）同时满足：定义域内存在实数 x，使得 f（x） f（x）0；对 于定义域内任意 x1，x2，当 x1x2时，恒有（x1x2） f（x1）f（x2）0；则称函数 f（x）为“DM 函数” 下列函数中是“DM 函数”的为（ ） Af（x）x3 Bf（x）sinx Cf（x）ex 1 Df（x）lnx 【解答】解：由定义域内存在实数 x， 使得 f（x） f
18、（x）0 的限制可知，定义域内需有正有负，且函数值有正有负， 由的限制可知，函数单调递增， 对于 A，f（x）x3的定义域内有正有负，函数值有正有负，函数单调递增，故 A 成立； 对于 B，f（x）sinx 不是单调增函数，故 B 不成立； 对于 C，f（x）ex 1 的值域中没有负数，故 C 不成立； 对于 D，f（x）lnx 的定义域中没有负数，故 D 不成立 故选：A 第 10 页（共 24 页） 7（5分） 已知等差数列an的公差为2， 前n项和为Sn， 且S1， S2， S4成等比数列 令= 1 +2， 数列bn的前 n 项和为 Tn，若对于nN*，不等式 Tn 恒成立，则实数 的取
19、值范围 是（ ） A 1 3 B 1 5 C 1 5 D0 【解答】解：由题意，可知 S1a1，S22a1+2，S44a1+ 43 2 24（a1+3） ， S1，S2，S4成等比数列， 2 2 =S1S4，即（2a1+2）24a1（a1+3） ， 解得 a11， 故 an1+2（n1）2n1，nN*， = 1 +2 = 1 (21)(2+3) = 1 4（ 1 2;1 1 2:3） ， 则 Tnb1+b2+b3+bn1+bn = 1 4 （1 1 5）+ 1 4 （ 1 3 1 7）+ 1 4 （ 1 5 1 9）+ 1 4 （ 1 2;3 1 2:1）+ 1 4 （ 1 2;1 1 2:3
20、） = 1 4 （1 1 5 + 1 3 1 7 + 1 5 1 9 + + 1 23 1 2+1 + 1 21 1 2+3） = 1 4 （1+ 1 3 1 2+1 1 2+3） = 1 3 +1 (2+1)(2+3) 1 3， 对于nN*，不等式 Tn 恒成立， 1 3 故选：A 8 （5 分）若椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)上的点(2， 5 3)到右准线的距离为 5 2，过点 M（0， 1）的直线 l 与 C 交于两点 A，B，且 = 2 3 ，则 l 的斜率为（ ） A1 3 B 1 3 C 1 2 D1 9 【解答】解：由已知可知椭圆的右准线方程为：x= 2 ，所以 2 2
21、 = 5 2，即 a 2 = 9 4 ， 第 11 页（共 24 页） 又由已知可得： 4 2 + 25 92 = 1，且 a2b2+c2， 联立方程解得：a29，b25， 所以椭圆的方程为： 2 9 + 2 5 = 1， 当 l 的斜率不存在时，l 与 x 轴垂直，方程为 x0，不符题意， 当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为：ykx+1， 联立方程 = + 1 2 9 + 2 5 = 1，消去 y 可得： （5+9k 2）x2x2+18kx360， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x 1+ 2= 18 5+92，x 12= 36 5+92， 由 = 2 3 可得： （
22、x1，y11）= 2 3(2，2 1)，则 x 1= 2 32， 所以1 3 2= ;18 5:92， 2 3 2 2 = 36 5+92，联立解得 k= 1 3， 故选：B 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求的全部选对的得有多项符合题目要求的全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9 （5 分） 如图， 已知 ABCDA1B1C1D1为正方体， E， F 分别是 BC， A1C 的中点，
23、则 （ ） A1 (11 1 ) = 0 B(11 + 1 + 1 )2= 62 C向量1 与向量1 的夹角是 60 D异面直线 EF 与 DD1所成的角为 45 【解答】解：在正方体 ABCDA1B1C1D1中，以点 A 为坐标原点，分别以 AB，AD，AA1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为 2，则 A（0，0，0） ，A1（0，0，2） ，B（2，0，0） ，B1（2，0，2） ， C（2，2，0） ，D（0，2，0） ，D1（0，2，2） ， 第 12 页（共 24 页） 所以1 = (2，2， 2)，11 1 = 1 = (2，0，2)， 故1 (11
24、 1 ) = 1 1 = 4 4 = 0，故选项 A 正确； 又11 + 1 + 1 = 1 + 1 = (2，0， 2) + (0，2， 2) = (2，2， 4)， 又 = (2，0，0)， 所以(11 + 1 + 1 )2= 4 + 4 + 16 = 24，6 2 = 24， 则(11 + 1 + 1 )2= 62 ，故选项 B 正确； 1 = (2，0， 2)，1 = (0，2，2)， 所以1 ，1 = 1 1 |1 |1 | = 4 4+44+4 = 1 2， 因此1 与1 的夹角为 120，故选项 C 错误； 因为 E，F 分别是 BC，A1C 的中点， 所以 E（2，1，0） ，
25、F（1，1，1） ， 则 = (1，0，1)，1 = (0，0，2)， 所以 ，1 = 1 | |1 | = 2 1+12 = 2 2 ， 又异面直线的夹角大于 0小于等于 90， 所以异面直线 EF 与 DD1所成的角为 45，故选项 D 正确； 故选：ABD 第 13 页（共 24 页） 10 （5 分）我们把离心率为5;1 2 的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为5:1 2 的双 曲线称为黄金双曲线，则（ ） A曲线 2 3 2 5:1 = 1是黄金双曲线 B如果双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)是黄金双曲线，那么 b2ac（c 为半焦距） C如果双曲线 2 2 2 2 = 1
26、(0，0)是黄金双曲线，那么右焦点 F2到一条渐近线 的距离等于焦距的四分之一 D 过双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的右焦点 F2且垂直于实轴的直线 l交 C于 M、 N 两点，O 为坐标原点，若MON90，则双曲线 C 是黄金双曲线 【解答】解：对于 A，曲线 2 3 2 5:1 = 1为双曲线的方程，且 a23，b21+5，c2 4+5， 则 e2= 4+5 3 ，可得 e=4+ 5 3 5+1 2 ，故 A 错误； 对于 B，如果双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)是黄金双曲线，则 e= 5+1 2 ， 可得 e2e10，即为 2 2 10，即 c2aca20，即 b2a
27、c，故 B 正确； 对于 C，如果双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)是黄金双曲线，可得 b2ac， 那么右焦点 F2到一条渐近线 bxay0 的距离等于 2:2 =b， 若 b= 1 2c，可得 c4a，这与 e= = 5+1 2 矛盾，故 C 错误； 对于 D，设 F2（c，0） ，令 xc，可得 M（c， 2 ） ，N（c， 2 ） ， 若MON90，可得 c2 4 2 =0，可得 b2ac，由选项 B 可得 D 正确， 故选：BD 11 （5 分）已知（2+x） （12x）5a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则（ ） Aa0的值为 2 Ba5的值为 1
28、6 Ca1+a2+a3+a4+a5+a6的值为5 Da1+a3+a5的值为 120 第 14 页（共 24 页） 【解答】解：已知(2 + )(1 2)5= 0+ 1 + 22+ 33+ 44+ 55+ 66， 令等式中的 x0，可得 a02，故 A 正确 a5的值，即展开式中 x5的系数，为2 (2)55 5 + (2)45 4 = 16，故 a516 正确 在所给的等式中，令 x1，得 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a63，又 a02， a1+a2+a3+a4+a5+a65，故 C 正确； 在所给的等式中，令 x1，得 a0a1+a2a3+a4a5+a6243， 由得：a1+a3+a
29、5123，D 错误 故选：ABC 12 （5 分）对于定义在 R 上的函数 f（x） ，若存在正实数 a、b，使得 f（x+a）f（x）+b 对一切 xR 均成立，则称 f（x）是“控制增长函数” 在以下四个函数中是“控制增长 函数”的有（ ） Af（x）ex B() = | Cf（x）sin（x2） Df（x）xsinx 【解答】解：对于 A，f（x+a）f（x）+b 可化为 ex+aex+b，即 ex（ea1）b， 当 0a1 时，上式对一切 xR 均成立； 当 a1 时，ea1，上式对一切 xR 不成立， 故 f（x）ex不是“控制增长函数” ； 对于 B， 若 f （x） = |是 “
30、控制增长函数” ， 则 f （x+a） f （x） +b 可化为| + | | +b， |x+a|x|+b2+2b|恒成立，又|x+a|x|+a， |x|+a|x|+b2+2b|，| 2 2 ，显然当 ab2时式子恒成立， f（x）= |是“控制增长函数” ； 对于 C，1f（x）sin（x2）1，f（x+a）f（x）2， 当 b2 时，a 为任意正数，使 f（x+a）f（x）+b 恒成立，故 f（x）sin（x2）是“控 制增长函数” ； 对于 D，若 f（x）xsinx 是“控制增长函数” ，则（x+a）sin（x+a）xsinx+b 恒成立， （x+a）sin（x+a）x+a，需 x+a
31、xsinx+bx+b，即 ab， f（x）xsinx 是“控制增长函数” 故选：BCD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 第 15 页（共 24 页） 13 （5 分）被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前 287前 212） ，是古希腊伟大的物理 学家、数学家、天文学第 13 题家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦 与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成 的三角形面积的三分之二这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿 基米德三角形 在平面直角坐标系心中， 已知直线
32、 l： y4 与抛物线 C： = 1 4 2交于 A， B 两点，则弦与拋物线 C 所围成的封闭图形的面积为 64 3 【解答】解：由题意知，点 A（4，4） ，B（4，4） ， = 1 4 2，y=1 2x， 在点 A 处的切线斜率为 2，切线方程为 y42（x4） ，即 y2x4， 同理可得，在点 B 处的切线方程为 y2x4， 弦 AB 与两条切线所围成的三角形面积为1 2 8 8 = 32， 弦与拋物线 C 所围成的封闭图形的面积为2 3 32= 64 3 故答案为：64 3 14 （5 分）地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准震 级（M）是用据震中 10
33、0 千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示 的里氏震级的计算公式为 MlgAlgA0，其中 A 是被测地震的最大振幅，A0是“标准 地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差） 根 据该公式可知，7.5 级地震的最大振幅是 6 级地震的最大振幅的 32 倍（精确到 1） 【解答】解：由题意可得 MlgAlgA0= 0， 即 0 = 10，所以 = 0 10， 当 M7.5 时，地震的最大振幅为1= 0 107.5； 当 M6 时，地震的最大振幅为2= 0 106， 第 16 页（共 24 页） 所以1 2 = 107.5 106 = 107.56=
34、 101.5= 10 3 2=103 32， 故答案为：32 15 （5 分）将正奇数按如图所示的规律排列： 则 2021 在第 32 行，从左向右第 50 个数 【解答】解：由题意知，第一行有 1 个奇数，第二行有 3 个奇数，第 n 行有 2n1 个 奇数， 则前 n 行共有正奇数 1+3+5+2n1n2个， 所以第 n 行的最后一个正奇数为 2n21， 当 n31 时，第 31 行的最后一个正奇数为 1921 当 n32 时，第 32 行的最后一个正奇数为 2047， 所以 2021 在第 32 行， 前 31 行共有 312961 个正奇数，2021 是第 1011 个正奇数， 101
35、196150， 所以 2021 在第 32 行，从左向右第 50 个数 16 （5 分）若不等式（ax2+bx+1）ex1 对一切 xR 恒成立，其中 a，bR，e 为自然对数 的底数，则 a+b 的取值范围是 （，1 【解答】解：令 f（x）（ax2+bx+1）ex，题中的不等式即 f（x）f（0）恒成立， 显然 a0，f（x）exax2+（2a+b）x+b+1， 则 f（0）b+10b1，f（x）exax2+（2a+1）xxex（ax+2a1） ， 当 a0 时，f（x）在（，0）递增， （0，+）递减，f（x）f（0）符合题意， a0 时，f（x）在（，1;2 ）递减， （1;2 ，0）
36、递增， （0，+）递减， x 12 ，ax2x+10f（x）0，故 f（x）f（0）符合题意， 综上，a0，b1，因此 a+b（，1 故答案为： （，1 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分 第 17 页（共 24 页） 17 （10 分）在3csinAacosC，( + 4) = 2 + 3，a 2+b2c2+3ab 这三个条 件中选一个，补充在下面问题中，并加以解答 已知ABC 中的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 S，若 c4，B105， _，求 a 和 S 【解答】解：若选： 3 = ， 利用正弦定理可得3 = ， 在ABC 中，
37、A（0，180） ，可得 sinA0， 3 = ，可得 = = 3 3 ， 在ABC 中，C（0，180） ，可得 C30， 在ABC 中，A+B+C180，且 B105，可得 A45， 正弦定理 = ，且 c4，可得 45 = 4 30，则 = 42， = 105 = (45 + 60) = 4560 + 4560 = 2 2 1 2 + 2 2 3 2 = 2+6 4 ， = 1 2 = 1 2 42 4 2+6 4 = 4 + 43 若选： ( + 4) = 2 + 3， : 4 1; 4 = 2 +3，即1: 1; = 2 +3，则 = 3 3 ， 在ABC 中，C（0，180） ，可
38、得 C30， 在ABC 中，A+B+C180，且 B105，可得 A45， 正弦定理 = ，且 c4，可得 45 = 4 30，则 = 42， = 105 = (45 + 60) = 4560 + 4560 = 2 2 1 2 + 2 2 3 2 = 2+6 4 ， = 1 2 = 1 2 42 4 2+6 4 = 4 + 43 若选： 第 18 页（共 24 页） 2+ 2= 2+ 3， 由余弦定理得： = 2+22 2 = 3 2 = 3 2 ， 在ABC 中，C（0，180） ，可得 C30， 在ABC 中，A+B+C180，且 B105，可得 A45， 正弦定理 = ，且 c4，可得
39、45 = 4 30，则 = 42， = 105 = (45 + 60) = 4560 + 4560 = 2 2 1 2 + 2 2 3 2 = 2+6 4 ， = 1 2 = 1 2 42 4 2+6 4 = 4 + 43 18 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 an+Sn1，bn= 2 +1 ，nN* （1）求数列an，bn的通项公式； （2）设 cn= 2+1(+2) +1 ，数列cn的前 n 项和为 Tn，求证： 3 16 1 4 【解答】 （1）解：由题意，当 n1 时，a1+S11， 即 2a11，解得1= 1 2， 当 n2 时，由 an+Sn1， 可得 an1+
40、Sn11， 两式相减，可得 anan1+an0， 化简整理，得 an= 1 2an1， 数列an是首项为1 2，公比为 1 2的等比数列， 则 an= 1 2 (1 2) ;1 = (1 2) ，nN*， bn= 2 +1 = 2(1 2) (1 2) +1 =n2n+1，nN* （2）证明：由（1）得，cn= 2+1(+2) +1 = 2+1(+2) 2+1(+1)2+2 = +2 (+1)2+2 第 19 页（共 24 页） = 1 2+1 1 (+1)2+2， Tnc1+c2+c3+cn = ( 1 122 1 223) + ( 1 223 1 324) + ( 1 324 1 425)
41、 + + ( 1 2+1 1 (+1)2+2) = 1 4 1 (+1)2+2， nN*，（n+1） 2n+216， 0 1 (+1)2+2 1 16，即 1 16 1 (+1)2+2 0， 3 16 = 1 4 1 16 1 (:1)2+2 1 4， 故 3 16 1 4 19 （12 分）2019 年 4 月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“3+1+2”高考新模 式为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三 年级 800 名学生的选科情况，部分数据如表： 性别 科目 男生 女生 合计 物理 300 历史 150 合计 400 800 （1）根据所给数据
42、完成上述表格，并判断是否有 99.9%的把握认为该校学生选择物理或 历史与性别有关； （2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中 抽取 5 人，组成数学学习小组一段时间后，从该小组中抽取 3 人汇报数学学习心得记 3 人中男生人数为 X，求 X 的分布列和数学期望 E（X） 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+) P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【解答】解： （1）根据所给数据完成列联表： 性别 男生 女生 合计 第 20 页（共 24 页） 科目 物理 300 250 550 历史 100
43、150 250 合计 400 400 800 K2= 800(300150250100)2 550250400400 = (450250)2 55252 = 160 11 10.828， 有 99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关 （2）按照分层抽样的方法，抽取男生 2 人，女生 3 人， 随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2， P（X0）= 2 0 3 3 5 3 = 1 10， P（X1）= 2 1 3 2 5 3 = 3 5， P（X2）= 2 2 3 1 5 3 = 3 10， X 的分布列为： X 0 1 2 P 1 10 3 5 3 10 E（X）= 0 1 1
44、0 + 1 3 5 + 2 3 10 = 6 5 20 （12 分）如图，在正六边形 ABCDEF 中，将ABF 沿直线 BF 翻折至ABF，使得平 面 ABF平面 BCDEF，O，H 分别为 BF 和 AC 的中点 （1）证明：OH平面 AEF； （2）求平面 ABC 与平面 ADE 所成锐二面角的余弦值 【解答】解： （1）证明：如图，取 AE 的中点 G，连接 FG，HG，CE， 又H 是 AC 的中点， 第 21 页（共 24 页） HGCE， = 1 2 ， 又正六边形 ABCDEF 中，BFCE，BFCE， HGBF， = 1 2 ， 又 O 为 BF 的中点， HGOF，HGOF
45、， 四边形 OFGH 为平行四边形，故 OHFG， FG平面 AEF，OH平面 AEF， OH平面 AEF； （2）由条件可知 OAOB，OAOD，ODOB，分别以 OB，OD，OA所在直线 为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正六边形ABCDEF的边长为2，则 (3，0，0)，(3，2，0)，(0，3，0)，(3，2，0)，(0，0，1)， = (0，2，0)， = (3，2， 1)， = (3，1，0)， = (0，3， 1)， 设平面 ABC 的法向量为 = (，)，则 = 2 = 0 = 3 + 2 = 0 ，则可取 = (1，0，3)， 设平面 ADE 的法向
46、量为 = (，)，则 = 3 + = 0 = 3 = 0 ，则可取 = (1， 3 ， 33)， 设平面 ABC 与平面 ADE 所成锐二面角的大小为 ，则 = | ，| = | | | |= |19| 21+3+27 = 431 31 ， 平面 ABC 与平面 ADE 所成锐二面角的余弦值为431 31 第 22 页（共 24 页） 21 （12 分）对于定义在 D 上的函数 f（x） ，如果存在实数 x0，使得 f（x0）x0，那么称 x0 是函数 f（x）的一个不动点已知 f（x）ax2+1 （1）当 a2 时，求 f（x）的不动点； （2）若函数 f（x）有两个不动点 x1，x2，且
47、x12x2 求实数 a 的取值范围； 设 g（x）logaf（x）x，求证：g（x）在（a，+）上至少有两个不动点 【解答】解： （1）当 a2 时，f（x）2x2+1 方程 f（x）x 可化为 2x2+x10，解得 x1 或 x= 1 2， 所以 f（x）的不动点为1 和 1 2 （2 分） （2）因为函数 f（x）有两个不动点 x1，x2， 所以方程 f（x）x，即 ax2x+10 的两个实数根为 x1，x2， 记 p（x）ax2x+1，则 p（x）的零点为 x1和 x2， 因为 x12x2，所以 ap（2）0， 即 a（4a1）0，解得 0a 1 4 所以实数 a 的取值范围为（0，1 4） （6 分） 因为 g（x）logaf（x）xloga（ax2x+1） 方程 g（x）x 可化为 loga（ax2x+1）x，即
