1、2019-2020 学年河北省石家庄市辛集市九年级（上）期末数学试卷学年河北省石家庄市辛集市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 16 个小题；个小题；1-10 每小题每小题 3 分，分，11-16 每题每题 2 分，共分，共 42 分分.在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的）中，只有一项是符合题目要求的） 1下列所给的事件中，是必然事件的是（ ） A一个标准大气压下，水加热到 100C 时会沸腾 B买一注福利彩票会中奖 C连续 4 次投掷质地均匀的硬币，4 次均硬币正面朝上 D2020 年的春节假期屯溪将下雪 2如图，在AB
2、C 中，M，N 分别为 AC，BC 的中点则CMN 与CAB 面积之比是（ ） A1：2 B1：3 C1：4 D1：9 3已知是方程 x23x+c0 的一个根，则 c 的值是（ ） A6 B6 C D2 4根据尺规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ） A B C D 5如图，把 RtABC 绕点 A 逆时针旋转 50，得到 RtABC，点 C 恰好落在边 AB 上的点 C处，连 接 BB，则BBA 的度数为（ ） A50 B55 C60 D65 6将抛物线 y+1 绕原点 O 旋转 180，则旋转后的抛物线的解析式为（ ） Ay2x2+1 By2x21 C D 7 如 图 ， 各
3、正 方 形 的 边 长 均 为 1 ， 则 四 个 阴 影 三 角 形 中 ， 一 定 相 似 的 一 对 是 （ ） A B C D 8如图，AB 是O 直径，AOC140，则D 为（ ） A40 B30 C20 D70 9如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为 60，90，210让转盘自由转 动，指针停止后落在黄色区域的概率是（ ） A B C D 10某校进行体操队列训练，原有 8 行 10 列，后增加 40 人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增 加了多少行或多少列吗？设增加了 x 行或列，则列方程得（ ） A （8x） （10 x）81040 B （8x） （
4、10 x）810+40 C （8+x） （10+x）81040 D （8+x） （10+x）810+40 11为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部 分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为 a，则阴影部分的面积为（ ） A2a2 B3a2 C4a2 D5a2 12一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A4 B3 C2+4 D3+4 13如图，在平直角坐标系中，过 x 轴正半轴上任意一点 P 作 y 轴的平行线，分别交函数 y（x0） 、y （x0）的图象于点 A、点 B若 C 是 y 轴上任意一点，则ABC 的面积
5、为（ ） A9 B6 C D3 14小明、小亮、小梅、小花四人共同探究函数 yx24x+5 的值的情况，他们作了如下分工：小明负责找 函数值为 1 时的 x 值，小亮负责找函数值为 0 时的 x 值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值几分 钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（ ） A小明认为只有当 x2 时，函数值为 1 B小亮认为找不到实数 x，使函数值为 0 C小花发现当 x 取大于 2 的实数时，函数值 y 随 x 的增大而增大，因此认为没有最大值 D小梅发现函数值 y 随 x 的变化而变化，因此认为没有最小值 15 对于不为零的两个实数 a， b， 如果规定： ab， 那么函数 y
6、2x 的图象大致是 （ ） A B C D 16如图O 中，半径 OD弦 AB 于点 C，连结 AO 并延长交O 于点 E，连结 EC，若 AB8，CD2， 则 EC 的长度为（ ） A2 B8 C2 D2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题；每小题个小题；每小题 3 分，共分，共 12 分分.把答案写在题中横线上）把答案写在题中横线上） 17方程（x+2） （x+3）（x+2）的解是 18某同学在用描点法画二次函数 yax2+bx+c 图象时，列出了下面的表格： x 2 1 0 1 2 y 11 2 1 2 5 由于粗心，他算错了一个 y 值，则这个错误的数值是 19如图，
7、物理老师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在 OA 的位置时俯角，在 OB 的位置时俯角若 OCEF，点 A 比点 B 高 7cm则从点 A 摆动到点 B 经过的路径长为 cm 20如图，在平面直角坐标系 xOy 中，P 是直线 y2 上的一个动点，P 的半径为 1，直线 OQ 切P 于点 Q，则线段 OQ 的最小值为 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 61 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 21计算： （1） （2）解方程：x28x+10 22在学习“轴对称现象”内容时，老师让同学们寻找身边的轴对称图形，小明利用手中的一副三角尺
8、和 一个量角器（如图所示）进行探究 （1）小明在这三件文具中任取一件，结果是轴对称图形的概率是 ； （取三件中任意一件的可能 性相同） （2）小明发现在 A、B 两把三角尺中各选一个角拼在一起（无重叠无缝隙）会得到一个更大的角，若每 个角选取的可能性相同请用画树状图或列表的方法说明拼成的角是钝角的概率是多少 23如图，已知ABC 三个顶点的坐标分别为 A（2，4） ，B（0，4） ，C（1，1） （1）请在网格中，画出线段 BC 关于原点对称的线段 B1C1； （2）请在网格中，过点 C 画一条直线 CD，将ABC 分成面积相等的两部分，与线段 AB 相交于点 D， 写出点 D 的坐标； （3
9、）若另有一点 P（3，3） ，连接 PC，则 tanBCP 24如图 1，点 A（0，8） 、点 B（2，a）在直线 y2x+b 上，反比例函数 y（x0）的图象经过点 B （1）求 a 和 k 的值； （2）将线段 AB 向右平移 m 个单位长度（m0） ，得到对应线段 CD，连接 AC、BD 如图 2，当 m3 时，过 D 作 DFx 轴于点 F，交反比例函数图象于点 E，求 E 点的坐标； 在线段 AB 运动过程中，连接 BC，若BCD 是等腰三角形，求所有满足条件的 m 的值 25如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC6，E 是 BC 边的中点，点 P 在线段 AD 上，过 P 作 P
10、FAE 于 F， 设 PAx （1）求证：PFAABE； （2） 当点 P 在线段 AD 上运动时， 是否存在实数 x， 使得以点 P， F， E 为顶点的三角形也与ABE 相似？ 若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由； （3）探究：当以 D 为圆心，DP 为半径的D 与线段 AE 只有一个公共点时，请直接写出 x 满足的条 件： 26如图，已知抛物线 yx2+4x+5 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）直接写出点 A、B、C 的坐标； （2）在抛物线的对称轴上存在一点 P，使得 PA+PC 的值最小，求此时点 P 的坐标； （3
11、）点 D 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点 C、B 不重合）过点 D 作 DFx 轴于点 F，交直线 BC 于点 E，连接 BD，直线 BC 把BDF 的面积分成两部分，使 SBDE：SBEF2：3，请求出点 D 的坐 标； （4）若 M 为抛物线对称轴上一动点，使得MBC 为直角三角形，请直接写出点 M 的坐标 2019-2020 学年河北省石家庄市辛集市九年级（上）期末数学试卷学年河北省石家庄市辛集市九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 16 小题）小题） 1下列所给的事件中，是必然事件的是（ ） A一个标准大气压下，水加热到 100
12、C 时会沸腾 B买一注福利彩票会中奖 C连续 4 次投掷质地均匀的硬币，4 次均硬币正面朝上 D2020 年的春节假期屯溪将下雪 【分析】根据事件发生的可能性大小判断 【解答】解：A、一个标准大气压下，水加热到 100C 时会沸腾，是必然事件； B、买一注福利彩票会中奖，是随机事件； C、连续 4 次投掷质地均匀的硬币，4 次均硬币正面朝上，是随机事件； D、2020 年的春节假期屯溪将下雪，是随机事件； 故选：A 2如图，在ABC 中，M，N 分别为 AC，BC 的中点则CMN 与CAB 面积之比是（ ） A1：2 B1：3 C1：4 D1：9 【分析】根据三角形中位线定理得到 MNAB，M
13、NAB，根据相似三角形的性质定理可得出答案 【解答】解：M，N 分别为 AC，BC 的中点， MNAB，MNAB， CMNCAB， CMN 与CAB 的面积之比， 故选：C 3已知是方程 x23x+c0 的一个根，则 c 的值是（ ） A6 B6 C D2 【分析】把 x代入方程 x23x+c0，求出所得方程的解即可 【解答】解：把 x代入方程 x23x+c0 得：39+c0， 解得：c6， 故选：B 4根据尺规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ） A B C D 【分析】根据三角形外心的定义，三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图和选项进 行判断 【解答】解：三角形
14、外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到 C 选项作了两边的垂直平分线， 从而可用直尺成功找到三角形外心 故选：C 5如图，把 RtABC 绕点 A 逆时针旋转 50，得到 RtABC，点 C 恰好落在边 AB 上的点 C处，连 接 BB，则BBA 的度数为（ ） A50 B55 C60 D65 【分析】由旋转的性质可得 ABAB，BAB50，ACBACB90，由等腰三角形的性质可 得ABBABB65 【解答】解：RtABC 绕点 A 逆时针旋转 50得到 RtABC， ABAB，BAB50，ACBACB90 BBAABB65 故选：D 6将抛物线 y+1 绕原点 O 旋转 180，则旋转
15、后的抛物线的解析式为（ ） Ay2x2+1 By2x21 C D 【分析】先确定抛物线线 y+1 的顶点坐标为（0，1） ，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到 点（0，1）变换后所得对应点的坐标为（0，1） ，然后利用顶点式写出旋转后抛物线 【解答】解：抛物线 y+1 的顶点坐标为（0，1） ，点关于原点 O 的对称点的坐标为（0，1） ，此 时旋转后抛物线的开口方向相反，所以旋转后的抛物线的解析式为 yx21 故选：D 7 如 图 ， 各 正 方 形 的 边 长 均 为 1 ， 则 四 个 阴 影 三 角 形 中 ， 一 定 相 似 的 一 对 是 （ ） A B C D 【分析】分别求出
16、 4 个图形中的每个三角形的边长，通过三角形三边的比是否相等就可以判断出结论， 从而得出正确答案 【解答】解：三边长为：1，； 三边长为：，2，； 三边长为：1，2； 三边长为：2，； 则可得和三边成比例，故一定相似的是和 故选：A 8如图，AB 是O 直径，AOC140，则D 为（ ） A40 B30 C20 D70 【分析】求出BOC 的度数，根据圆周角定理得出DBOC，再求出答案即可 【解答】解：AOC140， BOC180AOC40， 对的圆心角是BOC，对的圆周角是D， DBOC4020， 故选：C 9如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为 60，90，210让转
17、盘自由转 动，指针停止后落在黄色区域的概率是（ ） A B C D 【分析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率 【解答】解：黄扇形区域的圆心角为 90， 所以黄区域所占的面积比例为， 即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是， 故选：B 10某校进行体操队列训练，原有 8 行 10 列，后增加 40 人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增 加了多少行或多少列吗？设增加了 x 行或列，则列方程得（ ） A （8x） （10 x）81040 B （8x） （10 x）810+40 C （8+x） （10+x）81040 D （8+x） （10+x）810+40 【分析】
18、设增加了 x 行或列，根据体操队伍人数不变列出方程即可 【解答】解：设增加了 x 行或列，根据题意得 （8+x） （10+x）810+40 故选：D 11为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部 分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为 a，则阴影部分的面积为（ ） A2a2 B3a2 C4a2 D5a2 【分析】根据正八边形的性质得出CABCBA45，进而得出 ACBCa，再利用正八边形 周围四个三角形的特殊性得出阴影部分面积即可 【解答】解：某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，设正八边形与其内部小正 方形的边长都为
19、 a， ABa，且CABCBA45， sin45， ACBCa， SABCaa， 正八边形周围是四个全等三角形，面积和为：4a2 正八边形中间是边长为 a 的正方形， 阴影部分的面积为：a2+a22a2， 故选：A 12一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A4 B3 C2+4 D3+4 【分析】首先根据三视图判断几何体的形状，然后计算其表面积即可 【解答】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱， 半圆柱的直径为 2，长方体的长为 2，宽为 1，高为 1， 故其表面积为：12+（+2）23+4， 故选：D 13如图，在平直角坐标系中，过 x 轴正半轴上任意一点 P 作 y
20、轴的平行线，分别交函数 y（x0） 、y （x0）的图象于点 A、点 B若 C 是 y 轴上任意一点，则ABC 的面积为（ ） A9 B6 C D3 【分析】连接 OA、OB，根据反比例函数系数 k 的几何意义得出 SAOP3，SBOP|6| 3， 即可求得 SAOBSAOP+SBOP+3， 根据同底等高的三角形面积相等， 得出 SAOBSABC， 即可求得ABC 的面积 【解答】解：连接 OA、OB， C 是 y 轴上任意一点， SAOBSABC， SAOP3，SBOP|6|3， SAOBSAOP+SBOP+3， SABC， 故选：C 14小明、小亮、小梅、小花四人共同探究函数 yx24x+
21、5 的值的情况，他们作了如下分工：小明负责找 函数值为 1 时的 x 值，小亮负责找函数值为 0 时的 x 值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值几分 钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（ ） A小明认为只有当 x2 时，函数值为 1 B小亮认为找不到实数 x，使函数值为 0 C小花发现当 x 取大于 2 的实数时，函数值 y 随 x 的增大而增大，因此认为没有最大值 D小梅发现函数值 y 随 x 的变化而变化，因此认为没有最小值 【分析】将二次函数解析式写成顶点式，根据二次函数的性质逐个选项分析即可 【解答】解：yx24x+5 （x2）2+1， 顶点坐标为： （2，1） ， 只有当 x2
22、 时，函数值为 1，故 A 正确； 抛物线开口向上，顶点纵坐标值 1 为最小值，故找不到实数 x，使函数值为 0，从而 B 正确； 对称轴为直线 x2，抛物线开口向上， 当 x 取大于 2 的实数时，函数值 y 随 x 的增大而增大，因此没有最大值，故 C 正确； 顶点纵坐标值 1 为最小值，故 D 错误，符合题意 故选：D 15 对于不为零的两个实数 a， b， 如果规定： ab， 那么函数 y2x 的图象大致是 （ ） A B C D 【分析】先根据规定得出函数 y2x 的解析式，再利用一次函数与反比例函数的图象性质即可求解 【解答】解：由题意，可得当 2x，即 x2 时，y2+x，y 是
23、 x 的一次函数，图象是一条射线除去端点， 故 A、D 错误； 当 2x，即 x2 时，y，y 是 x 的反比例函数，图象是双曲线，分布在第二、四象限，其中在第 四象限时，0 x2，故 B 错误 故选：C 16如图O 中，半径 OD弦 AB 于点 C，连结 AO 并延长交O 于点 E，连结 EC，若 AB8，CD2， 则 EC 的长度为（ ） A2 B8 C2 D2 【分析】连结 BE，设O 的半径为 R，由 ODAB，根据垂径定理得 ACBCAB，在 RtAOC 中， OAR，OCRCDR2，根据勾股定理得到（R2）2+42R2，解得 R5，则 OC3，由于 OC 为ABE 的中位线，则 B
24、E2OC6，再根据圆周角定理得到ABE90，然后在 RtBCE 中利用勾 股定理可计算出 CE 的长 【解答】解：连结 BE，设O 的半径为 R，如图， ODAB， ACBCAB84， 在 RtAOC 中，OAR，OCRCDR2， OC2+AC2OA2， （R2）2+42R2，解得 R5， OC523， BE2OC6， AE 为直径， ABE90， 在 RtBCE 中，CE2 故选：D 二填空题二填空题 17方程（x+2） （x+3）（x+2）的解是 x1x22 【分析】利用因式分解法求解可得 【解答】解： （x+2） （x+3）（x+2） （x+2） （x+3）（x+2）0， （x+2） （
25、x+31）0， 解得 x1x22， 故答案为 x1x22 18某同学在用描点法画二次函数 yax2+bx+c 图象时，列出了下面的表格： x 2 1 0 1 2 y 11 2 1 2 5 由于粗心，他算错了一个 y 值，则这个错误的数值是 5 【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质可知 x0、x1、x1 对应的函数值是正确的，从而可 以求得二次函数的解析式，再将 x2 和 x2 代入解析式，即可判断哪个 y 值是错误的，本题得以解 决 【解答】解：由表格可得， 该二次函数的对称轴是直线 x0，经过点（1，2） ， （0，1） ， （1，2） ， ， 解得， y3x2+1， 当 x2 时，y1
26、1， 当 x2 时，y11， 故答案为：5 19如图，物理老师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在 OA 的位置时俯角，在 OB 的位置时俯角若 OCEF，点 A 比点 B 高 7cm则从点 A 摆动到点 B 经过的路径长为 cm 【分析】作 APOC、BQOC，由题意得AOP60、BOQ30，设 OAOBx，根据三角函 数得 OPOAcosAOPx、OQOBcosBOQx，由 PQOQOP 可得关于 x 的方程，解之可 得 OAOB7+7，利用弧长公式求解可得 【解答】解：如图，过点 A 作 APOC 于点 P，过点 B 作 BQOC 于点 Q， EOA30、FOB60，且 OCEF，
27、AOP60、BOQ30， 设 OAOBx， 则在 RtAOP 中，OPOAcosAOPx， 在 RtBOQ 中，OQOBcosBOQx， 由 PQOQOP 可得xx7， 解得：x（7+7）cm， OAOB（7+7） （cm） ， AOB90， 则从点 A 摆动到点 B 经过的路径长为cm， 答：从点 A 摆动到点 B 经过的路径长为cm， 故答案为： 20如图，在平面直角坐标系 xOy 中，P 是直线 y2 上的一个动点，P 的半径为 1，直线 OQ 切P 于点 Q，则线段 OQ 的最小值为 【分析】连接 PQ、OP，如图，根据切线的性质得 PQOQ，再利用勾股定理得到 OQ，利 用垂线段最短
28、，当 OP 最小时，OQ 最小，然后求出 OP 的最小值，从而得到 OQ 的最小值 【解答】解：连接 PQ、OP，如图， 直线 OQ 切P 于点 Q， PQOQ， 在 RtOPQ 中，OQ， 当 OP 最小时，OQ 最小， 当 OP直线 y2 时，OP 有最小值 2， OQ 的最小值为 故答案为 三解答题（共三解答题（共 6 小题）小题） 21计算： （1） （2）解方程：x28x+10 【分析】 （1）将特殊锐角的三角函数值代入，再根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得； （2）利用配方法求解即可 【解答】解： （1）原式 ； （2）x28x1， x28x+161+16，即（x4）215，
29、 则， x14+，x24 22在学习“轴对称现象”内容时，老师让同学们寻找身边的轴对称图形，小明利用手中的一副三角尺和 一个量角器（如图所示）进行探究 （1）小明在这三件文具中任取一件，结果是轴对称图形的概率是 ； （取三件中任意一件的可能性 相同） （2）小明发现在 A、B 两把三角尺中各选一个角拼在一起（无重叠无缝隙）会得到一个更大的角，若每 个角选取的可能性相同请用画树状图或列表的方法说明拼成的角是钝角的概率是多少 【分析】 （1）找到沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形即可； （2）根据概率公式计算即可解答 【解答】解： （1）结果是轴对称图形的概率是， 故答案为：； （2
30、）设角为 90，60，45，30分别为 A1，A2，B，C1，C2，D； 画树状图如图所示， 一共有 18 种结果，每种结果出现的可能性是相同的，而其中可以拼成的这个角是钝角的结果有 12 种， 这个角是钝角的概率是 23如图，已知ABC 三个顶点的坐标分别为 A（2，4） ，B（0，4） ，C（1，1） （1）请在网格中，画出线段 BC 关于原点对称的线段 B1C1； （2）请在网格中，过点 C 画一条直线 CD，将ABC 分成面积相等的两部分，与线段 AB 相交于点 D， 写出点 D 的坐标； （3）若另有一点 P（3，3） ，连接 PC，则 tanBCP 1 【分析】 （1）根据坐标画得
31、到对应点 B1、C1，连接即可； （2）取 AB 的中点 D 画出直线 CD， （3）得出PBC 为等腰直角三角形，PCB45，可求出 tanBCP1 【解答】解：如图： （1）作出线段 B1、C1连接即可； （2）画出直线 CD，点 D 坐标为（1，4） ， （3）连接 PB，PB2BC212+3210，PC222+4220， PB2+BC2PC2， PBC 为等腰直角三角形， PCB45， tanBCP1， 故答案为 1 24如图 1，点 A（0，8） 、点 B（2，a）在直线 y2x+b 上，反比例函数 y（x0）的图象经过点 B （1）求 a 和 k 的值； （2）将线段 AB 向右平
32、移 m 个单位长度（m0） ，得到对应线段 CD，连接 AC、BD 如图 2，当 m3 时，过 D 作 DFx 轴于点 F，交反比例函数图象于点 E，求 E 点的坐标； 在线段 AB 运动过程中，连接 BC，若BCD 是等腰三角形，求所有满足条件的 m 的值 【分析】 （1）把点 A 坐标代入直线 AB 的解析式中，求出 a，求出点 B 坐标，再将点 B 坐标代入反比例 函数解析式中求出 k； （2）确定出点 D（5，4） ，得到求出点 E 坐标； 先表示出点 C，D 坐标，再分三种情况：当 BCCD 时，判断出点 B 在 AC 的垂直平分线上，即可得 出结论，当 BCBD 时，表示出 BC，
33、用 BCBD 建立方程求解即可得出结论，当 BDAB 时，mAB， 根据勾股定理计算即可 【解答】解： （1）点 A（0，8）在直线 y2x+b 上， 20+b8， b8， 直线 AB 的解析式为 y2x+8， 将点 B（2，a）代入直线 AB 的解析式 y2x+8 中，得22+8a， a4， B（2，4） ， 将 B（2，4）代入反比例函数解析式 y（x0）中，得 kxy248； （2）由（1）知，B（2，4） ，k8，反比例函数解析式为 y， 当 m3 时，将线段 AB 向右平移 3 个单位长度，得到对应线段 CD， D（2+3，4） ，即 D（5，4） ， DFx 轴于点 F，交反比例函
34、数 y的图象于点 E， E（5，） ； 如图，将线段 AB 向右平移 m 个单位长度（m0） ，得到对应线段 CD， CDAB，ACBDm， A（0，8） ，B（2，4） ， C（m，8） ，D（ （m+2，4） ， BCD 是以 BC 为腰的等腰三角形， 当 BCCD 时，BCAB， 点 B 在线段 AC 的垂直平分线上， m224， 当 BCBD 时，B（2，4） ，C（m，8） ， BC， m， m5， 当 BDAB 时，mAB2， 综上所述，BCD 是以 BC 为腰的等腰三角形，满足条件的 m 的值为 4 或 5 或 2 25如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC6，E 是 BC 边的
35、中点，点 P 在线段 AD 上，过 P 作 PFAE 于 F， 设 PAx （1）求证：PFAABE； （2） 当点 P 在线段 AD 上运动时， 是否存在实数 x， 使得以点 P， F， E 为顶点的三角形也与ABE 相似？ 若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由； （3） 探究： 当以 D 为圆心， DP 为半径的D 与线段 AE 只有一个公共点时， 请直接写出 x 满足的条件： 或 0 x1 【分析】 （1）根据正方形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似； （2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：当PEFEAB 时，则得到 四边形
36、ABEP 为矩形，从而求得 x 的值；当PEFAEB 时，再结合（1）中的结论，得到等腰 APE 再根据等腰三角形的三线合一得到 F 是 AE 的中点， 运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解 （3）首先计算圆 D 与线段相切时，x 的值，在画出圆 D 过 E 时，半径 r 的值，确定 x 的值，半径比这时 大时符合题意，根据图形确定 x 的取值范围 【解答】 （1）证明：如图 1 中， 矩形 ABCD， ABE90，ADBC， PAFAEB， 又PFAE， PFA90ABE， PFAABE （2）解：分二种情况： 若EFPABE，如图 1，则PEFEAB， PEAB， 四边形 ABEP 为矩
37、形， PAEB3，即 x3， 如图 2，若PFEABE，则PEFAEB， ADBC PAFAEB， PEFPAF PEPA PFAE， 点 F 为 AE 的中点， RtABE 中，AB4，BE3， AE5， ， PFEABE， ， ， ，（8 分） 满足条件的 x 的值为 3 或 （3）如图 3，当D 与 AE 相切时，设切点为 G，连接 DG， APx， PDDG6x， DAGAEB，AGDB90， AGDEBA， ， ， x， 当D 过点 E 时，如图 4，D 与线段有两个公共点，连接 DE，此时 PDDE5， APx651， 当以 D 为圆心，DP 为半径的D 与线段 AE 只有一个公共
38、点时，x 满足的条件：x或 0 x1； 故答案为：x或 0 x1 x 满足的条件：或 0 x1 26如图，已知抛物线 yx2+4x+5 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）直接写出点 A、B、C 的坐标； （2）在抛物线的对称轴上存在一点 P，使得 PA+PC 的值最小，求此时点 P 的坐标； （3）点 D 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点 C、B 不重合）过点 D 作 DFx 轴于点 F，交直线 BC 于点 E，连接 BD，直线 BC 把BDF 的面积分成两部分，使 SBDE：SBEF2：3，请求出点 D 的坐 标； （4）若 M 为抛
39、物线对称轴上一动点，使得MBC 为直角三角形，请直接写出点 M 的坐标 【分析】 （1）令 y0，则 x1 或 5，令 x0，则 y5，即可求解； （2） 点 B 是点 A 关于函数对称轴的对称点， 连接 BC 交抛物线对称轴于点 P， 则点 P 为所求， 即可求解； （3）SBDE：SBEF2：3，则，即：，即可求解； （4）分 MB 为斜边、MC 为斜边、BC 为斜边三种情况，分别求解即可 【解答】解： （1）令 y0，则 x1 或 5，令 x0，则 y5， 故点 A、B、C 的坐标分别为： （1，0） 、 （5，0） 、 （0，5） ； （2）抛物线的对称轴为：x2， 点 B 是点 A
40、关于函数对称轴的对称点，连接 BC 交抛物线对称轴于点 P，则点 P 为所求， 直线 BC 的表达式为：yx+5， 当 x2 时，y3，故点 P（2，3） ； （3）设点 D（x，x2+4x+5） ，则点 E（x，x+5） ， SBDE：SBEF2：3，则， 即：， 解得：m或 5（舍去 5） ， 故点 D（，） ； （4）设点 M（2，m） ，而点 B、C 的坐标分别为： （5，0） 、 （0，5） ， 则 MB29+m2，MC24+（m5）2，BC250， 当 MB 为斜边时，则 9+m24+（m5）2+50，解得：m7； 当 MC 为斜边时，同理可得：m3； 当 BC 为斜边时，同理可得：m6 或1； 综上点 M 的坐标为： （2，7）或（2，3）或（2，6）或（2，1）
