1、重庆市沙坪坝区重庆市沙坪坝区 2020 级高三级高三 6 月份教学质量检测考试月份教学质量检测考试理科理科数学试卷数学试卷 2020.6 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一一、选择题：本题共选择题：本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题只有一个项是符合
2、题 目目要求的要求的 1用列举法表示集合 35 ( , ) 3 xy Ax y xy ，则下列表示正确的是 A2,1xy B2, 1 C2, 1 D1,2 2已知 525 0125 (2)xaa xa xa x5，则 012345 aaaaaa的值为 A1 B32 C243 D81 3设复数： 20202021 iiz ，其中 i 为虚数单位，则z A1i B1i C1i D1i 4已知xy，则下列不等式一定成立的是 A 11 xy B 11 33 xy C33 xy D 22 ln1ln1xy 5已知则 (0,) 2 ，sin22cos22，则tan A2 B1 C2 D4 6据孙子算经中记
3、载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯，侯、公，共五级若给有巨 大贡献的 3 人进行封爵，假设每种封爵的可能性相等，则 3 人中恰好有两人被封同一等级的概率为 A 3 5 B 13 25 C 4 5 D 12 25 7 P 是双曲线 22 2 1 16 xy a 上一点， 双曲线的一条渐近线的方程为20 xy， 1 F， 2 F分别是双曲线的左、 右焦点，若 112 PFFF，则 2 PF A12 B16 C18 D20 8已知一组鞋码与身高的数据（x 表示鞋码，y（cm）表示身高） ，其中 mn=360 x 40 41 42 43 44 y 1712 175 m n 183 若用此数
4、据由最小二乘法计算得到回归直线2.25ya，则实数a A82.5 B83.5 C84.5 D85.5 9在ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c若cos 1 4 abCc，2BA BC ，则 ABC S A15 B4 C4 3 D6 2 102020 年 5 月 5 日，广东虎门大桥发生异常抖动，原因是一定流速的风流经桥面时，产生了卡门涡街现 象卡门涡街是流体力学中重要的现象，在自然界中常可遇到，在工业生产中也有很多成功的应用比 如在工业中广泛使用的卡门涡街流量计，就是利用卡门涡街现象制造的一种流量计在流体中设置旋 涡发生体（也称阻流体） ，从旋涡发生体两侧交替地产生有规则的旋
5、涡，这种旋涡称为卡门涡街设旋 涡的发生频率为 f（单位：赫兹） ，旋涡发生体两侧平均流速为u（单位：米/秒） ，漩涡发生体的迎面宽 度为 d （单位： 米） ， 表体通径为 D （单位： 米） ， 旋涡发生体两侧弓形面积与管道横截面面积之比为 m， 根据卡门涡街原理，满足关系式： r m d su f ，其中： r s称为斯特罗哈尔数对于直径为 d（即漩涡发 生体的迎面宽度）的圆柱 2 2 11() dd m DD ，sin d D ，0, 2 设 d D ，当 0.005时，在近似计算中可规定0已知某圆柱形漩涡发生体的直径为 001 米，表体通径为 10 米，在平均流速为 20 米/秒的风速
6、下，发生的频率为 420 赫兹，则 r s A0.15 B0.32 C0.21 D0.36 11已知函数 2 ( ) xx f xeex ，则不等式23fxf x的解集为 A, 31, B1,2 C0,1 D3,1 12如图，在棱长为 1 的正方体 ACBD-A_1B_1C_1D_4 中，点 M 是线段 BD_1 上的动点，下列四个结论： 存在点 M，使得 1 / /C M平面 1 ABC； 存在点 M，使得 11 DC DM的体积为 1 5 存在点 M，使得平面 1 C DM交正方体 1111 ACBDABC D的截面为等腰梯形； 若 1 3D MMB，过点 M 作正方体 1111 ACBD
7、ABC D的外接球的截面，则截面的面积最小值为 9 4 则上述结论正确的是 A B C D 二二、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分 13已知向量a，b的夹角为60，| | 2ab，则|ab_ 14已知圆锥的母线长为2，且母线与底面所成角为 4 ，则圆锥的体积为_ 15已知 1 F，B 分别是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点和上顶点，点 O 为坐标原点过点 3 (,0) 5 a 垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 在第一象限的交点为 P， 且 1 PBBF， 则椭圆 C 的离心率为_ 16 水车在古代是进行灌溉引水的工具，
8、 是人类的一项古老的发明， 也是人类利用自然和改造自然的象征 如 图是一个半径为 R 的水车，一个水斗从点(2 2, 2 2)M出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋 转一周用时 60 秒，经过 t 秒后，水斗旋转到点,N x y，其纵坐标满足( )sin()yf tRt， 0,0,| 2 t ，则函数 f t的解析式为_，当10,25t时，函数 f t的最 大值是_ 三三、解答题：共解答题：共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分） 已知数列 n a的前 n 项和1 n Sn n，其中 * nN （1）求数列 n a的通项公
9、式； （2）若 * 2232 , kk a aak N为等比数列 n b的前三项，求数列 n b的通项公式 18 （12 分） 如图，直三棱柱 111 ABCABC中，90BAC ，ABAC，D，E 分别为 1 AA， 1 BC的中点 （1）证明：DE 平面 11 BCC B； （2）若直线 1 BC与 1 AA所成的角为45，求二面角BDCE的正弦值 19 （12 分）B 新型冠状病毒肺炎（简称新冠肺炎）是由严重急性呼吸系统综合症冠状病毒 2 感染后引起的一种急性 呼吸道传染病，临床表现为发热、乏力、咳嗽和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命在党中央 的正确指导下，通过全国人民的齐心协力
10、，特别是全体一线医护人员的奋力救治，新冠肺炎疫情得到了控 制我国科研人员也在积极研究新冠肺炎的疫苗，在研究中利用小白鼠进行科学试验，为了研究小白鼠连 续接种疫苗后出现呼吸困难症状（记为 H 症状）的情况，决定对小白鼠进行接种试验，该试验的要求为： 对参加试验的每只小白鼠每天接种一次； 连续接种三天为一个接种周期； 试验共进行 3 个周期 已 知每只小白鼠接种后当天出现 H 症状的概率均为 1 3 ，假设每次接种后当天是否出现 H 症状与上次接种 无关 （1）若某只小白鼠出现 H 症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率； （2）若某只小白鼠在一个接种周期内出现 2 次或
11、 3 次 H 症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试 验设一只小白鼠参加的接种周期为 X，求 X 的分布列及数学期望 20 （12 分） 已知抛物线 2 :2(0)T xpy p的焦点为 F， BC 为抛物线 C 上两个不同的动点， （B， C 异于原点） ， 当 B，C，F 三点共线时，直线 BC 的斜率为 1，2BC （1）求抛物线 T 的标准方程； （2）分别过 B，C 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 M，N，若 MNPBCF SS，求 BC 中点的轨迹方程 21 （12 分） 已知函 2 15 ( )2 ln4 22 xf xxxx （1）求曲线 yf x在 1,1f处的切线方程 y
12、h x，并证明： f xh x； （2）当 5 1 2 a 时，方程 f xa有两个不同的实数根 12 ,x x，证明： 21 23xxa 请考生在第请考生在第 22，23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答，如果多做如果多做，则按所做的第一题记分则按所做的第一题记分作答时用作答时用 2B 铅笔在答铅笔在答 题卡上把所选题目的题号涂黑题卡上把所选题目的题号涂黑 22 （10 分） 选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 3 ,0 2 2sin 6 1, 2 （1）求曲线 C 与极轴所在直线围成图形的面积； （2）设曲线 C 与曲线 1 sin 2 交于 A，B
13、 两点，求AB 23 （10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知0a ，0b （1）若1ab，求 14 ab 的最小值； （2）求证 ab ab ba 参考答案、提示及评分细则参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C A B C D A B A C D B 12解析：对于，连接 1 DA， 11 C A，显然平面 11/ / DC A平面 1 ABC， 令平面 111 DC ABDM，则存在点 M，使得 1 / /C M平面 1 ABC； 对于， 111
14、1 DC DMM C D D VV ， 方法一、极限法： 1 MD时， 11 0 DC DM V ，MB时， 11 max 1 () 6 DC DM V 易判定不存在点 M，使得 11 DC DM的体积为 1 5 ； 方法二、常规推导：连接 1 D A， 1 C B， 则平面 11 MDC与平面 11 DC BA共面， 111111 1212 11 12 3 23226 DC DMD C D MC D M VVS ， 所以不存在点 M，使 11 DC DM的体积为 1 5 ; 对于，因为 11/ / C D平面 11 ABB A， 平面 1 C DM交平面 11 ABB A的交线与 11 C
15、D平行， 显然存在点 M，使截面为等腰梯形； 对于，当且仅当 M 为截面圆得圆心时，截面圆得面积最小， 易求截面的面积最小值小于 9 4 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分16 题第一空题第一空 3 分分，第二空第二空 2 分分 132 3 14 3 15 133 2 e 16( )4sin() 304 f tt 4 16解析： 2 88164RR ， 2 60 30 ， 则( )4sin() 30 f tt 又(0)4sin2 2 4 f ， 所以( )4sin() 304 f tt 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分 17解：
16、 （1）当2n 时， 1 2 nnn aSSn 当1n 时， 11 2aS， 所以数列 n a是以 2 为首项的等差数列，且通项2 n an （2）由题意可得： 2 4a ， 2 24 k ak ， 32 64 k ak 因为 * 2232 , kk a aak N为等比数列， 所以 2 (24)4(64)2kkk或 0（舍） 所以 n b的前 3 项为 4，8，16，即通项为 11 4 22 nn n b 18解： （1）取 BC 中点 F，连接 AF，EF，ABAC，AFBC， 直三棱柱 111 ABCABC， 1 BB 平面 ABC，AF 平面 ABC， 1 BBAF， 1 BBBCB，
17、 1, BB BC 平面 11 BCC B，AF 平面 11 BCC B E，F 分别为 1 BC，BC 中点， 1 1 2 EFBB， 1 / /EFBB， D 为 1 AA中点， 1 1 2 ADBB， 1 / /ADBB ADEF，/ /ADEF， 四边形 ADEF 为平行四边形，/ /AFDE 所以DE 平面 11 BCC B （2）设2ABAC， 11 / /AACC， 11 BCC为异面直线 1 BC， 1 AA所成的角， 11 45BCC ， 111 2 2CCBC， 以 A 为坐标原点，以 AB，AC， 1 AA所在的直线分别为 x，y，z 轴建立如图所示空间直角坐标 系， 则
18、2,0,0B，0,2,0C，1,1,0F，(0,0, 2)D，(1,1, 2)E， ( 2,2,0)BC ，( 2,0, 2)BD ，(1, 1, 2)CE ，(1,1,0)DE 设平面 BCD 的法向量为( , , )mx y z， 220 220 xy xz ， 令1x ，则1y ，2z ， 平面 BCD 的一个法向量(1,1, 2)m ， 同理平面 DCE 的法向量为( 1,1, 2)n 设二面角BDCE的大小为， 21 cos 222 ， 所以 3 sin 2 19解： （1）已知每只小白鼠接种后当天出现 H 症状的概率均为 1 3 ，且每次试验间相互独立， 所以，一只小白鼠第一天接种
19、后当天出现 H 症状的概率为 1 1 3 p 同理： 2 2 12 3 39 p 3 2 2 14 3 3 327 p 一只小白鼠至多参加一个接种周期试验的概率为： 12419 392727 P （2）设事件 A 为“一个周期内出现 2 次或 3 次 H 症状” ， 2233 33 1217 ( )( )( ) 33327 P ACC 随机变量 X 可能的取值为 1，2，3，则 7 (1) 27 P X ， 77140 (2)(1) 27 27729 P X ， 77400 (3)(1)(1) 2727729 P X 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 P 7 27 140 729 400
20、729 随机变量 X 的数学期望为： 728012001669 () 27729729729 E X 20解： （1）设直线 BC 的方程为： 2 p yx， 则 22 2 20 2 2 p yxxpxp pyx 设 1122 ,B x yC xy，则 12 1 |1 1| 2 2 BCxxp 所以抛物线 T 的标准方程为： 2 yx （2）令 1122 ,B x yC xy， 1 (0, ) 4 F， 则 12 ,0 ,0M xN x，则 12 11 24 MNF Sxx 方法一：直线 BC 的方程为： 21 111212 21 yy yyxxyxxxx x xx 令直线 BC 与 y 轴交
21、于点 H，则 12 0,Hx x， 所以 12 1 | | 4 HFx x， 12 1 | 2 BCF SHFxx 所以 12121212 111111 | 242442 xxHFxxx xx x 或 0（舍） 令 BC 中点为 00 ,P x y，则 12 0 22 2 22 1212 0012120 2 2221 22 xx x yyxx yxxxx xy 所以中点轨迹方程 2 1 2 2 yx 方法二：显然直线 BC 的斜率存在，设方程为：ykxm 令直线 BC 与 y 轴交于点 H，则0,Hm， 所以 1 | | 4 HFm， 12 1 | 2 BCF SHFxx 所以 1212 11
22、1111 | 242442 xxHFxxmm或 0（舍） 则 2 2 0 ykxm xkxm yx 所以 12 1 2 x xm ， 下面步骤同方法一：略 21解： （1） 2ln2fxxx，所以 11 f ， 11f ， 即切线方程：yx 下证： 2 15 24 22 ln xxxxx ， 令 2 15 ( )2 ln3 22 xxxxx 因为： 2ln1xxx，显然 x在0,单调递增， 10 所以易得 x在（0，1）递减，1,递增， 所以 min 10,x 所以 f xh x （2） 2 15 ( )2 ln4 22 xf xxxx，则 12 ,x x为方程 f xa的两根， 不妨设 12
23、 xx，显然 2ln2fxxx在0 x 时单调递增 10 f ， 20 f ， 所以存在 0 12x，使 0 0fx 当 0 0,xx，( )0fx，( )f x递减， 0, xx，( )0fx，( )f x递增 由（1）得 f xh x， yx xa ya ， 所以： 1 xa ， 212 xxxa 要证： 21 23xxa，需证： 2 23xaa，即证： 2 3xa 因为： 5 1 2 a ，所以 0 3ax， 即证： 2 3f af x 即： 2 15 (3)2(3)ln(3)4(3) 22 aaaaa 令 2 15 ( )(3)2(3)ln(3)4(3) 22 F aaaaaa 2 1
24、 22(3)ln(3)5 2 aaaa 23|F aan a ，显然 F a在 5 ( 1, ) 2 单调递增， 且112ln20F 因为 F a在 5 ( 1, ) 2 单调递增， 所以 5 ( )( 1)4ln20 2 F aF以不等式成立 22解： （1）由曲线 C 的极坐标方程得：当0 2 时，2 sin()3 6 根据互化公式得：当03x时， 曲线 C 直角坐标方程为33xy 当10 x 时，曲线 C 直角坐标方程为 22 1(01)xyy 所以曲线 C 与极轴所在直线围成图形是半径为 1 的 1 4 圆和直角三角形构成， 3 42 S （2）曲线 1 sin 2 化为直角坐标方程为 1 2 y 1 3 1 2, 22 33 y A xy ， 22 1 3 1 ,2 22 1 y B xy 所以|3AB 23解： （1） 144 ()()1452 49 ba ab abab 当且仅当： 2 1 13 ba a ab ， 2 3 b 时取最小值 9 （2）因为：,0a b ，通分得不等式等价为a ab bb aa b 而()()a ab ba bb aaabbba 2 ()()() ()0ab ababab， 当且仅当“ab”时取等号
