1、20202020 年江苏省年江苏省盐城市亭湖区盐城市亭湖区高考数学模拟试卷（高考数学模拟试卷（5 5 月份）月份） 一、填空题一、填空题 1已知集合1,2A， 2 ,3Ba a.若1AB ，则实数a的值为_. 2若复数z满足1 234zii （i是虚数单位） ，则复数z的实部是_. 3一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为_. 4如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差 较小）的那名运动员的得分的方差为_. 5 从0、2中选一个数字.从1、3、5中选两个数字， 组成无重复数字的三位数.其中无重复的个数为_. 6已知双曲线 22
2、 22 10,0 xy ab ab 的一条渐近线的倾斜角为45，且过点3,1，则双曲线的焦距等 于_. 7若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为 1 S、 2 S，则有 12 :SS _. 8已知函数 22,1, log1 ,1, x a x f x xx 若 02ff ，则实数a的值是_. 9已知函数 sin 20f xx图象的一条对称轴是直线 6 x ，则2f的值为_. 10已知 n a是首项为2，公比为1q q 的等比数列，且 n a的前n项和为 n S，若2 n S 也为等比数 列，则q _. 11如图，在平面四边形ABCD中， 2 CAD ，2AD ，4ABBC
3、CA，,E F分别为,BC CD 的中点，则AE AF_. 12 在平面直角坐标系xOy中， 直线:50l kxyk与圆 22 :100C xyx交于点,A B，M为弦AB 的中点，则点M的横坐标的取值范围是_. 13已知ABC的面积为2 1，2 3AC ，且 43 1 tantanAB ，则tan A的值为_. 14已知函数 2 ln2 ,0 5 ,0 4 xxx x f x xx x 的图象上有且仅有两个不同的点关于直线2y 的对称点在 30kxy的图象上，则实数k的取值范围是_. 二、解答题二、解答题 15如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为棱PD的中点，PA 面A
4、BCD. （1）求证：PB平面AEC； （2）若四边形ABCD是矩形且PAAD，求证：AE 平面PCD. 16在ABC中，内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c， 4 cos 5 B . （1）若2ca，求 sin sin B C 的值； （2）若 4 CB ，求sin A的值. 17某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调 整出 * x nN名员工从事第三产业，调整他们平均每人每年创造利润为 3 10 500 x a 万元0a ，剩下 的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2 %x. （1）若要保证剩余与员工创造的年总利润不
5、低于原来的1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少 名员工从事第三产业？ （2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润终不高于剩余与员工创造的年总利润，则a的取 值范围是多少？ 18如图，已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 过点 3 1, 2 ，离心率为 1 2 ，,A B分别是椭圆C的左，右顶 点，过右焦点F且斜率为0k k 的直线线l与椭圆相交于,M N两点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）记AFM，BFN的面积分别为 12 ,S S，若 1 2 6 5 S S ，求k的值； （3）记直线AM、BN的斜率分别为 12 ,k k，求 2 1 k k 的值. 1
6、9已知函数 2 ln 2 x f xaxax. （1）当1a 时，求 f x在1x 处的切线方程； （2）当0a 时，讨论 f x的单调性； （3）若 f x有两个极值点 1212 ,x xxx，且不等式 1212 f xf xxx恒成立，求实数的取 值范围. 20已知无穷数列 n a的前n项中的最大项为 n A，最小项为 n B，设 nnn bAB. （1）若21 n an，求数列 n b的通项公式； （2）若 21 2 n n n a ，求数列 n b的前n项和 n S； （3）若数列 n b是等差数列，求证：数列 n a是等差数列. 21 已知, , ,a b c dR， 矩阵 2 0
7、a A b 的逆矩阵 1 1 1 c A d .若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得 到曲线21yx，求曲线C的方程. 22在直角坐标平面内，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点,A B的极坐标分别 为4, 2 ， 5 2 2, 4 ，曲线C的方程为0r r. （1）求直线AB的直角坐标方程； （2）若直线AB和曲线C有且只有一个公共点，求r的值. 23某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目, ,A B C的测试，如果通过两个或三个项目的测试 即可被录用.若甲、乙、丙三人通过, ,A B C每个项目测试的概率都是 1 2 . （1）求甲恰好通过两个项目测试的概率； （
8、2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的概率分布和数学期望. 24如图，F是抛物线 2 20ypx p的焦点，过点F且与坐标轴不垂直的直线交抛物线于 11 ,A x y， 22 ,B x y两点， 交抛物线的准线于点H， 其中 1 0y ， 12 4y y .过点H作y轴的垂线交抛物线于点P， 直线PF交抛物线于点Q. （1）求p的值； （2）求四边形APBQ的面积S的最小值. 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题 11【解析】解：集合1,2A， 2 ,3Ba a.1AB ， 1a 或 2 31a ， 当1a 时，1,2A，1,4B ，成立； 2 31a 无解. 综
9、上，1a . 21【解析】解：由1 234zii ， 得 3412345 10 12 1212125 iiii zi iii ， 复数z的实部是1. 38【解析】解：模拟程序的运行过程如下： 1I ，1S ， 3I ，2S ， 5I ，4S ， 7I ，8S ， 此时不满足循环条件，则输出8S . 4 34 5 【解析】解：根据茎叶图中的数据，计算甲的平均数为 1 1 779 14 1811 5 x ， 乙的平均数为 2 1 89 10 13 1511 5 x ； 根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小，较为稳定（方差较小） ， 计算乙成绩的方差为： 22222 2 134 8 119 1110
10、 1113 1115 11 55 s . 530【解析】解：从0、2中选一个数字0，则0不只能排在百位，从1、3、5中选两个数字之一排在 百位，共有 12 23 12A A 种； 从0、2中选一个数字2，从1、3、5中选两个数字全排列，共有 23 33 18C A 种； 故共有12 1830种. 68【解析】解：双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的一条渐近线的倾斜角为45，所以ab， 则双曲线 22 xym， 双曲线过点3,1，8m， 8 84c ，双曲线的焦距为8. 73:2【解析】解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1， 所以等边圆柱的表面积为：
11、1 6S， 球的表面积为： 2 4S. 所以圆柱的表面积与球的表面积之比为 12 :3:2SS . 82【解析】解： 22,1, log1 ,1, x a x f x xx 03f， 03log 22 a fff ， 则2a . 9 1 2 【解析】解：函数 sin 20f xx图象的一条对称轴是直线 6 x ， 所以sin1 63 f ， 即 32 kkZ ，解得 6 kkZ ，由于0. 故0k 时， 6 . 所以 sin 2 6 fxx ， 则 51 2sin 362 ff . 102【解析】解： n a是首项为2，公比为1q q 的等比数列，且 n a的前n项和为 n S， 2 n S
12、为等比数列， 所以： 11 222Sa， 2 2222Sq， 2 3 22222Sqq成等比数列， 所以 2 2 422422qqq，解得2q （由于1q ， 所以2q .） 1163【解析】解：如图所示， E为BC中点， 1 2 AEABAC， 同理 1 2 AFACAD， 11 22 AE AFABACACAD， 其中150BAD，60BAC，90CAD， 2 16AB ACAC，cos900AC ADAC AD， 1 244 363 4 AE AF. 12 5 ,5 2 【解析】解：直线:50l kxyk过定点5,0P ，且CMMP， 点M在以CP为直径的圆周上，设,M x y，则 22
13、 25xy， 联立 22 22 25 100 xy xyx ，解得 5 2 x . 又点M在圆C内部， 点M的横坐标的取值范围是 5 ,5 2 . 1312 【解析】解： 43 1 tantanAB ，2 3bAC，ABC的面积为2 1， 4cos3cos 1 sinsin AB AB ， 4cossin3cossinsinsinABBAAB， 3cossin3cossinsinsincossinABBAABAB， 即3sinsinsincosABBAA，即3sinsinsincosCBAA， 3sincoscbAA，即 sincos 3 bAa c ， ABC的面积 2 2 sincossi
14、n1 sin2 sincossin21 26 bAAA SbcAAAA ， 2 21 sincossin 2 AAA ， 22 222 sincossintantan21 sincostan12 AAAAA AAA ，可得 2 21 tan2tan210AA， 解得tan12A . 14 3 4 k 或1k .【解析】解：函数3ykx关于直线2y 的对称图象为1ykx ， 所以条件等价于函数 f x与1ykx 有且仅有2个不同的交点， 当0 x ， ln2f xxxx，则令 ln10fxx ，解得xe， 且当0 xe， f x单调递减，当xe， f x单调递增， 作出函数 f x与1ykx 图
15、象如图： 当1ykx 是ln2yxxx切线时，设切点 00 ,x y，则 0 ln1xk ， 且 00000 1ln2ykxxxx ，解得切点坐标为1,2，1k ， 根据图象可知1k ，则1k ； 当1ykx 是 2 5 4 yxx切线时，设切点 00 ,x y，则 0 5 2 4 xk ，且 2 0000 5 1 4 yxxkx，解 得切点坐标为 1 1, 4 ， 3 4 k ， 根据图象可知 3 4 k ，则 3 4 k ， 综上， 3 4 k 或1k . 二、解答题二、解答题 15解：证明： （1）连接BD交AC于O，连结OE， 因为ABCD是平行四边形，所以O是BD的中点， 因为E为P
16、D的中点，所以OEPB， 又因为PB平面AEC，OE 平面AEC， 所以PB平面AEC. （2）因为PAAD且E是PD的中点，所以AEPD， 又因为PA 平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD， 因为四边形ABCD是矩形，所以CDAD， 因为,PA AD 平面PAD，且PAADA， 所以CD平面PAD，又因为AE 平面PAD，所以CDAE， 因为,PD CD 平面PDC且PDCDD， 所以AE 平面PCD. 16解： （1）在ABC中，因为 4 cos 5 B ，所以 222 4 25 acb ac . 因为2ca，所以 2 22 42 5 2 2 c cb c c ，即 2 2 9 2
17、0 b c ， 所以 3 5 10 b c ， 由正弦定理得 sin sin Bb Cc ，所以 sin3 5 sin10 B C . （2）因为 4 cos 5 B ，所以 2 7 cos22cos1 25 BB . 又0B， 所以 2 3 sin1 cos 5 BB，所以 3424 sin22sincos2 5525 BBB. 因为 4 CB ，即 4 CB ， 所以 3 2 4 ABCB ， 所以 3332722431 2 sinsin2sincos2cossin2 44422522550 ABBB . 17解： （1）由题意得：10 10001 0.2 %10 1000 xx， 即 2
18、 5000 xx，又0 x ，所以0500 x. 即最多调整500名员工从事第三产业. （2）从事第三产业的员工创造的年总利润为 3 10 500 x ax 万元， 从事原来产业的员工的年总利润为 1 10 10001 500 xx 万元， 则 3 1010 100010.2 % 500 x axxx 所以 2 2 31 10002 500500 x axxxx， 所以 2 2 1000 500 x axx， 即 21000 1 500 x a x 恒成立， 因为 2100021000 4 500500 x x xx ， 当且仅当 21000 500 x x ，即500 x时等号成立. 所以5
19、a，又0a ，所以05a， 即a的取值范围为0,5. 18解： （1）设椭圆的焦距为2c.椭圆过点 3 1, 2 ，离心率为 1 2 ， 22 9 1 4 1 ab ， 1 2 c a 解得2a ，3b . 则椭圆的方程为 22 1 43 xy . （2）设点 11 ,M x y， 22 ,N x y， 1 2 6 5 s s ， 1 2 1 6 2 1 5 2 AFy BFy ，整理可得 36 5 M N y y ， 即 2 5 MN yy， 2 5 FMNF， 代入坐标，可得 12 12 2 11 5 2 5 xx yy ，即 12 12 72 55 2 5 xx yy ， 又点,M N在
20、椭圆C上， 22 22 22 22 722 555 1 43 1 43 xy xy ， 解得 2 2 5 4 3 13 8 x y ，直线l的斜率 3 13 13 8 5 6 1 4 k . （3）直线l的方程为1yk x 由 22 1 1 43 yk x xy 消去y得 2222 3484120kxk xk， 2 12 2 8 34 k xx k ， 2 12 2 412 43 k x x k . 又 2 2121 221221 1 112121212 1 212222 21222 2 y yxk xxkxx xxx y kyxk xxx xxx x 22 2 22 22 2 2 2 22
21、2 222 22 4128 1218 22 3 4343 43 464128 22 434343 kk k xx x kk k kkk xxx kkk 2 2 2 2 2 2 46 3 43 3 46 43 k x k k x k ， 2 1 3 k k . 19解： （1）当1a 时， 2 ln 2 x f xxx， 1 1 2 f， 1 1fxx x ， 11 f ， 所以 f x在1x 处的切线方程为 1 1 2 yx ，即2230 xy. （2） f x定义域为0,， 2 axaxa fxax xx ， 若04a时， 2 40aa， 0fx， 所以 f x单调递增区间为0,，无减区间；
22、 若4a ，则 2 2 244xxx fx xx 当02x时， 0fx；当2x 时， 0fx， 所以 f x单调递增区间为0,，无减区间； 若4a 时，由 2 0 xaxa fx x ，得 2 4 2 aaa x 或 2 4 2 aaa x ， 当 2 4 0 2 aaa x ，或 2 4 2 aaa x 时， 0fx， 当 22 44 22 aaaaaa x 时， 0fx， 所以 f x单调递增区间为 2 4 0, 2 aaa ， 2 4 , 2 aaa ， 单调递减区间为 22 44 , 22 aaa aaa ， （3）由（1）知，4a ，且 12 12 xxa x xa ， 不等式 12
23、12 f xf xxx恒成立等价于 1212 12 f xf xf xf x xxa 恒成立， 又 2222 12111222121212 111 lnlnlnln 222 f xf xaxxxaxxxaxxa xxxx 2 222 12121212 111 ln2ln2ln 222 ax xa xxxxx xaaaaaaaaa ， 所以 12 12 1 ln1 2 f xf x aa xx ， 令 1 ln14 2 yaaa，则 11 0 2 y a ， 所以 1 ln1 2 yaa在4,上单调递减， 所以2ln23y ，所以2ln2 3. 20解： （1）由21 n an，可得数列 n a
24、是递增数列，所以21 n An， 1 1 n Ba. 2 nnn bABn. （2）由 21 2 n n n a ，可得 1 1 32 2 nn n n aa ， 当1n ， 21 aa. 当2n， 1 0 nn aa ，即 234 .aaa 又 1 1 2 a ， 2 3 4 a ， 31 5 8 aa， 41 7 16 aa， 所以 1 1b ， 2 5 4 b ， 3 5 4 b ， 当4n时， 321 42 n n n b ， 所以 1 1S ， 2 9 4 S ， 3 7 2 S . 当4n时，令 1 13213 42422 n nnn k nbnknb b ， 则2k ，3b ，即
25、 1 32123 422 n nn nn b . 所以 34451 7391111132123 3. 24222222 n nn nn Sn 3 7392319323 3 2422842 nn nnn n . 综上所述， 1 1S ， 2 9 4 S ， 3 7 2 S ， 当4n时， 19323 842 n n nn S . （3）证明：设等差数列 n b的公差为d，则 111nnnnnn bbAABBd ， 由题意： 1nn AA ， 1nn BB ， 0d ， 1nn AA ，对任意 * nN都成立， 即 1 1 nnnn AaAa ，所以数列 n a是递增数列. 所以 nn Aa， 1
26、n Ba， 所以 111nnnnnn dAABBaa ， 所以数列 n a是公差为d的等差数列； 当0d 时， 1nn BB ，对任意 * nN都成立， 进而 11nnnn BaBa ， 所以数列 n a是递减数列， 1n Aa， nn Ba， 所以数列 n a是公差为d的等差数列； 当0d 时， 11 0 nnnn AABB ， 因为 1nn AA 与 1nn BB 中至少有一个为0，所以二者都为0， 进而数列 n a为常数列， 综上所述，数列 n a为等差数列. 21解：由题意得， 1 10 01 AA ，即 212210 0101 acadac bdbdb ， 21ad，20ac，0bd
27、 ，1b. 1a ，1b，2c ，0d . 即矩阵 12 01 A . 设,P x y为曲线C上的任意一点，在矩阵A对应的变换作用下变为点,P x y， 则 12 01 xx yy .即 2xxy yy ， 由已知条件可知，点,P x y，满足方程21yx，整理得：2510 xy ， 所以曲线C的方程为2510 xy . 22解： （1）分别将4, 2 ， 5 2 2, 4 转化为直角坐标为0,4A，2, 2B ， 所以直线AB的直角坐标方程为340 xy. （2）曲线C的方程为r，0r ，其直角坐标方程为 222 xyr. 又直线AB和曲线C有且只有一个公共点，即直线与圆相切， 所以圆心到直
28、线AB的距离为 22 42 10 5 31 ， 即r的值为 2 10 5 . 23解： （1）甲恰好通过两个项目测试的概率为 2 2 3 113 1 228 C ； （2）因为每人可被录用的概率为 23 2 3 1111 1 2222 C ， 所以 3 11 01 28 P X ， 22 1 3 113 11 228 P XC ， 21 2 3 113 21 228 P XC ， 3 11 3 28 P X ； 故随机变量X的概率分布表为： X 0 1 2 3 P 1 8 3 8 3 8 1 8 所以，X的数学期望为 13313 0123 88882 E X . 24解： （1）由题意可设直线
29、AB的方程为 2 p xmy，0m， 联立直线与抛物线的方程 2 2 2 ypx p xmy ，整理可得： 22 20ympyp， 2 12 y yp ， 12 2yymp， 由题意 12 4y y ，所以 2 4p ， 所以2p ； （2）由（1）知抛物线的方程为： 2 4yx， 12 24yympm， 12 4y y ， 2 22 1212 144 1ABmyyy ym. 直线AB的方程为1xmy，令1x，则 2 y m ， 2 1,H m ， 2 12 ,P mm ，又易知 12 4 PQ yyy y ， 2,2 Q mm. 又点P到直线AB的距离 2 2 1 2 2 1 1 1 1 m m d m m ， 点Q到直线AB的距离 2 2 2 2 1 1 1 m dm m ， 四边形APBQ的面积 5 222 2 2 12 22 112 1 1 2 1 2 mmm SABddm mm ， 令 2 mt，则 5 2 2 1 t S t ，0t . 3 2 2 32 1tt S t ，0t ，令 2 0 3 St ，S在 2 0, 3 t 时单调递减，在 2 , 3 t 单调递 增，故当 2 3 t ，也即 6 3 m 时， 5 2 max 5 2 25 153 2 9 3 S ， 所以四边形APBQ的面积S的最小值为 25 15 9 .
