1、1 七年级上七年级上 第二章 有理数 1相反意义的量向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。 2正数和负数 像+ ? 2 1 ，+12，1.3，258 等大于 0 的数（ “+”通常不写）叫正数。 像-5，-2.8，- 4 3 等在正数前面加“” （读负）的数叫负数。 【注】0 既不是正数也不是负数。 3有理数 （1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。 分数：正分数和负分数统称为分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 （2）有理数分类 1)按有理数的定义分类2）按正负分类 正整数正整数 整数0正有理数 有理数负整数有理数正分数 正分数0负整数 分数负有理数 负分数负分数
2、 2 4数轴 （1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 【注】1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可。 2） 数轴能形象地表示数， 所有的有理数都可用数轴上的点表示， 但数轴上的点所表示的数并不都是有理数 （2）在数轴上比较有理数的大小 1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数。 5相反数 （1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如5 与 5 互为相反数。 （2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。 （几何意义） （3）0 的相反数是 0
3、。也只有 0 的相反数是它的本身。 （4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。 （5）数 a 的相反数是a。 （6）多重符号化简 多重符号化简的结果是由“”号的个数决定的。如果“”号是奇数个，则结果为负； 如果是偶数个，则结果为 正。可简写为“奇负偶正”。 6绝对值 （1）在数轴上表示数 a 的点离开原点的距离，叫做数 a 的绝对值。 （2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零 0, 0, 0 0, a aa a aa （3）绝对值的主要性质 一个数的绝对值是一个非负数，即 a0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零 (4)两个相反数的绝对值相等 (
4、5)运用绝对值比较有理数的大小 两个负数，绝对值大的反而小. （6）比较两个负数的方法步骤是： 1）先分别求出两个负数的绝对值； 3 2）比较这两个绝对值的大小； 3）根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断 7有理数的加法 (1)有理数加法法则 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 3）互为相反数的两个数相加得零。 4）一个数与 0 相加，仍得这个数。 （2）有理数加法的运算律 加法交换律：abba 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 8. 有理数的减法 减去一个数等于加
5、上这个数的相反数。 a-b=a+(-b) 9有理数的加减混合运算 （1）省略加号和的形式：在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写。例如：把-8+（+10） +（-6）+（-4）写成省略加号和的形式为-8+10-6-4。读作“负 8，正 10，负 6，负 4 的和”也可读作“负 8 加 10 减 6 减 4。 （2）适当的应用加法运算律。 10有理数的乘法 （1）有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零。 （2）几个不等于零的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定，当负号的个数为奇数时，积为负；当负号的个 数为偶数时，积为正。 几个数相
6、乘，有一个因数为零，积就为零。 （3）乘法运算律 乘法交换律： ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)分配律：a(b+c)=ab+ac 11有理数的除法 （1）倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数。【注】0 没有倒数。 （2）有理数除法法则 1：除以一个数等于乘以这个数的倒数。 4 【注】0 不能做除数。 )0( 1 ab b ab 12有理数的乘方 （1）求几个相同因数积的运算，叫做乘方。 aaaa n a ? n个 （2）乘方的结果叫做幂，a 叫做底数，n 叫做指数。 （3）有理数乘方法则： 正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0 的任何非 0 次幂都是零。
7、 13科学记数法 （1）一般的，10 的 n 次幂，在 1 的后面有 n 的 0。 （2）一个大于 0 的数就记成 n a 10的形式。其中,101 an 是正整数。像这样的记数法叫做科学记数法。 （3）用科学记数法表示一个数时，10 的指数等于原数的整数位数减 1。 （或等于小数点向右移动的位数。 5 第三章 整式的加减第三章 整式的加减 1用字母表示数 代数式 用运算符号将数 字和字母连接起 来的式子 分式 分母中含有字 母 整式 单项式 数与字母的积 多项式 几个单项式的 和 代数式的运算 （合并同类 项） 合并同类项法 则： 同类项系数相加 所得的结果为系 数，字母和字母 的指数不变
8、去括号 括号前是加号 不改变符号 括号前是减号 都改变符号 3单项式 （1）如 100t、6a 2 、2.5x、vt、-n，它们都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个 字母也是单项式。 （2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 （3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 【注】1）当一个单项式的系数是 1 或-1 时， “1”通常省略不写。 2）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数。 4多项式 （1）几个单项式的和，叫做多项式。其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 （2）多项式的次数：多项式里次数最高
9、项的次数，叫做这个多项式的次数。 (3)一个多项式含有几项，就叫几项式；例如：x 2 +2x+18 是一个二次三项式。 【注】1）多项式的次数不是所有项的次数和。 2）多项式的每一项都包括它前面的正负号。 6 6升幂排列与降幂排列 为便于多项式的运算，可以用加法交换律将多项式各项的位置按某个字母的指数的大小顺序重新排列。 若按某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做这个多项式按这个字母降幂排列。 若按某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做这个多项式按这个字母升幂排列。 （3）角的分类 锐角 ? o 0 o 90 直角= o 90 钝角 o 90”或“” 、 “b，那么 a+cb+c，a-cb-c
10、。 性质 2不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 如果 ab，并且 c0，那么 acbc。 性质 3不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 如果 ab，并且 c0，那么 acbc。 5 一元一次不等式 一个未知数，是整式，未知数的次数是 1 6 一元一次不等式的解法 乘以或除以的数是负数，不等号需要改变方向。 7 一元一次不等式组把两个一元一次不等式和在一起，就得到了一元一次不等式组。 解集的确定方法 口诀：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小解不见。 a a a b axb b b a 无解 a b xn，a0） 2.整式的乘法 （1）单项式
11、与单项式相乘将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连 同它的指数一起作为积的一个因式。 （2）单项式与多项式相乘将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。 （3）多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 （a+b）(m+n)=am+bm+an+bn 3.乘法公式 (1)平方差公式：两数和乘以这两数的差，等于这两个数的平方差。 22 bababa （2）完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）这两数积的 2 倍。 22 2 2bababa 22 2 2bababa 4整式的除法 （1
12、）单项式除以单项式把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它 的指数一起作为商的一个因式。 （2）多项式除以单项式先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 15 5因式分解 （1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。 （2）公因式：多项式 ma+mb+mc 中的每一项都含有一个相同的因式 m，我们称之为公因式。 （3）提取公因式法：把公因式提出来，多项式 ma+mb+mc 就可以分解成两个因式 m 和（a+b+c）的乘积，这种 因式分解的方法，叫做提取公因式法。 （4）公式法：将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解的，这种
13、因式分解的方法成为公式法。 （5）十字相乘法：abxbax)( 2 =)(bxax（a、b 是常数） 公式特点：1）右边相乘的两个因式都只含有一个相同的字母，都是一次二项式，并且一次项的系数为一。2）左 边是二次三项式，二次项的系数是 1，一次项系数是两常数项之和，积的常数项等于两个因式中常数项之积。 第十三章全等三角形第十三章全等三角形 1命题 判断它是正确的或是错误的句子叫做命题。正确的命题叫做真命题，错误的命题叫假命题。 命题可以写成“如果，那么”的形式。 乘法公式 单项式乘单项式单项式乘单项式：把它们的系 数、相同字母的幂分别相乘，对 于只在一个单项式里含有的字 单项式乘多项式：单项式
14、乘多项式：用单项式乘多 项式的每一项 ，再把所得的积 相加 多项式乘多项式多项式乘多项式： 用多项式乘另 一个多项式的每一项 ，再把所 得的积相加 完全平方公式 (ab)2=a22ab+b2 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 分解因式（倒推） 十字相乘法 16 2定理 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这 样的真命题叫做公理。 3公理 数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为 判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定公理。 4全等三角形的判定 一般三角形SSSSASAS
15、AAAS 直角三角形SSSSASASAAASHL 5尺规作图 只有使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图。 （1）作一条线段等于已知线段 （2）作一个角等于已知角 （3）作已知角的平分线 （4）经过一已知点（直线上、直线外）作已知直线的垂线 （5）作已经线段的垂直的平分线 6逆命题 （1）对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆 命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。 （2）原命题为真，它的逆命题不一定为真 7等腰三角形的判定 （1）利用定义：两条边相等的三角形叫等腰三角形。 （2）如果一个三
16、角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 （等角对等边） 。 8.（1）直角三角形，斜边上的中线等于斜边一半 （2 在直角三角形中 30 度角所对的边等于斜边的一半。 9角平分线 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 10线段垂直平分线 到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 第十四章勾股定理第十四章勾股定理 1.对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么一定有 222 cba 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 直角三角形的判定：如果三角形的三边长 a,b,c 有关系， 222 cba，那么这个三角形是直
17、角三角形 2 常见的勾股数 3.4.56.8.105.12.13 第十五章 数据的收集与表示第十五章 数据的收集与表示 17 1 调查 普查 对所有考察对象所做的全面调查 抽查 对部分考察对象所做的调查 总体：所考察对象的全体个体：组成总体的每一个考察对象 样本：从总体中所抽取的一部分个体样本的容量：样本中个体的数目 2 数据的收集 明确调查对象确定调查对象选择调查方法展开调查记录结果得出结论 3 频数：表示每个对象出现的次数 4 频率：表示每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比） 。即频率=频数/数据总数。所有小组的频率之 和等于 1 5 频数和频率都能够反映每个对象的频繁程度。 5数
18、据的表示 （1）扇形统计图：是用圆的面积表示一组数据的整体，用圆中扇形的面积与圆面积的比来表示各组成部分在总 体中所占的百分比的统计图。它可以直观的反映出各部分数量在总量中所占的份额。 （2）条形统计图：是用宽度相同的条形的高低或长短来表示数据特征的统计图。它们可以直观的反映出数据的 数量特征。如果有两个研究对象，常常把两个对象的相应数据并列表示在同一张条形统计图中。 （3）折线统计图：是用折线表示数量变化规律的统计图。它能反映出各部分数据的变化趋势。 （4）统计图表：可以准确的反映出数据的不同特征。 八年级下八年级下 第十六章分式第十六章分式 1分式 形如 B A （A、B 是整式，且 B
19、中含有字母，0B）的式子，叫做分式。其中 A 叫做分式的分子，B 叫做分 式的分母。 【注】分式中。分母不能为零，否则分式无意义。 2有理式 整式和分式统称为有理式。 3分式的基本性质 18 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 1 最简分式 分子与分母没有公因式的分式称为最简分式。 6最简公分母 各分母所有因式的最高次幂的积 7分式的运算 （1）分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，如果得到的不是最简分式，应该通过约 分进行化简。 （2）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相除。 （3）分式的乘方等于分子分母分别乘方。 （4
20、）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。 8分式方程 （1）分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 （2）解分式方程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解。所乘 的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母。 （3）增根是指不适合原分式方程的解（或根） ，因此，解分式方程必须进行检验。 （4）解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零。有时为了 方便起见，可将它代入最简公分母中，看它的值是否为零，若为零，则为增根。 9零指数幂与负整指数幂 （1）任何不等于零的
21、数的零次幂都等于 1。 【注】0 的零次幂没有意义。 （2）任何不等于零的数的-n（n 为正整数）次幂，等于这个数的 n 次幂的倒数。 ? na a a n n , 0( 1 是正整数） 8 利用 10 的负整指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成 n a 10的形式，其中 n 是 正整数，101 a。 第十七章函数及其图像第十七章函数及其图像 1变量与函数 （1）变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。 （2）一般的，如果在一变化过程中，有两个变量，例如 x 和 y，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应， 我们就说 x 是自变量，y 是因变量。此时
22、也称 y 是 x 函数。 （3）表示函数关系的方法 1）解析法（关系式法） ：两个变量之间的关系，有时可以用一个含有这两个变量的等式表示，这种方法叫解析 式法。 2）列表法 3）图像法 （4）在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量。 （5）函数自变量的取值范围是指使函数有意义的自变量的取值全体。通常从两方面考虑 1）在实际问题中，自变 19 量 x 的取值会受到实际意义的限制。2）使函数的解析式有意义。 2函数的图像 （1）直角坐标系 1)在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴，这就建立了平面直角坐标系。通常把其 中水平的一条数轴叫做 x 轴或横
23、轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；两数轴的 交点 O 叫做坐标原点。 2)在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表示。例如点 P 分别向 x 轴和 y 轴作垂线，垂足 分别为 M 和 N。这时，点 M 在 x 轴上对应的数字是 m，称为点 P 的横坐标；点 N 在 y 轴上的坐标为 n，称为点 P 的纵坐标，得到一对有序实数（m，n） ，称为点 P 的坐标，可记为 P（m，n） 。 3)在平面直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成、四个区域，分别称为第一、二、三、四象限， 坐标轴上的点不属于任何一个象限。 4)在平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应
24、的。 横坐标纵坐标 M N x y O P n m 20 5) 不 同 位 置 点的坐标的特征 x 轴0任意实数 y 轴任意实数0 （2）函数的图像 1）一般来说，函数的图像是由直角坐标系中的一系列点组成。图像上的每一点的坐标 （x，y）代表函数的一对对应值，它的横坐标 x 表示自变量的某一个值，纵坐标 y 表示与它对应的函数值。 2）画函数图像的方法：描点法。即列表、描点、连线三步。 3一次函数 （1）函数的解析式都是用自变量的一次整式表示，我们称它们为一次函数。 一次函数通常可以表示为 y=kx+b 的形式，其中 k、b 是常数，k0。 特别的，当 b=0 时，一次函数 y=kx（常数 k
25、0） ，也叫做正比例函数。 （2）一次函数的图像 一次函数 y=kx+b（k、b 是常数，k0）的图像是一条直线，通常也称为直线 y=kx+b。特别的，正比例函 数 y=kx（k0）的图像是经过原点（0，0） 。 对于直线 y=kx+b（k、b 是常数，k0） ，k 表示直线的倾斜程度。b 是直线与 y 轴交点的纵坐标。 （3)一次函数的性质 当 k0 时，y 随 x 的增大而增大，这时函数的图像从左到右上升。 当 k0，b0 时，函数经过、象限。 当 k0，b0 时，函数经过、象限。 当 k0 时，函数经过、象限。 当 k0，b0 时，函数的图像在第、象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也
26、就是在每个象限内 y 随 x 的增大而减小。 2）当 k0 的自变量的所有的值，就是一元一次不等式 kx+b0 的解集。 第十八章平行四边形第十八章平行四边形 1平行四边形：有两组对边分别平行的四边形。 平行四边形 ABCD 可以记作ABCD。 2平行四边形的性质 （1）平行四边形两组对边分别平行。 （2）平行四边形对边相等，对角相等。 （3）平行四边形对角线互相平分。 （4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线交点。 （4）平行线之间的距离处处相等。 【注】两条直线平行，其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间 的距离。 3平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的
27、四边形是平行四边形。 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 第十九章 矩形 菱形和正方形 1矩形 （1）有一个角为直角的平行四边形。 （2）矩形特有的性质 1）矩形的四个角都是直角。 2）矩形的对角线相等且互相平分。 3）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形。 2矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）有三个角是直角的四边形是矩形。 3菱形 （1）有一组邻边相等的平行四边形。 （2）菱形特有的性
28、质 1）菱形的四条边都相等。 2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。 3）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形。 4菱形的判定 22 （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 （3）四条边都相等的四边形是菱形。 （4）每条对角线平分一组对角的四边形是菱形。 5正方形 （1）有一组邻边相等的矩形是正方形。 有一个角是直角的菱形是正方形。 （2）正方形的性质 1）四个角都是直角，四条边都相等。 2）正方形两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 6正方形的判定 （1）有一组邻边相等的矩形是正方形。 （2）有一个角是直角
29、的菱形是正方形。 （3）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 7梯形 （1）只有一组对边平行的四边形叫做梯形。两腰相等的梯形叫做等腰梯形。有一个角是直角的梯形叫做直角梯 形。 （2）等腰梯形总可以看成是一个平行四边形与一个三角形的组合。 1）等腰梯形是轴对称图形。只有一条对称轴，一底的垂直平分线。 2）等腰梯形同一底边上的两个内角相等。 3）等腰梯形的两条对角线相等。 8等腰梯形的判定 （1）两腰相等的梯形是等腰梯形。 （2）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。 （3）两条对角线相等的梯形是等腰梯形。 第二十章数据的整理与初步处理第二十章数据的整理与初步处理 1算术平均数 若
30、一组数据为 n xxxx., 321 ，它们的平均数为 x，则 n xxxx n x 321 1 。平均数反映了这组数 据中个数据的平均大小或者是集中趋势。 2加权平均数 一般来说，由于各个指标在总结果中占有不同的重要性，因而会被赋予不同的权重，各指标乘以相应的权重 后所得的平均数就是加权平均数。 )( 21 21 2211 nfff fff xfxfxf x n n nn 3扇形统计图的制作 （1）先计算出各部分数量占总数量的百分比。 23 （2）再算出表示各部分数量的扇形的圆心角的度数。 （3）按照圆心角度数，在圆中画出各个扇形。 （4）在每个扇形中标出所表示各个部分数量名称和所占的百分比
31、。 5中位数 把一组数据按由小到大的顺序排列，若有奇数个数时，则处在正中间的数是中位数。 若有偶数个数时，则取中间两个数的平均数是中位数。 中位数也反映的是一组数据的集中趋势。 6众数 一组数据中出现次数最多的那个数据值。它也反映的是一组数据的集中趋势。 一组数据中可以不止一个众数，也可以没有众数。 7极差=最大值最小值，反映这组数据的变化范围。 8方差 用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均。 ”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫 做方差。 通常用 2 s表示一组数据的方差， x表示一组数据的平均数。 22 2 2 1 2 1 xxxxxx n s n 9标准差 22 2
32、2 1 1 xxxxxx n s n 九年级上九年级上 第二十一章二次根式第二十一章二次根式 1二次根式 )0( aa表示非负数 a 的算术平方根，也就是说，)0( aa是一个非负数，它的平方等于 a，即有： （1） )0(0aa ? （2）)0( 2 aaa 形如)0( aa的式子叫做二次根式。 二次根式的性质： )0( )0( 2 aa aa a ? 2二次根式的乘法 两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘。 )0, 0(baabba 24 3积的算术平方根 积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。主要用于二次根式的化简。 )0, 0(babaab 4二次根式的除法 两个二次根式相除，将
33、它们的被开方数相除。 )0, 0(ba b a b a 2 商的算术平方根 商的算术平方根，等于各因式算术平方根的商。主要用于分母有理化，就是使分母中不含有二次根式，并且 二次根式中不含有分母。 )0, 0(ba b a b a 7最简二次根式 被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于 2，这样的二次根式称为最简二次根式。 8二次根式化简主要包括两方面 （1）如果被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将分母配成完全平方，再“开方”出来。 （2）如果被开方数中含有完全平方的因式（或因数） ，可利用积的算术平方根的性质，将它“开方”出来。 9同类二次根式 像33与32，?
34、a3、? a2与? a4这样的几个二次根式，称为同类二次根式。 二次根式的加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。 第二十二章一元二次方程第二十二章一元二次方程 1一元二次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的整式方程叫做一元二次方程。 一般形式：cbacbxax,(0 2 是已知数，)0a。其中cba,分别叫做二次项的系数，一次项的系数， 常数项。 2一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 （2）因式分解法 （3）配方法 （4）公式法04 2 4 2 2 acb a acbb x ? 3一元二次方程的判别式，acb4 2 当0时，方程有两个不等的实根。 25 当
35、0时，方程有两个相等的实根。 当0时，方程没有实数根。 a c xx a b xx 2121 , 第二十三章 图形的相似第二十三章 图形的相似 1相似图形 把具有相同形状的图形称为相似图形。 2成比例线段 对于四条线段,dcba如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如):(dcba d c b a ? ，那 么这四条线段叫做成比例线段。简称比例线段，此时也称这四条线段成比例。 3比例的基本性质 （1）如果 ? d c b a ，那么 ad=bc。 （2）如果 ad=bc,（a,b,c,d 都不等于零） ，那么 ? d c b a 。 4 （1）如果 ? d c b a ，那么 ? d
36、 dc b ba 。 （2）如果 ? d c b a ，那么 ? dc c ba a 。 5相似多边形的性质 对应边成比例，对应角相等。 （也是判断两个多边形相似的方法） 6相似三角形 （1）相似用“”来表示。 （2）ABCABC ，对应顶点要写在对应位置上。 （3）如果记k CA AC CB BC BA AB ，那么这个比值 k 就是这两个相似三角形的相似比。 （4）全等三角形是相似三角形的特例。 7相似三角形的判定 （1）如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。 （2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且相应的夹角相等,那么这
37、两个三 角形相似。 （3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。 8相似三角形的性质 （1）相似三角形的对应高的比等于相似比。 （2）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 （3）相似三角形的对应中线、对应角平分线的比等于相似比。 （4）相似三角形周长的比等于相似比。 9中位线 （1）三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段。 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。 26 （2） 三角形三条边上的中线交于一点， 这个点就是三角形的重心， 重心与一边中点的线段的长是对应中线长的 3 1 。 （3）梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一半。
38、10画相似图形 位似：两个相似的多边形，它们对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似。这一点叫做位似中心。 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比。 第二十四章 解直角三角形第二十四章 解直角三角形 1锐角三角函数 （1）在 RtABC 中 A 的正弦：sinA=A 的对边/斜边 A 的余弦：cosA=A 的邻边/斜边 A 的正切：tanA=A 的对边/A 的邻边 A 的余切：cotA=A 的邻边/A 的对边 （2）0sinA10cosA0 时，图像开口向上，函数有最小值。当 x0 时，y 随 x 的增大而增 大。 当 ao 时，图像开口向下，函数有最大值。当 x0 时，y
39、 随 x 的增大而减 小。 3)0( 2 akaxy ? 的图像与性质 （1）)0( 2 akaxy ? 由)0( 2 aaxy向上（或向下）平移 k 个单位得到的。 （2）对称轴是 y 轴，顶点坐标是（0,k） 。 （3）当 a0 时，图像开口向上，函数有最小值，即当 x=0 时，y=k。当 x0 时， y 随 x 的增大而增大。 当 ao 时，图像开口向下，函数有最大值，即当 x=0 时，y=k。当 x0 时， y 随 x 的增大而减小。 4)0()( 2 ahxay的图像与性质 (1)0()( 2 ahxay由)0( 2 aaxy向左（或向右）平移 h 个单位得到的。 （2）对称轴是 x
40、=h，顶点坐标是（h，0） 。 （3）当 a0 时，图像开口向上，函数有最小值，即当 x=h 时，y=0。当 xh 时， y 随 x 的增大而增大。 当 ao 时，图像开口向下，函数有最大值, 即当 x=h 时，y=0。当 xh 时， y 随 x 的增大而减小。 5 2 )(hxay+k（a0）的图像与性质 （1）khxay 2 )(（a0）由 2 axy （a0）先向右（或向左）平移 h 个单位，再向上（或向下）平移 k 个单位得到的。 （2）对称轴是 x=h，顶点坐标是（h，k） 。 28 （3）当 a0 时，图像开口向上，函数有最小值，即当 x=h 时，y=k。当 xh 时， y 随 x
41、 的增大而增大。 当 ao 时，图像开口向下，函数有最大值, 即当 x=h 时，y=k。当 xh 时， y 随 x 的增大而减小。 (4)二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数 2 )(hxay+k（a0）中 k 的值；左右平移，只影响 h 的值， 抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径此外， 图象的平移与平移的顺序无关。 6 通 过 配 方 把 二 次 函 数)0( 2 acbxaxy化 成 2 )(hxay+k （ a0 ） 的 形 式 ， 即 a bac a b xay 4 4 ) 2 ( 2 2 （1）对称轴 a b x 2 ，顶点
42、坐标（ a bac a b 4 4 , 2 2 ） （2）当 a0 时，图像开口向上，函数有最小值，即当 x= a b 2 时，y= a bac 4 4 2 。当 x a b 2 时，y 随 x 的增大而增大。 当 ao 时，图像开口向下，函数有最大值, 即当 x= a b 2 时，y= a bac 4 4 2 。当 x a b 2 时，y 随 x 的增大而减小。 7最大值或最小值的求法，第一步确定 a 的符号，a0 有最小值，a0 有最大值；第二步配方求顶点，顶点的 纵坐标即为对应的最大值或最小值。 解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果。 8会
43、根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式。 （1）一般式：)0( 2 acbxaxy，给出三点坐标可利用此式来求。 （2）顶点式：)0()( 2 akhxay，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求。 （3）交点式：)0)()( 21 axxxxay，给出三点，其中两点为与 x 轴的两个交点)0 ,( 1 x、)0 ,( 2 x时可利 用此式来求。 9抛物线与直线的交点 一次函数)0(abaxy与二次函数)0( 2 acbxaxy交点的个数由方程组 cbxaxy baxy 2 的 解得个数决定。 当方程组有两个不同解时，两函数图像有两个交点。 当方程组有两个相同解时，两函数图像
44、有一个交点。 29 当方程组无解时，两函数图像没有交点。 10二次函数与一元二次方程的关系 （1）二次函数)0( 2 acbxaxy，当 y=0 时，二次函数就转化为一元二次方程)0(0 2 acbxax。 （2）抛物线与 x 轴交点的个数就由一元二次方程)0(0 2 acbxax中的acb4 2 决定。 若0，抛物线与 x 轴有两个交点，方程)0(0 2 acbxax有两个不等的实根，这两个与 x 轴交点 的横坐标就是一元二次方程的两个实根。 若0，抛物线与 x 轴有一个交点，方程)0(0 2 acbxax有两个相等的实根，此时一元二次方程 的根就是抛物线顶点的横坐标。 若0?，抛物线与 x
45、 轴没有交点，方程)0(0 2 acbxax无实根，0a抛物线在 x 轴上方，0a， 抛物线在 x 轴下方。 11二次函数)0( 2 ? acbxaxy与一元二次不等式之间的关系 若0，0 2 cbxaxy的解集为)(, 2121 xxxxxx； 0 2 cbxaxy的解集为)( 2121 xxxxx。 若0，0 2 cbxaxy的解集为 2, 1 xx ； 0 2 cbxaxy的无解。 若0，0 2 cbxaxy的解集为 x 可取任意实数。 0 2 cbxaxy的无解。 第二十七章 圆第二十七章 圆 1圆的认识 （1）当一条线段 OA 绕着它的一个端点 O 在平面内旋转一周时，它的另一个端点
46、 A 的轨迹叫做圆。或到一个定 点的距离等于定长的点的集合。这个以点 O 为圆心的圆叫作“圆 O” ，记为“O” 。 （2）线段 OA、OB、OC 都是圆的半径，线段 AC 为直径。 （3）连结圆上任意两点之间的线段叫做弦如线段 AB、BC、AC 都是圆 O 中的弦。 （4）圆上任意两点间的部分叫做弧。如曲线 BC、BAC 都是圆中的弧，分别记为BC 、 BAC ，其中像弧BC 这样小于 半圆周的圆叫做劣弧。像弧BAC ，这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。 30 （3）圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。如AOB、AOC、BOC 就是圆心角。 2圆的对称性 （1）在同一个圆中，相等的
47、圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。 （2）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角、所对的弧相等。 （3）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。 （4）圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。 3垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。 4圆周角 （1）圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。 （2）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于 90（直角） 。 90的圆周角所对的弦是圆的直径。 （3）同圆或等圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大
48、小都等于该弧所对的圆心角的一半。 （4）同弧（或等弧）所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。 5点与圆的位置关系 设O 的半径为 r，点圆心 O 的距离为 d，则 （1）点在圆外dr （2）点在圆上dr （3）点在圆内dr 6 （1）过一点可以画无数个圆； 过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上； 过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。 （2）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形 的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点。 （3）一个三角形的外接圆是唯一的。 7直线与圆的
49、位置关系 （1）如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离。 （2）如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切。此时这条直线叫做圆的切线， 这个公共点叫做切点 （3）如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，此时这条直线叫做圆的割线 如上图，设O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，从图中可以看出： 若dr直线l与O相离； 若dr直线l与O相切； 若dr直线l与O相交； 31 8切线 （1）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2）性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论：1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 （3）切线长：把切线上某一点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 性质：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。这一点与圆心
