1、专题专题 17 17 角平分线和高线的夹角角平分线和高线的夹角 1如图，ABC中，一内角和一外角的平分线交于点 ,D连结,24ADBDC， CAD _o. 【解析】66 【分析】 过D作， DFBE于F， DGAC于G， DHBA， 交BA延长线于H， 由BD平分ABC， 可得ABD=CBD， DH=DF，同理 CD 平分ACE，ACD=DCF=，DG=DF，由ACE是 ABC 的外角，可得 2DCE=BAC+2DBC，由DCE是 DBC 的外角，可得DCE=CDB+DBC，两者结合，得 BAC=2CDB，则HAC=180 -BAC，在证 AD平分HAC，即可求出CAD 【详解】 过 D 作，
2、DFBE于 F，DGAC于 G，DHBA，交 BA 延长线于 H， BD平分ABC，ABD=CBD= 1 2 ABC，DH=DF， CD平分ACE，ACD=DCF= 1 2 ACE，DG=DF， ACE是 ABC 的外角， ACE=BAC+ABC， 2DCE=BAC+2DBC， DCE是 DBC 的外角， DCE=CDB+DBC， 由得，BAC=2CDB=2 24 =48 ， HAC=180 -BAC=180 -48 =132 ， DH=DF，DG=DF， DH=DG， DGAC，DHBA， AD 平分HAC， CAD=HAD= 1 2 HAC= 1 2 132 =66 故答案为：66 【点睛
3、】 本题考查角的求法， 关键是掌握点 D为两角平分线交点， 可知 AD为角平分线， 利用好外角与内角的关系， 找到BAC=2CDB是解题关键 2如图，在ABC中，AD、AE分别是ABC 的高和角平分线，50B，60C，则DAE _度 【解析】5 【分析】 先根据三角形的内角和定理得到BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出EAC= 1 2 BAC，而 DAC=90 -C，然后利用DAE=EAC-DAC进行计算即可 【详解】 解：在 ABC中， B=50 ，C=60 ， BAC=180 -B-C=180 -50 -60 =70 ， AE是ABC的角平分线， EAC= 1 2 BAC= 1 2 7
4、0 =35 ， AD是 ABC的高， ADC=90 在 ADC中，DAC=180 -ADC-C=180 -90 -60 =30 ， DAE=EAC-DAC=35 -30 =5 故答案为：5. 【点睛】 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是 180 是解答此题的关键 3如图，CD、CE分别是 ABC的高和角平分线，A30 ，B60 ，则DCE_ 【解析】15 【解析】 试题分析：根据三角形内角和定理可得：ACB=180 AB=90 ，根据角平分线的性质可得： BCE=90 2=45 ，根据 CDAB，B=60 可得：BCD=30 ，则DCE=45 30 =15 . 考点： （1）
5、、角平分线的性质； （2） 、三角形内角和定理 二、解答题二、解答题 4 （1）如图 1，ABC的内角ABC的平分线与外角ACD的平分线相交于 P 点，请探究 P与A的 关系，并说明理由 （2）如图，四边形 ABCD 中，设,ADP为四边形 ABCD的内角ABC与外角DCE 的平分线所在直线相交而形成 锐角，请利用（1）中的结论完成下列问题： 如图，若180 ，求P的度数（用的代数式表示，记得把图转化为图） 如图，若180 ，请在图中画出P，并直接写出P=_（用 , 的代数式表示） 【解析】 （1）2PA；理由见解析； （2）P 1 2 （+）90 ；P90 11 22 【分析】 （1）根据三
6、角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得PCDP+PBC，ACD A+ABC，再根据角平分线的性质可得 2PCDACD，2PBCABC，运用等量代换即可得解； （2）添加辅助线，延长 BA 交 CD的延长线于 F，利用（1）中结论解决问题即可；添加辅助线，延长 AB交 DC的延长线于 F，同的思路求解即可 【详解】 （1）如图 1中，结论：2PA 理由：PCDP+PBC，ACDA+ABC， P 点是ABC和外角ACD 的角平分线的交点， 2PCDACD，2PBCABC， 2（P+PBC）A+ABC， 2P+2PBCA+ABC， 2P+ABCA+ABC， 2PA； （2）延长 BA交 CD
7、的延长线于 F F180 FADFDA180 （180 ）（180 ）+180 ， 由（1）可知：P 1 2 F， P 1 2 （+）90 ； 如图 3，延长 AB交 DC的延长线于 F F180 ，P 1 2 F， P 1 2 （180 ）90 11 22 【点睛】 本题考查了三角形的外角性质的应用和角平分线的定义，能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键， 注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 5小学我们已经知道三角形三个内角和是 180 ，对于如图 1中，AC，BD交于O点，形成的两个三角形 中的角存在以下关系：DOCAOB；DC AB 试探究下面问题： 已知BAD的平分
8、线AE与BCD的平分线CE交于点E， （1）如图 2，若ABCD，30D，40B ，则E_； （2）如图 3，若AB不平行CD，30D，50B，则E_ （3）在总结前两问的基础上，借助图 3，探究E与D、B之间是否存在某种等量关系？若存在，请 说明理由；若不存在，请举例说明 【解析】 （1）35 ； （2）40 ； （3）D+B=2E，理由见解析 【分析】 (1)（2）在 CDF和 AEF中，有：D+DCF= E+DAE；在 ABG和 CEG 中, B+EAB= E+BCE； 再结合BAD的平分线AE与BCD的平分线CE交于点E， 进行化简得到E= 1 2 （B+D） ，然后将B和D 代入即可
9、解答； （3）根据（1） （2）的推导即可得到D+B=2E 【详解】 解： （1）如图 2 在 CDF和 AEF中，有D+DCF= E+DAE ABG 和 CEG 中, 有B+EAB= E+BCE 得：D+DCFB+EABE+DAEE+BCE 又BAD的平分线AE与 BCD的平分线CE交于点E DCFBCE，EABDAE E= 1 2 （B+D） 30D，40B E35 （2）如图 3:同(1)可得E= 1 2 （B+D） 30D，50B E40 （3）解：D+B=2E 理由如下： 在 CDF和 AEF中，有D+DCF= E+DAE ABG 和 CEG 中, 有B+EAB= E+BCE 得：D
10、+DCFB+EABE+DAEE+BCE 又BAD的平分线AE与 BCD的平分线CE交于点E DCFBCE，EABDAE E= 1 2 （B+D） D+B=2E 【点睛】 考查了平行线的性质、三角形内角和定理、对顶角相等的性质，解题方法较多，关键在于选择合适的解题 方法 6在 ABC 中，已知A （1）如图 1，ABC、ACB的平分线相交于点 D 当 70 时，BDC度数 度（直接写出结果） ； BDC的度数为 （用含 的代数式表示） ； （2）如图 2，若ABC的平分线与ACE 角平分线交于点 F，求BFC 的度数（用含 的代数式表示） （3）在（2）的条件下，将 FBC以直线 BC为对称轴翻
11、折得到 GBC，GBC的角平分线与GCB的角 平分线交于点 M（如图 3） ，求BMC的度数（用含 的代数式表示） 【解析】 （1） （1）125 ； 1 90 2 ， （2） 1 BFC 2 ； （3） 1 BMC90 4 【分析】 （1）由三角形内角和定理易得ABC+ACB=110 ，然后根据角平分线的定义，结合三角形内角和定理 可求BDC； 由三角形内角和定理易得ABC+ACB=180 -A，采用的推导方法即可求解； （2）由三角形外角性质得BFCFCEFBC，然后结合角平分线的定义求解； （3）由折叠的对称性得BGCBFC，结合（1）的结论可得答案 【详解】 解： （1） 1 2 DB
12、CABC，DCB 1 2 ACB， BDC180 DBCDCB 180 1 2 （ABC+ACB） 180 1 2 （180 70 ） 125 1 2 DBCABC，DCB 1 2 ACB， BDC180 DBCDCB 180 1 2 （ABC+ACB） 180 1 2 （180 A） 90 + 1 2 A 90 + 1 2 故答案分别为 125 ，90 + 1 2 （2）BF和 CF分别平分ABC 和ACE 1 FBCABC 2 ， 1 FCEACE 2 ， BFCFCEFBC 11 ( ACEABC)A 22 即 1 BFC 2 （3）由轴对称性质知： 1 BGCBFC 2 ， 由（1）可
13、得 1 BMC90BGC 2 ， 1 BMC90 4 【点睛】 本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，以及三角形的外角性质是解 题的关键 7 如图所示， 在ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线， 它们相交于点O， 50BAC，70C， 求DAC、BOA的度数. 【解析】20DAC，125BOA 【解析】 【分析】 由 AD是高易得DAC 与C 互余，即可求出DAC，由三角形内角和定理求出ABC，再根据角平分线 的定义求出ABO与BAO，最后根据三角形内角和定理即可求出BOA的度数. 【详解】 解：AD是ABC的高 90ADC 在ADC中 90907020DAC
14、C 在ABC中 180180507060ABCBACC AE、BF是角平分线 11 6030 22 ABOABC 11 5025 22 BAOBAC 在ABC中， 1801803025125BOAABOBAO 【点睛】 本题考查了三角形中的角度计算，熟练掌握高和角平分线的定义以及三角形内角和定理是解题的关键. 8如图，在 ABC 中，AD是 BC 边上的高，AE 是BAC的平分线，EAD=15 ，B=40 （1）求C的度数 （2）若：EAD=，B=，其余条件不变，直接写出用含 ， 的式子表示C 的度数 【解析】 （1）70 ； （2）C=+2 【解析】 【分析】 （1） 根据三角形的内角和定理
15、求出BAD， 求出BAE， 根据角平分线的定义求出BAC， 即可求出答案； （2） 根据三角形的内角和定理求出BAD， 求出BAE， 根据角平分线的定义求出BAC， 即可求出答案 【详解】 （1）ADBC， ADC=ADB=90 ， B=40 ， BAD=90 -40 =50 ， EAD=15 ， BAE=50 -15 =35 ， AE平分BAC， CAE=BAE= 1 2 BAC=35 ， BAC=70 ， C=180 -BAC-B=180 -70 -40 =70 ； （2）ADBC， ADC=ADB=90 ， B=， BAD=90 -， EAD=， BAE=90 -， AE平分BAC， C
16、AE=BAE= 1 2 BAC=90 -， BAC=180 -2-2， C=180 -BAC-B=180 -（180 -2-2）-=+2 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理，能灵活运用定理进行计算是解此题的关键 9如图，BD、BE分别是ABC的高和角平分线， 46A ，74ABC，求DBE的度数. 【解析】7DBE 【解析】 【分析】 先根据直角三角形两锐角互余求出ABD 的度数，再根据角平分线的性质求出ABE的度数，二者作差即 可得出答案. 【详解】 解：BD是ABC 的高， ABD=90904644A ， BE是ABC的角平分线， ABE= 11 7437 22 ABC ， 44377
17、DBEABDABE . 【点睛】 本题考查了直角三角形两锐角互余、角平分线的性质.在图形中找出DBEABDABE 这一数量关 系是解题的关键. 10 如图， 在ABC中，CE是角平分线，D是AB延长线上一动点，DF CE于点下， 试探索D与ABC、 A的数量关系. 【解析】 1 2 DABCA，见解析. 【解析】 【分析】 过点 C作CGAB于点 G，首先根据三角形的内角和定理，求出BCA的度数；然后根据角平分线的性 质，求出ACE；再根据三角形的外角的性质，求出CED 的度数，进而求出ECG，再根据同角的余角 相等得出ECG=D 即可 【详解】 解：如图，过点 C 作CGAB于点 G DFC
18、E，90GCECEGDDEF ， DECG， 在ABC中，ACB=180 -（A+ABC） CE是角平分线， ACE= 1 ACB 2 90 - 1 2 A- 1 2 ABC DEC=90 + 1 2 A- 1 2 ABC CGAB ECG=90 -DEC 1 2 ECGABCA， 1 2 DABCA 【点睛】 此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是 180 此 题还考查了三角形的外角的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于和它不相邻 的两个内角的和此题还考查了角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个角
19、的角平分线把这个角分成两个大小相同的角 11 如图， 在ABC中，42A，70B ，CE平分 ACB，CDAB于D，DFCE于F， 求E D F. 【解析】14EDF. 【解析】 【分析】 根据三角形内角和定理求出ACB， 根据角平分线的定义求出ACE， 根据三角形的外角的性质求出FED， 根据三角形内角和定理计算即可 【详解】 解：A=42 ，B=70 ， ACB=180 -70 -42 =68 ， CE平分ACB， ACE= 1 2 ACB=34 ， FED=A+ACE=76 ， DFCE， EDF=90 -FED=14 ， 故答案为 14 【点睛】 本题考查的是三角形内角和定理以及三角形
20、的角平分线的定义， 掌握三角形内角和等于 180 是解题的关键 12 如图， 在ABC中，44BACBCA ，M为ABC 内一点， 使得30 ,16MCAMAC， 求BMC的度数 【解析】150 【解析】 【分析】 作BDAC于点D，延长CM交BD于点O，连接AO，301614OAMOACMAC, 故BAOMAO，证ABOAMO，从而OBOM.由120BOM，得 180120 30 2 OMBOBM ，故180BMCOMB. 【详解】 如图，作BDAC于点D，延长CM交BD于点O，连接AO，则 30OACMAC， 443014BAO， 301614OAMOACMAC， 得BAOMAO. 又90
21、60AODOADCOD， 所以120AOMAOB，又AOAO 因此ABOAMO，从而OBOM. 由120BOM，得 180120 30 2 OMBOBM ， 故18018030150BMCOMB. 【点睛】 考核知识点：全等三角形判定和性质，等腰三角形性质.作好辅助线是关键. 13如图，在ABC中，AD是 BAC的平分线，G为AD上一动点，GHAD，交BC的延长线于点 H. （1）若30B， 40BAC，求H的度数； （2）当点G在AD上运动时，探求H与B、ACB之间的数量关系，并证明. 【解析】 （1）40H， （2） 1 2 HACBB，见解析. 【解析】 【分析】 （1） 先根据三角形外
22、角的性质及角平分线求出ADH的度数， 再根据直角三角形两锐角互余即可求出H 的度数； （2） 先根据三角形外角的性质及角平分线得出 1 2 ADHBBAC ， 再根据直角三角形两锐角互余即 可得出H与B、ACB之间的数量关系. 【详解】 解： （1）AD是BAC的平分线， 11 4020 22 BADBAC ， 302050ADHBBAD , GHAD， 90905040HADH； （2）AD是BAC的平分线， 1 2 BADBAC， 1 2 ADHBBADBBAC , GHAD， 1 9090() 2 HADHBBAC ； 180BBACACB , 111 90 222 BBACACB 11
23、11 () 2222 HBBACACBBBAC , 即 1 2 HACBB. 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理及其推论、角平分线的性质等知识.熟练应用三角形内角和定理及其推论是解 题的关键. 14如图，在ABC中，ABAC，BDAC于D，BE平分ABC ，试用A表示DBE. 【解析】 3 45 4 DEBA. 【解析】 【分析】 先根据等腰三角形的性质及角平分线的性质可得 1 45 4 ABEA,根据三角形外角的性质得 BEDAABE ,再根据直角三角形两锐角互余即可得出结论. 【详解】 解：ABAC， AABCCB， 1801 90 22 A ABCA , BE平分ABC， 11 45 24 ABEABCA， BDAC于D， 90BEEDDB , BEDAABE , 9090 1 (45) 4 AADBEABAE , 即 3 45 4 DEBA. 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理及其推论.灵活转化角之间的关系是解题的关键.
