1、2021 年中考数学复习图形的性质能力提升专项训练年中考数学复习图形的性质能力提升专项训练 1如图，在平行四边形 ABCD 中，BE 平分ABC，CFBE，连接 AE，G 是 AB 的中点，连接 GF，若 AE 4，则 GF 2 如图， 正方形 ABCD 的对角线 AC 上有一动点 P， 作 PNCD 于点 N， 连接 BP， BN， 若 AB3， BP， 则 BN 的长为 3如图，在ABC 中，BAC90，ABAC，过点 C 作 CDBC，连接 DA，DB，过点 A 作 AEBD 于点 E，若EAD2ADC，ADC 的面积为 6，则 BC 的长为 4如图，平面直角坐标系 xOy 中，AOB6
2、0，AOBO，点 B 在 x 轴的正半轴上，点 P 是 x 轴正半轴 上一动点，连接 AP，以 AP 为边长，在 AP 的右侧作等边APQ设点 P 的横坐标为 x，点 Q 的纵坐标 为 y，则 y 与 x 的函数关系式是 5如图，在ABC 中，AB10，AC2，ACB45，D 为 AB 边上一动点（不与点 B 重合） ，以 CD 为边长作正方形 CDEF，连接 BE，则BDE 的面积的最大值等于 6如图，在ABC 中，ACBC，ACB90，点 D 是 AB 的中点，点 E 在 AC 上，点 F 在 BC 上， EDF90，连接 BE，若CBE2EDA，CE6，则 BE 7如图，矩形 ABCD
3、中，AB4，AD2，E 为 AB 的中点，F 为 EC 上一动点，P 为 DF 中点，连接 PB， 则 PB 的最小值是 8如图，已知在正方形 ABCD 中，AB4，P 是线段 AD 上的一动点，连接 PC，过点 P 作 PEPC 交 AB 于点 E以 CE 为直径作O，当点 P 从点 A 移动到点 D 时，对应点 O 也随之运动，则点 O 运动的路程 长度为 9如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC3，E，F 分别为 AB，CD 边的中点动点 P 从点 E 出发沿 EA 向 点 A 运动，同时，动点 Q 从点 F 出发沿 FC 向点 C 运动，连接 PQ，过点 B 作 BHPQ 于点 H，
4、连接 DH若点 P 的速度是点 Q 的速度的 2 倍，在点 P 从点 E 运动至点 A 的过程中，线段 PQ 长度的最大值 为 ，线段 DH 长度的最小值为 10如图，在ABC 中，ABAC，D 为线段 BC 上一动点（不与点 B、C 重合） ，连接 AD，作DAE BAC，且 ADAE，连接 CE （1）如图 1，当 CEAB 时，若BAD35，则DEC 度； （2） 如图 2， 设BAC （90180） ， 在点 D 运动过程中， 当 DEBC 时， DEC （用 含 的式子表示） 11ABC 内接于O，AB 为O 的直径，将ABC 绕点 C 旋转到EDC，点 E 在O 上，已知 AE2，
5、 tanD3，则 AB 12如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，将边 AD 绕点 D 逆时针旋转 60得到 DE，线段 DE 交边 BC 于点 F，连接 BE若C+E150，BE2，CD2，则线段 BC 的长为 13如图，正五边形 ABCDE 内接于半径为 4 的圆 O，作 OFBC 交O 于点 F，连结 FA，FB，则 FAFB 的值为 14如图，在ABC 中，ACB90，BAC30，BC1，分别以 AB、AC 为边作正三角形 ABD、 ACE，连接 DE，交 AB 于点 F，则 DF 的长为 15 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 与 y 轴相切的M 与 x 轴交于 A、 B
6、两点， AC 为M 直径， AC10， AB6，连结 BC，点 P 为劣弧上点，点 Q 为线段 AB 上点，且 MPMQ，MP 与 BC 交于点 N则当 NQ 平分MNB 时，点 P 坐标是 16在四边形 ABCD 中，ADC 与BCD 的角平分线交于点 E，DEC115，过点 B 作 BFAD 交 CE 于点 F，CE2BF，CBFBCE，连接 BE，SBCE4，则 CE 17如图，BD 为矩形 ABCD 的对角线，点 E 在矩形外部，连接 BE、DE，G 为 BE 中点，连接 CG，BE 交 CD 于点 F，若CDECDB2CBE，BC+CGCD，CF1，则线段 BF 的长为 18如图，在
7、边长为 1 的正方形 ABCD 中，E，F 分别为线段 BC，CD 上的点，且AEF 为正三角形，则 AEF 的面积为 19如图，正方形 ABCD 的对角线 BD 上有一点 E，且 BE3DE，点 F 在 AB 的延长线上，连接 EF，过点 E 作 EGEF，交 BC 的延长线于点 G，连接 GF 并延长，交 DB 的延长线于点 P，若 AB4，BF1， 则线段 EP 的长是 20如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E 在 AD 上，且 DECD，连接 OE，ABE ACB，若 AE2，则 OE 的长为 21如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、CD
8、 上，连接 AE、EF、AF，过点 F 作 AE 的平行线交 AD 于点 G，连接 EG，且 EGAF，若 BE2DG，则 tanFEC 22平面直角坐标系中，O 交 x 轴正负半轴于点 A、B，点 P 为O 外 y 轴正半轴上一点，C 为第三象限 内O 上一点，PHCB 交 CB 延长线于点 H，已知BPH2BPO，PH15，CH24，则 tanBAC 的值为 23如图，已知矩形 ABCD，AB8，AD4，E 为 CD 边上一点，CE5，点 P 从 B 点出发，以每秒 1 个 单位的速度沿着 BA 边向终点 A 运动，连接 PE，设点 P 运动的时间为 t 秒，则当 t 的值为 时， PAE
9、 是以 PE 为腰的等腰三角形 24如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 12cm，底面周长为 10cm，在容器内壁离容器底 部 3cm 的点 B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿 3cm 的点 A 处，则蚂蚁吃到饭 粒需爬行的最短路径是 cm 参考答案参考答案 1解：在平行四边形 ABCD 中，ABCD， ABEBEC BE 平分ABC， ABECBE， CBEBEC， CBCE CFBE， BFEF G 是 AB 的中点， GF 是ABE 的中位线， GFAE， AE4， GF2 故答案为 2 2解：延长 NP 交 AB 于 H， 四边形 ABCD 为正方形
10、， BAC90，ABCD， PNCD， PNAB， HAPHPA45， AHPH， 设 AHPHx，则 BH3x， 在 RtPBH 中，PB2PH2+BH2， ， 解得 x1 或 2， 当 x1 时，BHCN2，在 RtBCN 中，； 当 x2 时，BHCN1，在 RtBCN 中， 故答案为或 3解：过 A 作 AHDC 交 DC 的延长线于点 H，作 AFBC 于点 F， BAC90，ABAC，AFBC， AFCFBC，BAFCAF45， AFBC，CDBC， AFCD， FADADC， EAD2ADC， EAFFADDAC， BAECAD， BAE+ABE90，CAD+BAD90， ABE
11、BAD， ADBD， AFBC，CDBC，AHDC，AFCF， 四边形 AFCH 为正方形， CHAHCFBC， AD2HD2+AH2，BD2BC2+CD2，AD2BD2， ， （这里可以证明BCDDHA，推出 AHCDBC） ， 解得 BC 故答案为 4解：连接 BQ，过点 Q 作 QHx 轴于 H AOBO，AOB60， AOB 是等边三角形， AOAB，OAB60， PAQ 是等边三角形， APAQ，PAQ60， OABPAQ， OAPBAQ， OAPBAQ（SAS） ， OPBQx，AOPABQ60， ABO60， QBH180606060， QHy，HQQBsin60， yx（x0）
12、 故答案为：yx（x0） 5解：如图，过点 E 作 EMBA 于 M，过点 C 作 CNBA 交 BA 的延长线于 N，过点 A 作 AHBC 于 H 在 RtACH 中，AHC90，ACH45，AC2， AHCHACcos45， 在 RtABH 中，AHB90，AB10，AH， BH3， BCBH+CH4， SACBBCAHABCN， CN4， 在 RtACN 中，AN2， BNBA+AN12，设 BDx，则 DN12x， 四边形 EFCD 是正方形， DEDC，EDCEMDDNC90， EDM+ADC90，ADC+DCN90， EDMDCN， EMDDNC（AAS） ， EMDN12x，
13、SDBEBDEMx （12x）x2+6x（x6）2+18， 0， 当 x6 时，BDE 的面积的最大，最大值为 18 故答案为 18 6解：连接 CD，EF， 在ABC 中，ACBC，ACB90，点 D 是 AB 的中点， ADCDBDAB，ABCDCE45，CDAB， EDF90， ADE+EDCEDC+CDF90， ADECDF， 同理CDEBDF， CDEBDF（ASA） ， BFCE6， 延长 FC 至 G，使 CGCF， 则CEGCEF， GECFEC， CBE2EDA， 设EDACDF，则CBE2， ECFEDF90， 点 D，F，C，E 在以 EF 为直径的同一个圆上， CEFC
14、DF， CEG， G90， BEG180EBCG90， GCBE， BEBG， 设 CGCFx， BEBG6+2x，BC6+x， 在 RtBEC 中，BE2CE2+BC2， （6+2x）262+（6+x）2， 解得：x2（负值舍去） ， BE10 故答案为：10 7解：如图： 当点 F 与点 C 重合时，点 P 在 P1处，CP1DP1， 当点 F 与点 E 重合时，点 P 在 P2处，EP2DP2， P1P2CE 且 P1P2CE 当点 F 在 EC 上除点 C、E 的位置处时，有 DPFP 由中位线定理可知：P1PCE 且 P1PCF 点 P 的运动轨迹是线段 P1P2， 当 BPP1P2
15、时，PB 取得最小值 矩形 ABCD 中，AB4，AD2，E 为 AB 的中点， CBE、ADE、BCP1为等腰直角三角形，CP12 ADECDECP1B45，DEC90 DP2P190 DP1P245 P2P1B90，即 BP1P1P2， BP 的最小值为 BP1的长 在等腰直角 BCP1中，CP1BC2， BP12 PB 的最小值是 2 故答案是：2 8解：连接 AC，取 AC 的中点 K，连接 OK设 APx，AEy， PECP APE+CPD90，且AEP+APE90 AEPCPD，且EAPCDP90 APEDCP ， 即 x（4x）4y， yx（4x）x2+x（x2）2+1， 0，
16、当 x2 时，y 的最大值为 1， AE 的最大值1， AKKC，EOOC， OKAE， OK 的最大值为， 由题意点 O 的运动路径的长为 2OK1， 故答案为 1， 9解：连接 EF 交 PQ 于 M，连接 BM，取 BM 的中点 O，连接 OH，OD，过点 O 作 ONCD 于 N 四边形 ABCD 是矩形，DFCF，AEEB， 四边形 ADFE 是矩形， EFAD3， FQPE， MFQMEP， ， PE2FQ， EM2MF， EM2，FM1， 当点 P 与 A 重合时，PQ 的值最大，此时 PM2，MQ ， PQ3， MFONBC，MOOB， FNCN1，DNDF+FN3，ON2，
17、OD， BHPQ， BHM90， OMOB， OHBM， DHODOH， DH，由于 M 和 B 点都是定点，所以其中点 O 也是定点，当 O，H，D 共线时，此时 DH 最小， DH 的最小值为， 故答案为 3， 10解： （1）DAEBAC， BACCADDAECAD， 即BADCAE， ABDACE（SAS） ， BACE， CEAB， BACACE， BACB， ACBC， ABC 是等边三角形， BACDAEACBACE60， DAE 是等边三角形， AED60， DEC18035606025， 故答案为：25； （2）连接 CE， BAC，ABAC， BACB（180）90， DA
18、EBAC， BACCADDAECAD， 即BADCAE， ABDACE（SAS） ， BACE90， DCE2（90）180， DEBC， CDE90， DEC90DCE90 故答案为：90 11解：AB 为O 的直径， AEBACB90， 将ABC 绕点 C 旋转到EDC， ACCE，BCCD，ACEBCD，ECDACB90， tanD3， 设 CE3x，CDx， DEx， ACEBCD，DABCAEC， ACEBCD， 3，CBDCAE， AE2， BD EAC+CBE180， CBD+CBE180， D，B，E 三点共线， BEDEBDx， AE2+BE2AB2， 22+（x）2（x）2
19、， x， ABDE， 故答案为： 12解：过 C 作 CMDE 于 M，过 E 作 ENBC 于 N， 四边形 ABCD 是平行四边形， BCAD， BFEDFCADE， 将边 AD 绕点 D 逆时针旋转 60得到 DE， BFEDFCADE60， FCMFEN30， DCF+BEF150， DCM+BEN90， BEN+EBN90， DCMEBN， DCMEBN， ， CMBN，DMEN， 在 RtCMF 中，CMFM， FMBN， 设 FMBNx，ENy，则 DMy，CMx， CF2x，EFy， BCADDE， y+x+y2x+y+x， xy， x2+y24， y，x， BC2， 故答案为
20、：2 13解：连接 OA，OB，OB 交 AF 于 J OFBC， ， 五边形 ABCDE 是正五边形， AOB72，BOF36， AOF108， OAOF， OAFOFAFOJ36， OJJF， AOAJ，OBOF，OAJFOB， AOJOFB（SAS） ， OJBF， OFJAFO，FOJOAF， FOJFAO， ， OF2FJFA， FJOJFB， FAFBOF216 故答案为 16 14解：如图所示，过 D 作 DGAB 于 G，过 E 作 EHDA，交 DA 的延长线于 H， EAC60，BAC30， EAGAGD90， BC1， RtABC 中，AC，AB2， 又ABD 和ACE
21、是等边三角形， AE，DG， DGAE， 又DFGEAF， AEFGDF（AAS） ， DFDE， 又RtAEH 中，EAH30， HEAE，AH， DHDA+AH2+， RtDEH 中，DE， DF 的长为， 故答案为： 15解：设M 与 y 轴相切于 E， 连接 EM 并延长交 BC 于 H，过 P 作 PFx 轴于 F，延长 FP 交 EH 于 D， AC 为M 直径， BCAB， AC10，AB6， BC8， M 与 y 轴相切， EMy 轴， 四边形 OEDF 是矩形， OEBHDF，EDOF，EDOF， AMCM， MHAB3，BHDF4， MPMQ，NQ 平分MNB， MNBN，
22、 设 MNBNx， NH4x， MH2+HN2MN2， x232+（4x）2， 解得：x， MNBN， HN， HNPD， MHNMDP， ， ， MD，PD， DEEM+MD，PFDFPD， 点 P 坐标是（，） ， 故答案为： （，） 16解：CBFBCE， 可以假设BCE4x，则CBF5x， DE 平分ADC，CE 平分DCB， ADEEDC，ECDECB4x，设ADEEDCy， ADBF， A+ABF180， ADC+DCB+CBF180， 2y+13x180， DEC115， EDC+ECD65，即 y+4x65 ， 由解得， BCF40，CBF50， CFB90， BFEC， CE
23、2BF，设 BFm，则 CE2m， SBCEECBF4， 2mm4， m2 或2（舍弃） ， CE2m4， 故答案为 4 17解：延长 BC 与 DE，两延长线相交于点 H，连接 FH，如图， 四边形 ABCD 是矩形， BCDHCD90， DCDC，CDECDB，即CDHCDB， CDBCDH（ASA） ， CBCH，DBDH， G 是 BE 的中点， CG，CGEH， CGFDEF， 设CBE，则CDECDB2CBE2， DFEBFC90， DEF180EDFDFE180290+90， DEFBFC， CGFDEF， CGFBFC，即CGFGFC， CGCF， BC+CGCD，CF1， H
24、E2CG2，CDBC+1， 设 BCx， DHDB， CBCH，CDBH， FHBF， FBHFHB， EFH2FBHCDE，即HFEHDF， FHEDHF， HFEHDF， ，即 FH2HEHD， ，即 则 x46x28x30， （x4x2）+（5x25x）+（3x3）0， x2（x+1） （x1）5x（x+1）3（x+1）0， （x+1） （x3x25x3）0， x+10， x3x25x30， x33x2+2x26x+x30， （x3） （x+1）20， x30， x3， BF， 故答案为： 18解：四边形 ABCD 是正方形， BD90，ABAD， AEF 是等边三角形， AEEFAF，
25、 在 RtABE 和 RtADF 中， RtABERtADF（HL） ， BEDF， CECF， 设 BEx，那么 DFx，CECF1x， 在 RtABE 中，AE2AB2+BE2， 在 RtCEF 中，FE2CF2+CE2， AB2+BE2CF2+CE2， x2+12（1x）2， x24x+10， x2，而 x1， x2， 即 BE 的长为2， CECF1 AEF 的面积1121（2）（1）223， 故答案为：23 19解：如图，作 ENAB 于 N，EMBC 于 M，PHCB 于 H 四边形 ABCD 是正方形， ADDCCBAB4，ABCBCDCDADAB90，ABDCBDADBCDB
26、45， ENEMBNBM， BE3DE， BN3AN，所以 AN1，BN3， EMENBMBN3， EFEG， FEG90， NEM90， NEFMEG， 在NEF 和MEG 中： NEFMEG（ASA） ， MGNF，EGEF， BF1， NFNB+BF4， MG4， BGBM+MG7， PBFABD45， PBG135， PBH45， HPB45， BHPH，PBPH， 设 BHPHx，则 PBx，GHBH+BGx+7， 因为，所以，解得 x， 所以 PB， 又因为 BEBN3， 所以 EPEB+BP 20解：如图，作 CHBE 于 H，EFBD 于 F设 BE 与 AC 的交点为 G 则
27、HBC+BCHBHC90， 四边形 ABCD 为矩形， ADBC，ABCD，ABCBAD90，ADBC，ACBD ABE+CBH90， ABEBCH， ABEACB， BCHGCH， BHGH，BCCG，CBHCGH， 设 ABx，则 EDCDABx， AE2，所以 ADAE+ED2+x， CGCB2+x， ADBC， AEGCBHCGHAGE， AGAE2， ACAG+CG4+x， 在 RtABC 中：AB2+BC2AC2， x2+（x+2）2（x+4）2，解得 x16，x22（舍） ， ABCD6，ADAC8，ACBD10， AC 与 BD 交于点 O， AOBOCODO5， sinBDA
28、，cosBDA， EFED，DFED OFODDF5 在 RtEFO 中： OE2OF2+EF2（）2+（）213， OE 故答案为： 21解：如图，作 BHEG 交 AD 于 H，交 AF 于 M 设 DGx，则 BE2DG2x， ABCD 是正方形， ABBCCDDA，ADBC，ABCD，ABCBCDCDABAD90， AEBEAD，BEGH 是平行四边形， GHBE2x， DHGH+DG3x， GFAE， FGDEAD， AEBFGD， FGDAEB， ， 设 DFy，则 AB2yAD， ABH+BAMBAM+DAF90， ABHDAF， 在ABH 和DAF 中： ABHDAF（ASA）
29、 ， AHDFy， DHCFy， y3x， tanFEC 故答案为： 22解：设 PB 交O 于点 N，连接 PA，延长 PB、AC 交于点 M， AB 是直径，PHCB ANP90ACBH， MCPH， 由圆的对称性可得，PAPB，BPOAPOAPB， BPH2BPO， BPHAPB， PHBPNA （AAS） ， PNPH15， 由 MCPH 得，HPBMAPM， AMAPPB， ANPM， PM2PN30， 由PHBMCB， ， 设 MCa，BCb，MBc，则 HB24b，PB30c， ， sinMsinHPB， cosHPB 在 RtPHB 中，PH15， PB25，HBsinHPBP
30、H20， BC24204，MB30255，则 MC3， 在 RtABC 中，BC4，ACAMMC25322， tanBAC， 故答案为： 23解：根据题意得：BPt， 四边形 ABCD 是矩形，AB8，AD4， CDAB8，BCAD4， AP8t，DEDCCE853， 由勾股定理得：AE5， 过 E 作 EFAB 于 F， 则EFAEFB90， CB90， 四边形 BCEF 是矩形， BFCE5，BCEF4， PF5t， 由勾股定理得：PE2EF2+PF242+（5t）2， 当 AEPE 时，5242+（5t）2， 解得：t2，t8， t8 不符合题意，舍去； 当 APPE 时， （8t）242+（5t）2， 解得：t， 即当 t 的值为 2 或时，PAE 是以 PE 为腰的等腰三角形， 故答案为：2 或 24解：如图： 高为 12cm，底面周长为 10cm，在容器内壁离容器底部 3cm 的点 B 处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿 3cm 与饭粒相对的点 A 处， AD5cm，BD123+AE12cm， 将容器侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A， 连接 AB，则 AB 即为最短距离， AB13（cm） 故答案为：13
