1、相似三角形的相似三角形的实际实际应用应用 1相似三角形的应用 与相似三角形有关的实际应用： (1)利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形； (2)测量底部可以到达的物体高度； (3)测量底部不可到达的物体高度； (4)测量不可到达对岸的河宽 几何图形的证明与计算：计算线段的数量关系，求线段的长度和图形的面积大小等解法是先根据已知条件构造相 似三角形，再利用相似三角形的性质求解 2位似图形 位似图形：如果两个图形满足以下两个条件：所有经过对应点的直线都相交于同一_；这个交点到两个对 应点的距离之比都相等，那么这两个图形叫做位似图形，经过各对应两点的直线的交点叫做_，位似中心 到两个对应点的距离之
2、比叫做_ 坐标系中的位似变换： 当以坐标原点为位似中心时， 若原图形上点的坐标为(x， y)， 位似图形与原图形的位似比为 k， 则位似图形上的对应点的坐标为(kx，ky)或(kx，ky) 1相似三角形的应用技巧 相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，这一应用是建立在数学建模和方程思想的基础上，把实际 问题转化为数学问题，通过求解数学问题达到解决实际问题的目的 2位似图形的识别 识别位似图形，关键是看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形，交 点就是位似中心，否则就不是 类型一 位似图形(选学) 典例 2019 邵阳如图 283，以点 O 为位似
3、中心，把ABC 放大为原图形的 2 倍得到ABC，以下说法中错误的 是( ) AABCABC B点 C，点 O，点 C三点在同一直线上 CAOAA12 DABAB 思维升华 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的 比等于 k 或k，解答此类问题时，一定要考虑两种情况 跟踪训练 1.2019 烟台如图 284，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，ABO 的顶点坐标 分别为 A(2，1)，B(2，3)，O(0，0)，A1B1O1的顶点坐标分别为 A1(1，1)，B1(1，5)，O1(5，1)，ABO 与A1B1O1是以点 P
4、 为位似中心的位似图形，则 P 点的坐标为_ 22019 河池如图 285，以点 O 为位似中心， 将OAB 放大后得到OCD， OA2，AC3， 则AB CD_. 32019 巴中ABC 在边长为 1 的正方形网格中，如图 286 所示 (1)以点 C 为位似中心，作出ABC 的位似图形A1B1C，使其位似比为 12.且A1B1C 位于点 C 的异侧，并表示 出 A1的坐标； (2)作出ABC 绕点 C 顺时针旋转 90 后的图形A2B2C； (3)在(2)的条件下求出点 B 经过的路径长 类型二 利用相似解决生活实际问题 典例 2019 荆门如图 287，为了测量一栋楼的高度 OE，小明同
5、学先在操场上 A 处放一面镜子，向后退到 B 处， 恰好在镜子中看到楼的顶部 E；再将镜子放到 C 处，然后后退到 D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部 E(O，A， B，C，D 在同一条直线上)，测得 AC2 m，BD2.1 m，如果小明眼睛距地面髙度 BF，DG 为 1.6 m，试确定楼的 高度 OE. 跟踪训练 2019 毕节如图 288，在一块斜边长为 30 cm 的直角三角形木板(RtACB)上截取一个正方形 CDEF， 点 D 在边 BC 上，点 E 在斜边 AB 上，点 F 在边 AC 上，若 AFAC13，则这块木板截取正方形 CDEF 后，剩 余部分的面积为( ) A100
6、cm2 B150 cm2 C170 cm2 D200 cm2 类型三 相似三角形与其他知识的综合运用 典例 2019 安徽如图 289， RtABC 中， ACB90 ， ACBC， P 为ABC 内部一点， 且APBBPC135 . (1)求证：PABPBC； (2)求证：PA2PC； (3)若点 P 到三角形的边 AB，BC，CA 的距离分别为 h1，h2，h3，求证 h21h2 h3. 跟踪训练 1.如图 2810，在四边形 ABCD 中，B90 ，AC4，ABCD，DH 垂直平分 AC，H 为垂足设 AB x，ADy，则 y 关于 x 的函数关系用图象大致可以表示为( ) 22018
7、孝感如图 2811，ABC 是等边三角形，ABD 是等腰直角三角形，BAD90 ， AEBD 于点 E，连结 CD 分别交 AE，AB 于点 F，G，过点 A 作 AHCD 交 BD 于点 H.则下列 结论：ADC15 ；AFAG；AHDF；AFGCBG；AF( 31)EF. 其中正确结论的个数为( ) A5 B4 C3 D2 思维升华 此类问题一般涉及相似三角形的判定与性质、特殊四边形的性质以及锐角三角函数的定义等常常用到 方程思想、分类讨论思想等 1位似图形是相似图形的一种特例，位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形 2如果只说明两个三角形相似，而不是说“相似于”，则需要分类讨论 3已知一个图形和位似中心作位似图形时，要注意运用分类讨论思想，考虑两个图形在位似中心同侧或位似中心 的异侧两种情况，避免出现漏解 对位似变换考虑不全(选学) 聊城中考如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，边 OA 在 x 轴上，OC 在 y 轴上，如果矩形 OABC与矩形 OABC 关于点 O 位似，且矩形 OABC的面积等于矩形 OABC 面积的1 4，那么点 B的坐标是( ) A(3，2) B(2，3) C(2，3)或(2，3) D(3，2)或(3，2)
