1、 1 考点 13 相交线与平行线 知识框架图知识框架图 一、相交线一、相交线 1三线八角三线八角 （1）直线 a，b 被直线 l 所截，构成八个角（如图） 1 和5，4 和8，2 和6，3 和7 是同位角；2 和8，3 和5 是内错角；5 和2，3 和8 是同旁内角 （2）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类： 做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如图： 2 2垂直垂直 （1）定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直 （2）性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂线段最短 3点到直线的距离点到直
2、线的距离 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离 4邻补角邻补角 （1）定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角， 互为邻补角 （2）邻补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的 和是 180 ，位置上有一条公共边 （3）邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成四对邻补角 5对顶角对顶角 （1） 定义： 两个角有一个公共的顶点， 并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线， 具有这种关系的两个角，互为对顶角 （2）性质：对顶角相等但相等的角不一定是对顶角 二、平行线二、平
3、行线 1定义定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 2平行线的判定平行线的判定 （1）定义 （2）同位角相等，两直线平行 （3）内错角相等，两直线平行 （4）同旁内角互补，两直线平行 （5）平行于同一直线的两直线互相平行 （6）垂直于同一直线的两直线互相平行 3平行线的性质平行线的性质 3 （1）两直线平行，同位角相等 （2）两直线平行，内错角相等 （3）两直线平行，同旁内角互补 4平行线间的距离平行线间的距离 （1）定义 同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离 （2）性质 两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等 考向一 对顶角和
4、邻补角 1识别对顶角时，要抓住两个关键要素：一是顶点，二是边先看两个角是否有公共顶点，再看两 个角的两边是否分别互为反向延长线两条直线相交形成两对对顶角 2互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补角有两个，但一 个角的补角可以有很多个 典例典例 1 （2019 河南初一期中） 如图， 三条直线相交于点O，COAB于点O，56， 则 A30 B34 C45 D56 【答案】B 【解析】 COAB，56， 1=90 =90 56 =34 ， 对顶角相等， =1=34 ， 故选 B 4 【名师点睛】本题考查了垂直的定义以及对顶角相等，熟练运用相关几何性质是解题的关键 典
5、例典例 2 （2019 黑龙江八五八农场学校初一期末） 如图， 直线 AB 与直线 CD 相交于点 O， OEAB， 垂足为 O，EOD=30 ，则BOC= A150 B140 C130 D120 【答案】D 【解析】OEAB，EOB=90 ，EOD=30 ，DOB=90 30 =60 ， BOC=180 DOB=180 60 =120 ，故选 D 【名师点睛】本题主要考查了垂线，邻补角，灵活运用垂线，邻补角的定义计算是解题的关键 1（2019 黑龙江初一月考）下列图中，1与2是对顶角的是 A B C D 2（2019 哈尔滨市光华中学校初一月考）如图，当剪子口AOB增大25时，COD增大度
6、A20 B25 C50 D30 3（2019 广东省台山一中大江实验中学初一期末）如图所示，直线 a 与 b 相交，如果145 ， 那么2 5 A45 B135 C30 D90 4 （2020 兰州市第五十五中学初一月考） 如图所示， 已知直线 AB、 CD 相较于 O， OE 平分COB， 若EOB=55 ，则BOD 的度数是 A20 B25 C30 D70 考向二 平行线的判定和性质 解决平行线性质求角度的问题，首先应在脑海中回顾下平行线的性质，再从所求角度出发，结合已 知条件寻求所求角度与已知之间的数量关系，有时也会用到题中的隐含条件，如三角形内角和、三 角形内外角关系等来求解 典例典例
7、 3 如图，下列条件中，能判断直线 l1l2的是 A2=3 B1=3 C4+5=180 D2=4 【答案】B 【解析】A、2 和3 不是直线 l1、l2被第三条直线所截形成的角，故不能判断直线 l1l2；B、 1=3，l1l2（同位角相等，两直线平行）；C、4、5 是直线 l1、l2被第三条直线所截形成 的同位角，故4+5=180 不能判断直线 l1l2；D、2、4 是直线 l1、l2被第三条直线所截形成 的同旁内角，故2=4 不能判断直线 l1l2，故选 B 典例典例 4 如图，直线 l1l2，=，1=40 ，则2=_ 6 【答案】140 【解析】如图，l1l2，3=1=40 ，=，ABCD
8、，2+3=180 ，2=180 - 3=180 -40 =140 故答案为：140 典例典例 5 如图，若1=40 ，2=40 ，3=120 ，则4=_ 【答案】60 【解析】如图，1=2，ab，4=5，3=120 ，4=5=180 -3=60 ，故答案 为：60 5 如图，1，2， ，8是两条直线a，b被直线c所截后形成的八个角， 则能够判定直线a b 的是 7 A34180 B18 180 C57180 D26180 6如图，将一块含有 60 角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线 a，b 上，如果2=50 ， 那么1 的度数为 A10 B20 C30 D40 7如图，EFAD，1=2
9、，BAC=87 ，求AGD 的度数 1（2019 黑龙江省红光农场学校初二期中）如图，直线 m、n 相交，则1 与2 的位置关系为 8 A邻补角 B内错角 C同旁内角 D对顶角 2（2019 山东初一月考）下列说法中正确的有 一个角的余角一定比这个角大； 同角的余角相等； 若123180 ， 则1，2， 3互补；对顶角相等 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 3（2019 江西初一期末）如图所示，下列说法不正确的是 A1 和2 是同旁内角 B1 和3 是对顶角 C3 和4 是同位角 D1 和4 是内错角 4（2019 江西初一期末）如图，COAB于点O，DE经过点O，50COD o ，则A
10、OE为 A30 B40 C97o D115o 5（2019 山东初一期中）如图，直线 AB、CD、EF 相交于一点，1=50 ，2=64 ，则COF= 度 A66 B50 C64 D76 6如图，点 B，C，E，F 在同一直线上，ABDC，DEGF，B=F=72 ，则D=_度 9 7如图，ABCD 为一长条形纸带，ABCD，将 ABCD 沿 EF 折叠，A、D 两点分别与 A、D对应若 1=65 ，则2=_ 8如图，在ABC 和DEF 中，B、E、C、F 在同一直线上，已知 AB=DE，AC=DF，BE=CF求 证：ABDE 9 如图， 四边形ABCD中， 分别取AB，CD的延长线上一点E和F
11、， 连接EF， 分别交BC，AD 于点G和H，若1=2，3=4，求证：E=F 10 1（2019甘肃兰州）如图，直线 a，b 被直线 c 所截，ab，1=80 ，则2= A130 B120 C110 D100 2（2019广西贺州）如图，已知直线 ab，1=60 ，则2 的度数是 A45 B55 C60 D120 3（2019湖南湘西州）如图，直线 ab，1=50，2=40，则3 的度数为 A40 B90 C50 D100 4（2019贵州安顺）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上若1=35，则2 的度数 是 A35 B45 C55 D65 5（2019深圳）如图，已知 l1AB，AC
12、为角平分线，下列说法错误的是 11 A1=4 B1=5 C2=3 D1=3 6（2019河南）如图，ABCD，B=75 ，E=27 ，则D 的度数为 A45 B48 C50 D58 7（2019海南）如图，直线 l1l2，点 A 在直线 l1上，以点 A 为圆心，适当长度为半径画弧，分 别交直线 l1、l2于 B、C 两点，连接 AC、BC若ABC=70 ，则1 的大小为 A20 B35 C40 D70 8（2019河北）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容 则回答正确的是 A代表FEC B代表同位角 C代表EFC D代表 AB 12 9（2019新疆）如图，ABCD，A=
13、50 ，则1 的度数是 A40 B50 C130 D150 10（2019兰州）如图，直线 a，b 被直线 c 所截，ab，1=80 ，则2= A130 B120 C110 D100 11（2019甘肃）如图，将一块含有 30 的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若1=48 ，那么 2 的度数是 A48 B78 C92 D102 12（2019随州）如图，直线 lll2，直角三角板的直角顶点 C 在直线 l1上，一锐角顶点 B 在直线 l2上，若1=35 ，则2 的度数是 A65 B55 C45 D35 13（2019长沙）如图，平行线 AB，CD 被直线 AE 所截，1=80 ，则2 的度数
14、是 13 A80 B90 C100 D110 14（2019常州）如果=35 ，那么 的余角等于_ 15（2019广州）一副三角板如图放置，将三角板 ADE 绕点 A 逆时针旋转 （0 90 ），使得 三角板 ADE 的一边所在的直线与 BC 垂直，则 的度数为_ 16（2019吉林）如图，E 为ABC 边 CA 延长线上一点，过点 E 作 EDBC若BAC=70 ， CED=50 ，则B=_ 17（2019广州）如图，点 A，B，C 在直线 l 上，PBl，PA=6cm，PB=5cm，PC=7cm，则点 P 到直线 l 的距离是_cm 18（2019广东）如图，已知 ab，1=75 ，则2=
15、_ 19（2019南京）结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式： 14 _，ab 20 （2019四川自贡） 如图， 直线 AB、 CD 被直线 EF 所截， ABCD， 1=120 ， 则2=_ 21（2019四川绵阳）如图，ABCD，ABD 的平分线与BDC 的平分线交于点 E，则1+ 2=_ 22（2019云南）如图，若 ABCD，1=40 度，则2=_度. 23（2019湖南益阳）如图，直线 ABCD，OAOB，若1=142 ，则2=_度 24 （2019山东威海）把一块含有 45角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点 在直尺的一条长边上）若1=
16、23，则2=_ 15 25（2019江苏盐城）如图，直线 ab，1=50 ，那么2=_. 26（2019武汉）如图，点 A、B、C、D 在一条直线上，CE 与 BF 交于点 G，A=1，CEDF， 求证：E=F 27（2019湖北武汉）如图，点 A，B，C，D 在一条直线上，CE 与 BF 交于点 G，A=1，CE DF，求证：E=F 1【答案】C 变式拓展变式拓展 16 【解析】A、B、D 中，1 与2 的两边都不互为反向延长线，所以不是对顶角，是对顶角的只 有 C故选 C 【名师点睛】本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的图形是解题的关键 2【答案】B 【解析】因为AOB 和COD 是一
17、组对顶角，根据对顶角相等 当剪子口AOB 增大 25 时，COD 增大 25 ，故选 B. 【名师点睛】本题考查对顶角，能把实际问题抽象成数学问题，从中找出对顶角是解决本题的关 键. 3【答案】B 【解析】根据题意，1 与2 是邻补角，12180， 2 18045135；故选 B. 【名师点睛】本题考查了邻补角的定义，解题的关键是掌握邻补角之和等于 180 . 4【答案】D 【解析】OE 平分COB，若EOB=55 ，COB=2EOB=110 ， BOD 与COB 是邻补角，BOD=180 COB=70 ，故选 D. 【名师点睛】本题考查了角平分线的定义及邻补角的概念，掌握角平分线的定义和邻补
18、角之和为 180 是解题的关键 5【答案】B 【解析】根据定义 A、C、D 均不能判定两直线平行，B 选项中，13 ，38 180 ， 即：同旁内角互补，两直线平行，故选 B 6【答案】A 【解析】如图，过 E 作 EF直线 a，则 EF直线 b，3=1，4=2，1=60 -2=10 ， 故选A 7【解析】EFAD，2=3 1=2，1=3，ABDG（内错角相等，两直线平行）， BAC+AGD=180 （两直线平行，同旁内角互补）， 17 BAC=87 ，AGD=93 1【答案】A 【解析】直线 m、n 相交，则1 与2 互为邻补角故选 A 【名师点睛】本题考查了邻补角的意义，掌握两个角的位置关
19、系是解决问题的关键 2【答案】B 【解析】一个角的余角不一定比这个角大，如 60 的余角为 30 ，小于 60 ，错误； 同角的余角相等，正确； 两个角的和是 180 ，这两个角互补，所以互补是指两个角的关系，错误； 对顶角相等，正确， 故选 B 【名师点睛】本题考查的是余角和补角的概念、对顶角的性质，掌握对顶角相等、余角和补角的 概念是解题的关键 3【答案】A 【解析】【分析】根据对顶角、邻补角、同位角、内错角定义判断即可 【详解】A.1 和2 是邻补角，故此选项错误； B.1 和3 是对顶角，此选项正确； C.3 和4 是同位角，此选项正确； D.1 和4 是内错角，此选项正确； 故选 A
20、. 【名师点睛】此题考查对顶角，邻补角，同位角，内错角，同旁内角，解题关键在于掌握各性质 定义. 4【答案】B 【解析】COAB，COB=90 ，又COD=50 ，DOB=9050=40，AOE= DOB=40 ，故选 B. 【名师点睛】此题考查对顶角、邻补角，垂线，解题关键在于掌握COD 与DOB 互余. 5【答案】A 【解析】1=50 ，2=64 ，DOE=18012=66 ，COF=DOE=66 ， 故选 A. 考点冲关考点冲关 18 【名师点睛】本题主要考查了对顶角、邻补角的性质，熟练掌握对顶角、邻补角的性质是关键. 6【答案】36 【解析】ABDC，DEGF，B=F=72 ，DCE=
21、B=72 ，DEC=F=72 ，在CDE 中，D=180 -DCE-DEC=180 -72 -72 =36 ，故答案为：36 7【答案】50 【解析】 ABCD， AEF=1=65 ， AEF=AEF， 2=180 -AEF-AEF=180 -65 - 65 =50 ，故答案为：50 8【解析】BE=CF（已知）， BE+EC=CF+EC，即 BC=EF， 在ABC 和DEF 中， ABDE ACDF BCEF ， ABCDEF（SSS）ABC=DEF（全等三角形的对应角相等）， ABDE 9【解析】1=AHE，1=2， AHE=2，ADBC，3+C=180 ， 3=4，4+C=180 ， A
22、BCD，E=F 1【答案】D 【解析】 1=80 ， 1 的对顶角为 80 ， 又ab， 1 的对顶角和2 互补， 2=180 80 =100 ，故选 D 2【答案】C 【解析】直线 ab，1=60 ，2=60 故选 C 【名师点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确把握平行线的性质是解题关键 3【答案】B 【解析】ab，4=1=50，2=40，3=90，故选 B 直通中考直通中考 19 4【答案】C 【解析】如图，1+3=90，1=35，3=55，2=3=55，故选 C 5【答案】B 【解析】l1AB，2=4，3=2，5=1+2， AC 为角平分线，1=2=4=3，5=21故选 B 【名师点睛
23、】 本题考查了平行线的性质： 两直线平行， 同位角相等； 两直线平行， 同旁内角互补； 两直线平行，内错角相等 6【答案】B 【解析】如图，ABCD，B=1，1=D+E，D=BE=75 27 =48 ，故选 B 【名师点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答 7【答案】C 【解析】点 A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线 l1、l2于 B、C， AC=AB，CBA=BCA=70 ， l1l2，CBA+BCA+1=180 ，1=180 70 70 =40 ，故选 C 【名师点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答 8【答案】C 【解析】延长 BE 交 CD 于点
24、 F，则BEC=EFC+C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角 之和） 又BEC=B+C，得B=EFC 20 故 ABCD（内错角相等，两直线平行） 综上可得代表 CD，代表EFC，代表EFC，代表内错角故选 C 【名师点睛】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，比较简单 9【答案】C 【解析】如图，ABCD，2=A=50 ，1=180 2=180 50 =130 ，故选 C 【名师点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答 10【答案】D 【解析】如图，1=80 ，3=80 ，ab，2+3=180 ，2=180 80 =100 故 选 D 【名师点睛】 本题考查了平行线的性质
25、， 要熟记平行线的有关性质： 两直线平行， 同位角相等； 两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等 11【答案】D 【解析】将一块含有 30 的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，1=48 ， 2=3=180 48 30 =102 故选 D 【名师点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出3 的度数是解题关键 12【答案】B 【解析】如图，1+3=90 ，1=35 ，3=55 又直线 lll2，2=3=55 故选 B 21 【名师点睛】本题考查了平行线的性质，余角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键 13【答案】C 【解析】1=80 ，3=100 ，ABCD，2=3=100 故选 C
26、【名师点睛】此题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义，正确掌握平行线的性质是解题 关键 14【答案】55 【解析】=35 ， 的余角等于 90 35 =55 ，故答案为：55 【名师点睛】本题考查的两角互余的基本概念，题目属于基础概念题，比较简单 15【答案】15 或 45 【解析】分情况讨论： 当 DEBC 时，BAD=75 ，=90 BAD=15 ； 当 ADBC 时，BAD=45 ，即 =45 故答案为：15 或 45 【名师点睛】本题主要考查了垂直的定义，旋转的定义以及一副三角板的各个角的度数，理清 定义是解答本题的关键 16【答案】60 【解析】 EDBC， CED=C=50 ，
27、又BAC=70 ， ABC 中， B=180 50 70 =60 ， 故答案为：60 【名师点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形的内角和，解题时注意运用两直线平行， 内错角相等 22 17【答案】5 【解析】 PBl， PB=5cm， 点 P 到直线 l 的距离是垂线段 PB 的长度， 即为 5cm， 故答案为： 5 【名师点睛】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段 的长度 18【答案】105 【解析】直线 c 与直线 a，b 相交，且 ab，1=75 ， 3=1=75 ， 2=180 3=180 75 =105 故答案为：105 【名师点睛】此题考查平行
28、线的性质，解题关键为：两直线平行，同旁内角互补，对顶角相等 19【答案】1+3=180 【解析】1+3=180 ， ab（同旁内角互补，两直线平行） 故答案为：1+3=180 【名师点睛】 本题主要考查了平行线的判定， 两条直线被第三条直线所截， 如果同旁内角互补， 那么这两条直线平行 20【答案】60 【解析】1=120 ，3=180 120 =60 ，ABCD，2=3=60 故答案为：60 21【答案】90 【解析】ABCD，ABD+CDB=180 ， 23 BE 是ABD 的平分线，1= 1 2 ABD， BE 是BDC 的平分线，2= 1 2 CDB，1+2=90 ，故答案为：90 2
29、2【答案】140 【解析】 ABCD， 同位角相等， 1 与2 互补， 2=180 40 =140 ， 故答案为： 140 23【答案】52 【解析】ABCD，OCD=2， OAOB，O=90 ， 1=OCD+O=142 ， 2=1O=142 90 =52 ， 故答案为：52 【名师点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答 24【答案】68 【解析】ABC 是含有 45角的直角三角板，A=C=45， 1=23，AGB=C+1=68， EFBD，2=AGB=68； 故答案为：68 【名师点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质， 关键是掌握两直线平
30、行，同位角相等 25【答案】50 【解析】根据“两直线平行，同位角相等”得1=2=50 故答案为：50 . 【名师点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出2=3 是解题关键 26【答案】见解析 【解析】CEDF，ACE=D， A=1，180 ACEA=180 D1， 又E=180 ACEA，F=180 D1， 24 E=F 【名师点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互 补；两直线平行，内错角相等也考查了三角形内角和定理 27【解析】CEDF， ACE=D， A=1， 180ACEA=180D1， 又E=180ACEA，F=180D1， E=F 【名师点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互 补；两直线平行，内错角相等也考查了三角形内角和定理
