1、提分专练提分专练( (四四) ) 二次函数小综合二次函数小综合 |类型 1| 二次函数与方程(不等式)的综合 1.2018 南京 已知二次函数 y=2(x-1)(x-m-3)(m 为常数). (1)求证:不论 m 为何值,该函数的图象与 x 轴总有公共点; (2)当 m 取什么值时,该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方? |类型 2| 二次函数与直线的综合 2.2018 苏州 如图 T4-1,已知抛物线 y=x2-4 与 x 轴交于点 A,B(点 A 位于点 B 的左侧),C 为顶点.直线 y=x+m 经过点 A, 与 y 轴交于点 D. (1)求线段 AD 的长; (2)平移该抛物线
2、得到一条新抛物线,设新抛物线的顶点为 C.若新抛物线经过点 D,并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶 点的连线 CC平行于直线 AD,求新抛物线对应的函数表达式. 图 T4-1 |类型 3| 二次函数与三角形的综合 3.2018 枣庄 如图T4-2,已知二次函数y=ax2+3 2x+c(a0)的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B,C,点C坐标为(8,0), 连接 AB,AC. (1)请直接写出二次函数 y=ax2+3 2x+c 的表达式; (2)判断ABC 的形状,并说明理由; (3)若点 N 在 x 轴上运动,当以点 A,N,C 为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点 N 的坐标;
3、 (4)如图,若点 N 在线段 BC 上运动(不与点 B,C 重合),过点 N 作 NMAC,交 AB 于点 M,当AMN 面积最大时,求点 N 的 坐标. 图 T4-2 |类型 4| 二次函数与平行四边形的综合 4.2018 恩施 如图 T4-3,已知抛物线交 x 轴于 A,B 两点,交 y 轴于 C 点,A 点坐标为(-1,0),OC=2,OB=3,点 D 为抛物线的顶 点. (1)求抛物线的解析式; (2)P 为坐标平面内一点,以 B,C,D,P 为顶点的四边形是平行四边形,求 P 点坐标. 图 T4-3 |类型 5| 二次函数与相似三角形的综合 5.2018 青海 如图 T4-4,抛物
4、线 y=ax2+bx+c 与坐标轴交点分别为 A(-1,0),B(3,0),C(0,2),作直线 BC. 图 T4-4 (1)求抛物线的解析式; (2)点 P 为抛物线上第一象限内一动点,过点 P 作 PDx 轴于点 D,设点 P 的横坐标为 t(0t0,即 m-3 时,该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方. 2.解:(1)由 x2-4=0 解得 x1=2,x2=-2. 点 A 位于点 B 的左侧, A(-2,0). 直线 y=x+m 经过点 A, -2+m=0, m=2,D(0,2). AD=2+ 2=22. (2)新抛物线经过点 D(0,2), 设新抛物线对应的函数表达式为 y=x
5、2+bx+2, y=x2+bx+2= x+ 2 2+2-2 4 . 直线 CC平行于直线 AD,并且经过点 C(0,-4), 直线 CC的函数表达式为 y=x-4. 2- 2 4 =- 2-4,整理得 b 2-2b-24=0, 解得 b1=-4,b2=6. 新抛物线对应的函数表达式为 y=x2-4x+2 或 y=x2+6x+2. 3.解析 (1)根据待定系数法即可求得; (2)根据抛物线的表达式求得 B 的坐标,然后根据勾股定理分别求得 AB2=20,AC2=80,BC=10,然后根据勾股定理的逆定理 即可证得ABC 是直角三角形; (3)分别以 A,C 两点为圆心,AC 长为半径画弧,与 x
6、 轴交于三个点,由 AC 的垂直平分线与 x 轴交于一个点,即可求得点 N 的 坐标; (4)设点 N 的坐标为(n,0),则 BN=n+2,过 M 点作 MDx 轴于点 D,根据三角形相似对应边成比例求得 MD=2 5(n+2),然后根 据 SAMN=S ABN -SBMN得出关于 n 的二次函数,根据函数表达式求解即可. 解:(1)二次函数 y=ax2+3 2x+c 的图象与 y 轴交于点 A(0,4),与 x 轴交于点 B,C,点 C 坐标为(8,0), = 4, 64 + 12 + = 0, 解得 = - 1 4, = 4. 抛物线表达式为 y=-1 4x 2+3 2x+4. (2)A
7、BC 是直角三角形.理由: 令 y=0,则-1 4x 2+3 2x+4=0, 解得 x1=8,x2=-2, 点 B 的坐标为(-2,0). 由已知可得, 在 RtABO 中,AB2=BO2+AO2=22+42=20, 在 RtAOC 中,AC2=AO2+CO2=42+82=80, 又BC=OB+OC=2+8=10, 在ABC 中,AB2+AC2=20+80=102=BC2, ABC 是直角三角形. (3)A(0,4),C(8,0), AC=42+ 82=45. 以 A 为圆心,以 AC 长为半径作圆,交 x 轴于 N,此时 N 的坐标为(-8,0); 以 C 为圆心,以 AC 长为半径作圆,交
8、 x 轴于 N,此时 N 的坐标为(8-45,0)或(8+45,0); 作 AC 的垂直平分线,交 x 轴于 N,此时 N 的坐标为(3,0). 综 上 , 若 点 N 在 x 轴 上 运 动 , 当 以 点 A,N,C 为 顶 点 的 三 角 形 是 等 腰 三 角 形 时 , 点 N 的 坐 标 分 别 为 (-8,0),(8-45,0),(3,0),(8+45,0). (4)设点 N 的坐标为(n,0),则 BN=n+2,过 M 点作 MDx 轴于点 D, MDOA, BMDBAO, = . MNAC, = , = . OA=4,BC=10,BN=n+2, MD=2 5(n+2). SA
9、MN=S ABN -SBMN =1 2BN OA- 1 2BN MD =1 2(n+2)4- 1 2 2 5(n+2) 2 =-1 5(n-3) 2+5, 当AMN 面积最大时,N 点坐标为(3,0). 4.解:(1)OC=2,OB=3, C(0,2),B(3,0). 设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+2, 将 A(-1,0),B(3,0)代入得 - + 2 = 0, 9 + 3 + 2 = 0, 解得 = - 2 3, = 4 3, 抛物线的解析式为 y=-2 3x 2+4 3x+2. (2)D 为抛物线 y=-2 3x 2+4 3x+2 的顶点, D 1,8 3 . C(0,2),B(
10、3,0), 当四边形 DCBP1为平行四边形时,BP1可由 CD 平移得到,由点 C 到点 D 横坐标加 1 个单位,纵坐标加2 3个单位,得 P1 4,2 3 ; 当四边形DP2CB为平行四边形时,CP2可由BD平移得到,由点B到点D横坐标减2个单位,纵坐标加8 3个单位,得P2 -2,14 3 ; 当四边形CP3BD为平行四边形时,BP3可由DC平移得到,由点D到点C横坐标减1个单位,纵坐标减2 3个单位,得P3(2,- 2 3). 综上所述,当 P 的坐标为(-2, 14 3 )或(2,- 2 3)或(4, 2 3)时,以 B,C,D,P 为顶点的四边形是平行四边形. 5.解:(1)将
11、A(-1,0),B(3,0),C(0,2)代入解析式 y=ax2+bx+c 得, - + = 0, 9 + 3 + = 0, = 2, 解得 = - 2 3, = 4 3, = 2, 抛物线的解析式为 y=-2 3x 2+4 3x+2. (2)连接 AP,BP, P t,-2 3t 2+4 3t+2 , PD=-2 3t 2+4 3t+2,又 AB=4, S ABP =1 24 - 2 3t 2+4 3t+2 =-4 3t 2+8 3t+4(0t3). (3)当BOCPDO 时, = , 2 = 3 -2 3 2:4 3:2 , 3t=2 -2 3t 2+4 3t+2 , 4t2+t-12=0. t1=-1-193 8 (舍去),t2=-1:193 8 . P -1:193 8 ,3193-3 16 . 当BOCODP 时, = , 2 -2 3 2:4 3:2 =3 , 2t=3 -2 3t 2+4 3t+2 , t2-t-3=0. t1=1-13 2 (舍去), t2=1:13 2 , P 1:13 2 ,1:13 3 . 综上所述,点 P 的坐标为 -1:193 8 ,3193-3 16 或 1:13 2 ,1:13 3 .
