1、第第 8 讲讲：数论综合一数论综合一 兴趣篇兴趣篇 1. 如果某整数同时具备如下三个性质：如果某整数同时具备如下三个性质： 这个数与这个数与 1 的差是质数；的差是质数； 这个数除以这个数除以 2 所得的商也是质数；所得的商也是质数； 这个数除以这个数除以 9 所得的余数是所得的余数是 5。 那么我们称这个整数为“幸运数” 。求出所有的两位幸运数。那么我们称这个整数为“幸运数” 。求出所有的两位幸运数。 【答案】14 【分析】 方法一： 从条件入手， 则概数应为 5、 14、 23,而该数为 2 的倍数， 所以应为偶数， 所以应为 14、32、 50、68、86 中的一组，满足条件的只有 1
2、个，14。 方法二：题目给出了所谓幸运数具备的三个条件，要求的是所有的两位幸运数这就使求解 的范围缩小在两位数之内可以先从条件入手，再利用条件和，最终求出所有的两位 幸运数 设所求的幸运数是质数p的两倍， 即此幸运数为2p， 则p的所有可能取值为 5、 7、 11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47于是21p 的所有可能取值为 9、 13、21、25、33、37、45、57、61、73、81、85、93根据条件，21p 应为质 数，因此21p 只可能为 13、37、61 或 73再由条件知21p 除以 9 所得余数 应为 4，于是21p 只能等于 13，从而这个幸运数只
3、能是214p 2. 一个五位数一个五位数8 25W W，空格中的数未知。请问：，空格中的数未知。请问： （1）如）如果该数能被果该数能被 72 整除，这个五位数是多少？整除，这个五位数是多少？ （2）如果该数能被）如果该数能被 55 整除，这个五位数是多少？整除，这个五位数是多少？ 【答案】 （1）86256； （2）85250 【分析】 （1）从 8，9 整除特征考虑，8 需要个位填 6；9 千位填 6。 （2）从 5，11 的特征考虑，5 个位填 5 或 0， 当个位为 5 时，该数为a8 255，奇数位数字和为：15；偶数位数字和为：5a，则不符合 情况； 当个位为 0 时，该数为a8
4、250，奇数位数字之和为：10，偶数位数字之和为5a，则千位 可填 5。 3. 在小于在小于 5000 的自然数中，能被的自然数中，能被 11 整除、并且所有数字之和为整除、并且所有数字之和为 13 的数共有多少个？的数共有多少个？ 【答案】18 个 【分析】【分析】令为abcd，数位不够高位补 0，和为奇数 有()()11acbd，且13abcd 12ac，1bd 7 2=14 个 ()()11bdac，且13acbd 12bd，1ac 7 2=14 个 共 28 个 4. 一个各位数字均不为一个各位数字均不为 0 的三位数能被的三位数能被 8 整除，整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分
5、将其百位数字、十位数字和个位数字分 别划去后可以得到三个两位数（例如，按此方法由别划去后可以得到三个两位数（例如，按此方法由 247 将得到将得到 47、27、24） 。已知这些） 。已知这些 两位数中一个是两位数中一个是 5 的倍数，另的倍数，另一个是一个是 6 的倍数，还有一个是的倍数，还有一个是 7 的倍数，原来的三位数的倍数，原来的三位数 是多少？是多少？ 【答案】656 【分析】有个 5，5 作十位考虑 7 的倍数：56656 考虑 6 的倍数：54154 只有 656 是 8 的倍数。 5、26460 的所有的约数中，6 的倍数有多少个？与 6 互质的有多少个？ 【答案】36 个；
6、6 个 【分析】264606=4410=232572 约数个数（1+1） （2+1） （1+1） （2+1）=36 26460 除去 2 与 3 的因数，剩下为 572，约数个数 6 个，这 6 个均与 6 互质。 6、一个自然数N共有 9 个约数，而N 1恰有 8 个约数。满足条件的自然数中，最小的和 第二小的分别是多少？ 【答案】196，256 【分析】9=33 8=24=222 考虑到 N 是个完全平方数，从最小的平方数开始尝试。 7、一个自然数，它最大的约数和次大的约数之和是 111，这个自然数是多少？ 【答案】74 【分析】最大约数就是本身，是次大约数的倍数。 所以 111 是次大约
7、数的倍数。 111=337，次大约数为 1，3，37 三种，尝试得为 37。 111-37=74 8、有一个算式 654321。小明在上式中把一些“”换成“” ，计算结果还是 自然数，那么这个自然数最小是多少？ 【答案】5 【分析】654321=5 9、一个两位数分别处以 7、8、9，所得余数的和为 20。问：这个两位数是多少？ 【答案】62 【分析】20=8+7+5=7+7+6=8+6+6 余数分布就 3 种情况，只有第 3 种有两位数满足。 10、信息在战争中是非常重要的，它常以密文的方式传送。对方能获取密文却很难知道破译 密文的密码， 这样就达到保密的作用。 有一天我军截获了敌军的一串密
8、文：ABC378 421， 字母表示还没有被破译出来的数字。如果知道密码满足如下条件： 密文由三个三位数连在一起组成，每个三位数的三个数字互不相同； 三个三位数除以 12 所得到的余数是三个互不相同且不全是奇数。 三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数。 你能破解此密文吗？ 【答案】437854219 【分析】8B4 余数必为 2，得 B=5；C 是奇数，所以 A 是偶数。 219 (mod12)CC C=9 余 3 或 C=1 余 7（重复数字） 3701 (mod12)AA A=2 余 9；A=4 余 5；A=6 余 1；A=8 余 9 拓展篇拓展篇 1、已知ab c3 70是 495 的
9、倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字。请问：三位数abc是 多少？ 【答案】865 【分析】495=5911，特征考虑，0b c是 5 和 11 的倍数。 所以 b=6，c=5，3 7a是 9 倍数。a=8。 2、11 个连续两位数乘积的末 4 位都是 0，那么这 11 个数的总和最小是多少？ 【答案】220 【分析】11 个连续两位数，至多 3 个 5 的倍数，那么还有 1 个 25 的倍数。把 25 放最后一 个是最小，这八个数为 1525。 3、有一个算式 987654321。小明在上式中把一些“”换成“” ，计算 结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？ 【答案】70 【分析】7
10、和 5 前面的没法改，2 的因子个数奇数个，除不完。 4、有 15 位同学，每位同学都有个编号，他们的编号是 1 号到 15 号。1 号同学写了一个自 然数，2 号说： “这个数能被他的编号数整除。1 号一一作了验证：只有两个同学（他们 的编号是连续的）说得不对，其余同学都对。问： （1）说的不对的两位同学他们的编号是哪两个连续的自然数？ （2）如果 1 号同学写的自然数是一个五位数，那么这个自然数为多少？ 【答案】 （1）出错的是 8 号和 9 号同学； （2）60060 【分析】 （1）都列出后发现，肯定是 1，2，3，4，5，6，7，10，12，14，15 的倍数。 （2）60060 5
11、、 有 2008 盏灯， 分别对应编号为 1 至 2008 的 2008 个开关。 现在有编号为 1 至 2008 的 2008 个人来按动这些开关。 已知第 1 个人按的开关的编号是 1 的倍数 （也就是说他把所有的开 关都按了一遍） ，第 2 个人按的开关的编号是 2 的倍数，第 3 个人按的开关的编号是 3 的倍数依此做下去，第 2008 个人按的开关的编号是 2008 的倍数。如果刚开始的时 候，灯全是亮着的，那么这 2008 个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？ 【答案】1964 盏 【分析】 约数个数为奇数个的灯灭了， 所以完全平方数都灭了。 剩下的为亮的， 2008-44=1964
12、 6、狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 1 4 2 米，黄鼠狼每次跳 3 2 4 米，它们每秒钟都只 跳一次。在比赛道路上，从起点开始每隔 3 12 8 米设有一个陷阱。请问：当它们之中有一 个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？ 【答案】40.5 米 【分析】 9 9999 , 282 狐狸跳 11 次掉进 11 9999 = 484 ， 黄鼠狼跳9次掉进 7、 一个偶数恰有 6 个约数不是 3 的倍数，恰有 8 个约数不是 5 的倍数。请问：当它们之中 有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？ 【答案】1350 【分析】这个偶数含 2，3，5 的因子，分别设为 a、b、c 个。 不是 3 的倍数
13、有（a+1） （c+1）个，显然无法有别的质因子， 121 116 132 118 143 aa ac cc ab bb 原数为 23352=1350 8、一个合数，其最大的两个约数之和为 1164。求所有满足要求的合数。 【答案】776、873、1067 【分析】最大约数为本身，是次大约数的倍数，1164 是次大的倍数。1164=22397 次大为 97， 原数 9711=1067 次大为 972，原数 1945=970 次大为 973，原数 9733=873 次大为 974，原数 9742=776 9、已知 a 与 b 是两个正整数，且 ab。请问： （1）如果它们的最小公倍数是 36，那
14、么这两个正整数有多少种情况？ （2）如果它们的最小公倍数是 120，那么这两个正整数有多少种情况？ 【答案】 （1）12 种； （2）31 种 36=2232 368 182 12 121 91 a a a a , , , 种 种 种 种 种 黄先掉，狐狸跳 9 9=40.5 2 米。 （2）120=2335 12015 603 406 31 302 244 151 a a a a a a 种 种 种 种 种 种 种 10、已知已知 a 与与 b 的最大公约数是的最大公约数是 14，a 与与 c 的最小公倍数是的最小公倍数是 350，b 与与 c 的最小公倍数也是的最小公倍数也是 350。满足
15、上述条件的正整数。满足上述条件的正整数 a、b、c 共有多少组？共有多少组？ 【答案】20 组 a、b 均为 14 的倍数。 350=1425 a、b 只能是 14 的 1，5 或 25 倍。 a=2514b=14 c=25 或 50 或 257 或 2514 4 种 a=514b=14 c=25 或 50 或 257 或 2514 4 种 a=14，b=14 c=25 或 50 或 257 或 2514 4 种 b=145a=14 同 4 种 b=1425a=14 同 4 种 共 20 组。 11、已知两个连续的两位数除以 5 的余数之和是 5，余数 6 的余数之和是 5，除以 7 的余数
16、之和是 1。求这两个两位数。 【答案】77 和 78 【分析】大数 71 63 53 除以 除以太大 除以 大数 71 6078 53 除以 除以 除以 12、如图，在一个圆圈上有几十个孔（不到 100 个） 。小明像玩跳棋那样从 A 孔出发沿着逆 时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到 A 孔。他先试着每隔 2 个孔跳 一步，结果只能跳到 B 孔。他又试着每隔 4 个孔跳一步，也只能跳到 B 孔。最后，他 每隔 6 个孔跳一步，正好回到 A 孔。问：这个圆圈上共有多少个孔？ 【答案】91 个 【分析】 31 5191 70 除以 除以 除以 超越篇超越篇 1、有 6 个不相同且不为
17、 0 的自然数，其中任意 5 个数的和都是 7 的倍数，任意 4 个数的和 都是 6 的倍数。请问：这 6 个数的和最小是多少？ 【答案】756 【分析】必然对于 7 和 6 均同余都是 7 的倍数，除以 6 余 0 或 3。 最小 21，21+42，21+422，21+425，和 756 2、设 N=30130220052006，请问： （1）N 的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”？ （2）用 N 不断除以 12，知道结果不能被 12 整除为止，一共可以除以多少次 12？ 【答案】 （1）426 个； （2）850 次 【分析】 （1）12006 末尾 0 的个数 20062006200
18、62006 =40180163=500 525125625 1300 末尾 0 的个数 300300300 =60122=74 525125 500-74=426 个 （2）12=223 按照（1）中算法，N 中含 2，1702 个 含 3， 850 个 2 还富余 2 个 3、老师告诉贝贝和晶晶一个小于 5000 的四位数。这个四位数是 5 的倍数。贝贝计算出它的 5！的最小公倍数，晶晶计算出它的 10！的最大公约数，结果发现贝贝的计算结果恰好 是晶晶的 5 倍。请问：这个四位数是多少？ 【答案】3000 【分析】由 5 倍得四位数含 3 个 5 的因子，并且 5！含全部因子它都有。 241
19、25=3000，因为小于 5000，只有一个。 4、 一个正整数， 它分别加上 75 和 48 以后都不是 120 的倍数， 但这两个和的乘积却能被 120 整除。这个正整数最小是多少？ 120A 最小 117A 最小 【答案】117 【分析】120=2335，因为 75 和 48 都是 3 的倍数，所以此数必为 3 的倍数。 A+75 是 5 的倍数 A+48 是 8 的倍数 A+75 是 8 的倍数 A+48 是 5 的倍数 5、a、b、c 是三个非零自然数。a 和 b 的最小公倍数是 300，c 和 a、c 和 b 的最大公约数都 是 20，且 abc。请问：满足条件的 a、b、c 共有
20、多少组？ 【答案】8 组 【分析】8 组 30020=15 a=300，b=100， c 可以是 20 的 1 倍，2 倍，4 倍 3 种 a=300，b=60 c 是 20 的 1 倍，2 倍 ，4 倍 3 种（这里原先给的解析应该少了 4 倍的） a=100，b=60 c 是 20 的 1 倍，2 倍 2 种 6、有一类三位数，它们除以 2、3、4、5、6 所得到的余数互不相同（可以含 0） 。这样的三 位数中最小的三个是多少？ 【答案】118、119、155 【分析】2，3，4，5，6=601201=119，119 和 118 满足条件。 6 余 4 2042 3153 余余 余余 最小
21、 118，次小 118+60=178。 6 余 5 4321 50432 余余 余 或余 最小 119，115。 6 余 3 2143 3054 余余 余余 余数重复。 7、有一个自然数除以 15、17、19 所得到的商与余数之和都相等，并且商和余数都大于 1， 那么这个自然数是多少？ 【答案】1082 【分析】所有商均不一样，余数也不一样，先看 15 和 17，135 以上商才有区别。商是 15 的大，所以余数要 17 的大。 设 k=15a+b=17c+d=19e+f =14a+(a+b)=16c+(c+d)=18e+(e+f) 14a=16c=18e a:c:e=72:63:56 1572=1080 1080+2=1082 8、有 4 个互不相同的三位数，它们的首位数字相同，并且它们的和能被它们之中的 3 个数 整除。请写出这 4 个数。 【答案】108、117、135、180 【分析】设为 a、b、c、d，和是 a、b、c 的倍数，且 abc。 和=5a=4b=3c a:b:c=12:15:20 8 份100，1 份12，a=108，b=135，c=180，d=117。 和=6a=5b=4c a:b:c=20:24:30 10 份100，1 份9，无解。
