1、 第第 10 讲讲 和差倍问题二和差倍问题二 典型问题典型问题 兴趣篇 1. 甲班和乙班一共有 60 人，如果从甲班调 6 个人到乙班，那么甲班的人数就是乙班人数的 2 倍。求甲、乙 两班原来的人数。 2. 甲、乙两位学生原计划每周做同样数量的练习题，实际上甲每周多做了 18 道题，而乙偷懒每周少做了 14 道题，结果乙三周的做题量只相当于甲一周的做题量。请问：他们原计划每周做几道题？ 3. 一辆公共汽车出发时有 48 人， 到达第一站时有若干人下车， 而且下车的比留下的多 8 人。 到达第二站时， 又有人下车， 这次下车的比留下的少 8 人。 请问： 最后有几人留在了车上？ （注： 每个车站
2、都无人上车） 4. 刘老师给大家布置了若干道数学题作为寒假作业。寒假快结束的时候，冬冬已经做完 48 道，阿奇则做完 40 道。如果阿奇未做的题数是冬冬的 3 倍，那么老师一共布置了多少道题？ 5. 甲房地产公司有资金 100 亿元，乙房地产公司有资金 40 亿元，两公司联合投资一块地皮，用去同样多的 资金后，甲公司剩下的资金是乙公司的 5 倍。请问：两公司投资这块地皮共用去多少亿元？ 6. 甲、乙两人一起参加吃汉堡包大赛。在 30 分钟的限时内，甲吃的汉堡包个数是乙的一半，而乙吃的汉堡 包比甲的 5 倍少 12 个。请问：甲、乙两人一共吃了几个汉堡包？ 7. 在一个减法算式里，被减数、减数与
3、差的和是 240，减数是差的 5 倍，则减数是多少？ 8. 费叔叔买来三箱水果， 总重 100 千克。 其中前两箱重量相差 11 千克， 且前两箱的总重量是第三箱的 3 倍。 请问：这三箱水果中最重的那箱重多少千克？ 9. 甲、乙、丙三个物体的总重量是 93 千克，甲物体比乙、丙两个物体的重量之和轻 1 千克，乙物体比丙物 体重量的 2 倍还重 2 千克。那么甲、乙、丙各重多少千克？ 10. 某驻军有三个坦克连，共有 115 辆坦克，一连坦克数量比二连的 2 倍多 2 辆，而二连的坦克数列比三连 的 3 倍多 1 辆。请问：一连比三连多几辆坦克？ 拓展篇 1. 小悦和冬冬一起去书店买书， 一共
4、买了 15 本数学书和 22 本语文书， 其中小悦买的数学书是冬冬的 4 倍， 冬冬买的语文书比小悦的 3 倍多 2 本。请问：冬冬买的书比小悦多多少本？ 2. 小悦和冬冬玩游戏，每玩一局，输的就要给赢的 1 枚棋子。一开始小悦有 18 枚棋子，冬冬则有 22 枚。 玩了若干局之后，小悦反而比冬冬多了 10 枚棋子。请问：此时小悦有多少枚棋子？ 3. 甲水库有 43 亿立方米水，乙水库有 37 亿立方米水。请问：需要从甲水库调多少亿立方米水到乙水库， 才能使乙水库的水比甲水库多两倍？ 4. 阿奇家有两根绳子，长的那根有 163 米，短的只有 97 米。他把两根绳子剪去同样长的一段，结果长绳所
5、剩长度比短绳所剩长度的 7 倍还多 6 米。那么两根绳子都剪去了多少米？ 5. 用杯子往一个空瓶里倒水，如果倒进 6 杯水，连瓶共重 680 克，如果倒进 9 杯水，连瓶共重 920 克。求 空瓶的重量。 6. 有两根粗细不同但长度相同的蜡烛，把它们同时点燃，1 小时候细蜡烛缩短了 15 厘米，而粗蜡烛只缩短 了 3 厘米，此时粗蜡烛长度正好是细蜡烛的 3 倍。请问：粗蜡烛还能烧多久？ 7. 拍卖行卖出了两件艺术品，第一件的拍卖价格比第二件的 3 倍多 3 万元，而第二件的价钱比第一件的 3 倍少 73 万元。请问：这两件艺术品一共卖了多少万元？ 8. 小华有数学书、语文书和英语书一共 70
6、本，其中数学书和语文书的数量之和是英语书的 4 倍，数学书和 英语书的数量之和比语文书的 3 倍少 2 本。那么小华有几本数学书？ 9. 四个人的年龄之和等于 77，其中年龄最小的是 10 岁，他与年龄最大的人的年龄之和比两人的年龄之和 大 7 岁。那么年龄最大的人是多少岁？ 10. 一堆苹果分给甲、乙、丙三人，三人分得的数量一样多。后来，甲给了乙 2 个，乙给了丙 6 个，丙又给 了甲 8 个，此时甲的苹果树恰好是丙的 2 倍。那么此时乙有多少个苹果？ 11. “超级女声”比赛开始报名，一共有上海、北京和湖南三个赛区，总的报名人数为 600 人。其中湖南的 报名人数比上海的 2 倍少 80
7、人，而上海的报名人数比北京的 3 倍多 20 人。问：三个赛区各有多少人 报名？ 12. 小明、小红、小玲共有 73 块糖。如果小玲吃掉 3 块，那么小红与小玲的糖就一样多；如果小红给小明 2 块，那么小明的糖就是小红的糖的 2 倍。问：小红有多少块糖？ 超越篇 1. 公园里柳树和杨树共 43 棵，松树和柏树共 42 棵，并且杨树比松树多 2 棵，比柳树少 7 棵。那么公园里 有柏树多少棵？ 2. 超市运来的西瓜个数是哈密瓜个数的 4 倍，如果每天卖掉 120 个西瓜和 40 个哈蜜瓜，那么哈蜜瓜卖完后 还剩下 600 个西瓜。请问：超市运来西瓜、哈蜜瓜各多少个？ 3. 黑、白棋子总共 62
8、枚，把它们分成 3 堆：第一堆中，黑子数量正好是白子的 2 倍；第二堆中，黑子数量 则是白子的 3 倍；在第三堆中，黑子数量是白子的 4 倍。如果第二堆白子是第一堆白子的 2 倍，第三堆 黑子是第二堆总数的 2 倍。那么第三堆有几个白子，几个黑子？ 4. 有 50 名学生参加联欢会。第一个到会的女生同全部男生握过手，第二个到会的女生只差 1 个男生没握过 手， 第三个到会的女生只差 2 个男生没握过手， 以此类推， 最后一个到会的女生同 7 个男生握过手。 问： 这些学生中有多少名男生？ 5. 小悦、冬冬和阿奇三个人各有一些钱，其中小悦的钱数是冬冬的两倍，小悦和冬冬的钱数总和是阿奇的 6 倍。
9、老师给了小悦一些钱，现在小悦一共有 56 元，然后小悦把老师给他的钱全部分给了冬冬和阿奇， 这时冬冬有 36 元，阿奇有 16 元。那么老师一共给了小悦多少元钱？ 6. 有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取 8 个给乙堆后，甲、乙两堆石子个数就相等了；此时再从乙堆中取 6 个给丙堆，乙、丙两堆石子个数就相等了；接着再从丙堆中取 2 个给甲堆，这样甲堆石子正好是丙堆 的 2 倍。问：原来甲堆有多少个石子？ 7. 超市同时运进甲、乙两个品种的苹果，甲与乙的总重量少 210 千克。一开始卖这两种苹果，甲种苹果很 受欢迎，每天卖出的重量是乙的 2 倍多 30 千克。一星期后，超市决定对乙种苹果进行降价促销
10、，结果 乙种苹果的销量变为原来的 4 倍，甲的销量不变，这样又过了两周后两种苹果全部售完。请问：甲、乙 两种苹果原来共有多少千克？ 8. 一条鱼分为鱼头、鱼身、鱼尾三段。如果鱼尾重 4 千克，鱼头重量等于鱼身的一半加上鱼尾的重量，鱼 身重量等于鱼头加鱼尾的重量。请问：这条鱼有多重？ 第第 10 讲讲 和差倍问题二和差倍问题二 典型问题典型问题 兴趣篇 1. 甲班和乙班一共有 60 人，如果从甲班调 6 个人到乙班，那么甲班的人数就是乙班人数的 2 倍。求甲、乙 两班原来的人数。 答案：甲班 46 人，乙班 14 人 【分析】设乙为“1”份，甲为“2”份，每份为 60（1+2）=20，原乙有 2
11、0-6=14（人） ，原甲有 202+6=46 （人） 2. 甲、乙两位学生原计划每周做同样数量的练习题，实际上甲每周多做了 18 道题，而乙偷懒每周少做了 14 道题，结果乙三周的做题量只相当于甲一周的做题量。请问：他们原计划每周做几道题？ 答案：30 道 【分析】甲每周比乙多做 18+14=32（题） ，乙每周做了 32（3-1）=16（题） ，原计划做 16+14=30（题） 3. 一辆公共汽车出发时有 48 人， 到达第一站时有若干人下车， 而且下车的比留下的多 8 人。 到达第二站时， 又有人下车， 这次下车的比留下的少 8 人。 请问： 最后有几人留在了车上？ （注： 每个车站都无
12、人上车） 答案：14 人 【分析】第一站时，车上有（48-8）2=20（人） ，第二站时车上有（20+8）2=14（人） 4. 刘老师给大家布置了若干道数学题作为寒假作业。寒假快结束的时候，冬冬已经做完 48 道，阿奇则做完 40 道。如果阿奇未做的题数是冬冬的 3 倍，那么老师一共布置了多少道题？ 答案：52 道 【分析】 （48-40）（3-1）=4（题） ，老师一共布置了：48+4=52（题） 5. 甲房地产公司有资金 100 亿元，乙房地产公司有资金 40 亿元，两公司联合投资一块地皮，用去同样多的 资金后，甲公司剩下的资金是乙公司的 5 倍。请问：两公司投资这块地皮共用去多少亿元？
13、答案：50 亿元 【分析】甲、乙两公司用去相同的钱后，差不变，乙剩： （100-40）（5-1）=15（亿元） ，乙用了：40-15=25 （亿元） ，两公司共用了：252=50（亿元） 6. 甲、乙两人一起参加吃汉堡包大赛。在 30 分钟的限时内，甲吃的汉堡包个数是乙的一半，而乙吃的汉堡 包比甲的 5 倍少 12 个。请问：甲、乙两人一共吃了几个汉堡包？ 答案：12 个 【分析】如图所示： 每份为 12（5-2）=4（个） 乙有：42=8（个） 一共有：4+8=12（个） 12个 乙： 甲： 7. 在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是 240，减数是差的 5 倍，则减数是多少？ 答案：1
14、00 【分析】被减数=减数+差 2402=120 差是 120（5+1）=20 减数是 205=100 8. 费叔叔买来三箱水果， 总重 100 千克。 其中前两箱重量相差 11 千克， 且前两箱的总重量是第三箱的 3 倍。 请问：这三箱水果中最重的那箱重多少千克？ 答案：43 千克 【分析】第三箱重：100（3+1）=25（千克） ，前两箱共重 253=75（kg） ，前两箱较重一箱为（75+11） 2=43（kg） 把乙、丙两物体看成一个整体 9. 甲、乙、丙三个物体的总重量是 93 千克，甲物体比乙、丙两个物体的重量之和轻 1 千克，乙物体比丙物 体重量的 2 倍还重 2 千克。那么甲、
15、乙、丙各重多少千克？ 答案：甲 46 千克，乙 32 千克，丙 15 千克 【分析】甲的重量为（93-1）2=46（kg） 乙、丙两物体共重 46+1=47（kg） 假设丙重“1”份，乙重 2 份多 2kg 丙重（47-2）（1+2）=15（kg） 乙重 47-15=32（kg） 10. 某驻军有三个坦克连，共有 115 辆坦克，一连坦克数量比二连的 2 倍多 2 辆，而二连的坦克数列比三连 的 3 倍多 1 辆。请问：一连比三连多几辆坦克？ 答案：59 辆 【分析】如图： 假设三连为“1”份，二连是 3 份多“1”辆， ，一连是 32=6 份多 12+2=4（辆） 三连： （115-1-4）
16、（1+3+6）=11（辆） 一连：116+4=70（辆） 多：70-11=59（辆） 拓展篇 1. 小悦和冬冬一起去书店买书， 一共买了 15 本数学书和 22 本语文书， 其中小悦买的数学书是冬冬的 4 倍， 冬冬买的语文书比小悦的 3 倍多 2 本。请问：冬冬买的书比小悦多多少本？ 答案：3 本 2 1 一连： 二连： 三连： 【分析】冬冬买的语文书是小悦的 3 倍时，和为 22-2=20（本） 小悦买了语文书 20（3+1）=5（本） 冬冬：53+2=17（本） 冬冬买的数学书是 15（4+1）=3（本） 小悦：34=12（本） 冬冬比小悦一共多买： （17+3）-（12+5）=3（本）
17、 2. 小悦和冬冬玩游戏，每玩一局，输的就要给赢的 1 枚棋子。一开始小悦有 18 枚棋子，冬冬则有 22 枚。 玩了若干局之后，小悦反而比冬冬多了 10 枚棋子。请问：此时小悦有多少枚棋子？ 答案：25 枚 【分析】小悦和冬冬一共 18+22=40（枚）棋子 若干局后，小悦有（40+10）2=25（枚） 3. 甲水库有 43 亿立方米水，乙水库有 37 亿立方米水。请问：需要从甲水库调多少亿立方米水到乙水库， 才能使乙水库的水比甲水库多两倍？ 答案：23 亿立方米 【分析】甲、乙水库共有水 43+37=80（亿立方米） ，乙比甲多 2 倍，则甲现在有 80（3+1）=20（亿立方 米） ，甲
18、调了 43-20=23（亿立方米）给乙。 4. 阿奇家有两根绳子，长的那根有 163 米，短的只有 97 米。他把两根绳子剪去同样长的一段，结果长绳所 剩长度比短绳所剩长度的 7 倍还多 6 米。那么两根绳子都剪去了多少米？ 答案：87 米 【分析】剪去同样长的一段，差不变。 （163-97）66（米） ，短的剩下： （66-6）（7-1）=10（米） ，剪去 了 97-10=87（米） 。 5. 用杯子往一个空瓶里倒水，如果倒进 6 杯水，连瓶共重 680 克，如果倒进 9 杯水，连瓶共重 920 克。求 空瓶的重量。 答案：200 克 【分析】每杯水重（920-680）（9-6）=80（g
19、） ，空瓶重 680-680=200（g） 6. 有两根粗细不同但长度相同的蜡烛，把它们同时点燃，1 小时候细蜡烛缩短了 15 厘米，而粗蜡烛只缩短 了 3 厘米，此时粗蜡烛长度正好是细蜡烛的 3 倍。请问：粗蜡烛还能烧多久？ 答案：6 小时 【分析】细蜡烛比粗蜡烛多燃烧了 15-3=12（米） ，所以细蜡烛剩下（15-3）（3-1）=6（cm） ，粗蜡烛剩 下 63=18（米） ，3cm 燃烧 31h，18 米还能燃烧 183=6（小时） 。 7. 拍卖行卖出了两件艺术品，第一件的拍卖价格比第二件的 3 倍多 3 万元，而第二件的价钱比第一件的 3 倍少 73 万元。请问：这两件艺术品一共卖
20、了多少万元？ 答案：35 万元 【分析】如图： 假设第二件拍卖价为“1”份，13 万元对应了 2+3+3=8（份）多，3+3+3=9 万元 每份为（73-9）8=8（万元） 第一件卖了：83+3=27（万元） 两件共卖了：27+8=35（万元） 8. 小华有数学书、语文书和英语书一共 70 本，其中数学书和语文书的数量之和是英语书的 4 倍，数学书和 英语书的数量之和比语文书的 3 倍少 2 本。那么小华有几本数学书？ 答案：38 本 【分析】假设英语书为“1”份，数学与语文之和为 4 份，英语书有 70（1+4）=14（本） 同样假设语文书为“1”份，每份为（70+2）（ （1+3）=18（
21、本） 数学有：70-（14+18）=38（本） 9. 四个人的年龄之和等于 77，其中年龄最小的是 10 岁，他与年龄最大的人的年龄之和比两人的年龄之和 大 7 岁。那么年龄最大的人是多少岁？ 答案：32 岁 【分析】最小和最大的两人年龄和为（77+7）2=42（岁） 年龄最大的是 42-10=32（岁） 10. 一堆苹果分给甲、乙、丙三人，三人分得的数量一样多。后来，甲给了乙 2 个，乙给了丙 6 个，丙又给 了甲 8 个，此时甲的苹果树恰好是丙的 2 倍。那么此时乙有多少个苹果？ 答案：6 个 【分析】甲得到 8-2=6（个） ，丙减少 8-6=2（个） 甲是丙的 2 倍，每份为（6+2）
22、（2-1）=8（个） ，原丙：8+2=10（个） 乙现有：10+2-6=6（个） 11. “超级女声”比赛开始报名，一共有上海、北京和湖南三个赛区，总的报名人数为 600 人。其中湖南的 报名人数比上海的 2 倍少 80 人，而上海的报名人数比北京的 3 倍多 20 人。问：三个赛区各有多少人 报名？ 答案：北京 62 人，上海 206 人，湖南 332 人 【分析】如图： 假设北京为 “1” 份， 上海为3份多20人， 湖南为23=6 （份） 少80-202=40 （人） 每份为：（600-20+40） （1+3+6）=62（人） 上海：623+20=206（人） 73 3 二 一 北 上
23、湖 20 80 湖南：2062-80=332（人） 12. 小明、小红、小玲共有 73 块糖。如果小玲吃掉 3 块，那么小红与小玲的糖就一样多；如果小红给小明 2 块，那么小明的糖就是小红的糖的 2 倍。问：小红有多少块糖？ 答案：19 块 【分析】如图： 由图可知，小玲比小红多 3 块，假设现在小红为“1”份，小玲则为“1”份多 2+3=5（块） ，小明 为 2 份，每份为（73-2-3）（1+1+2）=17（块） 原来小红有 17+2=19 块。 超越篇 1. 公园里柳树和杨树共 43 棵，松树和柏树共 42 棵，并且杨树比松树多 2 棵，比柳树少 7 棵。那么公园里 有柏树多少棵？ 答案
24、：26 棵 【分析】柳树有（43+7）2=25（棵）杨树有 25-1=18（棵） 松树有 18-2=16（棵）柏树有 42-16=26（棵） 2. 超市运来的西瓜个数是哈密瓜个数的 4 倍，如果每天卖掉 120 个西瓜和 40 个哈蜜瓜，那么哈蜜瓜卖完后 还剩下 600 个西瓜。请问：超市运来西瓜、哈蜜瓜各多少个？ 答案：西瓜 2400 个，哈蜜瓜 600 个 【分析】每天卖掉 40 个哈密瓜，应卖掉 440=160 个西瓜，实际卖 120 个，每天少卖了 160-120=40（个） ， 60040=15（天） ，西瓜一共 12015+600=2400（个） 哈密瓜有 1540=600（个）
25、3. 黑、白棋子总共 62 枚，把它们分成 3 堆：第一堆中，黑子数量正好是白子的 2 倍；第二堆中，黑子数量 则是白子的 3 倍；在第三堆中，黑子数量是白子的 4 倍。如果第二堆白子是第一堆白子的 2 倍，第三堆 黑子是第二堆总数的 2 倍。那么第三堆有几个白子，几个黑子？ 答案：白子 8 个，黑子 32 个 【分析】假设第一堆白子有“1”份，第一堆黑子有 2 份。第二堆白子有 2 份，第二堆黑子有 32=6（份） 。 第二堆棋子共 6+2=8（份） ，第三堆黑子有 82=16（份） ，白子有 164=4（份） 每份为 62（1+2+2+6+16+4）=2（枚）第三堆有白子：24=8（枚）
26、，第三堆有黑子：216=32 （枚） 4. 有 50 名学生参加联欢会。第一个到会的女生同全部男生握过手，第二个到会的女生只差 1 个男生没握过 手， 第三个到会的女生只差 2 个男生没握过手， 以此类推， 最后一个到会的女生同 7 个男生握过手。 问： 这些学生中有多少名男生？ 答案：28 名 小红 小玲 小明 2 3 2 【分析】最后一个到会的女生同 7 个男生握过手，说明男生比女生多 7-1=6（人） 女： （50-6）2=22（人） 男：50-22=28（人） 5. 小悦、冬冬和阿奇三个人各有一些钱，其中小悦的钱数是冬冬的两倍，小悦和冬冬的钱数总和是阿奇的 6 倍。老师给了小悦一些钱，
27、现在小悦一共有 56 元，然后小悦把老师给他的钱全部分给了冬冬和阿奇， 这时冬冬有 36 元，阿奇有 16 元。那么老师一共给了小悦多少元钱？ 答案：40 元 【分析】假设阿奇原来的钱是“1”份，冬冬原有钱 16（2+1）=2（份） ，小悦原有钱 22=4（份） 冬冬和阿奇一共有钱 2+1=3（份） ，一共 36+16=52（元） 他们与小悦的钱差了 4-（3+1）=1（份） ，差了 56-52=4（元） 每份为 41=4（元） ，老师给了小悦 56-44=40（元） 6. 有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取 8 个给乙堆后，甲、乙两堆石子个数就相等了；此时再从乙堆中取 6 个给丙堆，乙、丙两堆
28、石子个数就相等了；接着再从丙堆中取 2 个给甲堆，这样甲堆石子正好是丙堆 的 2 倍。问：原来甲堆有多少个石子？ 答案：26 个 【分析】列表分析：设乙原来为 a。 甲 乙 丙 开始 a+16 a a+2-6=a-4 一 a+162 a+8 二 a+8 a+8-6=a+2 a+2 三 a+8+2 a+2-2=a a+10=2a a=10 甲原来有 10+16=26（个） 7. 超市同时运进甲、乙两个品种的苹果，甲与乙的总重量少 210 千克。一开始卖这两种苹果，甲种苹果很 受欢迎，每天卖出的重量是乙的 2 倍多 30 千克。一星期后，超市决定对乙种苹果进行降价促销，结果 乙种苹果的销量变为原来
29、的 4 倍，甲的销量不变，这样又过了两周后两种苹果全部售完。请问：甲、乙 两种苹果原来共有多少千克？ 答案：4830 千克 【分析】设乙原来每天卖出 xkg，甲卖出 2x+30 （2x+30）（7+14）+210=7x+144x 42x+630+210=7x+56x 21x=840 x=40 甲每天卖：402+30=110 甲共：11037=2310 乙一共：407+14440=2240+280=2520 两种共：2310+2520=4830（kg） 8. 一条鱼分为鱼头、鱼身、鱼尾三段。如果鱼尾重 4 千克，鱼头重量等于鱼身的一半加上鱼尾的重量，鱼 身重量等于鱼头加鱼尾的重量。请问：这条鱼有多重？ 答案：32 千克 【分析】 每份为 4+4=8（kg） 共重：83+42=32（kg） 44 头身尾
