1、2020 年江苏省常州年江苏省常州二二校校联考联考中考数学一模试卷中考数学一模试卷 一选择题（本大题共一选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 13 的倒数是（ ） A B C3 D3 2下列运算正确的是（ ） A3a2a6a Ba8a4a2 C3（a1）33a D （a3）2a9 3去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了 10 棵，每棵产量的平均数 （单位：千 克）及方差 S2（单位：千克 2）如表所示： 甲 乙 丙 丁 24 24 23 20 S2 2.1 1.9 2 1.9 今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行
2、种植，应选的品种是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 4均匀地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度 h 与时间 t 的函数关系如图所示，则该容器 是下列四个中的（ ） A B C D 5如图，ABCD，ADCD，150，则2 的度数是（ ） A55 B60 C65 D70 6如图，O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，若O 的半径为，AC2，则 sinB 的值是（ ） A B C D 7如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A，D 分别在 x 轴、y 轴上，对角线 BDx 轴，反比例 函数 y （k0， x0） 的图象经过矩形对角线的交点 E 若点 A （2， 0） ，
3、 D （0， 4） ， 则 k 的值为 （ ） A16 B20 C32 D40 8如图，A（1，1） ，B（1，4） ，C（5，4） ，点 P 是ABC 边上一动点，连接 OP，以 OP 为斜边在 OP 的右上方作直角三角形，其中OQP90，POQ30，当点 P 在ABC 的三条边上运动一周 时，点 Q 运动的路径长为（ ） A4 B6 C4 D6 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分）分） 9计算： （）2+1 10若 2x3，2y5，则 2x+y 11分解因式：a2bb 12中国“神威太湖之光”计算机最高运行速度为 1250 00
4、0 000 亿次/秒，将数 1250 000 000 用科学记数法 可表示为 13在平面直角坐标系中，点 M（a，b）与点 N（3，1）关于 x 轴对称，则 a+b 的值是 14若 2a3b1，则代数式 4a26ab+3b 的值为 15一个圆锥的侧面展开图是半径为 9cm，圆心角为 120的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 cm 16二次函数 yax2+bx+c，自变量 x 与函数 y 的对应值如表： x 3 1 1 3 y 4 2 4 2 则当3x3 时，y 满足的范围是 17如图，在 RtABC 中，ACB90，BC4，AC10，点 D 是 AC 上的一个动点，以 CD 为直径作 圆 O，连接
5、 BD 交圆 O 于点 E，则 AE 的最小值为 18如图，在平面直角坐标系中 A 为直线 yx1 上一点，过原点 O 的直线与反比例函数 y图 象交于点 B，C若ABC 为等边三角形，则点 A 的坐标为 三解答题（本大题共三解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 84 分）分） 19计算： （2）3+2sin30+（2019）0+|4| 20解方程组和不等式组求整数解 （1）解方程组； （2）解不等式组，并求此不等式组的整数解 21已知，在如图所示的“风筝”图案中，ABAD，ACAE，BAEDAC求证：EC 22为弘扬中华传统文化，某校开展“汉剧进课堂”的活动，该校随机抽取部分学生，按四个
6、类别：A 表示 “很喜欢” ，B 表示“喜欢” ，C 表示“一般” ，D 表示“不喜欢” ，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果 绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： （1） 这次共抽取 名学生进行统计调查， 扇形统计图中， D 类所对应的扇形圆心角的大小为 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）该校共有 1500 名学生，估计该校表示“喜欢”的 B 类的学生大约有多少人？ 23河西某滨江主题公园有 A、B 两个出口，进去游玩的甲、乙、丙三人各自随机选择一个出口离开，求他 们三人选择同一个出口离开的概率 24端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗某商场在端午节来
7、临之际用 3000 元购进 A、B 两 种粽子 1100 个，购买 A 种粽子与购买 B 种粽子的费用相同已知 A 种粽子的单价是 B 种粽子单价的 1.2 倍 （1）求 A、B 两种粽子的单价各是多少？ （2）若计划用不超过 7000 元的资金再次购进 A、B 两种粽子共 2600 个，已知 A、B 两种粽子的进价不 变求 A 种粽子最多能购进多少个？ 25襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上 的部分（上塔柱 BC 和塔冠 BE）进行了测量如图所示，最外端的拉索 AB 的底端 A 到塔柱底端 C 的距 离为 121m，拉索 AB 与桥面 AC
8、 的夹角为 37，从点 A 出发沿 AC 方向前进 23.5m，在 D 处测得塔冠顶 端 E 的仰角为 45请你求出塔冠 BE 的高度（结果精确到 0.1m参考数据 sin370.60，cos37 0.80，tan370.75，1.41） 26已知一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y的图象交于点 A，与 x 轴交于点 B（5，0） ，若 OB AB，且 SOAB （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）直接写出当 x0 时，kx+b的解集； （3）若点 P 为 x 轴上一点，ABP 是等腰三角形，直接写出点 P 的坐标 （4）已知点 D（0，6） ，连接 AD，过原点 O 的直线
9、 l 将四边形 OBAD 分成面积相等的两部分，用尺规 作图，作出直线 l，保留作图痕迹，并直接写出直线 l 的解析式 27 如图， 在平面直角坐标系中， 已知抛物线 yx3 与 x 轴交于 A， B 两点 （点 A 在点 B 的左侧） ， 与 y 轴交于点 C，经过点 C 的直线 l 与该抛物线交于另一点 D，并且直线 lx 轴，点 P（m，y1）为该抛 物线上一个动点，点 Q（m，y2）为直线 l 上一个动点 （1）当 m0，且 y1时，连接 AQ，BD，求证：四边形 ABDQ 是平行四边形； （2）当 m0 时，连接 AQ，线段 AQ 与线段 OC 交于点 E，OEEC，且 OEEC2，
10、连接 PQ，求线段 PQ 的长； （3）连接 AC，PC，试探究：是否存在点 P，使得PCQ 与BAC 互为余角？若存在，求出点 P 的坐 标；若不存在，请说明理由 28问题探究： 如图，在矩形 ABCD 中，AB10，cosABD，P 为 BD 上一点，B是点 B 以 P 为对称中心的对称 点，点 B也在 BD 上（可以是端点） ，E 为 PD 的中点，以点 E 为圆，EB为半径在 BD 下方作半圆 （1）BP 时，APBD 时，此时半径是 ； （2）当半圆与矩形的边相切时，求 BP 的长； 拓展延伸： （3）如图，AB6，AC，以 BC 为底边在 BC 上方作等腰BCD，其中CDB120，
11、直接写出 AD 的最大值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 13 的倒数是（ ） A B C3 D3 【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数 【解答】解：3（）1， 3 的倒数是 故选：A 2下列运算正确的是（ ） A3a2a6a Ba8a4a2 C3（a1）33a D （a3）2a9 【分析】根据单项式乘法法则，同底数幂的除法的性质，去括号法则，积的乘方的性质，对各选项分析 判断后利用排除法求解 【解答】解：A、3a2a6a2，故本选项错误； B、a8a4a4，故本选项错误； C、3（a1）33a，正确； D、
12、（a3）2a6，故本选项错误 故选：C 3去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了 10 棵，每棵产量的平均数 （单位：千 克）及方差 S2（单位：千克 2）如表所示： 甲 乙 丙 丁 24 24 23 20 S2 2.1 1.9 2 1.9 今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】先比较平均数得到甲组和乙组产量较好，然后比较方差得到乙组的状态稳定 【解答】解：因为甲组、乙组的平均数丙组比丁组大， 而乙组的方差比甲组的小， 所以乙组的产量比较稳定， 所以乙组的产量既高又稳定， 故选：B 4均匀地向一个容器内
13、注水，在注满水的过程中，水面的高度 h 与时间 t 的函数关系如图所示，则该容器 是下列四个中的（ ） A B C D 【分析】由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断，由图象及容积可求解 【解答】解：相比较而言，前一个阶段，用时较少，高度增加较快，那么下面的物体应较细由图可得 上面圆柱的底面半径应大于下面圆柱的底面半径 故选：D 5如图，ABCD，ADCD，150，则2 的度数是（ ） A55 B60 C65 D70 【分析】直接利用等腰三角形的性质结合平行线的性质得出答案 【解答】解：ADCD，150， CADACD65， ABCD， 2ACD65 故选：C 6如图，O 是ABC 的外接
14、圆，AD 是O 的直径，若O 的半径为，AC2，则 sinB 的值是（ ） A B C D 【分析】求角的三角函数值，可以转化为求直角三角形边的比，连接 DC根据同弧所对的圆周角相等， 就可以转化为：求直角三角形的锐角的三角函数值的问题 【解答】解：连接 DC 根据直径所对的圆周角是直角，得ACD90 根据同弧所对的圆周角相等，得BD sinBsinD 故选：A 7如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A，D 分别在 x 轴、y 轴上，对角线 BDx 轴，反比例 函数 y （k0， x0） 的图象经过矩形对角线的交点 E 若点 A （2， 0） ， D （0， 4） ， 则 k 的
15、值为 （ ） A16 B20 C32 D40 【分析】根据平行于 x 轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设 B（x，4） 利用矩形的性质得出 E 为 BD 中点，DAB90根据线段中点坐标公式得出 E（x，4） 由勾股定理得出 AD2+AB2BD2， 列出方程 22+42+ （x2） 2+42x2， 求出 x， 得到 E 点坐标， 代入 y ， 利用待定系数法求出 k 【解答】解：BDx 轴，D（0，4） ， B、D 两点纵坐标相同，都为 4， 可设 B（x，4） 矩形 ABCD 的对角线的交点为 E， E 为 BD 中点，DAB90 E（x，4） DAB90， AD2+AB2BD2， A（2，
16、0） ，D（0，4） ，B（x，4） ， 22+42+（x2）2+42x2， 解得 x10， E（5，4） 反比例函数 y（k0，x0）的图象经过点 E， k5420 故选：B 8如图，A（1，1） ，B（1，4） ，C（5，4） ，点 P 是ABC 边上一动点，连接 OP，以 OP 为斜边在 OP 的右上方作直角三角形，其中OQP90，POQ30，当点 P 在ABC 的三条边上运动一周 时，点 Q 运动的路径长为（ ） A4 B6 C4 D6 【分析】如图，由题意，点 P 在ABC 的三条边上运动一周时，点 Q 运动的轨迹是MGH利用相似 三角形的性质求出 MG，GH，MH 即可解决问题 【
17、解答】解：如图，由题意，点 P 在ABC 的三条边上运动一周时，点 Q 运动的轨迹是MGH A（1，1） ，B（1，4） ，C（5，4） ， AB3，BC4，AC5， ，AOBMOG， AOBMOG， ， MG， 同法可得，GHBC2，MHAC， 点 Q 运动的路径长+2+6， 故选：D 二填空题（共二填空题（共 10 小题）小题） 9计算： （）2+1 4 【分析】先乘方，再加法 【解答】解：原式3+14 故答案为：4 10若 2x3，2y5，则 2x+y 15 【分析】由 2x3，2y5，根据同底数幂的乘法可得 2x+y2x2y，继而可求得答案 【解答】解：2x3，2y5， 2x+y2x2
18、y3515 故答案为：15 11分解因式：a2bb b（a+1） （a1） 【分析】首先提取公因式 b，进而利用平方差公式分解因式得出答案 【解答】解：a2bb b（a21） b（a+1） （a1） 故答案为：b（a+1） （a1） 12中国“神威太湖之光”计算机最高运行速度为 1250 000 000 亿次/秒，将数 1250 000 000 用科学记数法 可表示为 1.25109 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于等于 10 时，n
19、是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数 【解答】解：将数 1250 000 000 用科学记数法可表示为 1.25109 故答案为：1.25109 13在平面直角坐标系中，点 M（a，b）与点 N（3，1）关于 x 轴对称，则 a+b 的值是 4 【分析】直接利用关于 x 轴对称点的性质得出 a，b 的值，进而得出答案 【解答】解：点 M（a，b）与点 N（3，1）关于 x 轴对称， a3，b1， 则 a+b 的值是：4 故答案为：4 14若 2a3b1，则代数式 4a26ab+3b 的值为 1 【分析】由已知字母 a、b 的系数为 2、3，代数式中前二项的北系娄秋 4、6，提取此二项
20、的公因式 2a 后，代入求值变形得2a+3b，与已知条件互为相反数，可求出代数式的值为 1 【解答】解：2a3b1， 4a26ab+3b 2a（2a3b）+3b 2a（1）+3b 2a+3b （2a3b） （1） 1 故答案为 1 15一个圆锥的侧面展开图是半径为 9cm，圆心角为 120的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 3 cm 【分析】设该圆锥底面圆的半径为 rcm，则可根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆 锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 2r，然后解方程即可 【解答】解：设该圆锥底面圆的半径为 r， 根据题意得 2r，解得 r3， 即该圆锥底面圆的半径
21、为 3 故答案为：3 16二次函数 yax2+bx+c，自变量 x 与函数 y 的对应值如表： x 3 1 1 3 y 4 2 4 2 则当3x3 时，y 满足的范围是 4y4 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可根据 x3 及 x3 时 y 的值，结合二次函数图象的顶点 坐标，即可找出3x3 时 y 的取值范围 【解答】解：从表格看出，函数的对称轴为 x1，顶点为（1，4） ，函数有最大值 4， 抛物线开口向下， 当3x3 时，4y4， 故答案为，4y4 17如图，在 RtABC 中，ACB90，BC4，AC10，点 D 是 AC 上的一个动点，以 CD 为直径作 圆 O，连接 BD 交
22、圆 O 于点 E，则 AE 的最小值为 22 【分析】连接 CE，取 BC 的中点 F，作直径为 BC 的F，连接 EF，AF，证明CEB90，说明 E 点 始终在F 上，再由在整个变化过程中，AEAFEF，当 A、E、F 三点共线时，AE 最最小值，求出此 时的值便可 【解答】解：连接 CE，取 BC 的中点 F，作直径为 BC 的F，连接 EF，AF， BC4， CF2， ACB90，AC10， AF， CD 是O 的直径， CEDCEB90， E 点在F 上， 在 D 的运动过程中，AEAFEF，且 A、E、F 三点共线时等号成立， 当 A、E、F 三点共线时，AE 取最小值为 AFEF
23、22 故答案为：22 18如图，在平面直角坐标系中 A 为直线 yx1 上一点，过原点 O 的直线与反比例函数 y图 象交于点 B，C若ABC 为等边三角形，则点 A 的坐标为 （2，）或（6，） 【分析】观察图象可知点 A 只能在第三象限，如图设ABC 是等边三角形，作 BMx 轴于 M，ANx 轴于 N设 B（m，） 利用相似三角形的性质求出点 A 的坐标（用 m 表示） ，再利用待定系数法求 出 m 即可 【解答】解：观察图象可知点 A 只能在第三象限，如图设ABC 是等边三角形，作 BMx 轴于 M，AN x 轴于 N设 B（m，） 由题意，B，C 关于原点 O 对称， OBOC， A
24、BC 是等边三角形， OABC，OAOB， AOBOMBONA90， BOM+AON90，NAO+AON90， BOMNAO， OMBANO， ， OMm，BM， ON，ANm， A（，m） ， 点 A 在直线 yx1 上， m1， 解得 m或（舍弃） ， A（2，） ， 当点 A 在第一象限时，同法可得 A（6，） 故答案为： （2，）或（6，） 三解答题三解答题 19计算： （2）3+2sin30+（2019）0+|4| 【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可 【解答】解： （2）3+2sin30+（2019）0+|4| 8+42+1+4 2
25、0解方程组和不等式组求整数解 （1）解方程组； （2）解不等式组，并求此不等式组的整数解 【分析】 （1）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可 【解答】解： （1）方程组整理得：， +得：6y6，即 y1， 将 y1 代入得：x3， 则方程组的解为； （2）， 由得：x； 由得：x4， 不等式组的解集为x4， 则不等式组的整数解为 1，2，3 21已知，在如图所示的“风筝”图案中，ABAD，ACAE，BAEDAC求证：EC 【分析】由“SAS”可证ABCADE，可得CE 【解答】证明：BAEDAC BAE+CAEDAC+CAE
26、 CABEAD，且 ABAD，ACAE ABCADE（SAS） CE 22为弘扬中华传统文化，某校开展“汉剧进课堂”的活动，该校随机抽取部分学生，按四个类别：A 表示 “很喜欢” ，B 表示“喜欢” ，C 表示“一般” ，D 表示“不喜欢” ，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果 绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： （1） 这次共抽取 50 名学生进行统计调查， 扇形统计图中， D 类所对应的扇形圆心角的大小为 72 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）该校共有 1500 名学生，估计该校表示“喜欢”的 B 类的学生大约有多少人？ 【分析】 （1）这次共抽取：12
27、24%50（人） ，D 类所对应的扇形圆心角的大小 36072； （2）A 类学生：502312105（人） ，据此补充条形统计图； （3）该校表示“喜欢”的 B 类的学生大约有 1500690（人） 【解答】解： （1）这次共抽取：1224%50（人） ， D 类所对应的扇形圆心角的大小 36072， 故答案为 50，72； （2）A 类学生：502312105（人） ， 条形统计图补充如下 （3）该校表示“喜欢”的 B 类的学生大约有 1500690（人） ， 答：该校表示“喜欢”的 B 类的学生大约有 690 人； 23河西某滨江主题公园有 A、B 两个出口，进去游玩的甲、乙、丙三人各自
28、随机选择一个出口离开，求他 们三人选择同一个出口离开的概率 【分析】画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解 【解答】解：根据题意画出树状图如下： 甲、乙、丙三人各自随机选择一个出口离开的所有可能出现的结果有： （AAA） 、 （AAB） 、 （ABA） 、 （ABB） 、 （BAA） 、 （BAB） 、 （BBA） 、 （BBB） ，共有 8 种， 它们出现的可能性相同， 所有的结果中， 满足 “三人选择同一个出口离开” （记为事件 A） 的结果有 2 种， 所以 P（A） 24端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗某商场在端午节来临之际用 3000 元购进 A、B 两 种粽子 1
29、100 个，购买 A 种粽子与购买 B 种粽子的费用相同已知 A 种粽子的单价是 B 种粽子单价的 1.2 倍 （1）求 A、B 两种粽子的单价各是多少？ （2）若计划用不超过 7000 元的资金再次购进 A、B 两种粽子共 2600 个，已知 A、B 两种粽子的进价不 变求 A 种粽子最多能购进多少个？ 【分析】 （1）设 B 种粽子单价为 x 元/个，则 A 种粽子单价为 1.2x 元/个，根据数量总价单价结合用 3000 元购进 A、B 两种粽子 1100 个，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购进 A 种粽子 m 个，则购进 B 种粽子（2600m）个，
30、根据总价单价数量结合总价不超过 7000 元，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论 【解答】解： （1）设 B 种粽子单价为 x 元/个，则 A 种粽子单价为 1.2x 元/个， 根据题意，得：+1100， 解得：x2.5， 经检验，x2.5 是原方程的解，且符合题意， 1.2x3 答：A 种粽子单价为 3 元/个，B 种粽子单价为 2.5 元/个 （2）设购进 A 种粽子 m 个，则购进 B 种粽子（2600m）个， 依题意，得：3m+2.5（2600m）7000， 解得：m1000 答：A 种粽子最多能购进 1000 个 25襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性
31、建筑之一某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上 的部分（上塔柱 BC 和塔冠 BE）进行了测量如图所示，最外端的拉索 AB 的底端 A 到塔柱底端 C 的距 离为 121m，拉索 AB 与桥面 AC 的夹角为 37，从点 A 出发沿 AC 方向前进 23.5m，在 D 处测得塔冠顶 端 E 的仰角为 45请你求出塔冠 BE 的高度（结果精确到 0.1m参考数据 sin370.60，cos37 0.80，tan370.75，1.41） 【分析】根据正切的定义分别求出 EC、BC，结合图形计算，得到答案 【解答】解：在 RtABC 中，tanA， 则 BCACtanA1210.7590.75
32、， 由题意得，CDACAD97.5， 在 RtECD 中，EDC45， ECCD97.5， BEECBC6.756.8（m） ， 答：塔冠 BE 的高度约为 6.8m 26已知一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y的图象交于点 A，与 x 轴交于点 B（5，0） ，若 OB AB，且 SOAB （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）直接写出当 x0 时，kx+b的解集； （3）若点 P 为 x 轴上一点，ABP 是等腰三角形，直接写出点 P 的坐标 （4）已知点 D（0，6） ，连接 AD，过原点 O 的直线 l 将四边形 OBAD 分成面积相等的两部分，用尺规 作图，作出直线
33、l，保留作图痕迹，并直接写出直线 l 的解析式 【分析】 （1）先求出 OB，进而求出 AD，得出点 A 坐标，最后用待定系数法即可得出结论； （2）构建方程组求出直线与反比例函数的两个交点坐标即可判断 （3）分三种情况，当 ABPB 时，得出 PB5，即可得出结论； 当 ABAP 时，利用点 P 与点 B 关于 AD 对称，得出 DPBD4，即可得出结论； 当 PBAP 时，先表示出 AP2（9a）2+9，BP2（5a）2，进而建立方程求解即可得出结论 （4）作线段 BD 的中垂线 EF 交 BD 于 G，连接 OG，AG，OA，作 GHOA 交 AD 于 H，作直线 OH， 直线 OH 即
34、为所求的直线 l 【解答】解： （1）如图 1，过点 A 作 ADx 轴于 D， B（5，0） ， OB5， SOAB， 5AD， AD3， OBAB， AB5， 在 RtADB 中，BD4， ODOB+BD9， A（9，3） ， 将点 A 坐标代入反比例函数 y中得，m9327， 反比例函数的解析式为 y， 将点 A（9，3） ，B（5，0）代入直线 ykx+b 中， ， 直线 AB 的解析式为 yx； （2）由 解得或， 两个函数的交点分别为（9，3）或（4，） ， 结合图象可知：当 x0 时，不等式 kx+b的解集为 0 x9 （3）由（1）知，AB5， ABP 是等腰三角形， 当 AB
35、PB 时， PB5， P（0，0）或（10，0） ， 当 ABAP 时，如图 2， 由（1）知，BD4， 易知，点 P 与点 B 关于 AD 对称， DPBD4， OP5+4+413， P（13，0） ， 当 PBAP 时，设 P（a，0） ， A（9，3） ，B（5，0） ， AP2（9a）2+9，BP2（5a）2， （9a）2+9（5a）2， a， P（，0） ， 即：满足条件的点 P 的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0） （4）如图 3 中，直线 l 即为所求 由题意直线 OA 的解析式为 yx， 直线 BD 的解析式为 yx+6， 直线 AD 的解析式为 yx+6，
36、 可得 G（，3） ， GHOA， 直线 GH 的解析式为 yx+， 由，解得， H（，） ， 直线 l 的解析式为 yx 27 如图， 在平面直角坐标系中， 已知抛物线 yx3 与 x 轴交于 A， B 两点 （点 A 在点 B 的左侧） ， 与 y 轴交于点 C，经过点 C 的直线 l 与该抛物线交于另一点 D，并且直线 lx 轴，点 P（m，y1）为该抛 物线上一个动点，点 Q（m，y2）为直线 l 上一个动点 （1）当 m0，且 y1时，连接 AQ，BD，求证：四边形 ABDQ 是平行四边形； （2）当 m0 时，连接 AQ，线段 AQ 与线段 OC 交于点 E，OEEC，且 OEEC
37、2，连接 PQ，求线段 PQ 的长； （3）连接 AC，PC，试探究：是否存在点 P，使得PCQ 与BAC 互为余角？若存在，求出点 P 的坐 标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）求出点 D（3，3） ，求出 CQ2，DQ5，则 ABDQ，由平行四边形的判定可得出答案； （2）证明AOEQCE，得出，求出 QC2，则可得出答案； （3）分两种不同的情况：当点 P 在直线 l 上方时，当点 P 在直线 l 下方时，求出答案即可 【解答】解： （1）证明：当 y0 时，x30， 解得 x11，x24， A（1，0） ，B（4，0） ， AB5 当 x0 时，y3， C（0，3） 直线 lx
38、轴， 直线 l 的解析式为 y3 x33， 解得 x30，x43， D（3，3） ， CD3 点 Q（m，y2）在直线 l 上， y23 y1， y1， m0，点 P（m，y1）在该抛物线上， ， 解得 m2 或 m5（舍去） 直线 lx 轴， CQ2， DQ5， ABDQ，ABDQ， 四边形 ABDQ 是平行四边形 （2）P，Q 两点的横坐标都是 m， 直线 lx 轴， |， 设 OEn，则 EC3n， n（3n）2， 解得 n1 或 n2 OEEC， OE1，EC2 直线 lx 轴， OAECQE，AOEQCE， AOEQCE， ， QC2， m0， m2， PQ； （3）假设存在点 P，
39、使得PCQ 与BAC 互为余角，即PCQ+BAC90 BAC+ACO90， PCQACO OA1，OC3， tanPCQtanACO， 连接 PQ 直线 lx 轴，直线 PQy 轴， PCQ 是直角三角形，且CQP90 tanPCQ， 当点 P 在直线 l 上方时，PQy1y2m， （i）若点 P 在 y 轴左侧，则 m0， QCm （m） ， 解得 m10（舍去） ，m2（舍去） （ii）若点 P 在 y 轴右侧，则 m0， QCm m，解得 m30（舍去） ，m4 y1y2， y1， ； 当点 P 在直线 l 下方时，m0， QCm，PQy2y1m， m， 解得 m50（舍去） ，m6，
40、y2y1， y1， 综上，存在点，使得PCQ 与BAC 互为余角 28问题探究： 如图，在矩形 ABCD 中，AB10，cosABD，P 为 BD 上一点，B是点 B 以 P 为对称中心的对称 点，点 B也在 BD 上（可以是端点） ，E 为 PD 的中点，以点 E 为圆，EB为半径在 BD 下方作半圆 （1）BP 时，APBD 时，此时半径是 ； （2）当半圆与矩形的边相切时，求 BP 的长； 拓展延伸： （3）如图，AB6，AC，以 BC 为底边在 BC 上方作等腰BCD，其中CDB120，直接写出 AD 的最大值 【分析】 （1）当 APBD 时，BPABcosABD10PB，DEPD
41、PE，则半径BEPEPB； （2）分点 G 是切点、点 H 时切点两种情况，分别求解即可； （3）构建ABE 使ABECBD，证明EBDABC，故，即，进而求解 【解答】解： （1）cosABD，则 sinABD， 解得：BD26； 当 APBD 时，BPABcosABD10PB， DEPDPE， 则半径BEPEPB； 故答案为，； （2）当点 B在点 E 的左侧时， 如图 1，当点 G 是切点时， 而 PBPBa，EDPD（26a）PE， 故 BEBEBB13， 则 cosBEGcosABD， 解得：a； 如图 2，当点 H 时切点时， 同理可得：a； 当点 B在点 E 的右侧时， 此时半圆与 CD 相切， 同理可得：BP； 综上，BP 的长为或或； （3）连接 AD，构建ABE 使ABECBD，则， 则EABDCB（180120）30DBCEBA， 在等腰三角形 ABE 中，AEBE2， ABCEBAEBC，EBDCBDEBC， 而EBACBD， ABCEBD， ， EBDABC，故，即， DEAC1， ADAE+DE2+1， 故 AD 的最大值为 2+1
