1、 第 1 页 / 共 12 页 第第 22 讲：同角三角函数的基本关系及诱导公式讲：同角三角函数的基本关系及诱导公式 一、课程标准 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，sin x cos xtan x. 2借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式 2 、的正弦、余弦、正切 . 二、基础知识回顾 1同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2cos21； (2)商数关系：tan sin cos . 平方关系对任意角都成立，而商数关系中 k 2(kZ Z) 2诱导公式 一 二 三 四 五 六 2k (kZ Z) 2 2 sin sin sin sin_ cos_ cos_
2、cos cos cos cos_ sin_ sin_ tan tan tan tan_ 3. 诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，转化的一般步骤如下： 第 2 页 / 共 12 页 即：去负脱周化锐的过程上述过程体现了转化与化归的思想方法 4、三角形中的三角函数关系式 sin(AB)sin(C)sinC； cos(AB)cos(C)cosC； tan(AB)tan(C)tanC； sin A 2 B 2 sin 2 C 2 cosC 2； cos A 2 B 2 cos 2 C 2 sinC 2. 三、自主热身、归纳总结 1、是第三象限角，且 3 sin- 2 ，则tan（
3、） A- 3 B3 C 3 - 3 D 3 3 【答案】B 【解析】因为是第三象限角，且 3 sin- 2 ， 所以 1 cos 2 ，所以 sin tan3 cos ，故选 B。 2、已知 sin2 2sin3cos5 ，则tan（ ） 第 3 页 / 共 12 页 A6 B6 C 2 3 D 2 3 【答案】B 【解析】化简 sinsin2 2sin3cos2sin3cos235 tan tan 所以t6an，故选 B。 3、(多选)已知sin 3cos 3cos sin 5，下列计算结果正确的是( ) Atan 1 2 Btan 2 Ccos21 2sin 2 3 5 Dsin 2cos
4、 26 5 【答案】BC 【解析】 sin 3cos 3cos sin tan 3 3tan 5， 解得 tan 2， cos 21 2sin 2cos 2sin cos cos 2sin cos sin2cos2 1tan 1tan2 12 122 3 5，sin 2cos 22sin2cos22tan 21 tan21 7 5. 4、化简： cos 2 sin 5 2 sin()cos(2)_. 【答案】sin2 【解析】原式 cos 2 sin 2 2 (sin ) cos sin sin 2 (sin ) cos sin cos (sin ) cos sin 2. 5、(一题两空)已知
5、 sin cos 1 5，(0，)，则 sin cos()_，tan _. 第 4 页 / 共 12 页 【答案】12 25 4 3 【解析】 因为 sin cos 1 5， 所以(sin cos ) 212sin cos 1 25， 所以 sin cos 12 25.所以 sin cos( )sin cos 12 25； (sin cos )212sin cos 49 25，因为 (0，)，所以 sin 0，cos 0，所以 sin cos 7 5.联立 sin cos 1 5， sin cos 7 5， 解得 sin 4 5，cos 3 5.所以 tan 4 3. 四、例题选讲 考点一、
6、三角函数的诱导公式 例 1、角的终边在直线2yx上，则 sincos sincos （ ） A 1 3 B1 C3 D1 【答案】C 【解析】因为角的终边在直线2yx上，tan2， 则 sincossin sincossincos cso sincostan1 3 sincostan1 ，故选 C。 变式 1、 已知 sin(3)1 3，则 cos() coscos（）1 cos()2 sin 3 2 cos()sin 3 2 _ _ 第 5 页 / 共 12 页 【答案】18 【解析】 sin(3)sin1 3，sin 1 3， 原式 cos cos()cos1 cos()2 sin 3 2
7、 cos() cos 1 1cos cos cos2cos 1 1cos 1 1cos 2 1cos2 2 sin2 2 1 3 218. 变式 2、已知 f()2sin（）cos（）cos（） 1sin2cos 3 2 sin2 2 (sin 0 且 12sin 0)，则 f 23 6 _. 【答案】 3 【解析】f()（2sin ）（cos ）cos 1sin2sin cos2 2sin cos cos 2sin2sin cos （12sin ） sin （12sin ） 1 tan ， f 23 6 1 tan 23 6 1 tan 4 6 1 tan 6 3. 变式 3、(1)设 f(
8、) 2sincoscos 1sin2cos 3 2 sin2 2 (12sin 0)，则 f 23 6 _. (2)已知 cos 6 a，则 cos 5 6 sin 2 3 的值是_ 第 6 页 / 共 12 页 【答案】 (1) 3 (2)0 【解析】(1)因为 f()2sin cos cos 1sin2sin cos2 2sin cos cos 2sin2sin cos 12sin sin 12sin 1 tan ，所以 f 23 6 1 tan 23 6 1 tan 4 6 1 tan 6 3. (2)因为 cos 5 6 cos 6 cos 6 a，sin 2 3 sin 2 6 co
9、s 6 a， 所以 cos 5 6 sin 2 3 0. 方法总结：1、熟知将角合理转化的流程 也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了” 2明确三角函数式化简的原则和方向 (1)切化弦，统一名 (2)用诱导公式，统一角 (3)用因式分解将式子变形，化为最简 考点二 同角函数关系式的运用 例 2 (1)若 是三角形的内角，且 tan1 3，则 sincos的值为_ _ (2)已知 sincos1 8，且 5 4 3 2 ，则 cossin的值为_ _ 【答案】 （1） 10 5 .（2） 3 2 . 【解析】 (1)由 tan1 3，得 sin 1 3cos，将其代入 sin 2cos21，得
10、10 9 cos21，cos2 第 7 页 / 共 12 页 9 10，易知 cos0，cos 3 10 10 ，sin 10 10 ，故 sincos 10 5 . (2)5 4 3 2 ，cos0，sin0 且 cossin，cossin0.又(cossin)21 2sincos121 8 3 4，cossin 3 2 . 变式 1、若 3sincos0，则 1 cos22sincos _ 【答案】10 3 . 【解析】 (1)3sincos0cos0tan1 3， 1 cos22sincos cos2sin2 cos22sincos 1tan2 12tan 1 1 3 2 12 3 10
11、 3 . 变式 2（徐州开学初模拟）已知 3 2 sincos 5 xx，则cos 2 = 2 x （ ） A 7 25 B 7 25 C 4 5 D 4 5 【答案】B 【解析】对等式 3 2 sincos 5 xx两边平方，得 2 3 218 1 2sin cos 525 xx ， 即 18 1 sin2 25 x， 7 sin2 25 x ，因此， 7 cos 2sin2 225 xx ，故选 B。 变式 3、(1)若 tan()1 2，则 sin21 cos2sin2( ) A.1 2 B.2 C.1 2 D.2 (2)已知 tan 2，则 sin2sin cos 2cos2 等于(
12、) 第 8 页 / 共 12 页 A.4 3 B.5 4 C.3 4 D.4 5 【答案】 (1)D (2)D 【解析】(1)tan()tan()tan 1 2， sin21 cos2sin2 2sin2cos2 cos2sin2 2tan 21 1tan2 2 1 2 2 1 1 1 2 22. (2)sin2sin cos 2cos2sin 2sin cos 2cos2 sin2cos2 tan 2tan 2 tan21 ， 又 tan 2， 故原式422 41 4 5. 方法总结：本题考查同角三角函数的关系式利用 sin2cos21 可以实现角 的正弦、余弦的互化， 利用sin cost
13、an可以实现角 的弦切互化，如果没有给出角的范围，则要分类讨论应用公式时注意方程 思想的应用：对于 sincos，sincos，sincos这三个式子，利用(sincos)21 2sincos ，可以知一求二所求式是关于 sin，cos的齐次式时，分子分母同除以 cos，可化成 tan的函数式 求值本题考查运算求解能力，考查函数与方程思想 考点三、同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用 例 3、已知 tan20192 ，则 2 2sin sin 64 （ ） A2 B 2 31 5 C 2 33 5 D 3 5 【答案】B 【解析】tan20192，tan2， 22 2 2sin sin 3s
14、incossincos3sin cos 31 sincos 64 第 9 页 / 共 12 页 222 222 3sin cos 3 1 sincos3tan 13 1 tan4 3 1 23 1 2 31 sin cos tan 14 15 故选 B。 变式 1、(1)(2020 邯郸联考)已知 3sin 33 14 5cos 5 14 ，则 tan 5 14 ( ) A.5 3 B.3 5 C.3 5 D.5 3 (2)已知 为锐角，且 2tan()3cos 2 50，tan()6sin()10，则 sin ( ) A.3 5 5 B.3 7 7 C.3 10 10 D.1 3 【答案】(
15、1)A (2)C 【解析】 (1)由 3sin 33 14 5cos 5 14 ， 得 sin 5 14 5 3cos 5 14 ， 所以 tan 5 14 sin 5 14 cos 5 14 5 3cos 5 14 cos 5 14 5 3. (2)由已知得 3sin 2tan 50， tan 6sin 10. 消去 sin ，得 tan 3， sin 3cos ，代入 sin2cos21， 化简得 sin2 9 10，则 sin 3 10 10 ( 为锐角). 变式 2、是否存在角 和 ，当 2 ， 2 ，(0，)时，等式 sin( )3 2cos 2 ， 3cos() 2cos() 同时
16、成 立？若存在，则求出 和 的值；若不存在，请说明理由 【解】 存在 4 ， 6 使等式同时成立理由如下：由 sin( )3 2cos 2 ， 3cos() 2cos() ， 第 10 页 / 共 12 页 得， sin 2sin， 3cos 2cos，两式平方相加得，sin 23cos22，得到 cos21 2，即 cos 2 2 . 2， 2 ， 4 或 4 .将 4 代入 3cos 2cos， 得cos 3 2 .由于(0，)， 6 .将 4 代入 sin 2sin，得 sin1 2.由于 (0，)，这样的角 不存在 综上可知，存在 4 ， 6 使等式同时成立 方法总结：1.利用同角三角
17、函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活 使用公式进行变形. 2.注意角的范围对三角函数值符号的影响. 五、优化提升与真题演练 1、(2019 高考全国卷)已知 0， 2 ，2sin 2cos 21，则 sin ( ) A.1 5 B. 5 5 C. 3 3 D.2 5 5 【答案】B 【解析】由 2sin 2cos 21，得 4sin cos 12 sin21，即 2sin cos 1sin2.因为 0， 2 ， 所以 cos 1sin2 ，所以 2sin 1sin2 1sin2 ，解得 sin 5 5 ，故选 B。 2、 （2018 年高考全国理数）已知sin
18、cos1，cossin0 ，则sin( )_ 【答案】 1 2 【解析】因为sincos1，cossin0，所以 22 1 sincos1, 所以 11 sin,cos 22 ， 因此 22 111111 sinsin coscos sincos1 sin1. 224442 第 11 页 / 共 12 页 3、在ABC 中，若 sin(2A) 2sin(B)， 3cosA 2cos(B)，求ABC 的三个内角 【解】 由已知得 sinA 2sinB， 3cosA 2cosB， 22得 2cos2A1，即 cosA 2 2 . (1)当 cosA 2 2 时，cosB 3 2 ， 又 A、B 是
19、三角形的内角，A 4 ，B 6 ， C(AB) 7 12. (2)当 cosA 2 2 时，cosB 3 2 . 又 A、B 是三角形的内角， A3 4，B 5 6，不合题意 综上知，A 4 ，B 6 ，C 7 12. .4、已知关于 x 的方程 2x2( 31)xm0 的两根分别是 sin和 cos，(0，2)，求： (1) sin2 sincos cos 1tan的值； (2)m 的值； (3)方程的两根及此时的值 【解】 (1)原式 sin2 sincos cos 1sin cos sin2 sincos cos2 cossin sin2cos2 sincos sincos. 由条件知 sincos 31 2 ，故 sin2 sincos cos 1tan 31 2 . 第 12 页 / 共 12 页 (2)由已知，得 sincos 31 2 ，sincosm 2， 又 12sincos(sincos)2，可得 m 3 2 . (3)由 sincos 31 2 ， sincos 3 4 ， 得 sin 3 2 ， cos1 2 或 sin 1 2， cos 3 2 . 又 (0，2)，故 3 或 6 .
