1、直角三角形和勾股定理直角三角形和勾股定理 1直角三角形 定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形 直角三角形的性质： (1)直角三角形的两个锐角_； (2)直角三角形的斜边上的中线等于斜边的 _； (3)在直角三角形中，30 的角所对的边等于斜边的_ 直角三角形的判定：有两个角_的三角形是直角三角形 【知识拓展】 (1)SRtABC1 2ch 1 2ab，其中 a，b 为两直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高线； (2)RtABC 内切圆半径 rabc 2 ，外接圆半径 Rc 2，即等于斜边的一半 2勾股定理 勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2b2_. 【
2、知识拓展】 勾股定理的作用： (1)已知直角三角形的两条边，求第三边； (2)已知直角三角形的一边，确定另外两边的关系； (3)证明带有平方关系的问题； (4)把实际问题转化为直角三角形中应用勾股定理的问题 3勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为 a，b，c，并且满足 a2b2c2，那么这个三角形是 _三角形 勾股数：能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数 【知识拓展】 勾股定理逆定理的应用： (1)判断三角形的形状；(2)证明两条线段垂直；(3)实际应用 1面积法 用面积法证明是常用的技巧之一，勾股定理的证明通常用面积法，即利用某个图形的多种面积求法或 面
3、积之间的和差关系列出等式，从而得到证明的结论 2数形结合思想 在解决一些实际问题时，如立体图形侧面两点的距离问题，折叠问题，航海问题，梯子下滑问题等， 常直接或间接运用勾股定理及其逆定理，解决这些问题的过程，充分体现了数形结合思想，这是中考 的热点 类型一 直角三角形的性质的运用 典例 2018 扬州如图 204，在 RtABC 中，ACB90 ，CDAB 于 D，CE 平分ACD 交 AB 于 E，则下列结论一定成立的是( ) ABCEC BECBE CBCBE DAEEC 跟踪训练 1.2018 黄冈如图 205，在 RtABC 中，ACB90 ，CD 为 AB 边上的高线，CE 为 AB
4、 边上的中线，AD2，CE5，则 CD( ) A2 B3 C4 D2 3 22020 中考预测如图 206，在ABC 中，C90 ，B30 ，边 AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 E，交 BC 于点 D，CD3，则 BC 的长为( ) A6 B6 3 C9 D3 3 思维升华 在直角三角形中，熟记含 30 角、含 45 角的直角三角形的直角边与斜边的关系，对我们 解决选择题、填空题有很大的帮助在含 30 角的直角三角形中，30 角所对的直角边是斜边的一半； 在含 45 角的直角三角形中，斜边是直角边的 2倍 类型二 勾股定理及其应用 典例 如图 207，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子
5、斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为 0.7 m， 顶端距离地面 2.4 m， 如果保持梯子底端位置不动， 将梯子斜靠在右墙时， 顶端距离地面 2 m， 则小巷的宽度为( ) A0.7 m B1.5 m C2.2 m D2.4 m 跟踪训练 1.2018 湘潭九章算术是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一 道“折竹抵地”问题： “今有竹高一丈， 末折抵地， 去本三尺， 问折者高几何？”翻译成数学问题是： 如图 208 所示，ABC 中，ACB90 ，ACAB10，BC3，求 AC 的长，如果设 ACx，则 可列方程为_ 22019 东营已知等腰三角形的底角是 30 ，腰长为
6、2 3，则它的周长是_ 类型三 勾股定理的面积关系 典例 2019 宁波勾股定理是人类最伟大的科学发现之一， 在我国古算书 周髀算经 中早有记载 如 图 209，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图的方式 放置在最大正方形内若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出( ) A直角三角形的面积 B最大正方形的面积 C较小两个正方形重叠部分的面积 D最大正方形与直角三角形的面积和 图图 209 跟踪训练 1.如图 2010 是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直 角三角形， 若正方形 A， B， C， D 的面积分别为 2， 5， 1， 2，
7、 则最大的正方形 E 的面积是_ 2如图 2011 是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形开始，以它的一边为斜边，向外作等 腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形和，以此类推，若正方形的边 长为 64 cm，则第 4 个正方形的边长为_cm. 类型四 平面展开最短线段问题 典例 2018 黄冈如图 2012，圆柱形玻璃杯高为 14 cm，底面周长为 32 cm，在杯内壁离杯底 5 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3 cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从 外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为_cm.(杯壁厚度不计) 跟踪训练 1.2020 原
8、创如图 2013， 已知圆柱的底面直径 BC6 ， 高 AB3， 小虫在圆柱表面爬行， 从 C 点爬到 A 点，然后再沿另一面爬回 C 点，则小虫爬行的最短路程为( ) A3 2 B3 5 C6 5 D6 2 2如图 2014 是一块长、宽、高分别是 6 cm，4 cm 和 3 cm 的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木 块的一个顶点 A 处，沿着长方体的表面到长方体上和 A 点相对的顶点 B 处吃食物，那么它需要爬行 的最短路径的长是( ) A(32 13)cm B. 97 cm C. 85 cm D9 cm 3我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，
9、 五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图 2015，把枯木看做一个圆柱体，因一丈是十尺， 则该圆柱的高为 20 尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B 处则问题中葛藤的最短长度是_尺 思维升华 在求几何体表面上两点之间的最短距离时，可以通过把立体图形展开成平面图形， 利用勾 股定理求出几何体表面上两点之间的距离来解决 类型五 勾股定理的逆定理 典例 如图 2016，E 是正方形 ABCD 内的一点，连结 AE，BE，CE，将ABE 绕点 B 顺时针旋转 90 到CBE的位置若 AE1，BE2，CE3，则BEC_ 跟踪训练 如图 2017，已知 A
10、B4，BC3，AD12，DC13，B90 ，则四边形 ABCD 的面 积为_. 类型六 赵爽弦图 典例 2019 邵阳公元 3 世纪初，中国古代数学家赵爽注周髀算经时，创造了“赵爽弦图”如 图 2018，设勾 a6，弦 c10，则小正方形 ABCD 的面积是_. 跟踪训练 1.2018 温州我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一 个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股 定理，如图 2019 所示的矩形由两个这样的图形拼成，若 a3，b4，则该矩形的面积为( ) 图图 2019 A20 B24 C.99 4 D.53
11、2 2四个全等的直角三角形按图 2020 所示方式围成正方形 ABCD，过各较长直角边的中点作垂线， 围成面积为 S 的小正方形 EFGH，AM 为 RtABM 较长直角边，AM2 2EF，则正方形 ABCD 的面 积为( ) A12S B10S C9S D8S 3我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”， 如图所示在图中，若正方形 ABCD 的边长为 14，正方形 IJKL 的边长为 2，且 IJAB，则正方 形 EFGH 的边长为_ 1在利用勾股定理时，应先确定所给的边是直角边还是斜边，如果题中未说明，需要分类讨论 2 在已知三角形三边的前提下， 判断这个三角形是否为直角三角形， 首先要确定三条边中的最大边， 再根据勾股定理的逆定理来判定解题时，往往受思维定式的影响，误认为如果是直角三角形，则 c 是斜边，从而造成误解 3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这个性质定理常用于证明一条线段是另一条线段的一 半的数量关系，注意“直角三角形”这一前提条件 概念理解误区概念理解误区 已知 a，b，c 是ABC 的三边长，且满足关系式 c2a2b2|ab|0，则ABC 的形状为
