1、 第第 21 讲讲 间隔与阵列间隔与阵列 兴趣篇兴趣篇 1、社区门口有一条长为 100 米的马路，现在要在这条马路的一侧种树，每隔 10 米种一棵，而且马路的两 端都要种。一共需要种多少棵树？ 2、学校门前有条长 100 米的马路，马路两侧一共种了 42 棵树。每侧相邻两棵树之间的距离都相等，而且 马路的两端都种了。请问：相邻两棵树之间的距离是多大？ 3、包包上楼，从第一层走到第三层需要上 36 级台阶。如果各层楼之间的台阶数相同，那么包包从第一层 走到第六层一共需要上多少级台阶？ 4、学校组织军训，教官让男生站一排，女生站一排。请问： （1）包包和同班女生站成一排，她发现自己的左侧有 7 人
2、、右侧有 8 人。女生一共有多少人？ （2）铮铮和同班男生站成一排，他发现自己是左起第 7 个、右起第 9 个。男生一共有多少人？ （3）昊昊也在男生队伍里。他发现自己是左起第 4 个，他的右侧应该有几人？他应该是右起第几人？ 5、运动会闭幕式结束后，大家准备散场。班长包包让全班同学站成一行清点人数（她自己并不在队伍中） 。 她先从左往右数，发现铮铮是第 25 个；然后她又从右往左数，发现昊昊正好是第 29 个。如果队伍里一共 有 31 人，那么铮铮和昊昊之间有几个人？ 6、一整块大豆腐长 40 厘米，宽 20 厘米。厨师准备把它切成一些长 5 厘米，宽 4 厘米的小块，而且每次只 能沿着直线
3、切。如果不允许移动豆腐的位置，那么厨师至少要切几次？ 7、学校有一个圆形水池，水池的周长为 40 米。如果绕着水池每隔 4 米种一棵树，一共要种几棵树？ 8、50 个男生沿着 300 米的跑道站成一圈，并且相邻两人之间的距离都相等。现在，每相邻两个男生之间又 加入了两个女生，相邻两人之间的距离还是相等。请问：一共加入了多少个女生？加入女生后，相邻两 人之间的距离又是多少米？ 9、有 100 个人站成一个实心方阵，那么这个方阵的最外层共有多少人？从外向里算起的第二层有多少人？ 从里向外算起的第三层有多少人？ 10、一个实心方阵，最外层一共有 20 人。请问： （1）最外层每边有多少人？这个方阵一
4、共有多少人？ （2）如果要组成一个更大的方阵，至少需要增加多少人？ （3）如果给这个方阵最外面再增加一层，那么需要增加多少人？ 拓展篇拓展篇 1、 刘老师想做一张木凳。他先把一根木头锯成 4 段，用了 12 分钟。如果要把另一根木头锯成 8 段，需要 几分钟？（假设刘老师每锯断一次所花的时间相同） 2、 包包和铮铮去刘老师家玩，刘老师住在 15 层。两人同时从一楼往上走，速度都保持不变，当包包走到 第 3 层的时候，铮铮恰好走到了第 5 层。请问：当铮铮走到刘老师家的时候，包包走到了第几层？ 3、 有一块三角形的土地，三条边的长度分别为 120 米、150 米、80 米。在边界上每隔 10 米
5、种一棵树，三 角形的每个顶点都必须种。一共要种多少棵树？ 4、 体育课上教师让 42 名同学站成一行。铮铮发现有一半人站在他自己的左边；昊昊发现自己是从右往左 数的第 12 个。铮铮和昊昊之间有多少人？ 5、班里一共有 42 名学生，站成一圈做游戏。现在从包包开始数。请问： （1）如果铮铮是顺时针数第 26 个，昊昊是顺时针数第 17 个，铮铮与昊昊之间有多少名同学？ （2）如果铮铮是顺时针数第 22 个，昊昊是逆时针数第 13 个，铮铮与昊昊之间有多少名同学？ （3）如果铮铮是顺时针数第 27 个，昊昊是逆时针数第 31 个，铮铮与昊昊之间有多少名同学？ 6、若干名同学站成一个 1515 的
6、实心方阵。请问：最外层一共有多少人？这个方阵一共有多少层？从里 向外算起的第七层有多少人？ 7、一个实心方阵，最外层共有 44 人。请问： （1）这个方阵共有多少人？ （2）要让这个方阵减少一行一列，一共减少了多少人？ 8、红领巾小学三年级有 120 名学生。他们排成一个三层的空心方阵。请问： （1）这个方阵最外层每边有多少人？ （2）如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，应该增加几个人？ （3）如果在内部再加一层，变成一个五层的空心方阵，还需要再增加几个人？ 9、用红、绿两种颜色的小正方形瓷砖铺成一块正方形墙面：由外到内算起，这个墙面最外层铺的是红色瓷 砖，第二层是绿色瓷砖，第三层是红色
7、瓷砖，第四层是绿色瓷砖这样依次铺下去，一共使用了 400 块瓷砖。请问：这个墙面上哪种颜色的瓷砖更多？两种瓷砖相差多少块？ 10、刘老师把一些树苗栽种成一个尽量大的实心方阵，结果还多出了 6 棵树苗；后来又运来了 34 棵树苗， 恰好能补成一个更大的实心方阵。那么后来的方阵最外层每边有多少棵树？ 11、如图 21-1，一块绿地由 3 块相同的等边三角形草地和一个水池构成。现在要在草地上种花，要求在草 地与草地的公共点处种上花（即图中的 A、B、C 点） ，且每块草地上的花朵排成一个三角形实心点阵， 每块草地上最外层的每条边上有 10 朵花。请问：整个绿地一共要种多少朵花？ 超越篇超越篇 1、
8、如图 21-2，有一个长方形的“田”字道路，整个长方形的长为 100 米、宽为 70 米。现在需要在所有道 路上种树，相邻两棵树之间的距离都相等，而且可以拐弯的地点（顶点或中点）都要种上树，那么最少 要种多少棵树？ 2、 在学校的运动会上，同学们集体表演一个节目，站成了一个空心的正六边形阵列，与图 21-3 中的阵列 类似。从外向内一共 8 层，依次站着两层六年级的同学、两层五年级的同学、两层四年级的同学以及两 层三年级的同学。已知参加表演的六年级同学有 126 名，请问： （1）最外层有多少人？ （2）现在阵列中一共有多少人？ （3）如果想要让一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要多少人
9、？ 3、若干名男生站成一排，站好后铮铮的左侧有 15 人，昊昊恰好在正中间，而且他们两人之间（不包括他 们自己）一共有 3 人。队伍里可能有多少人？（写出所有可能的答案） 4、 铮铮拿出一根绳子， 对折之后在中间剪了一刀， 结果绳子被剪成了 3 段。 如果铮铮把这根绳子对折 3 次， 再从中间剪 2 刀，绳子会被剪成几段？如果铮铮把这根绳子对折 4 次，再从中间剪 3 刀，绳子会被剪成 几段？ 5、水池周围种了一些树，铮铮和包包沿顺时针方向绕水池散步，边走边数树的棵树。由于两人的出发地点 不同，因此铮铮数的第 20 棵在包包那儿是第 7 棵，铮铮数的第 7 棵在包包那儿是第 94 棵。请问：水
10、 池四周一共种了多少棵树？ 6、昊昊用一些棋子摆成了一个两层的空心方阵，后来他又多摆上去 28 个棋子，使得图形变成一个三层的 空心方阵。开始时昊昊可能摆了多少个棋子？ 7、阳光小学的学生在操场上排成一个方阵，方阵的行距和列距都相等。已知方阵最外面一圈都是男生，往 内一圈都是女生，然后是男生如此下去直到最里面。如果男生总数比女生总数多 52 人，那么共有学生 多少人？ 8、如图 21-4，这是一些棋子摆成的正三角形点阵。和“空心方阵”类似，也可以有“空心三角阵” 。 （1）如果有一个 5 层的空心三角阵，最外层每边有 20 个棋子，那么一共有多少枚棋子？ （2）如果一个空心三角阵共有 294
11、枚棋子，那么它最多有多少层？ （3）如果一个空心三角阵共有 294 枚棋子，不止一层，那么它的最外层最多有多少枚棋子？ （4）已知一个空心三角阵共有 108 枚棋子，如果增加 42 枚棋子后可以让它增加一层，请你表示出如何增 加这 42 枚棋子。 第第 21 讲讲间隔与阵列间隔与阵列 兴趣篇兴趣篇 1、社区门口有一条长为 100 米的马路，现在要在这条马路的一侧种树，每隔 10 米种一棵，而且马路的两 端都要种。一共需要种多少棵树？ 【分析】共有：10010111（颗） 。 11 棵 2、学校门前有条长 100 米的马路，马路两侧一共种了 42 棵树。每侧相邻两棵树之间的距离都相等，而且 马路
12、的两端都种了。请问：相邻两棵树之间的距离是多大？ 【分析】马路一侧种了 21 棵树，则相邻两颗树之间的距离为：1002115米。 3、包包上楼，从第一层走到第三层需要上 36 级台阶。如果各层楼之间的台阶数相同，那么包包从第一层 走到第六层一共需要上多少级台阶？ 【分析】根据题意，一层楼梯有 18 级台阶，包包从第一层到第 6 层，需要走 5 层，共为 90 级。 4、学校组织军训，教官让男生站一排，女生站一排。请问： （1）包包和同班女生站成一排，她发现自己的左侧有 7 人、右侧有 8 人。女生一共有多少人？ （2）铮铮和同班男生站成一排，他发现自己是左起第 7 个、右起第 9 个。男生一共
13、有多少人？ （3）昊昊也在男生队伍里。他发现自己是左起第 4 个，他的右侧应该有几人？他应该是右起第几人？ 【分析】 （1）女生一共有：7+8+1=16 人； （2）共有；7+9-1=15 人； （3）他的右侧应该有：11 人；他是右起第 12 人 5、运动会闭幕式结束后，大家准备散场。班长包包让全班同学站成一行清点人数（她自己并不在队伍中） 。 她先从左往右数，发现铮铮是第 25 个；然后她又从右往左数，发现昊昊正好是第 29 个。如果队伍里一共 有 31 人，那么铮铮和昊昊之间有几个人？ 【分析】昊昊是从左往右数的第 3 个，所以他们之间有 21 人。 6、一整块大豆腐长 40 厘米，宽
14、20 厘米。厨师准备把它切成一些长 5 厘米，宽 4 厘米的小块，而且每次只 能沿着直线切。如果不允许移动豆腐的位置，那么厨师至少要切几次？ 【分析】长分成 8 份，需要切 7 刀； 宽切成 5 份，需要切 4 刀，所以至少需要用 11 刀。 7、学校有一个圆形水池，水池的周长为 40 米。如果绕着水池每隔 4 米种一棵树，一共要种几棵树？ 【分析】由于是圆形水池，共需要用：40410棵 8、50 个男生沿着 300 米的跑道站成一圈，并且相邻两人之间的距离都相等。现在，每相邻两个男生之间又 加入了两个女生，相邻两人之间的距离还是相等。请问：一共加入了多少个女生？加入女生后，相邻两 人之间的距
15、离又是多少米？ 【分析】由于每两个男生之间加入了两名女生，所以共加入了 100 名女生。 加入女生之后，两名学生之间的距离变为：3001502（米） 。 9、有 100 个人站成一个实心方阵，那么这个方阵的最外层共有多少人？从外向里算起的第二层有多少人？ 从里向外算起的第三层有多少人？ 【分析】100 个人分成的方阵为 10 10，所以这个方针的最外层至少需要有：410436（人） ； 从外向内，少了 8 个人，为 28 人； 第 3 层为 20 人； 10、一个实心方阵，最外层一共有 20 人。请问： （1）最外层每边有多少人？这个方阵一共有多少人？ （2）如果要组成一个更大的方阵，至少需要
16、增加多少人？ （3）如果给这个方阵最外面再增加一层，那么需要增加多少人？ 【分析】 （1）最外层有： 20446（人） ；这个方阵共有 36 人； （2）如果要组成一个更大的方阵，至少为 49 人，所以要增加 13 人； （3）如果在这个方阵外面再增加一层，相当于变为一个 88 的方阵，还需要增加 28 人。 拓展篇拓展篇 5、 刘老师想做一张木凳。他先把一根木头锯成 4 段，用了 12 分钟。如果要把另一根木头锯成 8 段，需要 几分钟？（假设刘老师每锯断一次所花的时间相同） 【分析】刘老师锯成 4 段，需要用 12 分钟，需要锯 3 次，锯每一次需要 4 分钟，现在要锯成 8 段，需要锯
17、7 次，共需要用 28 分钟。 6、 包包和铮铮去刘老师家玩，刘老师住在 15 层。两人同时从一楼往上走，速度都保持不变，当包包走到 第 3 层的时候，铮铮恰好走到了第 5 层。请问：当铮铮走到刘老师家的时候，包包走到了第几层？ 【分析】包包步行 2 层的时候，铮铮可以走 4 层；当铮铮步行了 14 层的时候，包包只能走 7 层。所以包包 到了第 8 层。 7、 有一块三角形的土地，三条边的长度分别为 120 米、150 米、80 米。在边界上每隔 10 米种一棵树，三 角形的每个顶点都必须种。一共要种多少棵树？ 【分析】一共要种：12010115010180101335（棵） 8、 体育课上
18、教师让 42 名同学站成一行。铮铮发现有一半人站在他自己的左边；昊昊发现自己是从右往左 数的第 12 个。铮铮和昊昊之间有多少人？ 【分析】铮铮是从左边数第 22 个人；昊昊是从左往右数第 31 个人；两人之间共有 8 人。 5、班里一共有 42 名学生，站成一圈做游戏。现在从包包开始数。请问： （1）如果铮铮是顺时针数第 26 个，昊昊是顺时针数第 17 个，铮铮与昊昊之间有多少名同学？ （2）如果铮铮是顺时针数第 22 个，昊昊是逆时针数第 13 个，铮铮与昊昊之间有多少名同学？ （3）如果铮铮是顺时针数第 27 个，昊昊是逆时针数第 31 个，铮铮与昊昊之间有多少名同学？ 【分析】 （1
19、）铮铮与昊昊之间有 26-17-1=8 名学生； （2）由于昊昊是逆时针第 13 个，则昊昊是顺时针第 30 个，两者之间有 8 名同学； （3）由于昊昊是逆时针第 31 个，则昊昊是顺时针第 12 个，两者之间有 13 名同学。 6、若干名同学站成一个 1515 的实心方阵。请问：最外层一共有多少人？这个方阵一共有多少层？从里 向外算起的第七层有多少人？ 【分析】 （1） 最外层有：415456（人） ； （2） 由于每层每行少两人，则这个方阵共有 8 层； （3） 从里往外第 7 层，即为从外往里第 2 层，比最外一层少 8 人。共有 48 人。 7、一个实心方阵，最外层共有 44 人。请
20、问： （1）这个方阵共有多少人？ （2）要让这个方阵减少一行一列，一共减少了多少人？ 【分析】 （1） 这个方阵最外层每行共有：444412人，所以这个方阵共有 144 人； （2） 要让这个方阵减少 1 列，少了 12 人，再少 1 行，则可以再少 11 人。所以一共减少了 23 人。 8、红领巾小学三年级有 120 名学生。他们排成一个三层的空心方阵。请问： （1）这个方阵最外层每边有多少人？ （2）如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，应该增加几个人？ （3）如果在内部再加一层，变成一个五层的空心方阵，还需要再增加几个人？ 【分析】 （1） 令最里面一层有x人，则外面一层为8x 人，
21、最外面一层有：16x 人。 所以共有；324120 x ，解之得：32x ，所以最外面一层有 48 人。则最外层每边共有； 484413（人） ； （2） 如果再在外面增加一层，应该增加 48+8=56 人； （3）如果在里面增加一层，应该增加 32-8=24 人； 9、用红、绿两种颜色的小正方形瓷砖铺成一块正方形墙面：由外到内算起，这个墙面最外层铺的是红色瓷 砖，第二层是绿色瓷砖，第三层是红色瓷砖，第四层是绿色瓷砖这样依次铺下去，一共使用了 400 块瓷砖。请问：这个墙面上哪种颜色的瓷砖更多？两种瓷砖相差多少块？ 【分析】根据题意，最里面可能是一个瓷砖，也可能是 4 个瓷砖。 （1） 若最里
22、面是 1 块瓷砖，则从里到外的瓷砖数为： 19172518143400nnn； （2） 若最里面为 4 块瓷砖，则从里到外的瓷砖数依次为： 2 412204814400nn，则10n ，所以最外层为红色瓷砖，共有 10 层， 所以红色瓷砖多，从外到内，每两层，红色瓷砖比白色瓷砖多 8 块，所以共多了 40 块。 10、刘老师把一些树苗栽种成一个尽量大的实心方阵，结果还多出了 6 棵树苗；后来又运来了 34 棵树苗， 恰好能补成一个更大的实心方阵。那么后来的方阵最外层每边有多少棵树？ 【分析】若增加了 1 层，则现在最外层共有：40 棵树，所以最外层每边共有：404411； 若增加了层，则40
23、16 24，此时最外层有：24447（棵）树。 11、如图 21-1，一块绿地由 3 块相同的等边三角形草地和一个水池构成。现在要在草地上种花，要求在草 地与草地的公共点处种上花（即图中的 A、B、C 点） ，且每块草地上的花朵排成一个三角形实心点阵， 每块草地上最外层的每条边上有 10 朵花。请问：整个绿地一共要种多少朵花？ 【分析】将三个小三角形抽离出来，一个小三角形草地有花共：2 3 41054 （朵） ，所以共有 543=162 朵。 12、有 10000 人参加国庆节游行庆祝活动，这些人被平均分成 25 队，每队以 20 人为一排。前进过程中， 排与排之间相隔 1 米，队与队之间相隔
24、 6 米。那么这支游行队伍的长度为多少米？ 【分析】根据题意，每支队伍有 400 人，则共可以分成 20 排，所以这支队伍的长度为： 19 25 24 6619 （米） 。 超越篇超越篇 3、 如图 21-2，有一个长方形的“田”字道路，整个长方形的长为 100 米、宽为 70 米。现在需要在所有道 路上种树，相邻两棵树之间的距离都相等，而且可以拐弯的地点（顶点或中点）都要种上树，那么最少 要种多少棵树？ 【分析】由于35,505，则对于长与宽的一半来说，不计定点，分别需要种植 9 棵树与 6 棵树，则最少 要种9 2 3 6 2 3 1299 （棵树） 。 4、 在学校的运动会上，同学们集体
25、表演一个节目，站成了一个空心的正六边形阵列，与图 21-3 中的阵列 类似。从外向内一共 8 层，依次站着两层六年级的同学、两层五年级的同学、两层四年级的同学以及两 层三年级的同学。已知参加表演的六年级同学有 126 名，请问： （1）最外层有多少人？ （2）现在阵列中一共有多少人？ （3）如果想要让一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要多少人？ 【分析】 （1）每相邻两层相差 6 人，则 120=60+66，所以最外层有：66 人； （2）这个阵列中共有：66 60 54 48 42 36 30 24360（人） ； （3）现在用一、二年级将其填满，还需要有：6 3 6 2 6 1 37
26、 （人） 。 3、若干名男生站成一排，站好后铮铮的左侧有 15 人，昊昊恰好在正中间，而且他们两人之间（不包括他 们自己）一共有 3 人。队伍里可能有多少人？（写出所有可能的答案） 【分析】若铮铮在昊昊的右侧，则共有：11 2223 （名） ； 若铮铮在昊昊的左侧，则共有：19 238 （名） ； 4、 铮铮拿出一根绳子， 对折之后在中间剪了一刀， 结果绳子被剪成了 3 段。 如果铮铮把这根绳子对折 3 次， 再从中间剪 2 刀，绳子会被剪成几段？如果铮铮把这根绳子对折 4 次，再从中间剪 3 刀，绳子会被剪成 几段？ 【分析】由于对折 1 次会有两根；对折 2 次会有四根；对折 3 次会有
27、8 根；此时再从中间剪两刀，中间部 分会有 8 段，左边会有 5 段，右边会有 4 段，共有 17 段； 如果铮铮把这根绳子对折 4 次，从中间剪 3 刀，中间部分会有 16 2=32 段；右半部分会有 16 2=8 段；左部 分会有 9 段，此时共会有 49 段。 5、水池周围种了一些树，铮铮和包包沿顺时针方向绕水池散步，边走边数树的棵树。由于两人的出发地点 不同，因此铮铮数的第 20 棵在包包那儿是第 7 棵，铮铮数的第 7 棵在包包那儿是第 94 棵。请问：水 池四周一共种了多少棵树？ 【分析】令铮铮一开始在第 1 棵树上，则铮铮数的第 20 棵树由于在包包那儿是第 7 棵树，所以一开始
28、包包 在第 14 棵树上。 铮铮数的第 7 棵树与包包数的第 94 棵树即第 94+14-1=107 棵树是同一个位置，所以水池四周一共种了 100 棵树。 6、昊昊用一些棋子摆成了一个两层的空心方阵，后来他又多摆上去 28 个棋子，使得图形变成一个三层的 空心方阵。开始时昊昊可能摆了多少个棋子？ 【分析】若这 28 个棋子是放在里面，则开始时昊昊共摆了 36+44=80 个； 若这 28 个棋子时放在外面，则共有 20+12=32 个棋子； 若这 28 个棋子可以部分放在最外层，部分放在最里层，则有：28 10 24 2 。 所以开始时，昊昊可能摆了：24 3256个棋子； 7、阳光小学的学
29、生在操场上排成一个方阵，方阵的行距和列距都相等。已知方阵最外面一圈都是男生，往 内一圈都是女生，然后是男生如此下去直到最里面。如果男生总数比女生总数多 52 人，那么共有学生 多少人？ 【分析】由于 52 不是 8 的倍数，所以最里层为男生，有 4 名学生，共有 13 层。他们的和为： 4 12 20 28 36 44 52100 104 13 2676 。 8、如图 21-4，这是一些棋子摆成的正三角形点阵。和“空心方阵”类似，也可以有“空心三角阵” 。 （1）如果有一个 5 层的空心三角阵，最外层每边有 20 个棋子，那么一共有多少枚棋子？ （2）如果一个空心三角阵共有 294 枚棋子，那么它最多有多少层？ （3）如果一个空心三角阵共有 294 枚棋子，不止一层，那么它的最外层最多有多少枚棋子？ （4）已知一个空心三角阵共有 108 枚棋子，如果增加 42 枚棋子后可以让它增加一层，请你表示出如何增 加这 42 枚棋子。 【分析】 （1）共有：3 19 3 17 3 15 3 13 3 11 195 枚； （2） ； （3）87 枚； （4）中心用 7 枚补一条边，外面用 35 枚补两条边
