1、重庆市沙坪坝区重庆市沙坪坝区 2020 届高三下学期期中考试理科数学试题届高三下学期期中考试理科数学试题 一、选择题： （本大题一、选择题： （本大题 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，每小题有且只有一个选项是正确的）分，每小题有且只有一个选项是正确的）. 1已知集合 A0，1，2，3，Bx|x22x30，则 A（RB）（ ） A （1，3） B （1，3 C （0，3） D （0，3 2已知复数 z 满足 izz+ai（i 为虚数单位） ，且|z|= 2，则正数 a 的值为（ ） A2 B1 C2 D1 2 3已知某超市 2019 年 12 个月的收入与支出数据
2、的折线图如图所示，根据该折线图可知，下列说法错误的 是（ ） A该超市 2019 年的 12 个月中的 7 月份的收益最高 B该超市 2019 年的 12 个月中的 4 月份的收益最低 C该超市 2019 年 7 至 12 月份的总收益比 2019 年 1 至 6 月份的总收益增长了 90 万元 D该超市 2019 年 1 至 6 月份的总收益低于 2019 年 7 至 12 月份的总收益 4冰雹猜想也称奇偶归一猜想：对给定的正整数进行一系列变换，则正整数会被螺旋式吸入黑洞（4，2， 1） ，最终都会归入“421”的模式该结论至今既没被证明，也没被证伪如图程序框图示意了冰雹 猜想的变换规则，则
3、输出的 i（ ） A4 B5 C6 D7 5在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 AD，C1D1的中点，O 为正方形 ABCD 的中心，则（ ） A直线 EF，OD1是异面直线，且 EFOD1 B直线 OD1，B1B 是异面直线且 OD1B1B C直线 EF，OD1是相交直线，且 EFOD1 D直线 OD1，B1B 是相交直线且 OD1B1B 6等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a2a53a3，且 a4与 9a7的等差中项为 2，则 S5（ ） A112 3 B112 C121 27 D121 7空间直角坐标系中的点 P（x，y，z）满足 x，y，z2，4，6，则恰有两
4、个坐标相同的点 P 有（ ） A18 个 B12 个 C9 个 D6 个 8 “a3”是“x1 为函数 f（x）x3+ 1 2（a+3）x 2ax1 的极小值点”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9函数() = 22 41的图象大致为（ ） A B C D 10函数 f（x）2sin（x+） ， （0，|）的部分图象如图所示，且 f（x）的图象过 A（ 2，1） ，B （，1）两点，为了得到 g（x）2sinx 的图象，只需将 f（x）的图象（ ） A向右平移5 6 B向左平移5 6 C向左平移5 12 D向右平移5 12 11已知 O，F 分别
5、是双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的中心和右焦点，以 OF 为直径的圆与双曲线 的两条渐近线分别交于 A，B 两点（A，B 异于原点 O） ，若|AB|= 3b，则双曲线 C 的离心率 e 为（ ） A2 B3 C23 3 D2 12已知四棱锥 PABCD 的棱长都是 12，E，F，M 为 PA，PC，AB 的中点，则经过 E，F，M 的平面截 四棱锥 PABCD 所得截面的面积为（ ） A542 B452 C72 D96 二、填空题： （本大题二、填空题： （本大题 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）. 13若 =（x，2） ， =（x1，1）
6、 ，若（ + ）（ ） ，则 x 14在第 35 届全国中学生数学冬令营中，某市甲、乙两所学校数学冬令营成绩的茎叶图（0 x5，8y 9，x，yN）如图：已知甲校成绩的中位数、平均分都比乙校成绩的中位数、平均分少 1 分，则 x+y 15设数列an满足 an+1an+2（n+1） ，nN*，a12，则数列（1）nan的前 40 项和是 16已知抛物线 y22px（p0）的焦点 F，过其准线与 x 轴的交点 E 作直线 l， （1）若直线 l 与抛物线相切于点 M，则EMF （2）设 p6，若直线 l 与抛物线交于点 A，B，且 ABBF，则|AF|BF| 三三.解答题： （本大题解答题： （本
7、大题 6 个小题，共个小题，共 70 分分.各题解答必须在答题卷上作答，在相应题目指定的方框内必须写出各题解答必须在答题卷上作答，在相应题目指定的方框内必须写出 必要的文字说明、演算步骤或推理过程）必要的文字说明、演算步骤或推理过程）. 17设函数 f（x）sin（2x+ 6）2cos 2x （1）求 f（x）的单调增区间； （2）在ABC 中，若 f（ 2 6）= 5 4，且 =2 ，BD= 10，cosABD= 10 4 ，求 BC 的值 18 某次数学测验共有 12 道选择题， 每道题共有四个选项， 且其中只有一个选项是正确的， 评分标准规定： 每选对 1 道题得 5 分，不选或选错得
8、0 分在这次数学测验中，考生甲每道选择题都按照规则作答，并 能确定其中有 9 道题能选对；其余 3 道题无法确定正确选项，在这 3 道题中，恰有 2 道能排除两个错误 选项，另 1 题只能排除一个错误选项若考生甲做这 3 道题时，每道题都从不能排除的选项中随机挑选 一个选项作答，且各题作答互不影响在本次测验中，考生甲选择题所得的分数记为 x （1）求 x55 的概率； （2）求 x 的分布列和数学期望 19如图，在由三棱锥 EADF 和四棱锥 FABCD 拼接成的多面体 ABCDEF 中，AE平面 ABCD，平面 BCF平面 ABCD，且 ABCD 是边长为 23的正方形，BCF 是正三角形
9、（1）求证：AE平面 BCF； （2）若多面体 ABCDEF 的体积为 16，求 BF 与平面 DEF 所成角的正弦值 20已知椭圆 C： 2 3 + 2 2 =1（b0）的右焦点为 F，过 F 作两条直线分别与圆 O：x2+y2r2（r0）相 切于 A，B，且ABF 为直角三角形又知椭圆 C 上的点与圆 O 上的点的最大距离为3 +1 （1）求椭圆 C 及圆 O 的方程； （2）若不经过点 F 的直线 l：ykx+m（其中 k0，m0）与圆 O 相切，且直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q， 求FPQ 的周长 21已知函数 f（x）（xa1）ex 11 2x 2+ax，x0 （1）若 f（x）
10、为单调增函数，求实数 a 的值； （2）若函数 f（x）无最小值，求整数 a 的最小值与最大值之和 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 在平面直角坐标系 h （x） 中， 直线 l1的参数方程为 = 4 = ，（t 为参数） ， 直线 l2的普通方程为 y= 1 x， 设 l1 与 l2的交点为 P，当 k 变化时，记点 P 的轨迹为曲线 C1在以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐 标系中，直线 l3的方程为 sin（ 4）= 2
11、（1）求曲线 C1的普通方程； （2）设点 A 在 l3上，点 B 在 C1上，若直线 AB 与 l3的夹角为 4，求|AB|的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a0，b0，a+2b3证明： （1）2+ 2 9 5； （2）3 + 43 81 16 重庆市沙坪坝区重庆市沙坪坝区 2020 届高三下期中考试理科数学试题届高三下期中考试理科数学试题参考答案参考答案 一、选择题： （本大题一、选择题： （本大题 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，每小题有且只有一个选项是正确的）分，每小题有且只有一个选项是正确的）. 1已知集合 A0，1，2，3
12、，Bx|x22x30，则 A（RB）（ ） A （1，3） B （1，3 C （0，3） D （0，3 解不等式得集合 B，进而可求RBx|1x3，求并集 Bx|x22x30 x|x1 或 x3， RBx|1x3， 则 ARB0，1，2，3x|1x3（1，3， 故选：B 本题主要考查集合的基本运算，比较基础 2已知复数 z 满足 izz+ai（i 为虚数单位） ，且|z|= 2，则正数 a 的值为（ ） A2 B1 C2 D1 2 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得 z，结合复数模的计算公式求解 a 由 izz+ai，得（i1）zai，则 z= 1+ = (1) (1+)(1)
13、 = 2 2 ， 由|z|= ( 2) 2+ ( 2) 2 = 2 2 |，得 2 2 | =2，即 a2（a0） 故选：A 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题 3已知某超市 2019 年 12 个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图可知，下列说法错误的 是（ ） A该超市 2019 年的 12 个月中的 7 月份的收益最高 B该超市 2019 年的 12 个月中的 4 月份的收益最低 C该超市 2019 年 7 至 12 月份的总收益比 2019 年 1 至 6 月份的总收益增长了 90 万元 D该超市 2019 年 1 至 6 月份的总收益低于 2
14、019 年 7 至 12 月份的总收益 根据折线图，即可判定选项 A，B 正确，计算出 2019 年 7 至 12 月份的总收益和 2019 年 1 至 6 月份的总 收益，比较，即可得到选项 C 错误，选项 D 正确 由折线图可知，该超市 2019 年的 12 个月中的 7 月份的收入支出的值最大，所以收益最高，故选项 A 正确； 由折线图可知，该超市 2019 年的 12 个月中的 4 月份的收入支出的值最小，所以收益最低，故选项 B 正确； 由折线图可知，该超市 2019 年 7 至 12 月份的总收益为 60+40+30+30+50+30240，2019 年 1 至 6 月份 的总收益
15、为 20+30+20+10+30+30140，所以 该超市 2019 年 7 至 12 月份的总收益比 2019 年 1 至 6 月份的总收益增长了 100 万元，故选项 C 错误， 选项 D 正确； 故选：C 本题主要考查了简单的合情推理，是基础题 4冰雹猜想也称奇偶归一猜想：对给定的正整数进行一系列变换，则正整数会被螺旋式吸入黑洞（4，2， 1） ，最终都会归入“421”的模式该结论至今既没被证明，也没被证伪如图程序框图示意了冰雹 猜想的变换规则，则输出的 i（ ） A4 B5 C6 D7 根据程序框图进行模拟运算即可 模拟程序的运行，可得 S5，i0 不满足条件5 2Z，S16，i1，
16、不满足条件 S1，执行循环体，满足条件 8Z，S8，i2， 不满足条件 S1，执行循环体，满足条件 4Z，S4，i3， 不满足条件 S1，执行循环体，满足条件 2Z，S2，i4， 不满足条件 S1，执行循环体，满足条件 1Z，S1，i5， 满足条件 S1，退出循环，输出 i 的值为 5 故选：B 本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键比较基础 5在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 AD，C1D1的中点，O 为正方形 ABCD 的中心，则（ ） A直线 EF，OD1是异面直线，且 EFOD1 B直线 OD1，B1B 是异面直线且 OD1B1B C直线
17、EF，OD1是相交直线，且 EFOD1 D直线 OD1，B1B 是相交直线且 OD1B1B 利用已知条件，画出图形，判断直线 EF，OD1是异面直线还是相交直线，判断 EFOD1，OD1B1B 是 否成立 正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F 分别是 AB，AD 的中点，O 为正方形 ABCD 的中心，如图： 四边形 D1EOF 是矩形，直线 EF，OD1是相交直线，排除 A， 直线 OD1，B1B 是相交直线，排除 B； EFOD1，OD1B1B，排除 D， 故选：C 本题考查命题真假的判断， 考查空间中线线、 线面、 面面间的位置关系等基础知识， 考查运算求解能力， 是中档题 6
18、等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a2a53a3，且 a4与 9a7的等差中项为 2，则 S5（ ） A112 3 B112 C121 27 D121 运用等比数列的性质可得 a4a1q33，再由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首 项和公比，由等比数列的求和公式，进而得到所求和 数列an是等比数列，a2a53a3， a3a43a3，即 a4a1q33a4与 9a7的等差中项为 2， a4+9a7a4（1+9q3）4，解得 q= 1 3，a181 S5= 81(1 1 35) 11 3 =121 故选：D来源:Z+xx+k.Com 本题考查等差数列的中项性质和等比数列的
19、通项公式、求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属 于基础题 7空间直角坐标系中的点 P（x，y，z）满足 x，y，z2，4，6，则恰有两个坐标相同的点 P 有（ ） A18 个 B12 个 C9 个 D6 个 可对点 P（x，y，z）中两个相同坐标是哪两个进行讨论，求出结果 由题设条件可知：点 P（x，y，z）中两个相同坐标有以下情况： 当两相同的坐标是 x，y 时，有 C 3 121 =6 个； 当两相同的坐标是 y，z 时，有 C 3 121 =6 个； 当两相同的坐标是 x，z 时，有 C 3 121 =6 个； 所以共有 6+6+618 个 故选：A 本题主要考查分类计数原理，属于
20、基础题 8 “a3”是“x1 为函数 f（x）x3+ 1 2（a+3）x 2ax1 的极小值点”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 根据题意 f（x）3x2+（a+3）xa（3x+a） （x1） ，令 f（x）0，则 x= 3或 x1由极小 值的定义知：只有当 3 1 时，才满足要求再根据充分必要条件定义判断出结论即可 f（x）3x2+（a+3）xa（3x+a） （x1） ，令 f（x）0，则 x= 3或 x1 当 3 =1 时，即 a3 时，f（x）3（x1）20，f（x）单调递减，函数 f（x）无极小值点； 当 3 1 时，即 a3 时，当 x
21、1 时，f（x）0，f（x）单调递减；当 1x 3时，f（x）0，f（x） 单调递增；当 x 3时，f（x）0，f（x）单调递减； 故 x1 为极小值点 当 3 1 时，即 a3 时，当 x 3时，f（x）0，f（x）单调递减；当 3 x1 时，f（x）0，f（x） 单调递增；当 x1 时，f（x）0，f（x）单调递减； 故 x1 为极大值点 故“x1 为函数 f（x）x3+ 1 2（a+3）x 2ax1 的极小值点”a3 故“a3”是“x1 为函数 f（x）x3+ 1 2（a+3）x 2ax1 的极小值点”的必要不充分条件 故选：B 本题考查了利用导数研究函数的极值、 方程的解法、 简易逻辑
22、的判定方法， 考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 9函数() = 22 41的图象大致为（ ） A B C D 先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可判断 解函数() = 22 41的定义域为（，0）（0，+） ， f（x）= 2()2 41 = 22 41 = 2 2 14 4 = 22 14 = f（x） ， 函数 f（x）为奇函数，故排除 B， f（1）= 2 41 = 2 3，f（2）= 44 161 = 16 15， f（1）f（2） ，故排除 C， 当 x+时，f（x）0，故排除 D， 故选：A 本题考查了函数的图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的变换趋势，属于基础题 10
23、函数 f（x）2sin（x+） ， （0，|）的部分图象如图所示，且 f（x）的图象过 A（ 2，1） ，B （，1）两点，为了得到 g（x）2sinx 的图象，只需将 f（x）的图象（ ） A向右平移5 6 B向左平移5 6 C向左平移5 12 D向右平移5 12 根据函数 f（x）的部分图象求出 f（x）的解析式，再利用坐标平移得出结果 根据函数 f（x）2sin（x+）的部分图象知， f（ 2）2sin（ 2+）1， 2+= 6 +2k，kZ； f（）2sin（+）1，+= 7 6 +2k，kZ； 又 0，|， 所以 2，= 5 6 ； 所以 f（x）2sin（2x 5 6 ）2sin2
24、（x 5 12） ； 为了得到 g（x）2sin2x 的图象， 只需将 f（x）的图象向左平移5 12个单位 故选：C 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了图象平移问题，是基础题 11已知 O，F 分别是双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的中心和右焦点，以 OF 为直径的圆与双曲线 的两条渐近线分别交于 A，B 两点（A，B 异于原点 O） ，若|AB|= 3b，则双曲线 C 的离心率 e 为（ ） A2 B3 C23 3 D2 由题意画出图形，写出圆的方程，联立直线方程与圆的方程，求得|AB|，结合已知得答案 如图， 以 OF 为直径的圆的方程为( 2) 2 +
25、2= 2 4 ， 即 x2cx+y20， 联立 = 2 + 2= 0 ，解得 y= ，即点 A 的纵坐标为 |AB|= 2 = 3，即 e= = 23 3 ， 故选：C 本题考查双曲线的简单性质，考查直线与双曲线位置关系的应用，是基础题 12已知四棱锥 PABCD 的棱长都是 12，E，F，M 为 PA，PC，AB 的中点，则经过 E，F，M 的平面截 四棱锥 PABCD 所得截面的面积为（ ） A542 B452 C72 D96 取 BC 中点 M，PD 的四等分点 I，顺次连接 E、M、G、F、I，则平面 EMGFI 就是经过 E，F，M 的平面 截四棱锥 PABCD 所得截面，由此能求出
26、经过 E，F，M 的平面截四棱锥 PABCD 所得截面的面积 取 BC 中点 M，PD 的四等分点 I，顺次连接 E、M、G、F、I， 则平面 EMGFI 就是经过 E，F，M 的平面截四棱锥 PABCD 所得截面， 四棱锥 PABCD 的棱长都是 12，E，F，M 为 PA，PC，AB 的中点， ACBD122， EF =GM= 2 =62，EM =GF= 2 =6，且 ABCD 是矩形， EIFI= 62 32=33， 经过 E，F，M 的平面截四棱锥 PABCD 所得截面的面积为： SS矩形EFGM+SEFI62 6 + 1 2 63 (33)2 (32)2=452 故选：B 本题考查截
27、面面积的求法， 考查空间中线线、 线面、 面面间的位置关系等基础知识， 考查运算求解能力， 是中档题 二、填空题： （本大题二、填空题： （本大题 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）. 13若 =（x，2） ， =（x1，1） ，若（ + ）（ ） ，则 x 1 根据（ + ）（ ） ，得（ + ） （ ）0 即 2 2 =0，代入坐标求得 x 的值即可 =（x，2） ， =（x1，1） ， （ + ）（ ） ， （ + ） （ ）0， 2 2 =0，即(2+ 4)2 ( 1)2+ 1)2=0， 解得，x1 故答案为：1 本题考查了平面向量的数量积运算及其性质，
28、属于基础题 14在第 35 届全国中学生数学冬令营中，某市甲、乙两所学校数学冬令营成绩的茎叶图（0 x5，8y 9，x，yN）如图：已知甲校成绩的中位数、平均分都比乙校成绩的中位数、平均分少 1 分，则 x+y 8 根据中位数，平均数的定义可求，然后根据题意找出关系，求出参数 由 0 x5，8y9，x，yN，以及茎叶图可知： x0，y8，甲= 50，乙= 51，甲的中位数为 49，乙的中位数为 51 则 x+y8， 故答案为：8 本题考查茎叶图，平均数，中位数，属于基础题 15设数列an满足 an+1an+2（n+1） ，nN*，a12，则数列（1）nan的前 40 项和是 840 本题先根据
29、数列an的递推公式的特点运用累加法推导出数列an的通项公式，进一步可计算出数列 （1）nan的通项公式，根据数列（1）nan的通项公式的特点可计算出相邻奇偶项的和，然后运 用分组求和法和等差数列的求和公式可计算出结果 依题意，由 an+1an+2（n+1） ，nN*，可得 an+1an2（n+1） ，nN*， 则 a1221， a2a122， a3a223， anan12n， 各式相加，可得 an21+22+23+2n 2（1+2+3+n） 2 (1+) 2 n（n+1） ， 当 n1 时，a12 也满足上式， ann（n+1） ，nN* （1）nan（1）nn（n+1） ， 假设当 n 为奇
30、数时，n+1 为偶数，则 （1）nan+（1）n+1an+1an+an+1n（n+1）+（n+1） （n+2）2（n+1） ， 设数列（1）nan的前 n 项和为 Sn，则 S40a1+a2a3+a4a39+a40 （a1+a2）+（a3+a4）+（a39+a40） 22+24+240 2（2+4+40） 4（1+2+20） 4 20(1+20) 2 840 故答案为：840 本题主要考查数列求通项公式和数列求和问题考查了转化与化归思想，整体思想，逻辑推理能力和数 学运算能力本题属中档题 16已知抛物线 y22px（p0）的焦点 F，过其准线与 x 轴的交点 E 作直线 l， （1）若直线 l
31、 与抛物线相切于点 M，则EMF 4 （2）设 p6，若直线 l 与抛物线交于点 A，B，且 ABBF，则|AF|BF| 12 （1）由抛物线的方程求出 E 的坐标，设切点的 M 的坐标，求出切线 EM 的斜率，求出切线 EM 的方程 与抛物线联立，由判别式等于 0 求出 M 的横坐标与焦点 F 的横坐标相同，纵坐标为 p，可得 MFx 轴， |MF|EF|，可得三角形 EFM 为等腰直角三角形，进而求出EMF 的值； （2）设直线 AB 的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，ABBF 可得 A，B 横坐标的关系，再 由 B 在抛物线上，可得横纵坐标的关系，再由抛物线的性质可得|AF|BF
32、|为横坐标之差，进而可得|AF| |BF|的值 （1）解： （1）由题意可得 E（ 2，0） ，设切点 M（ 02 2 ，y0） ，y00，则 kEM= 0 02 2 + 2 = 20 02+2， 所以过切点 M 的切线方程为 x= 02+2 20 y 2，代入抛物线的方程可得 y 202+2 0 y+p20， 所以（0 2+2 0 ）24p20，可得（y02p2）20，所以 y0p，x0= 2，即 M（ 2，p） ， 所以 MFx 轴，|MF|EF|， 所以EMF= 4； （2）当 p6 时抛物线的方程为：y212x，所以焦点 F（3，0） ，E（3，0） ， 设直线 AB 的方程为 xmy
33、3，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立直线与抛物线的方程 = 3 2= 12 ，整理可得：y212my+360， 所以122m24360，可得 m21，且 y1+y212m，y1y236，x1x2= 1222 1212 =9， ABBF，所以 =0，即（x2x1，y2y1） （3x2，y2）0， 所以 3（x2x1）x22+x1x2+y1y2y220，来源:学科网 ZXXK 所以 3（x1x2）x22+9+3612x245（x22+12x2） ， 在 RtEBF 中，EF2BE2+BF2BE2+BB2所以 62（x2+3）3+y22+（x2+3）22x22+12x2+18+12x2
34、2 （x22+12x2）+18， 所以 x22+12x29， 所以 3（x1x2）45936， 所以 x1x212 由抛物线的性质可得|AF|BF|x1+3（x2+3）x1x212， 故答案为： 4，12 本题考查抛物线的性质及求过一点的切线方程，属于中档题 三三.解答题： （本大题解答题： （本大题 6 个小题，共个小题，共 70 分分.各题解答必须在答题卷上作答，在相应题目指定的方框内必须写出各题解答必须在答题卷上作答，在相应题目指定的方框内必须写出 必要的文字说明、演算步骤或推理过程）必要的文字说明、演算步骤或推理过程）. 17设函数 f（x）sin（2x+ 6）2cos 2x （1）求
35、 f（x）的单调增区间； （2）在ABC 中，若 f（ 2 6）= 5 4，且 =2 ，BD= 10，cosABD= 10 4 ，求 BC 的值 （1）利用倍角公式、和差公式即可化简 f（x） ，利用三角函数的单调性即可得出单调区间 （2） 由( 2 6) = 5 4 = 1 4 = 15 4 ， 在ABD 中， 由正弦定理可得 DC 再利用和差公式、 余弦定理即可得出 （1）() = (2 + 6) 2 2 = 3 2 2 + 1 2 2 2 1+2 2 （2 分） () = (2 6) 1 2 + 2 2 6 2 + 2 6 + 3 + ， f（x）的单调增区间为 6 + ， 3 + ，
36、（6 分） （2）由( 2 6) = 5 4 = 1 4 = 15 4 （7 分） 在ABD 中，由正弦定理可得： = = 2， = 2 ，可得 DC4 = 1 4 10 4 15 4 6 4 = 10 8 在BCD 中，由余弦定理可得：2= 16 + 10 + 2 10 4 10 8 = 36 = 6 本题考查了倍角公式、和差公式、三角函数的单调性、正弦定理及其余弦定理、方程与不等式的解法， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题题 18 某次数学测验共有 12 道选择题， 每道题共有四个选项， 且其中只有一个选项是正确的， 评分标准规定： 每选对 1 道题得 5 分，不选或选错得 0 分在这
37、次数学测验中，考生甲每道选择题都按照规则作答，并 能确定其中有 9 道题能选对；其余 3 道题无法确定正确选项，在这 3 道题中，恰有 2 道能排除两个错误 选项，另 1 题只能排除一个错误选项若考生甲做这 3 道题时，每道题都从不能排除的选项中随机挑选 一个选项作答，且各题作答互不影响在本次测验中，考生甲选择题所得的分数记为 x （1）求 x55 的概率； （2）求 x 的分布列和数学期望 （1）能排除 2 个选项的试题记为 A 类试题；设选对一道 A 类试题为 A，求出概率，能排除 1 个选项的试 题记为 B 类试题；设选对一道 B 类试题为 B，求出概率，然后求解该考生选择题得 5 的概
38、率为：A 对 2 道，B 对 0 道，A 对 1 道，B 对 1 道，推出结果 （2）该考生所得分数 x45，50，55，60，求出概率得到 X 的分布列，然后求解期望 （1）能排除 2 个选项的试题记为 A 类试题；设选对一道 A 类试题为 A，则() = 1 2， 能排除 1 个选项的试题记为 B 类试题；设选对一道 B 类试题为 B，则() = 1 3， 该考生选择题得 5 的概率为：A 对 2 道，B 对 0 道，则概率为2 2(1 2) 2 2 3 = 2 12 = 1 6， A 对 1 道，B 对 1 道，则概率为2 1(1 2) 2 1 3 = 2 12， 则( = 55) =
39、1 6 + 2 12 = 1 3 （2） 该考生所得分数 x45， 50， 55， 60， ( = 45) = 2 0(1 2) 2 2 3 = 1 6； ( = 50) = 2 1(1 2) 2 2 3 + 2 0(1 2) 2 1 3 = 5 12；( = 60) = 2 0(1 2) 2 1 3 = 1 12； X 的分布列为： x 45 50 55 60 P 1 6 5 12 1 3 1 12 = 45 1 6 + 50 5 12 + 55 1 3 + 60 1 12 = 155 3 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题 19如图，在由三棱
40、锥 EADF 和四棱锥 FABCD 拼接成的多面体 ABCDEF 中，AE平面 ABCD，平面 BCF平面 ABCD，且 ABCD 是边长为 23的正方形，BCF 是正三角形 （1）求证：AE平面 BCF； （2）若多面体 ABCDEF 的体积为 16，求 BF 与平面 DEF 所成角的正弦值 （1）设点 O 为 BC 中点，推出 OFBC，得到平面 ABCD平面 BCF，然后证明 AEOF，即可证明 AE 平面 BCF， （2）通过 VABCDEFVFABCD+VEADFVFABCD+VFADE，求出 AE2，建立如图直角坐标系，求出平 面 DEF 的法向量，求出 = (3，0，3)，即可利
41、用空间向量的数量积求解即可 证明： （1）设点 O 为 BC 中点，BCF 是正三角形 OFBC，平面 ABCD平面 BCF， 平面 ABCD平面 BCFBC，则 OF平面 ABCD， AE平面 ABCDAEOF， OF平面 BCF，AE平面 BCFAE平面 BCF， （2）VABCDEFVFABCD+VEADFVFABCD+VFADE = 1 3 (23)2 3 + 1 3 (1 2 23 ) 23 = 16AE2， 由题意可知，建立如图直角坐标系， ABCD 是边长为23的正方形，BCF 是正三角形则(23，0，0)，(0，23，0)，(0，0，2)， (3，23，3)， = (3，23，
42、3)， = (23，0，2)， 设平面 DEF 的法向量为 = (，)， 则 = 0 = 0 = (1， 1，3)， 又 = (3，0，3)，若 与平面 BEF 所成角为 ，则 = | | | = 43 523 = 25 5 本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能 力，是中档题 20已知椭圆 C： 2 3 + 2 2 =1（b0）的右焦点为 F，过 F 作两条直线分别与圆 O：x2+y2r2（r0）相 切于 A，B，且ABF 为直角三角形又知椭圆 C 上的点与圆 O 上的点的最大距离为3 +1 （1）求椭圆 C 及圆 O 的方程； （2）若不
43、经过点 F 的直线 l：ykx+m（其中 k0，m0）与圆 O 相切，且直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q， 求FPQ 的周长 （1） 最大距离为3 + 1 + = 3 + 1 = 1； 结合三角形是直角三角形， 求解 b， 即可得到结果 （2） ykx+m 与圆相切： 则 m2k2+1， 设 P （x1， y1） ， Q （x2， y2） ， 由 2 3 + 2= 1 = + 得 （1+3k2） x2+6kmx+3m2 30，利用韦达定理，结合弦长公式，求出三角形的周长即可 （1）椭圆 C 上的点与圆 O 上的点的最大距离为3 +1， 可得3 + 1 + = 3 + 1 = 1； ABF 为
44、直角三角形 = 2 = 2； 又 b2+c23b1 圆 O 的方程为：x2+y21；椭圆 C 的方程为： 2 3 + 2= 1 （2）ykx+m 与圆相切：则 m2k2+1， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，由 2 3 + 2= 1 = + 得（1+3k2）x2+6kmx+3m230， 由0，得 3k2+1m2（） ，且1+ 2= 6 1+32 ，12= 323 1+32 ， | = 232+ 1 322+1 32+1 = 262+1 32+1 ， | + | = 2 (1+ 2) = 23 + 262+1 32+1 ， FPQ 的周长为| + | + | = 23 本题考查直线与
45、椭圆的位置关系的综合应用， 椭圆方程的求法， 直线与圆的位置关系的应用， 是中档题 21已知函数 f（x）（xa1）ex 11 2x 2+ax，x0 （1）若 f（x）为单调增函数，求实数 a 的值； （2）若函数 f（x）无最小值，求整数 a 的最小值与最大值之和来源:学+科+网 Z+X+X+K （1）求出导函数，通过 f（x）0，x11，x2a，利用函数的单调性推出 a 的值来源:学|科|网 Z|X|X|K （2）令 f（x）0 x1a，x21，当 a0 时，当 a1 时，当 a1 时，判断函数的单调性求 解函数的极值，得到最值，推出 f（0）f（a） ，得到() = 1 1 2 2 (
46、+ 1)1，1 () = 1 1，由 g（a）ea 110 在（1，+）上恒成立g（a）ea1ae1 在（1，+） 上为增，说明 g（a）0 存在唯一的实根 a1（1，2） ，g（a）0 存在唯一的实根 a2（2，3） ，然后 转化推出 1aa2，a2（2，3） ，然后推出 aZ，amin+amax （1）f（x）（xa）ex 1x+a（xa） （ex11）f（x）0，x 11，x2a， 函数 f（x）为单调函数a1 经检验，a1，f（x）为增函数，故 a1 适合题意 （2）令 f（x）0 x1a，x21， 当 a0 时，则 x（0，1）f（x）0f（x）在（0，1上为减函数，来源:学科网 x
47、（1，+）f（x）0f（x）在1，+）上为增函数， 当 x1 时，f（x）有最小值(1) = 1 2故 a0 不适合题意 当 a1 时，则 x（0，1）f（x）0f（x）在（0，1上为增函数， x（1，+）f（x）0f（x）在1，+）上为增函数， f（x）在（0，+）上为增函数，f（x）无最小值，故 a1 适合题意 当 a1 时，则 x（0，1）f（x）0f（x）在（0，1上为增函数， x（1，a）f（x）0f（x）在a，1上为减函数， x（a，+）f（x）0f（x）在a，+）上为增函数， 则 f（x）无最小值，故 f（0）f（a） 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1( + 1)0， () = 1 1 2 2 ( + 1)1，1 () = 1 1， 由 g（a）ea 110 在（1，+）上恒成立g（a）ea1ae1 在（1，+）上为增， 且 g（1）e 10，g（2）e2e10g（a）0 存在唯一的实根 a 1（1，2） g（a）在（1，a1）上为减； g（a）在（a1，+）上为增， 且(1) = 4 2 0，(2) =
