1、初三数学初三数学 延庆区延庆区 20202020-20212021 学年第一学期期中试卷学年第一学期期中试卷 初三数学初三数学 一、选择题一、选择题 （本题共 16 分，每小题 2 分） 下面各题均有四个选项，其中只有下面各题均有四个选项，其中只有一一 个个 是符合题意的请将正确选项前的字母填在表是符合题意的请将正确选项前的字母填在表 格格 中相应的位置中相应的位置 1. 抛物线 y x2 1的对称轴是 A. 直线 x 1 B. 直线 x 1 C. 直线 x 0 D. 直线 y 1 2. 点 P(2，1) 关于原点对称的点 P 的坐标是 A (2，1) B (2， 1) C (1，2) D (
2、1， 2) 3. 下列 App 图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是 A B C D 4. 用配方法解方程 x2 2x 4 0 ，配方正确的是 A x 1 2 3 B x 1 2 4 C x 1 2 5 D x 1 2 3 5. 如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 是小圆的切线 点 P 为切点. 若大圆半径为 2，小圆半径为 1，则 AB 的长为 A. 2 C B. 2 D2 6. 将抛物线 y (x 1)2 2 向上平移 a 个单位后得到的抛物线恰好与 x 轴有一个交点，则 a 的值为 A 1 A.1 C 2 D2 7. 下图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转 90
3、后能与原来的图案重合的是 A B C D 初三数学初三数学 8已知一个二次函数图象经过 P1 (3，y1 ) ， P2 (1，y2 ) ， P3 (1，y3 ) ， P4 (3，y4 ) 四点，若 y3 y2 y4 ，则 y1，y2，y3，y4 的最值情况是 A y3 最小， y1 最大 B y3 最小， y4 最大 C y1 最小， y4 最大 D无法确定 二、填空题二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9. 写出一个以 0 和 2 为根的一元二次方程： 10. 函数 y ax2 bx c 的图象如图所示，则 ac 0（填“” “=”，或“”） 11. 若关于 x 的方程 x2 4
4、x k 1 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 12. 如图，四边形 ABCD 内接于O，E 为直径 CD 延长线上一点 且 ABCD，若C=70 ，则ADE 的大小为 13. 已知O 为 ABC 的外接圆圆心，若O 在 ABC 外，则 ABC 是 （填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”） 14. 在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017 年我国新能源汽车 保有量已居于世界前列2015 年和 2017 年我国新能源汽车保有量如图所示设我国 2015 至 2017 年新能源汽车保有量年平均增长率为 x， 依题意， 可列方程为 15. 如图，在平面直角
5、坐标系 xOy 中，抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交于 （1，0）， （3，0）两点， 请写出一个满足 y 0 的 x 的值 初三数学初三数学 16. 如图，O 的动弦 AB ， CD 相交于点 E ，且 AB CD ， BED (0 90) 在 BOD ， OAB 90 ， ABC 1中，一定成立的 2 是 （填序号） 三、解答题三、解答题（本题共 68 分，第 1722 题，每小题 5 分；第 2326 小题，每小题 6 分；第 2728 小题，每小题 7 分） 17. 解一元二次方程： x x 2 3x 6 18. 如图，将ABC 绕点 B 旋转得到DBE ，且 A ，D ，C
6、 三点在同一条直线上 求证： DB 平分ADE 19. 下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作 图过程. 已知：O 求作：O 的内接正三角形 作法：如图， 作直径 AB； 以 B 为圆心，OB 为半径作弧，与O 交于 C，D 两点； 连接 AC，AD，CD 所以ACD 就是所求的三角形 根据小董设计的尺规作图过程， （1） 使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2） 完成下面的证明： 证明：在O 中，连接 OC，OD，BC，BD， OC=OB=BC， OBC 为等边三角形（ ）（填推理的依据） 初三数学初三数学 BOC=60 AOC=180 -BOC=120 同理 AOD=
7、120 ， COD=AOC=AOD=120 AC=CD=AD（ ）（填推理的依据） ACD 是等边三角形 20. 已知1 是一元二次方程方程 x2 ax b 0 的一个根，求 a2 b2 2b 的值 21. 生活中看似平常的隧道设计也很精巧如图是一张 盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O 为圆心 AB 为直径 的圆隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车 隧道，下层为服务层点 A 到顶棚的距离为0.8a ， 顶 棚到路面的距离是3.2a ， 点 B 到路面的距离为 2a 请 你 求出路面的宽度l （用含 a 的式子表示） 22. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y x2 ax b
8、 经过点 A2，0 ， B 1，3 （1） 求抛物线的解析式； （2） 设抛物线的顶点为C ，直接写出点C 的坐标和BOC 的度数 23. 用长为 6 米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为 x 米，窗户的透光面积为 y 平方米（铝合金条的宽度不计） 初三数学初三数学 x 3 x 3 3 时 y x 3 x 3 （1） y 与 x 之间的函数关系式为 （不要求写自变量的取值范围）； （2） 如何安排窗框的高和宽，才能使窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积 24. 如图，在ABC 中， AB AC ，以 AB 为直径作O 交 BC 于点 D ，过点 D 作 AC 的 垂线交 AC 于点
9、 E ，交 AB 的延长线于点 F （1） 求证： DE 与O 相切； （2） 若CD BF ， AE 3 ，求 DF 的长 25. 有这样一个问题：探究函数 y 的图 2 象与性质 小东根据学习函数的经验，对函数 y 2 下面是小东的探究过程，请补充完成： 的图象与性质进行了探究 （1） 化简函数解析式，当 x 3 时， y ，当 x ； （2） 根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数 y 的图象； 2 备用图 x 3 x 3 初三数学初三数学 （3） 结合画出的函数图象，解决问题：若关于 x 的方程 ax 1 只有一 2 个实数根，直接写出实数a 的取值范围： 26. 在平面直角坐标
10、系 xOy 中，抛物线 y ax2 2x(a 0) 与 x 轴交于点 A ，B（点 A 在点 B 的左侧） （1） 当 a 1 时，求 A ， B 两点的坐标； （2） 过点 P(3，0) 作垂直于 x 轴的直线l ，交抛物线于点C 当 a 2 时，求 PB PC 的值； 若点 B 在直线l 左侧，且 PB PC 14 ，结合函数的图象，直接写出 a 的取值 范围 27. 已知MON=，P 为射线 OM 上的点，OP=1 （1） 如图 1， 60，A，B 均为射线 ON 上的点，OA=1，OB OA，PBC 为等边三 角形，且 O，C 两点位于直线 PB 的异侧，连接 AC 依题意将图 1 补
11、全； 判断直线 AC 与 OM 的位置关系并加以证明； （2） 若 45，Q 为射线 ON 上一动点（Q 与 O 不重合），以 PQ 为斜边作等腰直角 PQR，使 O，R 两点位于直线 PQ 的异侧，连接 OR 根据（1）的解答经验， 直接写出POR 的面积 图 1 备用图 x 3 x 3 初三数学初三数学 28. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 是 x 轴外的一点，若平面内的点 B 满足：线段 AB 的 长度与点 A 到 x 轴的距离相等，则称点 B 是点 A 的“等距点” （1）若点 A 的坐标为（0，2），点 P 1 （2，2）， P2 （1， 4 ）， P3 （ ，1）中， 点
12、A 的“等距点”是 ； （2） 若点 M（1，2）和点 N（1，8）是点 A 的两个“等距点”，求点 A 的坐标； （3） 记函数 y 3 x （ x 0 ）的图象为 L ， T 的半径为 2，圆心坐标为T (0 , t ) . 3 若在 L 上存在点 M， T 上存在点 N，满足点 N 是点 M 的“等距点”，直接写 出 t 的取值范围 2020-2021 延庆区初三第一学期期中学业水平调研 数数 学学 参参 考考 答答 案案 一、选择题（一、选择题（本题共本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 C A B C A D B A 二
13、、填空题（填空题（本题共本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 x2 2x 0 （答案不唯一） 10 11 k 5 12110 13钝角三角形 14 45.1(1 x)2 172.9 152 （答案不唯一） 16（注：每写对一个得 1 分） 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分）分） 17. 解法一： 解： x(x 2) 3(x 2) ， x(x 2) 3(x 2) 0 ， (x 2)(x 3) 0 ， x 2 0 或 x 3 0 ， x1 2 ， x2 3 解法二： 解：方程化为 x2 x 6 0 . b2 4ac 25 . 1 5 x , 2a 2 x1 2 ， x
14、2 3 18. 证明： 将ABC 绕点 B 旋转得到DBE， ABCDBE BA=BD A=ADB A=BDE， ADB =BDE DB 平分ADE E B A D C 19 解 ： （1） A B （2）三条边都相等的三角形是等边三角形 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 20. 解： 1是方程 x2 ax b 0 的一个根， 1 a b 0 a b 1 a2 b2 2b (a b)(a b) 2b a b 2b a b 1 21. 解：如图，连接 OC 由题意知 AB 0.8a 3.2a 2a 6a OC OB 3a OE OB BE a 由题意可知 AB CD 于 E ， CD 2
15、CE . 在RtOCE 中， CE 2 2a CD 4 2a 22解：（1）抛物线 y x2 ax b 经过点 A(2，0)，B(1，3) ， 4 2a b 0 1 a b 3. a 6 解得b 8. 0.8a 3.2a 2a l E D O B b y x2 6x 8 （2） C(3, 1) ， BOC 90 23 （1） y 3 x2 3x ； 2 注：没有化简不扣分 （2）当 x 2a 3 2 ( 3) 2 1时， y 有最大值 3 4ac b2 4a 9 4 ( 3) 2 3 2 3 答：当窗框的高为1米，宽为 2 24（1）证明：连接OD AB 是O 的直径， ADB 90 AD B
16、C . 又 AB AC ， 1 2 OA OD ， 2 ADO 1 ADO OD AC DE AC 于点 E ， 米时，窗户的透光面积最大，最大面积为 2 平方米 ODF =AED 90 OD ED DE 与O 相切 （2） AB AC ， AD BC ， 1 2 ， CD BD . C CD BF ， BF =BD 3 F 4 3 F 23 OB OD ， 5=4 23 ODF 90 ， 3 F 30 ，4 5 60 ADB 90 ， 3 x 3 x 3 2 F DF AD 1 30 ，AED 90 ， AD 2ED AE2 DE2 AD2 ， AE 3 ， AD 2 3 DF 2 25（1
17、）化简函数解析式，当 x 3 时， y x ，当 x 3 时 y 3 ； （2） 根据（1）中的结果，画出函数 y 的图象如下： 2 （3） a 0 或 a 1 或 a 2 （注：每得出一个正确范围得 1 分） 3 26 （1）当a 1 时，有 y x2 2x 令 y 0 ，得x2 2x 0 解得 x1 0, x2 2 点 A 在点 B 的左侧， A(2，0) ， B(0，0) （2）当 a 2 时，有 y 2x2 2x 解得 x1 0，x2 1 点 A 在点 B 的左侧， A(0，0) ， B(1，0) PB 2 当 x 3 时， yc 2 9 2 3 12 PC 12 PB PC 14 5
18、 a 9 或 a 2 27 （1）依题意，将图 1 补全； M O A B N ACOM 证明：连接 AP OA OP 1 ， 60 ， M OAP 是等边三角形 OP PA，OPA=OAP 60 PBC 是等边三角形， PB PC，BPC=60 OPA APB BPC APB 即OPB APC OBPACP PAC O 60 OPA PAC ACOM （2） SPOR 4 28 （1） P 1 ， P3 ； （2）点 M 1，2 和点 N 1，8 是点 A 的两个“等距点” ， O A B N AM 2 MC 2 AM AN 点 A 在线段 MN 的垂直平分线上 设 MN 与其垂直平分线交于点C ， A xA，yA ， C(1，5) ， AM AN =yA =5 CM =3 . AC 4 点 A 的坐标为(3，5) 或(5，5) （3） 2 t 4
