1、 1 初中数学教材知识梳理系统复习 第一单元第一单元 数与式数与式 第第 1 讲讲 实实 数数 知识点一：实数的概念及分类知识点一：实数的概念及分类 关键点拨及对应举例关键点拨及对应举例 1.实数 （1）按定义分 （2）按正、负性分 正有理数 有理数 0 有限小数或 正实数 负有理数 无限循环小数 实数 0 实数 正无理数 负实数 无理数 无限不循环小数 负无理数 （1）0 既不属于正数，也不属于负数. （2）无理数的几种常见形式判断：含的式 子；构造型：如 3.010010001（每两个 1 之间多个 0）就是一个无限不循环小数； 开方开不尽的数：如， ；三角函数型：如 sin60，tan2
2、5. （3）失分点警示：失分点警示：开得尽方的含根号的数属于 有理数，如=2，=-3，它们都属于有理数. 知识点二知识点二 ：实数的相关概念：实数的相关概念 2.数轴 （1）三要素：原点、正方向、单位长度 （2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示 的数总比左边的点表示的数大 例：例： 数轴上-2.5表示的点到原点的距离是2.5. 3.相反数 （1）概念：只有符号不同的两个数 （2）代数意义：a、b 互为相反数 a+b=0 （3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距 离相等 a 的相反数为-a，特别的 0 的绝对值是 0. 例：例：3 的相反数是-3，-1 的相反数是
3、1. 4.绝对值 （1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离 （2）运算性质：|a|= a (a0)； |a-b|= a-b(ab) -a(a0). b-a(ab) （3）非负性：|a|0，若|a|+b2=0,则 a=b=0. （1）若|x|=a（a0） ，则 x=a. （2） 对绝对值等于它本身的数是非负数. 例：例：5 的绝对值是 5；|-2|=2；绝对值等于 3 的是3;|1-|=-1. 5.倒数 （1）概念：乘积为 1 的两个数互为倒数.a 的倒数为 1/a(a0) （2）代数意义：ab=1a,b 互为倒数 例：例： -2 的倒数是-1/2 ；倒数等于它本身的数 有1. 知识点三知识点
4、三 ：科学记数法、近似数：科学记数法、近似数 6.科学记 数法 （1）形式：a10n,其中 1|a|10，n 为整数 （2）确定 n 的方法：对于数位较多的大数，n 等于原数的整数为 减去 1；对于小数，写成 a10 -n，1|a|10，n 等于原数中左起 至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个） 例：例： 21000 用科学记数法表示为 2.1104； 19 万用科学记数法表示为 1.9105； 0.0007 用科学记数法表示为 710-4. 7.近似数 （1）定义：一个与实际数值很接近的数. （2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪 一位. 例：例： 3.141
5、59 精确到百分位是 3.14；精确 到 0.001 是 3.142. 知识点四知识点四 ：实数的大小比较：实数的大小比较 8.实数的 大小比较 （1）数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大. （2）性质比较法：正数0负数；两个负数比较大小，绝对值 大的反而 小. （3）作差比较法：a-b0ab；a-b=0a=b；a-b0ab. （4）平方法：ab0a2b2. 例：例： 把 1，-2,0，-2.3 按从大到小的顺序排 列结果为_10-2-2.3_. 2 第第 2 讲讲 整式与因式分解整式与因式分解 知识点一：知识点一：代数式及相关概念代数式及相关概念 关键点拨及对应举例关键点拨及对
6、应举例 1.代数 式 （1）代数式代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字字 母母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式 （2）求代数式的值求代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫做 求代数式的值 求代数式的值常运用整体代入法计算. 例：ab3，则 3b3a9. 2.整 式 （ 单 项式、 多 项 式） （1）单项式单项式：表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项 式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和和叫做单项式的 次数. （2）多项式多项式：几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项式的项，次数最高 的项的
7、次数叫做多项式的次数. （3）整式整式：单项式和多项式统称为整式. （4）同类项同类项：所含字母相同并且相同字母的指数指数也相同的项叫做同类项.所有 的常数项都是同类项. 例： （1）下列式子：-2a2;3a-5b；x/2; 2/x;7a2;7x2+8x3y； 2017.其中属于 单项式的是；多项式是； 同类项是和. （2） 多项式 7m5n-11mn2+1 是六次三项式， 常数项是 _1 . 知识点二：整式的运算知识点二：整式的运算 3.整 式 的 加 减 运 算 (1)合并同类项法则合并同类项法则:同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指 数不变 (2)去括号法则去括号法则:
8、若括号外是 “” ， 则括号里的各项都不变号； 若括号外是 “” ， 则括号里的各项都变号变号. (3)整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项. 失分警示：去括号时，如果括号外面是符 号，一定要变号，且与括号内每一项相乘， 不要有漏项. 例：2(3a2b1)6a4b2. 4.幂 运 算 法 则 (1)同底数幂的乘法：am anam n； (2)幂的乘方：(am)namn； (3)积的乘方：(ab)nan bn； (4)同底数幂的除法：am anam n (a0). 其中 m,n 都在整数 (1)计算时，注意观察，善于运用它们的逆 运算解决问题.例：已知 2m+n=2,则 3 2m2n=6.
9、 （2）在解决幂的运算时，有时需要先化成 同底数.例：2m4m=23m. 5.整 式 的 乘 除 运 算 (1)单项式 单项式：系数和同底数幂分别相乘；只有一个字母的照抄 (2)单项式 多项式： m(a+b)=ma+mb. (3)多项式 多项式: (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb. (4)单项式 单项式：将系数、同底数幂分别相除. (5)多项式 单项式：多项式的每一项除以单项式；商相加 失分警示：失分警示：计算多项式乘以多项式时，注 意不能漏乘，不能丢项，不能出现变号错. 例：(2a1)(b2)2ab4ab2. 知识点五知识点五 ：实数的运算：实数的运算 9. 常 见 运 算 乘
10、方 几个相同因数的积; 负数的偶（奇）次方为正（负） 例：例： （1）计算：1-2-6=_-7_;(-2)2=_4_; 3-1=_1/3_;0=_1_; (2)64的平方根是_8_,算术平方根是 _8_,立方根是_4_. 失分点警示：失分点警示：类似 “的算术平方根”计 算错误. 例：相互对比填一填：16 的 算术平方根是 4_,的算术平方根是 _2_. 零次幂 a 0=_1_(a0) 负指数幂 a -p=1/ap（a0，p 为整数） 平方根、 算术平方根 若 x 2=a（a0）,则 x= a.其中a是算术平方根. 立方根 若 x 3=a,则 x=3 a . 10.混合运算 先乘方、开方，再乘
11、除，最后加减；同级运算，从左 向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、 中括号、大括号一次进行.计算时，可以结合运算律， 使问题简单化 3 （6） 乘法 公式 平方差公式：(ab)(ab)a2b2. 注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的 运用 完全平方公式：(a b)2a2 2abb2. 变形公式： a2+b2=(ab)22ab,ab=【(a+b)2-（a2+b2） 】 /2 6.混合 运算 注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；若为化简求值，一般步骤为：化简、 代入替换、计算 例： （a-1）2-(a+3)(a-3)-10=_-2a_. 知识点五：因式分解知识点五：因式分解 7.因式
12、分解 (1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式 (2)常用方法：提公因式法：mambmcm(abc). 公式法：a2b2(ab)(ab)；a2 2abb2(a b)2. (3)一般步骤：若有公因式，必先提公因式；提公因式后，看是否能用公式 法分解；检查各因式能否继续分解. (1) 因式分解要分解到最后结果不能再分 解为止，相同因式写成幂的形式； (2) 因式分解与整式的乘法互为逆运算 第第 3 讲讲 分分 式式 知识点一：知识点一：分式分式的相关概念的相关概念 关键点拨及对应举例关键点拨及对应举例 1. 分式的 概念 （1）分式：形如 B A (A，B 是整式，且 B 中含有字母，B0)
13、 的式子. （2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式. 在判断某个式子是否为分式时，应注意： （1）判 断化简之间的式子； （2）是常数，不是字母. 例：下列分式：; ; 2 22 1 x x ，其中是分 式是；最简分式 . 2.分式的 意义 (1)无意义的条件：当 B0 时，分式 B A 无意义； (2)有意义的条件：当 B0 时，分式 B A 有意义； (3)值为零的条件：当 A0，B0 时，分式 B A 0. 失分点警示：失分点警示：在解决分式的值为 0，求值 的问题时， 一定要注意所求得的值满足分 母不为 0. 例： 当 2 1 1 x x 的值为 0 时，则 x-1. 3.基本性
14、质 ( 1 ) 基本性质： AA C BB C AC BC (C0) （2）由基本性质可推理出变号法则为： AAA BBB ； AAA BBB . 由分式的基本性质可将分式进行化简： 例：化简： 2 2 1 21 x xx = 1 1 x x . 知识点三知识点三 ：分式的运算：分式的运算 4.分式的 约 分 和 通分 (1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去， 即 b a bm am ； (2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分 式化为同分母的分式，即 bc bd bc ac d c b a , 分式通分的关键步骤是找出分式的最 简公分母，然后根据分式的
15、性质通分. 例：分式 2 1 xx 和 1 1x x 的最简公分母 为 2 1x x . 5.分式的 加减法 (1)同分母：分母不变，分子相加减.即a c b c a b c ； (2)异分母： 先通分， 变为同分母的分式， 再加减.即a b c d ad bc bd . 例：例： 1 11 x xx 1. 2 112 . 111 a aaa 4 6.分式的 乘除法 (1)乘法：a b c d ac bd； (2)除法： ac bd ad bc ； (3)乘方： n a b n n a b (n 为正整数). 例：例： 2 ab b a 1 2 ； 21 xxy 2y； 3 3 2x 3 27
16、 8x . 7.分式的 混合运算 (1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先 分解后约分. (2)含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方， 再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的 失分点警示：失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化 简到最简分式或整式最简分式或整式的形式，再代入求值.代入 数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到 整体代入. 第第 4 讲讲 二次根式二次根式 知识点一：二次根式知识点一：二次根式 关键点拨及对应举例关键点拨及对应举例 1.有关概念 （1）二次根式的概念：形如 a(a0)的式子. （2）二次根式有意义的条
17、件：被开方数大于或等于大于或等于 0. （3）最简二次根式最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整 式（分母中不含根号） ；被开方数中不含能开得尽方 的因数或因式 失分点警示：失分点警示：当判断分式、二次根式组成的复 合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都 有意义，即分母不为 0，被开方数大于等于 0 等.例：若代数式 1 1x 有意义，则 x 的取值 范围是 x1. 2.二次根 式 的性质 （1）双重非负性： 被开方数是非负数，即 a0； 二次根式的值是非负数，即a0. 注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平 方根、二次根式. 利用二次根式的双重非负性解题： （1）值非负:
18、当多个非负数的和为 0 时，可得 各个非负数均为 0.如1a+1b =0， 则 a=-1，b=1. （2）被开方数非负:当互为相反数的两个数同 时出现在二次根式的被开方数下时，可得 这一对相反数的数均为 0.如已知 b= 1a + 1 a ,则 a=1,b=0. (2)两个重要性质： ( a)2a(a0)； a2|a| 0 0 aa a a ； (3)积的算术平方根：aba b(a0，b0)； (4)商的算术平方根： a b a b (a0，b0) 例：计算： 2 3.143.14；222； 24=；=2 ； 442 939 知识点二知识点二 ：二次根式的运算：二次根式的运算 3.二次根式的
19、加减法 先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次 根式 例：例：计算：28323 2. 4.二次根式的 乘除法 （1）乘法：a b = ab(a0，b0)； 注意：将运算结果化为最简二次根式. 例：例：计算： 32 23 1； 3232 22 4. 5 （2）除法： a b = a b (a0，b0) 5.二次根式的 混合运算 运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最 后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号） 运算时，注意观察，有时运用乘法公式 会使运算简便. 例：计算：(2+1)( 2 -1)= 1 . 第二单元第二单元 方程方程(组组)与不等式与不等式(组组)
20、 第第 5 讲讲 一次方程一次方程(组组) 知识点一：方程及其相关概念知识点一：方程及其相关概念 关键点拨及对应举例关键点拨及对应举例 1.等式的基 本性质 (1)性质 1：等式两边加或减同一个数或同一个整式，所得结果 仍是等式.即若 ab，则 a cb c . (2)性质 2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为 0） ， 所得结果仍是等式.即若 ab，则 acbc， ab cc (c0) (3)性质 3： （对称性）若 a=b,则 b=a. (4)性质 4： （传递性）若 a=b,b=c,则 a=c. 失分点警示：失分点警示： 在等式的两边同除以一 个数时，这个数必须不为 0. 例：判
21、断正误. (1)若 a=b,则 a/c=b/c. () (2)若 a/c=b/c，则 a=b. () 2.关于方程 的基本概念 (1)一元一次方程：只含有一一个未知数，并且未知数的次数是 1， 且等式两边都是整式的方程 (2)二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次 数都是 1 的整式方程 (3)二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的 一组方程 (4)二元一次方程组的解： 二元一次方程组的两个方程的公共解 在运用一元一次方程的定义解题时， 注意一次项系数不等于 0. 例： 若(a-2) |a 1| 0 xa 是关于 x 的一 元一次方程，则 a 的值为 0. 知识点二
22、知识点二 ：解一元一次方程和二元一次方程组解一元一次方程和二元一次方程组 3.解一元一 次方程的步骤 (1)去分母:方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数项； (2)去括号：括号外若为负号，去括号后括号内各项均要变号； (3)移项：移项要变号； (4)合并同类项：把方程化成 ax=-b(a0)； (5)系数化为 1：方程两边同除以系数 a,得到方程的解 x=-b/a. 失分点警示：失分点警示：方程去分母时，应该将 分子用括号括起来，然后再去括号， 防止出现变号错误. 4.二元一次 方程组的解法 思路：消元，将二元一次方程转化为一元一次方程. 已知方程组，求相关代数式的值时， 需注意观察，有
23、时不需解出方程组， 利用整体思想解决解方程组. 例： 已知 29 23 xy xy 则 x-y 的值为 x-y=4. 方法： (1)代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把 “它”代入另一个方程，进行求解； (2) 加减消元法： 把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未 知数的方法. 知识点三知识点三 ：一次一次方程方程(组组)的实际应用的实际应用 6 5.列方程(组) 解应用题的 一般步骤 (1)审题：审清题意，分清题中的已知量、未知量； (2)设未知数； (3)列方程(组)：找出等量关系，列方程（组） ； (4)解方程(组)； (5)检验：检验所解答案是否正确或是否满足符合题
24、意； (6)作答：规范作答，注意单位名称 （1）设未知数时，一般求什么设什么，但 有时为了方便，也可间接设未知数.如题目 中涉及到比值，可以设每一份为 x. （2）列方程（组）时，注意抓住题目中的 关键词语，如共是、等于、大（多）多少、 小（少）多少、几倍、几分之几等. 6.常见题 型 及关系式 （1）利润问题：售价=标价折扣，销售额=售价销量，利润=售价-进价，利润率=利润/进价100%. （2）利息问题：利息=本金利率期数，本息和=本金+利息. （3）工程问题：工作量=工作效率工作时间. （4）行程问题：路程=速度时间. 相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程； 追及问题：a.同地不同时
25、出发：前者走的路程=追者走的路程；b.同时不同地出发：前者走的路程 +两地间距离=追者走的路程. 第第 6 讲讲 一元二次方一元二次方程程 知识点一：一元二次方程及其解法知识点一：一元二次方程及其解法 关键点拨及对应举例关键点拨及对应举例 1. 一元二 次方程的 相关概念 (1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程 (2)一般形式：ax2bxc0(a0)，其中 ax2、bx、c 分别叫做二次项、 一次项、常数项，a、b、c 分别称为二次项系数、一次项系数、常数项 例：方程20 a ax 是关于 x 的 一元二次方程，则方程的根为1. 2.一元 二 次 方 程 的解法 （
26、1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n0)的方程，可直接开平方求解. ( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0 的方程，用因式分解法求解. ( 3 )公式法:一元二次方程 ax2bxc0的求根公式为x= 2 4 2 bbac a （b2-4ac0）. (4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为 1，一次项系数为偶数时， 也可以考虑用配方法 解一元二次方程时，注意观 察， 先特殊后一般，即先考 虑能否用直接开平方法和因 式分解法，不能用这两种方法 解时，再用公式法. 例：把方程 x2+6x+3=0 变形为 (x+h)2=k 的形式后，h=-3,k=6. 知识点二知识点二 ：一
27、元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式及根与系数的关系及根与系数的关系 3.根的 判 别式 (1)当 2 4bac0 时，原方程有两个不相等的实数根 (2)当 2 4bac =0 时，原方程有两个相等的实数根 (3)当 2 4bacb c； 性质 2：若 ab,c0，则 acbc， a c b c ； 性质 3：若 ab,c0，则 acbc， a c b c . 牢记不等式性质 3，注意变号. 如：在不等式2x4 中，若将 不等式两边同时除以2，可得 x2. 知识点二知识点二 ：一元一次不等式一元一次不等式 3.定义 用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是 1 的， 左右
28、两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若 2 30 m mx 是关于 x 的一 元一次不等式，则 m 的值为-1. 4.解法 （1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为 1. 失分点警示失分点警示 系数化为 1 时， 注意系数的正负 性，若系数是负数，则不等式改 变方向. （2）解集在数轴上表示: xa xa xa xa 知识点三知识点三 ：一元一次不等式组的定义及其解法：一元一次不等式组的定义及其解法 5.定义 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起， 就组成一个一元 一次不等式组 （1）在表示解集时“”，“” 表示含有，要用实心圆点表 示；“”，“”表示不包含要 用
29、空心圆点表示 （2）已知不等式（组）的解集 情况，求字母系数时，一般先 视字母系数为常数， 再逆用不 等式（组）解集的定义，反推 出含字母的方程， 最后求出字 母的值. 如：已知不等式（a-1）x1-a 的解集是 x-1，则 a 的取值 范围是 a1. 6.解法 先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分 7.不等式 组 解 集 的类型 假设 ab 解集 数轴表示 口诀 xa xb xb 大大取大 xa xb xa 小小取小 xa xb axb 大小，小大中间找 xa xb 无解 大大，小小取不了 知识点四知识点四 ：列不等式解决简单的实际问题列不等式解决简单的实际问题 8.列不等
30、式 解 应 用题 （1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不 等式；验检是否有意义. （2）应用不等式解决问题的情况： a.关键词：含有“至少（） ” 、 “最多（） ” 、 “不低于（） ” 、 “不 高于（） ” 、 “不大（小）于” 、 “超过（） ” 、 “不足（） ”等； b.隐含不等关系：如“更省钱” 、 “更划算”等方案决策问题，一般 还需根据整数解，得出最佳方案 注意： 列不等式解决实际问题中， 设未 知数时， 不应带 “至少” 、 “最多” 等字眼，与方程中设未知数一 致. 9 第第 9 讲讲 平面直角坐标系与函数平面直角坐标系与函数 知识点一：知识点一：
31、平面直角坐标系平面直角坐标系 关键点拨及对应举例关键点拨及对应举例 1.相关概念 （1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系 （2）几何意义：坐标平面内任意一点 M 与有序实数对(x，y)的关系是一一对应 点的坐标先读横坐标(x 轴)， 再读纵坐标(y 轴). 2.点 的 坐 标 特征 ( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示） ： 点 P(x,y)在第一象限x0，y0； 点P(x,y)在第二象限x0，y0； 点P（x,y）在第三象限x0，y0； 点P（x,y）在第四象限x0，y0. （2）坐标轴上点的坐标特征： 在横轴上y0；在纵轴上x0；原点x0，y0. （
32、3）各象限角平分线上点的坐标 第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等相等； 第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数互为相反数 （4）点 P（a,b）的对称点的坐标特征： 关于 x 轴对称的点 P1的坐标为(a，b)；关于 y 轴对称的点 P2的坐标为(a，b)； 关于原点对称的点 P3的坐标为(a，b) （5）点 M（x,y）平移的坐标特征： M（x,y） M1(x+a,y) M2(x+a,y+b) （1） 坐标轴上的点不属于任 何象限. （2） 平面直角坐标系中图形 的平移，图形上所有点的 坐标变化情况相同. （3） 平面直角坐标系中求图 形面积时，先观察所求图形 是否为规则图
33、形，若是，再 进一步寻找求这个图形面积 的因素，若找不到，就要借 助割补法，割补法的主要秘 诀是过点向 x 轴、y 轴作垂垂 线线，从而将其割补成可以直 接计算面积的图形来解决. 3.坐 标 点 的 距离问题 （1）点 M(a,b)到 x 轴，y 轴的距离：到 x 轴的距离为|b|；)到 y 轴的距离为|a| （2）平行于 x 轴，y 轴直线上的两点间的距离： 点 M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1x2|，点 M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为|x1x2|； 点 M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为|y1y2|，点 M1(x，y1)，M2(x，y2)间的距离
34、为|y1y2| 平行于 x 轴的直线上的点纵 坐标相等相等；平行于 y 轴的直 线上的点的横坐标相等相等. 知识点二：知识点二：函函 数数 4.函数的相关 概念 （1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量 叫做变量 （2）函数：在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，对于 x 的每一个值，y 都有唯一确 定的值与其对应，那么就称 x 是自变量，y 是 x 的函数函数的表示方法有：列表法、 图像法、解析法. （3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次 根式的被开方数为非负非负数；使实际问题有意义 失分点警示失分点警示 函数
35、解析式，同时有几个代 数式，函数自变量的取值范 围应是各个代数式中自变量 的公共部分. 例：函数 y= 3 5 x x 中自变量的取值范围 是 x x- -3 3 且且 x x5 5. 5.函数的图象 （1）分析实际问题判断函数图象的方法： 找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点； 找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化； 判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向. （2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法： 设时间为 t（或线段长为 x） ，找因变量与 t(或 x)之间存在的函数关系，用含 t(或 x)的 式子表示， 再找相应的函数
36、图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围. 读取函数图象增减性的技 巧：当函数图象从左到右 呈 “上升” （ “下降” ） 状态时， 函数y随x的增大而增大增大 （减 小） ；函数值变化越大大，图 象越陡峭；当函数 y 值始 终是同一个常数，那么在这 个区间上的函数图象是一条 x y 第四象限 (，) 第三象限 (，) 第二象限 (，) 第一象限 (，) 123123 1 2 3 1 2 3 O 10 平行平行于 x 轴的线段. 第第 10 讲讲 一次函数一次函数 知识点一知识点一 ：一次函数的概念及其图象、性质：一次函数的概念及其图象、性质 关键点拨与对应举例关键点拨与对应举例 1.一次
37、函数的 相关概念 （1）概念：一般来说，形如 ykxb(k0)的函数叫做一次函数特别地，当 b 0 时，称为正比例函数 （2）图象形状：一次函数 ykxb 是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地， 正比例函数 ykx 的图象是一条恒经过点（0,0）的直线. 例：当 k1 时，函数 ykxk 1 是正比例函数, 2.一 次 函 数 的性质 k，b 符号 K0， b0 K0， b0 K0， b=0 k0 k0， b0 k0 图象经过 第 一、三象限 （x、y 同号） 每个象限内，函数 y 的值 随 x 的增大而减小. k 2 b a 时， y 随 x 的增大而增大增大； 当 x 2
38、 b a 时， y 随 x 的增大而减小减小. 当 x 2 b a 时，y 随 x 的增大而减小减小； 当 x 2 b a 时， y 随 x 的增大而增大增大. 最值 x= 2 b a ， y最小 2 4 4 acb a . x= 2 b a ， y最大 2 4 4 acb a . 3.系数 a、 b、c a 决定抛物线的开口方 向及开口大小 当 a0 时，抛物线开口向上； 当 a0 时，抛物线开口向下. 某些特殊形式代数式的符号： ab+c 即为 x=1 时，y 的值； 4a2b+c 即为 x= 2 时，y 的值. 2a+b 的符号， 需判断对称 轴-b/2a 与 1 的大小.若对称轴 在直
39、线 x=1 的左边，则-b/2a 1，再根据 a 的符号即可得 出结果.2a-b 的符号， 需判断 对称轴与-1 的大小. a、 b 决定对称轴（x=-b/2a） 的位置 当 a，b 同号，-b/2a0，对称轴在 y 轴左边； 当 b0 时， -b/2a=0，对称轴为 y 轴； 当 a，b 异号，-b/2a0，对称轴在 y 轴右边 c 决定抛物线与y轴的交 点的位置 当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点在正半轴上； 当 c0 时，抛物线经过原点； 当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点在负半轴上. b2 4ac 决定抛物线与x轴的交 点个数 b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点; b
40、24ac0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点; b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 知识点三知识点三 ：二次函数的二次函数的平移平移 4.平移与解 析式的关 系 注意注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶 点的平移方式即可确定平移后的函数解析式 失分点警示：失分点警示： 抛物线平移规律是“上加下减，左 加右减”,左右平移易弄反. 例：将抛物线 y=x2沿 x 轴向右平 移 2 个单位后所得抛物线的解析 式是 y=（x2）2 知识点四知识点四 ：二次函数二次函数与一元二次方程以及不等式与一元二次方程以及不等式 5.二次函数 与 一 元 二 次方程 二次函数 y=
41、ax2bxc(a0)的图象与 x 轴交点的横坐标是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根. 当 b24ac0，两个不相等的实数根； 当 b24ac0，两个相等的实数根； 当 b24ac0，无实根 例：已经二次函数 y=x2-3x+m(m 为常数)的图象 与 x 轴的一个交点为 （1,0） ， 则关于 x 的一元二次方程 x2-3x+m=0 的两个实数根为 2,1. 6.二次函数 抛物线 y= ax2bxc0 在 x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应 的 x 的所有值就是不等式 ax2bxc0 的解集； 在 x 轴下方的部分点的 x y y=ax2+bx+c(a0) O x y y=ax2
42、+bx+c(a0) O 平移|k|个单位 平移|h|个单位 向上(k0)或向下(k0) 向左(h0)或向右(h0) y=a(xh)2k 的图象 y=a(xh)2 的图象 y=ax2 的图象 14 与不等式 纵坐标均为负，所对应的 x 的值就是不等式 ax2bxc0 的解集. 第第 1313 讲讲 二次函数的应用二次函数的应用 知识点一：知识点一：二次函数的应用二次函数的应用 关键点拨关键点拨 实物抛物线 一般步骤 若题目中未给出坐标系， 则需要建立坐标系求解， 建立的原则：所建立的坐标系要使求出的二次 函数表达式比较简单；使已知点所在的位置适 当（如在 x 轴，y 轴、原点、抛物线上等） ，方
43、便 求二次函数丶表达式和之后的计算求解. 据题意，结合函数图象求出函数解析式； 确定自变量的取值范围； 根据图象，结合所求解析式解决问题. 实际问题中 求最值 分析问题中的数量关系，列出函数关系式； 研究自变量的取值范围； 确定所得的函数； 检验 x 的值是否在自变量的取值范围内，并求 相关的值； 解决提出的实际问题. 解决最值应用题要注意两点： 设未知数， 在 “当某某为何值时， 什么最大 （最 小） ”的设问中， “某某”要设为自变量， “什么” 要设为函数； 求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标） 的取值是否在自变量的取值范围内. 结合几何图形 根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；
44、 根据几何图形的关系式确定二次函数解析式； 利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题 由于面积等于两条边的乘积，所以几何问题的面 积的最值问题通常会通过二次函数来解决.同样 需注意自变量的取值范围. 第四单元第四单元 图形的初步认识与三角形图形的初步认识与三角形 第第 14 讲讲 平面图形与相交线、平行线平面图形与相交线、平行线 知识点一：直线、线段、射线知识点一：直线、线段、射线 关键点拨关键点拨 1. 基本事实 （1）直线的基本事实：经过两点有且只有一一条直线 （2）线段的基本事实：两点之间，线段线段最短 例： 在墙壁上固定一根横放的木条， 则至少需要 2 枚钉子，依据的是两两 点确定一条
45、直线点确定一条直线. 知识点二知识点二 ：角、角平分线：角、角平分线 2.概念 （1）角：有公共端点的两条射线组成的图形 （2）角平分线：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相 等的角的射线 例： （1）152515.5； 372445324849701334. （2）32的余角是 58，32的 补角是 148. 3.角的度 量 160，160，13600 4.余角和 补角 ( 1 ) 余角：1290 1 与2 互为余角； ( 2 ) 补角：12180 1 与2 互为补角. （3）性质：同角(或等角)的余角相等相等；同角(或等角)的补角相等相等 知识点三知识点三 ：相交线、平行线：相交
46、线、平行线 5.三线八 角 （1）同位角：形如”F”;（2）内错角：形如“Z”;(3)同旁内角：形如 “U”. 一个角的同位角、 内错角或同旁内角可能 不止一个，要注意多方位观察 6. 对 顶 角、邻补 角 （1） 概念： 两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的 两个角叫做对顶角. （2）性质：对顶角相等相等，邻补角之和为 180. 例：在平面中，三条直线相交于 1 点，则 图中有 6 组对顶角. 15 7.垂线 （1）概念：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂 线 （2）性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线段最短 （3）点到直线的距离：直线外一点到这条直
47、线的垂线段的长度 例：如图所示，点 A 到 BC 的距离为 AB，点 B 到 AC 的 距离为 BD，点 C 到 AB 的距离为 BC. 8.平行线 （1）平行线的性质与判定 同位角相等两直线平行 内错角相等两直线平行 同旁内角互补互补两直线平行 （2）平行公理及其推论 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 平行于同一条直线的两直线平行平行 （1）如果出现两条平行线被其中一条折 线所截， 那么一般要通过折点作已知直线 的平行线. （2）在平行线的查考时，通常会结合对 顶角、 角平分线、 三角形的内角和以及三 角形的外角性质， 解题时注意这些性质的 综合运用. 知识点四知识点四 ：命题与证明：命题与证明 9.命题与 证明 （1）概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命 题，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题. （2）命题
