1、 第第 4 讲讲 枚举法一典型问题枚举法一典型问题 兴趣篇兴趣篇 1. 冬冬在一张纸上画了一些图形，如图所示，每个图形都是由若干条线段连接组成的。请你数一数，纸上 一共有多少条线段？（最外面的大长方形是纸的边框，不算在内） 2. 要沿着如图所示的道路从A点走到B点，并且每段路最多只能经过一次，一共有多少种不同的走法？ 3. 小明决定去香山、颐和园、圆明园这三个景点旅游。要走遍这三个景点，他一共有多少种不同的游览顺 序？ 4. 小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这 4 个地方中选 2 个去旅游，小王有多少种不同的选择方式？如果 小王想去其中的 3 个地方，又有多少种选择方式？ 5. 小烧饼每个 5
2、 角钱，大烧饼每个 2 元钱。冬冬一共有 6 元钱，如果把这些钱全部用来买烧饼，一共有多 少种不同的买法？ 6. 在一次知识抢答比赛中，小悦和东东两个人一共答对了 10 道题，并且每人都有答对的题目。如果每道题 1 分，那么小悦和冬冬分别可能是多少分？请把所有的可能填写到下面的表格里？ 小悦的总分 冬冬的总分 7. 两个海盗分 20 枚金币。请问： （1）如果每个海盗最少分到 5 枚金币，一共有多少种不同的分法？ （2）如果每个海盗最多分到 16 枚金币，一共有多少种不同的分法？ 8. 有 15 个玻璃球，要把它们分成两堆，一共有几种不同的分法？这两堆球的个数可能相差几个？ 9. 张奶奶去超市
3、买了 12 盒光明牛奶，发现这些牛奶需要装在 2 个相同的袋子里，并且每个袋子最多只能装 10 盒。张奶奶一共有几种不同的装法？ 10. 小悦、 冬冬、 阿奇三个人一共有 7 本课外书， 每个人至少有一本。 小悦、 冬冬、 阿奇分别有基本课外书？ 请写出全部可能的情况。 拓展篇 1. 如图，小悦画了一个小房子，如果每画一笔都不能拐弯，那么她最少画了几笔？ 2. 小悦把 8 块绿豆糕摆成如图所示的图形，让冬冬挑两块挨在一起的绿豆糕。请问：冬冬一共有多少种不 同的挑法？ 3. 小悦、冬冬、阿奇三个人去看电影，他们买了三张座位相邻的票。他们三人的座位顺序一共有多少种不 同的安排方法？ 4. 小李摆摊
4、卖货，小木偶每个卖 1 元，大木偶每个卖 2 元，他今天一共卖出了 5 个木偶。小李今天一共可 能卖了多少钱？ 5.（1）老师给小悦 14 个相同的练习本。如果小悦把这些本子全部分给冬冬和阿奇，有多少种不同的分法？ （2）老师给小悦 14 个相同的练习本，如果小悦只需要把这些本子分成 2 堆，又有多少种不同的分法？ 6. 盘子里一共有 20 颗花生，小悦和冬冬一起吃。每人一口吃 2 颗，两个人一起把花生吃完（每人至少吃一 口） 。他们分别可能吃了多少颗花生？ 7. 如图，有 7 个按键，上面分别写着：1、2、3、4、5、6、7 这 7 个数字。请问： （1）从中选出 2 个按键，使它们上面数字
5、的差等于 2，一共有多少种选法？ （2）从中选出 2 个按键，使它们上面数字的和大于 9，一共有多少种选法？ 8. 小王有 5 个相同的飞机模型，他要把它们放在一个 3 层的货架上，每层至少要放 1 个。小王一共有多少 种不同的放法？过了几天， 他又要把 18 个相同的汽车模型放到另一个 3 层货架上， 每层至少要放 5 个， 这时有多少种不同的放法？ 9.（1）小明买回了一袋糖豆，他数了一下，一共有 10 个。现在他要把这些糖豆分成 3 堆，一共有多少种不 同的分法？ （2）如果小明有两袋糖豆，每袋 10 个。要把这两袋糖豆分成 3 堆，每堆至少要有 5 个，一共有多少种 不同的分法？ 10
6、. A、B、C、D、E这五个人一起回答一道题目，结果只有两个人答对了。所有可能的回答情况一共 有多少种？ 11. （1）有 2 个相同的白球和 1 个红球。如果把这 3 个小球排成一排，有多少种不同的排法？ （2）有 2 个相同的白球和 3 个相同的红球。把这 5 个小球排成一排，有多少种不同的排法？ 12. 班主任要从甲、乙、丙、丁、戊这五个小朋友里面选出四个人参加乒乓球赛，有多少种不同的选法？如 果已经选出了甲、乙、丙、丁，现在要把他们分成两组，进行双打比赛，有多少种不同的分法？ 超越篇 1. 小明参加了一次小测验，每个小题 2 分，每个大题 5 分，两种题目各有 3 道。小明的得分一共有
7、多少种 不同的可能？ 2. 几个小朋友在屋子里玩石头剪子布。冬冬在门外问他们一共有几个人。其中一个小朋友说：“不能直接告 诉你人数，不过我们现在一共伸出来 22 根手指，并且有 3 个人出石头。”请问：屋子里可能有几个人在 玩游戏？（出石头的不伸手指，出剪子的伸 2 根，出布的伸 5 根） 3. 一次小测验一共 4 道题。最初每位同学都有 4 分的基础分，然后每答对一道题加 3 分，每答错一道题扣 1 分，不答不扣分。同学们的得分可能是多少？ 4. 现在有 1 分、2 分、5 分的硬币各 5 枚，要用这些硬币凑出 2 角钱，一共有多少种不同的凑法？ 5. 如图，妈妈在 5 张卡片上分别写了 1
8、、1、1、2、2 这 5 个数字，让小明从里面挑出 3 张来组成一个三位 数。小明可能组成多少个不同的三位数？ 6. 刘老师在一个星期中要去 3 次健身馆，但是为了防止运动过量，不能连续两天都去。刘老师一共有多少 种满足条件的时间安排？ 7. 在算盘上，用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数？ 8. 一座 99 层摩天大楼的电梯上，有显示楼层的液晶屏，如图。由于屏幕受到损坏，显示左边数字的 7 根线 段中有 1 根不能亮了，显示右边数字的 7 根线段中有 3 根不能亮了。请问：电梯在运行的过程中，最多 还有多少个楼层的显示是正确的？ 第第 4 讲讲 枚举法一枚举法一典型问题典型问题 兴趣篇兴趣篇
9、 1. 冬冬在冬冬在一张纸上画了一些图形，如图所示，每个图形都是由若干条线段连接组成的。请你数一数，纸上一张纸上画了一些图形，如图所示，每个图形都是由若干条线段连接组成的。请你数一数，纸上 一共有多少条线段？（最外面的大长方形是纸的边框，不算在内）一共有多少条线段？（最外面的大长方形是纸的边框，不算在内） 【分析】24 条 2. 要沿着如图所示的道路从要沿着如图所示的道路从A点走到点走到B点，并且每段路最多只能经过一次，一共有多少种不同的走法？点，并且每段路最多只能经过一次，一共有多少种不同的走法？ 【分析】由于每条路段最多只能经过一次，所以应该不走回头路，共有： 3. 小明决定去香山、颐和园
10、、圆明园这三个景点旅游。要走遍这三个景点，他一共有多少种不同的游览顺小明决定去香山、颐和园、圆明园这三个景点旅游。要走遍这三个景点，他一共有多少种不同的游览顺 序？序？ 【分析】用 a、b、c 代表三个景点，共有：abc、acb、bac、bca、cab、cba 共计 6 种 2 B A 4 1 2 1 4. 小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这 4 个地方中选个地方中选 2 个去旅游，小王有多少种不同的选择方式？如果个去旅游，小王有多少种不同的选择方式？如果 小王想去其中的小王想去其中的 3 个地方，又有多少种选择方式？个地方，又有多少种选择方式？ 【分析】根据
11、题意，选两个地方有： 青岛、三亚；青岛、桂林；青岛、杭州；三亚、桂林；三亚、杭州；桂林、杭州共计 6 种选择方式； 如果要去其中的三个地方，共有青岛、三亚、桂林；青岛、三亚、杭州；青岛、桂林、杭州；三亚、桂林、 杭州等 4 种方法。 5. 小烧饼每个小烧饼每个 5 角钱，大烧饼每个角钱，大烧饼每个 2 元钱。冬冬一共有元钱。冬冬一共有 6 元钱，如果把这些钱全部用来买烧饼，一共有多元钱，如果把这些钱全部用来买烧饼，一共有多 少种不同的买法？少种不同的买法？ 【分析】令买了小烧饼x个，大烧饼y个。所以有： 0.526xy，由于 y 可取 0、1、2、3 有 4 种取法。所以一共有 4 种不同的买
12、法； 6. 在一次知识抢答比赛中，小悦和东东两个人一共答对了在一次知识抢答比赛中，小悦和东东两个人一共答对了 10 道题，并且每人都有答对的题目。如果每道道题，并且每人都有答对的题目。如果每道 题题 1 分，那么小悦和冬冬分别可能是多少分？请把所有的可能填写到下面的表格里？分，那么小悦和冬冬分别可能是多少分？请把所有的可能填写到下面的表格里？ 小悦的总分小悦的总分 冬冬的总分冬冬的总分 【分析】10192837465564738291 共计 9 种； 7. 两个海盗分两个海盗分 20 枚金币。请问：枚金币。请问： （1）如果每个海盗最少分到）如果每个海盗最少分到 5 枚金币，一共有多少种不同的
13、分法？枚金币，一共有多少种不同的分法？ （2）如果每个海盗最多分到）如果每个海盗最多分到 16 枚金币，一共有多少种不同的分法？枚金币，一共有多少种不同的分法？ 【分析】 （1）共有 11 种； 205 156147138 12911 1010119128137 146155 （2）共有 13 种： 201641551461371281191010 9118 127136145 15416 8. 有有 15 个玻璃球，要把它们分成两堆，一共有几种不同的分法？这两堆球的个数可能相差几个？个玻璃球，要把它们分成两堆，一共有几种不同的分法？这两堆球的个数可能相差几个？ 【分析】151 142133
14、124115 106978 分别相差 13、11、9、7、5、3、1 共有 6 个； 9. 张奶奶去超市买了张奶奶去超市买了 12 盒光明牛奶，发现这些牛奶需要装在盒光明牛奶，发现这些牛奶需要装在 2 个相同的袋子里，个相同的袋子里，并且每个袋子最多只能并且每个袋子最多只能 装装 10 盒。张奶奶一共有几种不同的装法？盒。张奶奶一共有几种不同的装法？ 【分析】1210293847566共有 5 种方法。 10. 小悦、冬冬、阿奇三个人一共有小悦、冬冬、阿奇三个人一共有 7 本课外书，每个人至少有一本。小悦、冬冬、阿奇分别有基本课外本课外书，每个人至少有一本。小悦、冬冬、阿奇分别有基本课外 书？
15、请写出全部可能的情况。书？请写出全部可能的情况。 【分析】如下表所示，共有 15 种可能。 小悦课外书数量 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 冬冬课外书数量 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 1 2 1 阿奇课外书数量 5 4 3 2 1 4 3 2 1 3 2 1 2 1 1 拓展篇拓展篇 1. 如图，小悦画了一个小房子，如果每画一笔都不能拐弯，那么她最少画了几笔？如图，小悦画了一个小房子，如果每画一笔都不能拐弯，那么她最少画了几笔？ 【分析】 通过枚举可知，共有：31 笔 2. 小悦把小悦把 8 块绿豆糕摆成如图所示的图形，让冬冬挑两块挨在一起的绿豆
16、糕。请问：冬冬一共有多少种不块绿豆糕摆成如图所示的图形，让冬冬挑两块挨在一起的绿豆糕。请问：冬冬一共有多少种不 同的挑法？同的挑法？ 【分析】单独看 3 个连在一起的小方块有 2 种； 单独看连在一起的 5 个小方块有 4 种； 两个连在一起还有 1 种； 所以共有：7 种 3. 小悦、冬冬、阿奇三个人去看电影，他们买了三张座位相邻的票。他们三人的座位顺序一共有多少种不小悦、冬冬、阿奇三个人去看电影，他们买了三张座位相邻的票。他们三人的座位顺序一共有多少种不 同的安排方法？同的安排方法？ 【分析】小悦有 3 种选择；冬冬剩下两种；阿奇只能选最后的，共有：3 2 1=6 种 4. 小李摆摊卖货，
17、小木偶每个卖小李摆摊卖货，小木偶每个卖 1 元，大木偶每个卖元，大木偶每个卖 2 元，他今天一共卖出了元，他今天一共卖出了 5 个木偶。小李今天一共可个木偶。小李今天一共可 能卖了多少钱？能卖了多少钱？ 【分析】 大木偶数 5 4 3 2 1 0 小木偶数 0 1 2 3 4 5 钱数 10 9 8 7 6 5 5.（1）老师给小悦）老师给小悦 14 个相同的练习本。如果小悦把这些本子全部分给冬冬和阿奇，有多少种不同的分法？个相同的练习本。如果小悦把这些本子全部分给冬冬和阿奇，有多少种不同的分法？ （2）老师给小悦）老师给小悦 14 个相同的练习本，如果小悦只需要把这些本子分成个相同的练习本，
18、如果小悦只需要把这些本子分成 2 堆，又有多少种不同的分法？堆，又有多少种不同的分法？ 【分析】 （1）有序分拆，共有： 140141 132123 11410596877 869510411312213 1 140 所以共有 16 种； （2）根据题意，共有：140141 132123 11410596877 8 种； 6. 盘子里一共有盘子里一共有 20 颗花生，小悦和冬冬一起吃。每人一口吃颗花生，小悦和冬冬一起吃。每人一口吃 2 颗，两个人一起把花生吃完（每人至少吃颗，两个人一起把花生吃完（每人至少吃 一口） 。他们分别可能吃了多少颗花生？一口） 。他们分别可能吃了多少颗花生？ 【分析】
19、有序枚举知共有：202184166148 121010128146164182 7. 如图，有如图，有 7 个按键，上面分别写着：个按键，上面分别写着：1、2、3、4、5、6、7 这这 7 个数字。请问：个数字。请问： （1）从中选出）从中选出 2 个按键，使它们上面数字的差等于个按键，使它们上面数字的差等于 2，一共有多少种选法？，一共有多少种选法？ （2）从中选出）从中选出 2 个按键，使它们上面数字的和大于个按键，使它们上面数字的和大于 9，一共有多少种选法？，一共有多少种选法？ 【分析】 （1）23 142536475 共 5 种； 数字和大于 9 的有： 3 7,46,47,5 6,
20、5 7,67共计 6 种； 8. 小王有小王有 5 个相同的飞机模型，他要把它们放在一个个相同的飞机模型，他要把它们放在一个 3 层的货架上，层的货架上，每层至少要放每层至少要放 1 个。小王一共有多少个。小王一共有多少 种不同的放法？过了几天， 他又要把种不同的放法？过了几天， 他又要把 18 个相同的汽车模型放到另一个个相同的汽车模型放到另一个 3 层货架上， 每层至少要放层货架上， 每层至少要放 5 个，个， 这时有多少种不同的放法？这时有多少种不同的放法？ 【分析】 （1）相当于从 4 个空里选择 2 个空来插板，共有： 2 4 6C (种) （2）可先先从每个货架上拿下 4 个，共拿
21、下 12 个，则还有： 22 18 12 15 10CC （种） 9.（1）小明买回了一袋糖豆，他数了一下，一共有）小明买回了一袋糖豆，他数了一下，一共有 10 个。现在他要把这些糖豆分成个。现在他要把这些糖豆分成 3 堆，一共有多少种堆，一共有多少种 不同的分法？不同的分法？ （2）如果小明有两袋糖豆，每袋）如果小明有两袋糖豆，每袋 10 个。要把这两袋糖豆分成个。要把这两袋糖豆分成 3 堆，每堆至少要有堆，每堆至少要有 5 个，一共有多少种个，一共有多少种 不同的分法？不同的分法？ 【分析】 （1）由于没有顺序，则有 8 种： 101 1 8127136145226235244 334 （
22、2）没有顺序共有 5 种： 2055 10569578668677 10. A、B、C、D、E这这五个人一起回答一道题目，结果只有两个人答对了。所有可能的回答情况一共五个人一起回答一道题目，结果只有两个人答对了。所有可能的回答情况一共 有多少种？有多少种？ 【分析】共有： 2 5 10C (种)。 11. （1）有）有 2 个个相同的白球和相同的白球和 1 个红球。如果把这个红球。如果把这 3 个小球排成一排，有多少种不同的排法？个小球排成一排，有多少种不同的排法？ （2）有）有 2 个相同的白球和个相同的白球和 3 个相同的红球。把这个相同的红球。把这 5 个小球排成一排，有多少种不同的排法
23、？个小球排成一排，有多少种不同的排法？ 【分析】 （1）3 个位置选择一个纺织红球，其余两位位置纺织白球，有 3 种方法； （2）由于红球位置固定了，白球位置就固定了，所以共有 3 5 10C 12. 班主任要从甲、乙、丙、丁、戊这五个小朋友里面选出四班主任要从甲、乙、丙、丁、戊这五个小朋友里面选出四个人参加乒乓球赛，有多少种不同的选法？个人参加乒乓球赛，有多少种不同的选法？ 如果已经选出了甲、乙、丙、丁，现在要把他们分成两组，进行双打比赛，有多少种不同的分法？如果已经选出了甲、乙、丙、丁，现在要把他们分成两组，进行双打比赛，有多少种不同的分法？ 【分析】 （1） 从 5 个人里选择 4 个人
24、有 5 种； （相当于从 5 个人里去掉一个人） ； （2） 甲、乙、丙、丁分成 2 堆共有 3 种方法：甲乙与丙丁；甲丙与乙丁；甲丁与乙丙； 超越篇超越篇 1. 小明参加了一次小测验，每个小题小明参加了一次小测验，每个小题 2 分，每个大题分，每个大题 5 分，两种题目各有分，两种题目各有 3 道。小明的得分一共有多少种道。小明的得分一共有多少种 不同的可能？不同的可能？ 【分析】 （1） 当小明小题全错时，大题可以对 0、1、2、3 道；得分分别为：0、5、10 、15； （2） 当小明对 1 道小题，大题可以对 0、1、2、3 道；得分分别为：2 、7、12、17； （3） 当小明对 2
25、 道小题，大题可以对 0、1、2、3 道；得分分别为：4、9、14、19； （4） 当小明对 3 道小题时，大题可以对 0、1、2、3 道；得分分别为： 6、11、15、21； 所以得分情况共有 16 种； 2. 几个小朋友在屋子里玩石头剪子布。冬冬在门外问他们一共有几个人。其中一个小朋友说：几个小朋友在屋子里玩石头剪子布。冬冬在门外问他们一共有几个人。其中一个小朋友说：“不能直接不能直接 告诉你人数，不过我们现在一共伸出来告诉你人数，不过我们现在一共伸出来 22 根手指，并且根手指，并且有有 3 个人出石头个人出石头。”请问：屋子里可能有几个人请问：屋子里可能有几个人 在玩游戏？（出石头的不
26、伸手指，出剪子的伸在玩游戏？（出石头的不伸手指，出剪子的伸 2 根，出布的伸根，出布的伸 5 根）根） 【分析】3 人出石头，不影响手指，则设出剪子的有 x 人，出布的有：y 人。则有： 2522xy。 观察可知，y 必为偶数，则 y=0，此时 x=11；y=2，此时 x=6；y=4 时，此时 x=1。 所以共有：8 人、11 人或者 14 人。 3. 一次小测验一共一次小测验一共 4 道题。最初每位同学都有道题。最初每位同学都有 4 分的基础分，然后每答对一道题加分的基础分，然后每答对一道题加 3 分，每答错一道题扣分，每答错一道题扣 1 分，不答不扣分。同学们的得分可能是多少？分，不答不扣
27、分。同学们的得分可能是多少？ 【分析】得分可能是：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，12，13，16，有 14 种情况 4. 现在现在有有 1 分、分、2 分、分、5 分的硬币各分的硬币各 5 枚，要用这些硬币凑出枚，要用这些硬币凑出 2 角钱，一共有多少种不同的凑法？角钱，一共有多少种不同的凑法？ 【分析】设 1 分、2 分、5 分的分别有 x、 y、z 枚。 则有：2520 05,05;05xyzxyz 当 z=0 时，则有：220 xy，此时无解； 当1z 时，此时有：215xy，有一组解： 5 5 x y 当 z=2 时，此时有：210 xy，有三组解： 024 , 543
28、 xxx yyy 当 z=3 时，此时有：25xy，有三组解： 135 , 210 xxx yyy 当 z=4 时，此时20 xy，有一组解： 0 0 x y 所以共有所以共有 8 组解。组解。 5. 如图，妈妈在如图，妈妈在 5 张卡片上分别写了张卡片上分别写了 1、1、1、2、2 这这 5 个数字，让小明从里面挑出个数字，让小明从里面挑出 3 张来组成一个三位张来组成一个三位 数。小明可能组成多少个不同的三位数？数。小明可能组成多少个不同的三位数？ 【分析】小明共可以组成 111、112、121、122、211、212、221 共计 7 种； 6. 刘老师在一个星期中要去刘老师在一个星期中
29、要去 3 次健身馆，但是为了防止运动过量，不能连续两天都去。刘老师一共有多少次健身馆，但是为了防止运动过量，不能连续两天都去。刘老师一共有多少 种满足条件的时间安排？种满足条件的时间安排？ 【分析】 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 所以一共有 10 种满足条件的时间安排。 7. 在算在算盘盘上，用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数？上，用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数？ 【分析】在算盘上现在有两颗珠子，则有： （） 当两颗珠子都在千位上时，有： 2000；6000； (1) 当有 1 颗珠子在千位时，形成 1 时： 1001；1005；1010；1050；1100；1500 共
30、6 种； （） 当有 1 颗珠子在千位上时，形成 5 时，也有 6 种； 所以用两颗珠子最多可以表示 14 个不同的四位数。 8. 一座一座 99 层摩天大楼的电梯上，有显示楼层的液晶屏，如图。由于屏幕受到损坏，显示左边数字的层摩天大楼的电梯上，有显示楼层的液晶屏，如图。由于屏幕受到损坏，显示左边数字的 7 根根 线段中有线段中有 1 根不能亮了，显示右边数字的根不能亮了，显示右边数字的 7 根线段中有根线段中有 3 根不能亮了。请问：电梯在运行的过程中，最根不能亮了。请问：电梯在运行的过程中，最 多还有多少个楼层的显示是正确的？多还有多少个楼层的显示是正确的？ 【分析】左边的坏掉一根，经试验可知，只有左下角的坏掉时，显示的最多，可以显示 1、3、4、5、7、 9 共 6 个； 右边的坏掉三根，经试验，只有当坏掉如下图所示的三根时，才显示的最多，可以显示的有：4、1。 所以最多有 12 层楼层可以显示。
