1、2019-2020 学年西安学年西安经济技术开发区经济技术开发区高三上高三上第三次月考数学试卷（文科）第三次月考数学试卷（文科） 一、选择题（本大题包括一、选择题（本大题包括 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1 （5 分）设集合 Mx|x2+3x40，集合 Nx|x0，则 MN（ ） Ax|x4 Bx|x1 Cx|x0 Dx|x4 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，则（ ） A B C D 3 （5 分
2、）已知两条直线 m、n，两个平面 、，给出下面四个命题： ，m，nmn； mn，mn； mn，mn； ，mn，mn 其中正确命题的序号是（ ） A B C D 4 （5 分）两个圆 C1：x2+y2+2x+2y20 与 C2：x2+y24x2y+10 的公切线有且仅有（ ） A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 5 （5 分）设 ， 均为单位向量，则“| 3 |3 + |”是“ ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bcosC3acosBccosB，则 cosB（
3、） A B3 C D 7 （5 分）直线 l 过点（0，2） ，被圆 C：x2+y24x6y+90 截得的弦长为 2，则直线 l 的方程是（ ） Ayx+2 Byx+2 Cy2 Dyx+2 或 y2 8（5 分） 已知数列an是等差数列， 前四项和为 21， 末四项和为 67， 且前 n 项和为 286， 则 n 的值为 （ ） A28 B26 C14 D13 9 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成， 俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（ ） A B C D 10（5分） 已知函数对任意x都有， 则 的最小
4、正值为 （ ） A1 B2 C D 11 （5 分）已知 A，B 是椭圆 E：+1（ab0）的左、右顶点，M 是 E 上不同于 A，B 的任意一 点，若直线 AM，BM 的斜率之积为，则 E 的离心率为（ ） A B C D 12 （5 分）若直角坐标平面内的两点 P、Q 满足条件： P、Q 都在函数 yf（x）的图象上； P、Q 关于原点对称，则称点对P，Q是函数 yf（x）的一对“友好点对” （点对P，Q与Q，P看 作同一对“友好点对” ） ， 已知函数 f（x），则此函数的“友好点对”有（ ） A0 对 B1 对 C2 对 D3 对 二、填空题（本大题包括二、填空题（本大题包括 4 小题
5、，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，请将答案填在答题卡的相应位置上分，请将答案填在答题卡的相应位置上.） 13 （5 分）已知向量，则 14 （5 分） 已知 O 是坐标原点， 点 A （1， 1） ， 若点 M （x， y） 为平面区域上的一个动点， 则 的最大值是 15 （5 分）函数 f（x）x3+ax2 在区间（1，+）内是增函数，则实数 a 的取值范围是 16 （5 分）从点（2，1）向圆 x2+y22mx2y+m20 作切线，当切线长最短时 m 的值为 三、解答题（共三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算
6、步骤.第第 17-21 题为必考题，每个试题考生都题为必考题，每个试题考生都 必须作答必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）已知公差不为零的等差数列an满足：a3+a820，且 a5是 a2与 a14的等比中项 （1）求数列an的通项公式； （2）设数列bn满足，求数列bn的前 n 项和 Sn 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N 分别 为 PB、AB、BC、PD、PC 的中点 （）求证：CE平面 PAD
7、 （）求证：平面 EFG平面 EMN 19 （12 分）已知函数， （1）求 f（x）的单调递增区间； （2）设ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若且 a2 时，求ABC 周长的最 大值 20 （12 分）设 P 为椭圆 +1（ab0）上任一点，F1、F2为椭圆的焦点，|PF1|+|PF2|4，离心 率为 （1）求椭圆的方程； （2）若直线 l：ykx+m（0）与椭圆交于 A、B 两点，若线段 AB 的中点 C 的直线 yx 上，O 为坐 标原点求OAB 的面积 S 的最大值 21 （12 分）已知函数 f（x）ax2lnx+（a2）x （）求 f（x）的单调区间： （
8、）若 f（x）0，求 a 的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分如果多做，那么按所做的第一题计分.选选 修修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系中，直线 l 的参数方程为（t 为参数，0） ，以坐标原点为 极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 （1）当 a时，写出直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程； （2）已知点 P（1，1） ，设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，试
9、确定|PA|PB|的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x+2|2x2|，xR （1）求不等式 f（x）3 的解集； （2）若方程有三个实数根，求实数 a 的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题包括一、选择题（本大题包括 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1 （5 分）设集合 Mx|x2+3x40，集合 Nx|x0，则 MN（ ） Ax
10、|x4 Bx|x1 Cx|x0 Dx|x4 【分析】分别求出集合 M，集合 N，由此能求出 MN 【解答】解：集合 Mx|x2+3x40 x|4x1， 集合 Nx|x0， MNx|x4 故选：A 【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，则（ ） A B C D 【分析】利用复数的运算法则、周期性即可得出 【解答】解：i41，i2015（i4）503i3i ， 故选：C 【点评】本题考查了复数的运算法则、周期性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3 （5 分）已知两条直线 m、n，两个平面 、，给出下面四个命题： ，
11、m，nmn； mn，mn； mn，mn； ，mn，mn 其中正确命题的序号是（ ） A B C D 【分析】在中，m 与 n 平行或者异面；在中，n 或 n；在中，由线面垂直的判定定理得 n ；在中，由线面垂直的判断定理得 n 【解答】解：由两条直线 m、n，两个平面 、，知： ，m，nm 与 n 平行或者异面，故错误； mn，mn 或 n，故错误； mn，m由线面垂直的判定定理可得 n，故正确； ，mn，m由线面垂直的判断定理得 n，故正确 故选：B 【点评】本题考查的是直线与平面的位置关系，考查的学生的空间想象能力以及逻辑推理能力，属于基 础题 4 （5 分）两个圆 C1：x2+y2+2x
12、+2y20 与 C2：x2+y24x2y+10 的公切线有且仅有（ ） A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数 【解答】解：两圆的圆心分别是（1，1） ， （2，1） ，半径分别是 2，2 两圆圆心距离：，说明两圆相交， 因而公切线只有两条 故选：B 【点评】本题考查圆的切线方程，两圆的位置关系，是基础题 5 （5 分）设 ， 均为单位向量，则“| 3 |3 + |”是“ ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的对应进
13、行判断即可 【解答】解：“| 3 |3 + |” 平方得| |2+9| |26 9|2+| |2+6 ， 即 1+96 9+1+6 ， 即 12 0， 则 0，即 ， 反之也成立， 则“| 3 |3 + |”是“ ”的充要条件， 故选：C 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断， 结合向量数量积的公式进行转化是解决本题的关键 6 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bcosC3acosBccosB，则 cosB（ ） A B3 C D 【分析】根据正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求出 cosB 的值 【解答】解：由正弦定理得 a2RsinA，
14、b2RsinB，c2RsinC， 则 2RsinBcosC6RsinAcosB2RsinCcosB， 故 sinBcosC3sinAcosBsinCcosB， 可得 sinBcosC+sinCcosB3sinAcosB， 即 sin（B+C）3sinAcosB， 可得 sinA3sinAcosB又 sinA0， 因此 cosB 故选：C 【点评】本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题 7 （5 分）直线 l 过点（0，2） ，被圆 C：x2+y24x6y+90 截得的弦长为 2，则直线 l 的方程是（ ） Ayx+2 Byx+2 Cy2 Dyx+2 或 y2 【分
15、析】求出圆的圆心与半径，利用弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出所求直线的斜率，然后 求出直线方程 【解答】解：圆 C：x2+y24x6y+90 的圆心坐标（2，3） ，半径为 2， 直线 l 过点（0，2） ，被圆 C：x2+y24x6y+90 截得的弦长为 2， 圆心到所求直线的距离为：1， 设所求直线为：ykx+2即 kxy+20， 1， 解得 k0 或， 所求直线方程为 yx+2 或 y2 故选：D 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，弦心距与半径以及半弦长的关系，考查计算能力 8（5 分） 已知数列an是等差数列， 前四项和为 21， 末四项和为 67， 且前 n 项和为 286，
16、 则 n 的值为 （ ） A28 B26 C14 D13 【分析】由等差数列的定义和性质可得首项与末项之和等于 22，再由前 n 项和为 286，求得 n 的值 【解答】解：数列an是等差数列，前四项和为 21，末四项和为 67，且前 n 项和为 286， 由等差数列的定义和性质可得首项与末项之和等于22， 再由前 n 项和为 28611n，n26， 故选：B 【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，前 n 项和公式的应用，考查学生分析解决问题的能力， 属于基础题 9 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成， 俯视图由圆与内接三角形构成
17、，根据图中的数据可得此几何体的体积为（ ） A B C D 【分析】先由三视图还原成原来的几何体，再根据三视图中的长度关系，找到几何体中的长度关系，进 而可以求几何体的体积 【解答】解：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球， 所以根据三视图中的数据可得： V ， 故选：C 【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与 实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题 求的是组合体的体积，一般组合体的体积要分部分来求三视图的投影规则是： “主视、俯视 长对正； 主视、左视高平齐，左视、俯视
18、宽相等” 三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以 重视 10（5分） 已知函数对任意x都有， 则 的最小正值为 （ ） A1 B2 C D 【分析】由题意可得函数的对称中心的横坐标 x，根据 k+， （kz）即可求 得 的最小正值 【解答】解：函数对任意 x 都有，故函数的对称中心的 横坐标 x， 故有 k+， （kz）k+1 （kz） 故 的最小正值为 1， 故选：A 【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，判断函数的对称中心的横坐标，是解题的关键，属于 基础题 11 （5 分）已知 A，B 是椭圆 E：+1（ab0）的左、右顶点，M 是 E 上不同于 A，B 的任意一 点
19、，若直线 AM，BM 的斜率之积为，则 E 的离心率为（ ） A B C D 【分析】设出 M 坐标，由直线 AM，BM 的斜率之积为得一关系式，再由点 M 在椭圆上变形可得另 一关系式，联立后结合隐含条件求得 E 的离心率 【解答】解：由题意方程可知，A（a，0） ，B（a，0） ， 设 M（x0，y0） ， 则，整理得：， 又，得，即， 联立，得，即，解得 e 故选：D 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了数学转化思想方法，是中档题 12 （5 分）若直角坐标平面内的两点 P、Q 满足条件： P、Q 都在函数 yf（x）的图象上； P、Q 关于原点对称，则称点对P，Q是函数 yf（x）的
20、一对“友好点对” （点对P，Q与Q，P看 作同一对“友好点对” ） ， 已知函数 f（x），则此函数的“友好点对”有（ ） A0 对 B1 对 C2 对 D3 对 【分析】根据题意： “友好点对” ，可知，欲求 f（x）的“友好点对” ，只须作出函数 yx24x（x0） 的图象关于原点对称的图象，看它与函数 f（x）log2x（x0）交点个数即可 【解答】解：根据题意：当 x0 时，x0，则 f（x）（x）24（x）x2+4x， 可知，若函数为奇函数，可有 f（x）x24x， 则函数 yx24x（x0）的图象关于原点对称的函数是 yx24x 由题意知，作出函数 yx24x（x0）的图象， 看它
21、与函数 f（x）log2x（x0）交点个数即可得到友好点对的个数 如图， 观察图象可得：它们的交点个数是：2 即 f（x）的“友好点对”有：2 个 故选：C 【点评】 本题主要考查了奇偶函数图象的对称性， 以及数形结合的思想， 解答的关键在于对 “友好点对” 的正确理解，合理地利用图象法解决 二、填空题（本大题包括二、填空题（本大题包括 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，请将答案填在答题卡的相应位置上分，请将答案填在答题卡的相应位置上.） 13 （5 分）已知向量，则 【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积运算，计算模长即可 【解答】解：向量， 则 +3 （2，） ，
22、所以4+37， 所以 故答案为： 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算问题，是基础题 14 （5 分） 已知 O 是坐标原点， 点 A （1， 1） ， 若点 M （x， y） 为平面区域上的一个动点， 则 的最大值是 2 【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合向量数量积的公式，将结论进行转化，利用数形结合进行 求解即可 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 则 x+y， 设 zx+y，则 yx+z， 平移直线 yx+z，当直线 yx+z 经过点 A 时，直线 yx+z 的截距最大，此时 z 最大， 由得，得 A（0，2） ， 此时 z0+22， 故 的最大值是 2， 故
23、答案为：2 【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合向量数量积的公式结合数形结合是解决本题的关键 15 （5 分）函数 f（x）x3+ax2 在区间（1，+）内是增函数，则实数 a 的取值范围是 3，+） 【分析】求出 f（x） ，因为要求函数的增区间，所以令 f（x）大于等于 0，然后讨论 a 的正负分别求 出 x 的范围，根据函数在区间（1，+）上是增函数列出关于 a 的不等式，求出 a 的范围即可 【解答】解：f（x）3x2+a，令 f（x）3x2+a0 即 x2， 当 a0，xR；当 a0 时，解得 x，或 x； 因为函数在区间（1，+）内是增函数，所以1， 解得 a3，所以实数 a
24、的取值范围是3，+） 故答案为：3，+） 【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于 0 时原函数单调递 增，当导函数小于 0 时原函数单调递减会利用不等式解集的端点大小列出不等式求字母的取值范围， 是一道综合题 16 （5 分）从点（2，1）向圆 x2+y22mx2y+m20 作切线，当切线长最短时 m 的值为 2 【分析】直接利用圆的方程和切线长的关系式的应用求出结果 【解答】解：圆 x2+y22mx2y+m20 转换为（xm）2+（y1）21， 故点（2，1）到圆心（m，1）的距离， 所以切线长为 d2（m2）2+41（m2）2+3，当 m2 时切线长的最
25、小值为 故答案为：2 【点评】本题考查的知识要点：圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型 三、解答题（共三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，每个试题考生都题为必考题，每个试题考生都 必须作答必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）已知公差不为零的等差数列an满足：a3+a820，且 a5是 a2与 a14的等比中项 （1）求数列an的通项公式
26、； （2）设数列bn满足，求数列bn的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）设公差 d 不为零的等差数列an，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方 程可得首项和公差，进而得到所求通项公式； （2）求得4n+n，运用数列的分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，计算可 得所求和 【解答】解： （1）公差 d 不为零的等差数列an满足：a3+a820，且 a5是 a2与 a14的等比中项， 可得 2a1+9d20，a52a2a14，即（a1+4d）2（a1+d） （a1+13d） ， 解得 a11，d2， 则 an1+2（n1）2n1； （2）4n+n， 数列bn的前 n 项和 Sn
27、（4+16+4n）+（1+2+n） +n（n+1）+ 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，化简运算 能力，属于基础题 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N 分别 为 PB、AB、BC、PD、PC 的中点 （）求证：CE平面 PAD （）求证：平面 EFG平面 EMN 【分析】 （）取 PA 的中点 H，则由条件可得 HE 和 CD 平行且相等，故四边形 CDHE 为平行四边形， 故 CEDH再由直线和平面平行的判定定理证明 CE平面 PAD （）先证明 MN平面 PAC，再证明
28、平面 EFG平面 PAC，可得 MN平面 EFG，而 MN 在平面 EMN 内， 利用平面和平面垂直的判定定理证明平面 EFG平面 EMN 【解答】解： （）证明：四棱锥 PABCD 中，ABCD，AB2CD， E，F，G，M，N 分别为 PB、AB、BC、PD、PC 的中点， 取 PA 的中点 H， 则由 HEAB，HEAB，而且 CDAB，CDAB， 可得 HE 和 CD 平行且相等， 故四边形 CDHE 为平行四边形，故 CEDH 由于 DH 在平面 PAD 内，而 CE 不在平面 PAD 内， 故有 CE平面 PAD （）证明：由于 ABAC，ABPA，而 PAACA， 可得 AB平面
29、 PAC 再由 ABCD 可得，CD平面 PAC 由于 MN 是三角形 PCD 的中位线，故有 MNCD，故 MN平面 PAC 由于 EF 为三角形 PAB 的中位线，可得 EFPA，而 PA 在平面 PAC 内， 而 EF 不在平面 PAC 内，故有 EF平面 PAC 同理可得，FG平面 PAC 而 EF 和 FG 是平面 EFG 内的两条相交直线，故有平面 EFG平面 PAC MN平面 EFG，而 MN 在平面 EMN 内，故有平面 EFG平面 EMN 【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，平面和平面垂直的判定定理的应用，属于中 档题 19 （12 分）已知函数， （1）求
30、f（x）的单调递增区间； （2）设ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若且 a2 时，求ABC 周长的最 大值 【分析】 （1）f（x）sin（2x），再利用正弦定理的性质求解即可； （2） 由可得 A， 再利用余弦定理 a2b2+c22bccosA， 结合基本不等式可得 b+c2a6， 则可得结论 【解答】解：因为函数+sin2xsin（2x）， （1）令 2k2x2k+kxk+， （kZ） ； f（x）的单调递增区间：k，k+， （kZ） ； （2）sin（2A）sin（2A）1； 0A2AA； 由余弦定理可知 a2b2+c22bccosAb2+c2bc（b+c） 2
31、3bc（b+c）23 ， 当且仅当 bc 时等号成立 于是 b+c2a6故ABC 周长的最大值为 9 【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质、正弦定理与余弦定理、两角和与差公式、二倍角公式， 考查了转化思想与逻辑推理能力 20 （12 分）设 P 为椭圆 +1（ab0）上任一点，F1、F2为椭圆的焦点，|PF1|+|PF2|4，离心 率为 （1）求椭圆的方程； （2）若直线 l：ykx+m（0）与椭圆交于 A、B 两点，若线段 AB 的中点 C 的直线 yx 上，O 为坐 标原点求OAB 的面积 S 的最大值 【分析】 （1）根据题意，计算出 a、b 的值即可； （2）联立直线 l 与椭圆方
32、程消去 y 得到一个关于 x 的一元二次方程，由韦达定理可得 C（xc、yc） ，再将 其代入所在直线 yx 上， 可解得 k1， 故可化简关于 x 的一元二次方程， 从而得到关于 S 的表达式， 再结合不等式即可得到最大值 【解答】解： （1）根据题意，可得 2aPF1|+|PF2|4，所以 a2， 又 cae，所以 b， 所以椭圆的方程为：； （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（xc，yc） ， 将直线 l：ykx+m 代入方程， 得（1+2k2）x2+4kmx+2m240 （*） 由韦达定理可知 xc， 从而 yckxc+m， 又线段 AB 的中点 C 的直线 yx 上
33、， 所以，解得 k1， 则（*）变为 3x24mx+2m240， 所以|AB|， 则OAB 底边 AB 的高 h，所以 S， （6m2）m2， S，即 S 得最大值为 【点评】本题考查椭圆及其与直线的关系，利用韦达定理是解题的关键，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）ax2lnx+（a2）x （）求 f（x）的单调区间： （）若 f（x）0，求 a 的取值范围 【分析】 （）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可； （）求出函数的最小值，由题意，只需 f（）0，令 g（x）lnx+1，求出函数的导数，根据函 数的单调性求出 a 的范围即可 【解答】解： （）f
34、（x）的定义域是（0，+） ， f（x）， a0 时，f（x）0，f（x）递减， a0 时，令 f（x）0，解得：x， 故 f（x）在（0，）递减，在（，+）递增， 综上，a0 时，f（x）在（0，+）递减， a0 时，f（x）在（0，）递减，在（，+）递增； （）由（）知，当 a0 时，f（x）在（0，+）递减， 而 f（1）2a20，f（x）0 不恒成立， a0 时，f（x）在（0，）递减，在（，+）递增； 故 f（x）minf（）lna+1， 由题意，只需 f（）0， 令 g（x）lnx+1，则 g（x）+0， 故 g（x）在（0，+）递增， 而 g（1）0，故 x1 时，g（x）0，
35、当 x1 时，g（x）0， 故 a1 时，f（x）minf（）0， 故若 f（x）0，则 a 的范围是1，+） 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道 常规题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分如果多做，那么按所做的第一题计分.选选 修修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系中，直线 l 的参数方程为（t 为参数，0） ，以坐标原点为 极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲
36、线 C 的极坐标方程为 2 （1）当 a时，写出直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程； （2）已知点 P（1，1） ，设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，试确定|PA|PB|的取值范围 【分析】 （1）当 时，直线 l 的参数方程为，消去参数 t，能求出直线 l 的普通方程； 曲线 C 的极坐标方程转化为 2+（sin）24，由此能求出曲线 C 的直角坐标方程 （2）由直线 l 的参数方程为（t 为参数，0） ，知直线 l 是过眯 P（1，1） ，倾斜 角为 的直线， 曲线 C 为椭圆1， 点 P （1， 1） 在椭圆 C 内， 将代入 1 中，得（1+sin2）t2+2（2
37、sincos）t10，由此能求出|PA|PB|的取值范围 【解答】解： （1）当 时，直线 l 的参数方程为， ， 消去参数 t，得 x+1+0， 直线 l 的普通方程为 x+1+0， 曲线 C 的极坐标方程为 22+（sin）24， 曲线 C 的直角坐标方程为 x2+2y24，即1 （2）点 P（1，1）在直线 l 上， 由直线 l 的参数方程为（t 为参数，0） ，知： 直线 l 是过点 P（1，1） ，倾斜角为 的直线， 又由（1）知曲线 C 为椭圆1， 点 P（1，1）在椭圆 C 内， 将代入1 中， 整理，得（1+sin2）t2+2（2sincos）t10， 设 A，B 两点对应的参
38、数分别为 t1，t2， 则 t1+t2，t1t2， |PA|PB|t1|t2|，1） ， |PA|PB|的取值范围是，1） 【点评】本题考查直线的普通方程和曲线的直角坐标方程的求法，考查两线段的积的范围的求法，考查 参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x+2|2x2|，xR （1）求不等式 f（x）3 的解集； （2）若方程有三个实数根，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）通过讨论 x 的范围，得到关于 x 的不等式组，求出不等式的解集即可； （2）分离 a，得到 ax+|x1|x+1|，令 h（x）x+|x1|x+1|，结合函数的图象求出 a 的范围即可 【解答】解： （1）原不等式等价于或或， 解得：x1 或， 不等式 f（x）3 的解集为 （2）由方程可变形为 ax+|x1|x+1|， 令， 作出图象如下： 于是由题意可得1a1 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及数形结合思想，是一道中档题
