1、 1 第第 2222 讲讲 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系 1点和圆的位置关系(设 d 为点 P 到圆心的距离，r 为圆的半径)： (1)点 P 在圆上dr； (2)点 P 在圆内dr 2直线和圆的位置关系 (1)设 r 是O 的半径，d 是圆心 O 到直线 l 的距离 直线和圆的 位置关系 图形 公共 点个 数 圆心到直线的距离 d 与 半径 r 的关系 公共 点名 称 直线 名称 相交 2 dr 交点 割线 相切 1 dr 切点 切线 相离 0 dr 无 无 (2)切线的性质： 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 推论 1：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 推论 2：
2、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 (3)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 (4)切线长：经过圆外一点作圆的一条切线；这一点与切点之间的线段长度叫做点到圆的切线长 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线 2 的夹角 3三角形的外接圆和内切圆 名称 图形 内、外心 性质 三角形的外接圆 三边垂直平分线的交 点称为三角形的外心 三角形的外心到三角 形三个顶点的距离相 等 三角形的内切圆 三条角平分线的交点 称为三角形的内心 三角形的内心到三角 形三条边的距离相等 考点 1：圆的切线的判定与性质 【例题 1】如图，
3、AB 是O 的直径，且长为 10，点 P 是 AB 下方的半圆上不与点 A，B 重合的一个动点，点 C 为 AP 的中点，延长 CO 交O 于点 D，连接 AD，过点 D 作O 的切线交 PB 的延长线于点 E，连 CE. (1)若ADC30，求BD 的长； (2)求证：DACECP； (3)在点 P 运动过程中，若 tanDCE1 2，求 AD 的长 归纳：1.切线的判定：在判定直线与圆相切时，若直线与圆的公共点已知，证明方法是“连半径，证垂直” ； 若直线与圆的公共点未知，证明方法是“作垂线，证半径” 这两种情况可概括为一句话： “有交点，连半 径，无交点，作垂线” 3 2求线段长度时通常
4、在构造的直角三角形中(注意直径所对的圆周角也可得直角三角形)利用三角函数或勾 股定理求解，有时也需根据圆中相等的角得到相似三角形，根据相似三角形对应边成比例建立等式进行求 解 考点 2：圆的切线综合应用 【例题 2】 （甘肃兰州，27，10 分）如图，三角形 ABC 是O 的内接三角形，AB 是O 的直径，ODAB 于点 O，分别交 AC、CF 于点 E、D，且 DE=DC （1）求证：CF 是O 的切线； （2）若O 的半径为 5，BC=10，求 DE 的长 归纳：当C 与 AB 相切时，只有一个交点，同时要注意 AB 是线段，当圆的半径 R 在一定范围内时，斜边 AB 与C 相交且只有一个
5、公共点 考点 3：圆与其它知识的综合应用 【例题 3】 【例 1】 如图，点 C 是以 AB 为直径的圆 O 上一点，直线 AC 与过 B 点的切线相交于 D，点 E 是 BD 的中点，直线 CE 交直线 AB 于点 F. (1)求证：CF 是O 的切线； (2)若 ED3，cosF4 5，求O 的半径 4 一、选择题： 1. 矩形 ABCD 中，AB8，BC3 5，点 P 在边 AB 上，且 BP3AP，如果圆 P 是以点 P 为圆心，PD 为半径的 圆，那么下列判断正确的是( ) A点 B，C 均在圆 P 外 B点 B 在圆 P 外、点 C 在圆 P 内 C点 B 在圆 P 内、点 C 在
6、圆 P 外 D点 B，C 均在圆 P 内 2. 在ABC 中，C90，AC3 cm，BC4 cm，若A，B 的半径分别为 1 cm,4 cm，则A，B 的 位置关系是( ) A外切 B内切 C相交 D外离 3. （20182018重庆市重庆市 B B 卷）卷） （4.00 分）如图，ABC 中，A=30，点 O 是边 AB 上一点，以点 O 为圆心，以 OB 为半径作圆，O 恰好与 AC 相切于点 D，连接 BD若 BD 平分ABC，AD=2，则线段 CD 的长是（ ） A2 B C D 4. （2019黑龙江哈尔滨3 分）如图，PA.PB 分别与O 相切于 A.B 两点，点 C 为O 上一点
7、，连接 AC.BC， 若P50，则ACB 的度数为（ ） 5 A60 B75 C70 D65 5. (2019 湖北仙桃)（3 分）如图，AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，弦 ADOC，直线 CD 交 BA 的延长线 于点 E，连接 BD下列结论：CD 是O 的切线；CODB；EDAEBD；EDBCBOBE其中正 确结论的个数有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 二、填空题： 6. （2019江苏苏州3 分）如图，AB为O的切线，切点为A，连接AOBO、，BO与O交于点C，延 长BO与O交于点D，连接AD，若36ABO o，则 ADC的度数为 . C D O A B 7. （
8、2018山东泰安3 分）如图，M 的半径为 2，圆心 M 的坐标为（3，4） ，点 P 是M 上的任意一点， PAPB，且 PA、PB 与 x 轴分别交于 A、B 两点，若点 A、点 B 关于原点 O 对称，则 AB 的最小值为 . 8. （2018山东威海3 分）如图，在扇形 CAB 中，CDAB，垂足为 D，E 是ACD 的内切圆，连接 AE， BE，则AEB 的度数为 6 9. （2018 年江苏省泰州市3 分）如图，ABC 中，ACB=90，sinA=，AC=12，将ABC 绕点 C 顺时 针旋转 90得到ABC，P 为线段 AB上的动点，以点 P 为圆心，PA长为半径作P，当P 与A
9、BC 的边相切时，P 的半径为 三、解答题： 10. 在 RtABC 中，C90，AC3，BC4，若以 C 为圆心，R 为半径的圆与斜边 AB 只有一个公共点， 求 R 的值 11. 如图，AB 是O 的直径，BAC60，P 是 OB 上一点，过点 P 作 AB 的垂线与 AC 的延长线交于点 Q， 过点 C 的切线 CD 交 PQ 于点 D，连接 OC. 7 (1)求证：CDQ 是等腰三角形； (2)如果CDQCOB，求 BPPO 的值 12. (2018扬州)如图，在ABC 中，ABAC，AOBC 于点 O，OEAB 于点 E，以点 O 为圆心，OE 为半径 作半圆，交 AO 于点 F.
10、(1)求证：AC 是O 的切线； (2)若点 F 是 OA 的中点，OE3，求图中阴影部分的面积； (3)在(2)的条件下，点 P 是 BC 边上的动点，当 PEPF 取最小值时，直接写出 BP 的长 13. (2018聊城)如图，在 RtABC 中，C90，BE 平分ABC 交 AC 于点 E，作 EDEB 交 AB 于点 D， O 是BED 的外接圆 (1)求证：AC 是O 的切线； 8 (2)已知O 的半径为 2.5，BE4，求 BC，AD 的长 14. （2019四川省凉山州8 分）如图，点 D 是以 AB 为直径的O 上一点，过点 B 作O 的切线，交 AD 的 延长线于点 C，E 是 BC 的中点，连接 DE 并延长与 AB 的延长线交于点 F （1）求证：DF 是O 的切线； （2）若 OBBF，EF4，求 AD 的长 15. （2019 湖北省鄂州市） （10 分）如图，PA 是O 的切线，切点为 A，AC 是O 的直径，连接 OP 交O 于 E过 A 点作 ABPO 于点 D，交O 于 B，连接 BC，PB （1）求证：PB 是O 的切线； （2）求证：E 为PAB 的内心； （3）若 cosPAB 10 10 ，BC1，求 PO 的长 9
