1、2018-2020 年北京中考数学复习各地区模拟试题分类（年北京中考数学复习各地区模拟试题分类（12）图形的变化）图形的变化 一选择题（共一选择题（共 5 小题）小题） 1 （2020丰台区三模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（2，1） ，点 B（3，1） 平移线段 AB， 使点 A 落在点 A1（2，2）处，则点 B 的对应点 B1的坐标为（ ） A （1，1） B （1，0） C （1，0） D （3，0） 2 （2020海淀区一模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，AB，CD，EF，GH 是正方形 OPQR 边上的线段， 点 M 在其中某条线段上，若射线 OM 与 x
2、轴正半轴的夹角为 ，且 sincos，则点 M 所在的线段可以 是（ ） AAB 和 CD BAB 和 EF CCD 和 GH DEF 和 GH 3 （2020海淀区校级模拟）已知PAQ36，点 B 为射线 AQ 上一固定点，按以下步骤作图： 分别以 A，B 为圆心，大于1 2AB 的长为半径画弧，相交于两点 M，N； 作直线 MN 交射线 AP 于点 D，连接 BD； 以 B 为圆心，BA 长为半径画弧，交射线 AP 于点 C 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） ACDB72 BADBABC CCD：AD2：1 DABC3ACB 4 （2020延庆区一模）下列各组图形中，A
3、BC与ABC 成中心对称的是（ ） A B C D 5 （2019石景山区一模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，AOB 可以看作是由OCD 经过两次图形的 变化（平移、轴对称、旋转）得到的，这个变化过程不可能是（ ） A先平移，再轴对称 B先轴对称，再旋转 C先旋转，再平移 D先轴对称，再平移 二填空题（共二填空题（共 13 小题）小题） 6 （2020海淀区校级模拟）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是 CD 上一点，AEEF有下 列结论： BAE30；射线 FE 是AFC 的角平分线；AE2ADAF；AFAB+CF其中正确结论为 是 （填写所有正确结论的序号） 7
4、 （2020海淀区校级模拟）如图，已知MON120，点 A，B 分别在 OM，ON 上，且 OAOBa，将 射线 OM 绕点 O 逆时针旋转得到 OM， 旋转角为 （0120且 a60） ， 作点 A 关于直线 OM 的对称点 C，画直线 BC 交于 OM与点 D，连接 AC，AD有下列结论： BDO+ACD90； ACB 的大小不会随着 的变化而变化； 当 30时，四边形 OADC 为菱形； ACD 面积的最大值为3a2 其中正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上） 8 （2020丰台区模拟）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 OB 的中点，连接 AE
5、并延长交 BC 于点 F若BEF 的面积为 1，则AED 的面积为 9 （2020丰台区模拟） 如图， 在 ABCD 中， 点 E 在 DA 的延长线上， 且 AE= 1 3AD， 连接 CE 交 BD 于点 F， 则 的值是 10 （2020昌平区模拟）为了测量校园水平地面上一棵不可攀爬的树的高度，小文同学做了如下的探索： 根据物理学中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜 子放在合适的位置，刚好能在镜子里看到树梢顶点，此时小文与平面镜的水平距离为 2.0 米，树的底部 与平面镜的水平距离为 8.0 米，若小文的眼睛与地面的距离为 1.6 米，则树的高
6、度约为 米（注： 反射角等于入射角） 11 （2020西城区校级模拟）太阳能光伏发电是一种清洁、安全、便利、高效的新兴能源，因而逐渐被推 广使用如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢 AB 的长度相同，支撑角钢 EF 长为2903 3 cm，AB 的倾斜角为 30，BECA50cm，支撑角钢 CD，EF 与 底座地基台面接触点分别为 D，F，CD 垂直于地面，FEAB 于点 E两个底座地基高度相同（即点 D， F 到地面的垂直距离相同） ，均为 30cm，点 A 到地面的垂直距离为 50cm，则支撑角钢 CD 的长度是 cm，AB 的长度是 cm 12
7、 （2019海淀区二模）如图，在ABC 中，P，Q 分别为 AB，AC 的中点若 SAPQ1，则 S四边形PBCQ 13 （2019丰台区一模）如图，将ABC 沿 BC 所在的直线平移得到DEF，如果 AB7，GC2，DF5， 那么 GE 14 （2019怀柔区一模）如图，在ABC 中，DEAB，DE 分别与 AC，BC 交于 D，E 两点若ABC 与 DEC 的周长比为 3：2，AC6，则 DC 15 （2019海淀区一模）如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 CD 的延长线上一点，连接 BE 交边 AD 于点 F， 若 AB4，BC6，DE2，则 AF 的长为 16 （2019海淀区校级三
8、模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为 A（3，0） ，等腰直角三角形 ABC 的边 AB 在 x 轴的正半轴上，ABC90，点 B 在点 A 的右侧，点 C 在第一象限，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 75，如果点 C 的对应点 E 恰好落在 y 轴的正半轴上，那么边 AB 的长为 17 （2019怀柔区模拟）如图所示，D、E 分别是ABC 的边 AB、BC 上的点，DEAC，若 SBDE：SCDE 1：3，则 SBDE：S四边形DECA的值为 18 （2019海淀区校级模拟）如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼 A 的坐标是（2，3） ， 嘴唇C的坐标为 （1，
9、 1） ， 若把此 “QQ” 笑脸向右平移3 个单位长度后， 则与右眼B 对应的点的坐标是 三解答题（共三解答题（共 24 小题）小题） 19 （2020怀柔区模拟） 在等腰直角三角形 ABC 中， ACB90， P 是 BC 上的一动点 （不与 B， C 重合） ， 射线 AP 绕点 A 顺时针旋转 45， 得到射线 AQ， 过点 C 作 CE 垂直 AB， 交 AB 与点 D， 交射线 AQ 于点 E， 连接 PE （1）依题意补全图形； （2）求APE 的度数； （3）用等式表示线段 PE，DE，AC 三条线段之间的数量关系，并证明 20 （2020石景山区二模）在ABC 中，ABAC，
10、D 是边 BC 上的一点（不与点 B 重合） ，边 BC 上点 E 在点 D 的右边且DAE= 1 2BAC，点 D 关于直线 AE 的对称点为 F，连接 CF （1）如图 1， 依题意补全图 1； 求证：CFBD （2）如图 2，BAC90，用等式表示线段 DE，CE，CF 之间的数量关系，并证明 21 （2020门头沟区一模）在ABC 中，ACB90，CAB30，点 D 在 AB 上，连接 CD，并将 CD 绕点 D 逆时针旋转 60得到 DE，连接 AE （1）如图 1，当点 D 为 AB 中点时，直接写出 DE 与 AE 长度之间的数量关系； （2）如图 2，当点 D 在线段 AB 上
11、时， 根据题意补全图 2； 猜想 DE 与 AE 长度之间的数量关系，并证明 22 （2020东城区校级模拟）如图 1，在ABC 中，ACB90，ACBC，点 D 是射线 CB 上一点，连 接 AD，过 D 作 DEAD 交射线 AB 于点 E，以 A 为旋转中心，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90得线段 AF，过点 F 作 FGAF 交 AC 的延长线于点 G，连接 EG （1）如图 1，点 D 在 CB 上 依题意补全图 1； 猜想 DE、EG、FG 之间的数量关系并证明； （2）如图 2，点 D 在 CB 的延长线上请直接写出 DE、EG、FG 之间的数量关系为 23 （2020东
12、城区模拟）如图，ABC 中，ABAC，BAC60，将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 60得 到点 D，点 E 与点 D 关于直线 BC 对称，连接 CD，CE，DE （1）依题意补全图形； （2）判断CDE 的形状，并证明； （3）请问在直线 CE 上是否存在点 P，使得 PAPBCD 成立？若存在，请用文字描述出点 P 的准确位 置，并画图证明；若不存在，请说明理由 24 （2020朝阳区校级模拟）已知等边ABC，点 D 为 BC 上一点，连接 AD （1）若点 E 是 AC 上一点，且 CEBD，连接 BE，BE 与 AD 的交点为点 P，在图（1）中根据题意补全 图形，直接写出APE
13、的大小； （2） 将 AD 绕点 A 逆时针旋转 120， 得到 AF， 连接 BF 交 AC 于点 Q， 在图 （2） 中根据题意补全图形， 用等式表示线段 AQ 和 CD 的数量关系，并证明 25 （2019海淀区校级模拟） 在ABC 中， BABC， BAC， M 是 AC 的中点， P 是线段 BM 上的动点， 将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2 得到线段 PQ （1）若 60且点 P 与点 M 重合（如图 1） ，线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D，请补全图形，并 写出CDB 的度数； （2） 在图 2 中， 点 P 不与点 B， M 重合， 线段 CQ 的延长线于射线
14、BM 交于点 D， 猜想CDB 的大小 （用 含 的代数式表示） ，并加以证明； （3）对于适当大小的 ，当点 P 在线段 BM 上运动到某一位置（不与点 B，M 重合）时，能使得线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，且 PQQD，请直接写出 的范围 26 （2019东城区二模）如图，ABC 为等边三角形，点 P 是线段 AC 上一动点（点 P 不与 A，C 重合） ， 连接 BP，过点 A 作直线 BP 的垂线段，垂足为点 D，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 60得到线段 AE，连 接 DE，CE （1）求证：BDCE； （2）延长 ED 交 BC 于点 F，求证：F 为 BC
15、的中点； （3）在（2）的条件下，若ABC 的边长为 1，直接写出 EF 的最大值 27 （2019顺义区二模）已知：在ABC 中，BAC90，ABAC （1）如图 1，将线段 AC 绕点 A 逆时针旋转 60得到 AD，连结 CD、BD，BAC 的平分线交 BD 于点 E，连结 CE 求证：AEDCED； 用等式表示线段 AE、CE、BD 之间的数量关系（直接写出结果） ； （2）在图 2 中，若将线段 AC 绕点 A 顺时针旋转 60得到 AD，连结 CD、BD，BAC 的平分线交 BD 的延长线于点 E，连结 CE请补全图形，并用等式表示线段 AE、CE、BD 之间的数量关系，并证明 2
16、8 （2018昌平区二模）如图，在ABC 中，ABACBC，BD 是 AC 边上的高，点 C 关于直线 BD 的对 称点为点 E，连接 BE （1）依题意补全图形； 若BAC，求DBE 的大小（用含 的式子表示） ； （2）若 DE2AE，点 F 是 BE 中点，连接 AF，BD4，求 AF 的长 29 （2018门头沟区一模）如图，在ABC 中，ABAC，A2，点 D 是 BC 的中点，DEAB 于点 E， DFAC 于点 F （1）EDB （用含 的式子表示） （2）作射线 DM 与边 AB 交于点 M，射线 DM 绕点 D 顺时针旋转 1802，与 AC 边交于点 N 根据条件补全图形；
17、 写出 DM 与 DN 的数量关系并证明； 用等式表示线段 BM、CN 与 BC 之间的数量关系， （用含 的锐角三角函数表示）并写出解题思路 30 （2018丰台区一模）如图，RtABC 中，ACB90，CACB，过点 C 在ABC 外作射线 CE，且 BCE，点 B 关于 CE 的对称点为点 D，连接 AD，BD，CD，其中 AD，BD 分别交射线 CE 于点 M，N （1）依题意补全图形； （2）当 30时，直接写出CMA 的度数； （3）当 045时，用等式表示线段 AM，CN 之间的数量关系，并证明 31 （2018房山区一模）如图，已知 RtABC 中，C90，BAC30，点 D
18、为边 BC 上的点，连接 AD，BAD，点 D 关于 AB 的对称点为 E，点 E 关于 AC 的对称点为 G，线段 EG 交 AB 于点 F，连接 AE，DE，DG，AG （1）依题意补全图形； （2）求AGE 的度数（用含 的式子表示） ； （3）用等式表示线段 EG 与 EF，AF 之间的数量关系，并说明理由 32 （2018朝阳区模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 的顶点分别为 A（1，1） ，B（2，4） ，C（4，2） （1）画出ABC 关于原点 O 对称的A1B1C1； （2）点 C 关于 x 轴的对称点 C2的坐标为 ； （3）点 C2向左平移 m 个单位后，落在A1B
19、1C1内部，写出一个满足条件的 m 的值： 33 （2020丰台区三模）如图，在ABC 中，BAC30，ABAC，将线段 AC 绕点 A 逆时针旋转 （0180） ，得到线段 AD，连接 BD，交 AC 于点 P （1）当 90时， 依题意补全图形； 求证：PD2PB； （2）写出一个 的值，使得 PD= 3PB 成立，并证明 34 （2020顺义区二模）已知：如图，AB 是O 的直径，ABC 内接于O点 D 在O 上，AD 平分 CAB 交 BC 于点 E，DF 是O 的切线，交 AC 的延长线于点 F （1）求证：DFAF； （2）若O 的半径是 5，AD8，求 DF 的长 35 （202
20、0平谷区一模）ABC 中，ABBC，ABC90，将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 （0 90）得到线段 AD作射线 BD，点 C 关于射线 BD 的对称点为点 E连接 AE，CE （1）依题意补全图形； （2）若 20，直接写出AEC 的度数； （3）写出一个 的值，使 AE= 2时，线段 CE 的长为3 1，并证明 36 （2020海淀区校级模拟）如图，在ABP 中，ABP60，90APB120，过点 A 的直线 l 垂直于线段 BP 所在的直线设点 B，P 关于直线 l 的对称点分别为点 B，P （1）在图中画出ABP 关于直线 l 对称的三角形ABP （2）若BAP，求APB 的度数
21、（用 表示） （3）若点 P关于直线 AB的对称点为 M，连接 AM，PM请写出 PA、PM 之间的数量关系和位置关 系，并证明你的结论 37 （2020昌平区模拟）如图，在梯形 ABCD 中，ABDC，ADBC5，AB10，CD4，连接并延长 BD 到 E，使 DEBD，作 EFAB，交 BA 的延长线于点 F （1）求 tanABD 的值； （2）求 AF 的长 38 （2019门头沟区二模）如图，在等边三角形 ABC 中，点 D 为 BC 边上的一点，点 D 关于直线 AB 的对 称点为点 E，连接 AD、DE，在 AD 上取点 F，使得EFD60，射线 EF 与 AC 交于点 G （1
22、）设BAD，求AGE 的度数（用含 的代数式表示） ； （2）用等式表示线段 CG 与 BD 之间的数量关系，并证明 39（2019平谷区二模） 在等边三角形 ABC 外侧作射线 AP， BAP， 点 B 关于射线 AP 的对称点为点 D， 连接 CD 交 AP 于点 E （1）依据题意补全图形； （2）当 20时，ADC ；AEC ； （3）连接 BE，求证：AECBEC； （4）当 060时，用等式表示线段 AE，CD，DE 之间的数量关系，并证明 40 （2019石景山区二模） 如图在ABC 中， ACB90， ACBC， E 为外角BCD 平分线上一动点 （不 与点 C 重合） ，点
23、E 关于直线 BC 的对称点为 F，连接 BE，连接 AF 并延长交直线 BE 于点 G （1）求证：AFBE； （2）用等式表示线段 FG，EG 与 CE 的数量关系，并证明 41 （2019朝阳区一模）如图，在 RtABC 中，A90，ABAC，将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 （0180） ，得到线段 BD，且 ADBC （1）依题意补全图形； （2）求满足条件的 的值； （3）若 AB2，求 AD 的长 42 （2019通州区一模）如图，在等边ABC 中，点 D 是线段 BC 上一点作射线 AD，点 B 关于射线 AD 的对称点为 E连接 CE 并延长，交射线 AD 于点 F （1）
24、设BAF，用 表示BCF 的度数； （2）用等式表示线段 AF、CF、EF 之间的数量关系，并证明 2018-2020 年北京中考数学复习各地区模拟试题分类（年北京中考数学复习各地区模拟试题分类（12）图形的变化图形的变化 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 5 小题）小题） 1 【解答】解：如图，B1（1，0） ， 故选：B 2 【解答】解：如图，当点 M 在线段 AB 上时，连接 OM sin= ，cos= ，OPPM， xincos， 同法可证，点 M 在 CD 上时，sincos， 如图，当点 M 在 EF 上时，作 MJOP 于 J sin= ，cos=
25、，OJMJ， sincos， 同法可证，点 M 在 GH 上时，sincos， 故选：D 3 【解答】解：由作图可知，MN 垂直平分 AB，ABBC， MN 垂直平分 AB， DADB， ADBA， PAQ36， CDBA+DBA72，故 A 正确； ABBC， AACB， 又AA， ADBABC，故 B 正确； AACB36， ABC180AACB108， ABC3ACB，故 D 正确； ABD36，ABC108， CBDABCABD72， CBDCDB72， CDBC， AACB36， ABBC， CDAB， AD+DBAB，ADDB， 2ADAB， 2ADCD，故 C 错误 故选：C 4
26、 【解答】解：A、是平移变换图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、是旋转变换图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项正确 故选：D 5 【解答】解：将ABO 沿 y 轴向左翻折，再沿 y 轴向下平移 3 个单位长度得到OCD，或先沿 y 轴向下 平移 3 个单位长度，再沿 y 轴向左翻折得到OCD，或先将ABO 沿 x 轴向下翻折，再旋转得出OCD 故选：C 二填空题（共二填空题（共 13 小题）小题） 6 【解答】解：在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点， ABBC，BE= 1 2AB， tanA= = 1 2， tan30= 3 3 ， BAE30，
27、故错误； BC90，AEEF， BAE+BEA90，BEA+CEF90， BAECEF， ABEECF， AB2BE2CE， EC2CF， 设 CFa，则 ECBE2a，AB4a， AE25a，EF= 5a，tanCFE2， tanAFE= =2， AFECFE， 即射线 FE 是AFC 的角平分线，故正确； 四边形 ABCD 是正方形， BC90，ABBCCD， AEEF， AEFB90， BAE+AEB90，AEB+FEC90， BAECEF， BAECEF， = ， BECE， = ， BAEF90， ABEAEF， = ， AE2ADAF；故正确； 作 EGAF 于点 G， FE 平分
28、AFC，C90， EGEC， EGEB， BAGE90， 在 RtABE 和 RtAGE 中 = = ， RtABERtAGE（HL） ， ABAG， 又CFGF，AFAG+GF， AFAB+CF，故正确， 由上可得，正确， 故答案为： 7 【解答】解：A、C 关于直线 OM对称， OM是 AC 的垂直平分线， CDAD，BDO+ACD90 故正确； 连接 OC， 由知：OM是 AC 的垂直平分线， OCOA， OAOBOC， 以 O 为圆心，以 OA 为半径作O，交 AO 的延长线于 E，连接 BE，则 A、B、C 都在O 上， MON120， BOE60， OBOE， OBE 是等边三角形
29、， E60， A、C、B、E 四点共圆， ACDE60， ACB120是定值， 故正确； 当 30时，即AODCOD30， AOC60， AOC 是等边三角形， OAC60，OCOAAC， 由得：CDAD， CADACDCDA60， ACD 是等边三角形， ACADCD， OCOAADCD， 四边形 OADC 为菱形； 故正确； CDAD，ACD60， ACD 是等边三角形， 当 AC 最大时，ACD 的面积最大， AC 是O 的弦，当 AC 为直径时最大，此时 AC2a， SACD= 3 4 （2a）2= 3a2； 故正确， 所以本题结论正确的有： 故答案为： 8 【解答】解：四边形 ABC
30、D 是正方形， OBOD，ADBC， BEFDEA， = ， E 是 OB 的中点， = 1 3， = 1 3， = = 1 3， BEF 的面积为 1， AEB 的面积为 3， = 1 3， = 1 3， AED 的面积为 9， 故答案为：9 9 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBCADBC， 设 AD3a，则 AEa， DEBC， EDFCBF， = = 4 3 = 4 3 故答案为4 3 10 【解答】解：根据题意得：CEDAEB， = ， DE2.0 米，BE8.0 米，CD1.6 米， AB= = 1.68 2 =6.4（米） ， 则树的高度约为 6.4 米， 故答
31、案为：6.4 11 【解答】解：过 A 作 AGCD 于 G，则CAG30， 在 RtACG 中，CGACsin3050 1 2 =25， GD503020， CDCG+GD25+2045， 即支撑角钢 CD 的长度是 45cm 连接 FD 并延长与 BA 的延长线交于 H，则H30， 在 RtCDH 中，CH2CD90， AHCHAC905040， 在 RtEFH 中，EH= 30 = 2903 3 3 3 =290， AEEHAH29040250， ABAE+BE250+50300， 即 AB 的长度是 300cm 故答案为 45，300 12 【解答】解：P，Q 分别为 AB，AC 的中
32、点， PQBC，PQ= 1 2BC， APQABC， =（1 2） 2=1 4， SAPQ1， SABC4， S四边形PBCQSABCSAPQ3， 故答案为 3 13 【解答】解：DEF 由ABC 平移而成， ABDE7，BECF，ACDF， EGCEDF = AB7，GC2，DF5， 7 = 2 5 GE= 14 5 故答案是：14 5 14 【解答】解：EDAB， CDECAB， = 的周长 的周长 = 2 3， AC6， CD4， 故答案为 4 15 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， BCAD6，ABCE，设 AFx，则 DF6x， ABDE， ABFDEF， = ， 4 2 =
33、6， x4， AF4 故答案为 4 16 【解答】解：A（3，0） ， OA3， BAC45，CAE75， EAO180754560， AOB90， ABO30， AB2OA6， ACAE6， ABBC， AB6cos4532 故答案为 32 17 【解答】解：SBDE：SCDE1：3， BE：EC1：3， DEAC， BEDBCA， SBDE：SBCA（ ） 21：16， SBDE：S四边形DECA1：15， 故答案为：1：15 18 【解答】解：如图，根据左眼 A 的坐标是（2，3） ，建立直角坐标系， 右眼 B 的坐标为（0，3） ， 向右平移 3 个单位后，右眼的坐标为（3，3） 故答
34、案为： （3，3） 三解答题（共三解答题（共 24 小题）小题） 19 【解答】解： （1）补全图形，如图， （2）ABC 是等腰直角三角形， BAC45， EAP45， EADCAP， 又EDAACP90， ADEACP， = ， 由旋转知，PAECAD45， APEACD， APEACD， ACBC，ACB90， CAD45， CEAB， ADC90， ACD45， EPA45； （3）2PE22DE2+AC2 证明：由（2）可知，PAEEPA45， AEP90，AEPE， AP= 2PE， AEP 是等腰直角三角形， 在 RtAPC 中，根据勾股定理得，AP2PC2+AC2 由（2）知，
35、ADC90，BAC45， AC= 2AD， 由（2）知，ADEACP， = =2， = 2， (2)2= (2)2+ 2， 即 2PE22DE2+AC2 20 【解答】解： （1）依题意补全图形，如图 1； 证明：连接 AF，如图 1， 3 = 1 2 ， 31+2 点 F 与点 D 关于直线 AE 对称， AFAD，FAE31+2 4FAE2（1+2）21 又ACAB， ACFABD（SAS） ， CFBD； （2）线段 DE，CE，CF 之间的数量关系是 DE2CE2+CF2 证明：连接 FA，FE，如图 2， ABAC，BAC90， 1245， 由（1），可得 FEDE，3245， FC
36、E90， 在 RtFCE 中，由勾股定理，得 FE2CE2+CF2， DE2CE2+CF2 21 【解答】解： （1）结论：DEAE 理由：如图 1 中， ACB90，BAC30， AB2BC，B60， ADDB， CDADDB， CDB 是等边三角形， CDB60， DCDE，CDE60， ADE180EDCDB60， DADC，DCDE， ADDE， ADE 是等边三角形， DEAE （2）图形如图 2 所示： 如图 21 中，结论：DEAE 理由：取 AB 的中点 F，连接 CE，CF，EF ACB90，AFBF， CFAFBF， B60， BCF 是等边三角形， DCDE，CDE60，
37、 ECD 是等边三角形， 1+22+360，CECD，CFCB， 13， ECFDCB（SAS） ， 5B60， 660， 4560， EFEF，FAFC， EFAEFC（SAS） ， AEEC， ECED， AEED 22 【解答】解： （1）补全图形如图 1 所示， FGEG+DE， 理由：过点 A 作 AHAB 交 FG 于 H， BAH90， 由旋转知，ADAF，DAF90BAH， DAEFAH， DEAD，FGAF， ADEAFH90， ADEAFH（ASA） ， DEFH，AEAH， 在ABC 中，ACB90，ACBC， CAB45， BAH90， HAG45CAB， AGAG，
38、AGEAGH（SAS） ， EGHG， FGHG+FHEG+DE； （2）如图 2，过点 A 作 AHAB 交 GF 的延长线于 H， 同（1）的方法得，ADEAFH（ASA） ， DEFH，AEAH， 同（1）的方法得，AGEAGH（SAS） ， EGHG， EGFG+FHFG+DE， 故答案为：EGFG+DE 23 【解答】解： （1）补全图形如图 1 （2）CDE 为等边三角形，证明如下： 延长 BC 与 DE 交于 F， ABAC， ABCACB， 线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 60得到点 D， ADABAC，BAD60， ACDADC， 四边形 ABCD 中，BAD+ABC+BC
39、D+CDA360 ABC+ACB+ACD+ADC300， 由，得ACB+ACD150， 即BCD150， DCF180BCD30， 点 E 与点 D 关于直线 BC 对称， ECFDCF30，DCCE， DCE60 DCE 是等边三角形； （3）存在，作 AGBC 于 G，直线 EC 与 AG 的交点即为点 P， 证明：延长 AG 与 DC 交于点 Q，连接 QB，BD， 由（2）可知，PCD180DCE120，PCQDCE60，PCGFCE30， CPG90PCG60， PQCCPQPCQ60， PCQ 为等边三角形， PCCQ，APC120PCD， AGBC，ACAB， AG 垂直平分 B
40、C， PBPCQBQC， 四边形 PBQC 是菱形， PBQC，PBQPCQ60， QBQC， QBCQCB， ABQACQ， ABAD，BAD60， ABD 为等边三角形， ABD60PCQ， ABQABDACQPCQ， DBQACP， 由得ACPDBQ（AAS） ， APDQ CQPB， APDQDC+CQDC+PB 即 PAPBCD 成立 24 【解答】 （1）补全图形图 1， 证明：在ABD 和BEC 中， = = = 60 = ABDBEC（SAS） BADCBE APE 是ABP 的一个外角， APEBAD+ABPCBE+ABPABC60； （2）补全图形图 2， = 1 2， 证
41、明：在ABD 和BEC 中， = = = 60 = ABDBEC（SAS） BADCBE， APE 是ABP 的一个外角， APEBAD+ABPCBE+ABPABC60 AF 是由 AD 绕点 A 逆时针旋转 120得到， AFAD，DAF120 APE60， APE+DAF180 AFBE， 1F， ABDBEC， ADBE AFBE 在AQF 和EQB 中， 1 = = = AQFEQB（AAS） ， AQQE， = 1 2 ， AEACCE，CDBCBD， 且 ACBC，CEBD AECD， = 1 2 25 【解答】解： （1）BABC，BAC60，M 是 AC 的中点， BMAC，A
42、MMC， 将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2 得到线段 PQ， AMMQ，AMQ120， CMMQ，CMQ60， CMQ 是等边三角形， ACQ60， CDB30； （2）如图 2，连接 PC，AD， ABBC，M 是 AC 的中点， BMAC， 即 BD 为 AC 的垂直平分线， ADCD，APPC，PDPD， 在APD 与CPD 中， = = = ， APDCPD（SSS） ， ADBCDB，PADPCD， 又PQPA， PQPC，ADC21，4PCQPAD， PAD+PQD4+PQD180， APQ+ADC360（PAD+PQD）180， ADC180APQ1802， 2CDB180
43、2， CDB90； （3）CDB90，且 PQQD， PADPCQPQC2CDB1802， 点 P 不与点 B，M 重合， BADPADMAD， 点 P 在线段 BM 上运动，PAD 最大为 2，PAD 最小等于 ， 21802， 4560 26 【解答】证明： （1）将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 60得到线段 AE， ADAE，DAE60 ADE 是等边三角形 ABC 为等边三角形 ABAC，BACDAE60 DABCAE，且 ABAC，ADAE ADBAEC（SAS） BDCE （2）如图，过点 C 作 CGBP，交 EF 的延长线于点 G， ADB90，ADE60 BDG30 CG
44、BP GBDG30， ADBAEC BDCE，ADBAEC90 GECAECAED30 GGEC30 GCCE， CGBD，且BDGG，BFDGFC BFDCFG（AAS） BFFC 点 F 是 BC 中点 （3）如图，连接 AF， ABC 是等边三角形，BFFC AFBC AFC90 AFCAEC90 点 A，点 F，点 C，点 E 四点在以 AC 为直径的圆上， EF 最大为直径， 即最大值为 1 27 【解答】证明： （1） 将线段 AC 绕点 A 逆时针旋转 60得到 AD， ACAD，DAC60 BADBAC+CAD150，且 ABACAD 3515 BAC90，ABAC，AE 平分
45、BAC 1245，ABCACB45 又AEAE， ABEACE（SAS） 3415 6730 DEC6+760 AED3+160 AEDCED BD2CE+AE 理由如下： 过点 A 作 AHBD 于点 H， EBCECB BECE， AED60，AHBD AE2EH ABAD，AHBD BD2BH2（BE+EH）2BE+AE2EC+AE （2）补全图形如图， 2CEAEBD 理由如下： 如图 2，以 A 为顶点，AE 为一边作EAF60，AF 交 DB 延长线于点 F BAC90，ABAC，AE 平分BAC BAECAE45，ABCACB45 将线段 AC 绕点 A 逆时针旋转 60得到 A
46、D， ACAD，DAC60 DAEDACCAE15，ABAD ABDADB，BAD30 ABDADB75 AEDADBDAE60 EAF60 又EAF60， F60 AEF 是等边三角形 AEAFEF ACAD，CAEDAF45，AEAF， CAEDAF（SAS） CEDF ABAC，BAECAE45，AEAE， BAECAE（SAS） BECE BECE DF+BEEFBD， 2CEAEBD 28 【解答】 （1）解：如图 ABAC，BAC， ABCACB90 1 2 点 C 关于直线 BD 的对称点为点 E，BD 是 AC 边上的高 BDCE，CDDE BEBC BECACB90 1 2
47、DBE= 1 2； （2）作 FGAC 于 G， BDCE， FGBD 点 F 是 BE 中点， EGDG = 1 2 ， DE2AE， AEEGDG， 设 AEEGDGx，则 CDDE2x，AC5x，ABAC5x BD4x BD4， x1， AG2 = 1 2 =2， AF= 22 29 【解答】解： （1）ABAC， BC= 1 2（180A）90， 而 DEAB， DEB90， EDB90B90（90）； 故答案为 ； （2）如图，连接 AD， DMDN 理由如下：ABAC，BDDC DA 平分BAC， DEAB 于点 E，DFAC 于点 F， DEDF，MEDNFD90， A2 EDF
48、1802， MDN1802， MDENDF， 在MDE 和NDF 中 = = = ， MDENDF， DMDN； 数量关系：BM+CNBCsin 证明思路为：先由MDENDF 可得 EMFN，再证明BDECDF 得 BECF，所以 BM+CN BE+EM+CFFN2BE，接着在 RtBDE 可得 BEBDsin，从而有 BM+CNBCsin 30 【解答】解： （1）如图 （2）1230，490， ACD150， CACBCD， 3CAD15， 52+345，即AMC45 （3）结论：AM= 2CN 理由：作 AGEC 于 G 点 B、D 关于 CE 对称， CE 是 BD 的垂直平分线， CBCD， 12， CACB， CACD， 3CAD， 490， 3= 1 2（180ACD）= 1 2（18090）45， 52+3+4545， 490，CE 是 BD 的垂直平分线， 1+790，1+690， 16， AGEC， G890， 在BCN 和CAG 中， 8 = 7 = 6 = ， BCNC
