1、2020-2021 学年广州市海珠区中山大学附中九年级（上）期中数学试卷学年广州市海珠区中山大学附中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1一元二次方程 x22x+30 的一次项和常数项分别是（ ） A2 和 3 B2 和 3 C2x 和 3 D2x 和 3 2平面直角坐标系内一点 P（4，3）关于原点对称的点的坐标是（ ） A （3，4） B （4，3） C （4，3） D （4，3） 3二次函数 y（x+2）23 的顶点坐标是（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，3） D （2，3） 4如图，将
2、ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转 45后得到ABC，若A45，B100，则 BCA的度数是（ ） A10 B15 C20 D25 5在半径等于 4 的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ） A4 B3 C2 D 6已知一元二次方程 x22xa0，当 a 取下列值时，使方程无实数解的是（ ） A2 B1 C0 D1 7如图，在O 中，点 C 为弧 AB 的中点若ADC（ 为锐角） ，则APB（ ） A180 B1802 C75+ D3 8抛物线 y（x3）22 经过平移得到抛物线 yx2，平移过程正确的是（ ） A先向下平移 2 个单位，再向左平移 3 个单位 B先向上平移 2 个单位，再向右平移
3、3 个单位 C先向下平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位 D先向上平移 2 个单位，再向左平移 3 个单位 9从前有一个醉汉拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽米，竖着比城门高米，一个聪明 人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，求竹竿的长度若设竹竿 长 x 米，则根据题意，可列方程（ ） A B C D 10 已知 a、 b、 m、 n 为互不相等的实数， 且 （a+m） （a+n） 2， （b+m） （b+n） 2， 则 abmn 的值为 （ ） A4 B1 C2 D1 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3
4、分，共分，共 18 分）分） 11一元二次方程 ax2+2x0 的一个根是 1，则 a 12二次函数 y2x22x 的对称轴是 13在O 中，圆心角AOB80，点 P 是圆上不同于点 A、B 的点，则APB 14 “绿水青山就是金山银山” ，为了山更绿、水更清，某区大力实施生态修复工程，发展林业产业，确保 到 2021 年实现全区森林覆盖率达到 72.6%的目标已知该区 2019 年全区森林覆盖率为 60%，设从 2019 年起该区森林覆盖率年平均增长率为 x，则 x 15已知二次函数 yax2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如表： x 0 1 2 y 4 3 4 若一次函数 ybxa
5、c 的图象不经过第 m 象限，则 m 16 如图， ABC 为等腰直角三角形， B90， AB2， 把ABC 绕点 A 逆时针旋转 60得到AB1C1， 连接 CB1，则点 B1到直线 AC 的距离为 三、解答题（共三、解答题（共 8 题，共题，共 72 分）分） 17 （8 分）解方程： （1）x2x10； （2）3x（1x）22x 18 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k1）x+k20 有两个不相等的实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）若此方程的两实数根 x1，x2满足（x11） （x21）5，求 k 的值 19 （8 分）如图，已知ABC 的三个顶点坐标为 A（2，
6、3） ，B（6，0） ，C（1，0） （1）将ABC 绕坐标原点 O 旋转 180，画出图形，并写出点 A 的对应点 A的坐标； （2）将ABC 绕坐标原点 O 逆时针旋转 90，直接写出点 A 的对应点 A的坐标 （3）请直接写出：以 A、B、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标 20 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC，BAC110，将ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 35后能与 ADE 重合，点 G、F 是 DE 分别与 AB、BC 的交点 （1）求AGE 的度数； （2）求证：四边形 ADFC 是菱形 21 （8 分）如图，ABC 内接于O，B60，CD 是O 的直径，点
7、 P 是 CD 延长线上的一点，且 AP AC （1）求证：PA 是O 的切线； （2）若 PD，求O 的直径 22 （10 分）网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，某市长亲自在某网络平台上进 行直播销售板栗为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出 2000 元现金，作为红包发给购 买者已知该板栗的成本价格为 6 元/kg，每日销售量 y（kg）与销售单价 x（元/kg）满足关系式：y 100 x+5000经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于 30 元/kg当每日销售量不低于 4000kg 时， 每千克成本将降低 1 元设板栗公司销售该板栗的日获利为 W（元）
8、 （1）请求出日获利 W 与销售单价 x 之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ 23 （10 分）如图 1，ACCH 于点 C，点 B 是射线 CH 上一动点，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60得到 ADE（点 D 对应点 C） （1）延长 ED 交 CH 于点 F，求证：FA 平分CFE； （2）如图 2，当CAB60时，点 M 为 AB 的中点，连接 DM，请判断 DM 与 DA、DE 的数量关系， 并证明 24 （12 分）如图，抛物线 yax2+bx 过 A（4，0） ，B（1，3）两点 （1）求该抛物线的解析式； （2）点 P
9、是抛物线上一点，且位于第一象限，当ABP 的面积为 3 时，求出点 P 的坐标； （3）过 B 作 BCOA 于 C，连接 OB，点 G 是抛物线上一点，当BAG+OBCBAO 时，请直接写 出此时点 G 的坐标 2020-2021 学年广东省广州市海珠区中山大学附中九年级（上）期中数学试学年广东省广州市海珠区中山大学附中九年级（上）期中数学试 卷卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1一元二次方程 x22x+30 的一次项和常数项分别是（ ） A2 和 3 B2 和 3 C2x 和 3 D2x
10、 和 3 【分析】根据项的定义得出答案即可 【解答】解：一元二次方程 x22x+30 的一次项是2x，常数项是 3， 故选：C 2平面直角坐标系内一点 P（4，3）关于原点对称的点的坐标是（ ） A （3，4） B （4，3） C （4，3） D （4，3） 【分析】 根据关于原点对称的点的坐标特点： 两个点关于原点对称时， 它们的坐标符号相反， 即点 P （x， y）关于原点 O 的对称点是 P（x，y）可以直接得到答案 【解答】解：点 P（4，3） ， 关于原点对称的点的坐标是（4，3） ， 故选：D 3二次函数 y（x+2）23 的顶点坐标是（ ） A （2，3） B （2，3） C （
11、2，3） D （2，3） 【分析】根据顶点式的意义直接解答即可 【解答】解：二次函数 y（x+2）23 的图象的顶点坐标是（2，3） 故选：B 4如图，将ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转 45后得到ABC，若A45，B100，则 BCA的度数是（ ） A10 B15 C20 D25 【分析】利用三角形内角和定理以及旋转不变性解决问题即可 【解答】解：由题意BB100，A45， ACB180BA1801004535， ACA45， BCAACAACB453510， 故选：A 5在半径等于 4 的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ） A4 B3 C2 D 【分析】根据题意，利用勾股定理，先求出弦长的
12、一半，进而求出弦长 【解答】解：根据题意，画出图形，如右图 由题意知，OA4，ODCD2，OCAB， ADBD， 在 RtAOD 中，AD， AB224 故选：A 6已知一元二次方程 x22xa0，当 a 取下列值时，使方程无实数解的是（ ） A2 B1 C0 D1 【分析】当方程无实数根时，由判别式小于 0 可求得 m 的取值范围 【解答】解：方程无实数解， 4+4a0， a1， 故选：A 7如图，在O 中，点 C 为弧 AB 的中点若ADC（ 为锐角） ，则APB（ ） A180 B1802 C75+ D3 【分析】连接 BD，如图，由于点 C 为弧 AB 的中点，根据圆周角定理得到BDC
13、ADC，然后根 据圆内接四边形的对角互补可用 表示出APB 【解答】解：连接 BD，如图， 点 C 为弧 AB 的中点， ， BDCADC， APB+ADB180， APB1802 故选：B 8抛物线 y（x3）22 经过平移得到抛物线 yx2，平移过程正确的是（ ） A先向下平移 2 个单位，再向左平移 3 个单位 B先向上平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位 C先向下平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位 D先向上平移 2 个单位，再向左平移 3 个单位 【分析】先利用顶点式得到抛物线 y（x3）22 的顶点坐标为（3，2） ，抛物线 yx2的顶点坐标 为（0，0） ，然后利用点平移
14、的规律确定抛物线的平移情况 【解答】解：抛物线 y（x3）22 的顶点坐标为（3，2） ，抛物线 yx2的顶点坐标为（0，0） ，而 点（3，2）先向上平移 2 个单位，再向左平移 3 个单位后可得点（0，0） ， 抛物线 y（x3）22 先向上平移 2 个单位，再向左平移 3 个单位后可得抛物线 yx2 故选：D 9从前有一个醉汉拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽米，竖着比城门高米，一个聪明 人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，求竹竿的长度若设竹竿 长 x 米，则根据题意，可列方程（ ） A B C D 【分析】用竹竿表示出门框的边长，根据门框的边长
15、的平方和等于竹竿的长的平方列方程即可 【解答】解：设竹竿的长为 x 米 由题意得 故选：B 10 已知 a、 b、 m、 n 为互不相等的实数， 且 （a+m） （a+n） 2， （b+m） （b+n） 2， 则 abmn 的值为 （ ） A4 B1 C2 D1 【分析】先把已知条件变形得到 a2+（m+n）a+mn20，b2+（m+n）b+mn20，则可把 a、b 看作 方程 x2+ （m+n） x+mn20 的两实数根， 利用根与系数的关系得到 abmn2， 从而得到 abmn 的值 【解答】解：（a+m） （a+n）2， （b+m） （b+n）2， a2+（m+n）a+mn20，b2+（
16、m+n）b+mn20， 而 a、b、m、n 为互不相等的实数， a、b 看作方程 x2+（m+n）x+mn20 的两实数根， abmn2， abmn2 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11一元二次方程 ax2+2x0 的一个根是 1，则 a 2 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将 x1 代入关于 x 的一元二次方程 ax2+2x0，列出关于 a 的 方程，通过解该方程求得 a 值即可 【解答】解：一元二次方程 ax2+2x0 的一个根为 1， x1 满足关于 x 的一元二次方程 ax2+2x0， a+2
17、0， 解得，a2； 故答案是：2 12二次函数 y2x22x 的对称轴是 直线 x 【分析】利用公式法求对称轴也可以用配方法 【解答】解：根据题意得 x 即对称轴是直线 x， 故答案为直线 x 13在O 中，圆心角AOB80，点 P 是圆上不同于点 A、B 的点，则APB 40 或 140 【分析】讨论：点 P 点在优弧 AB 上，直接利用圆周角定理得到APB 的度数；点 P 点在劣弧 AB 上， 利用圆内接四边形的性质得到APB 的度数 【解答】解：如图，点 P 点在优弧 AB 上，则APBAOB8040， 点 P 点在劣弧 AB 上，则APB18040140， 综上所述，APB 的度数为
18、40或 140 故答案为 40 或 140 14 “绿水青山就是金山银山” ，为了山更绿、水更清，某区大力实施生态修复工程，发展林业产业，确保 到 2021 年实现全区森林覆盖率达到 72.6%的目标已知该区 2019 年全区森林覆盖率为 60%，设从 2019 年起该区森林覆盖率年平均增长率为 x，则 x 10% 【分析】设从 2019 年起该区森林覆盖率年平均增长率为 x，根据 2019 年及 2021 年全区森林覆盖率，即 可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 【解答】解：设从 2019 年起该区森林覆盖率年平均增长率为 x， 依题意，得：60%（1+x）272.6%
19、， 解得：x10.110%，x22.2（不合题意，舍去） 故答案为：10% 15已知二次函数 yax2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如表： x 0 1 2 y 4 3 4 若一次函数 ybxac 的图象不经过第 m 象限，则 m 1 【分析】根据表中数据确定求出 a，b，c 的符号，即可判断 【解答】解：由表中的数据可知抛物线开口向上，二次函数的顶点为（1，3） ，与 y 轴的交点为（0，4） ， a0，1，c40， b0， ac0， 一次函数 ybxac 的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限，则 m1， 故答案为：1 16 如图， ABC 为等腰直角三角形， B90， AB2，
20、 把ABC 绕点 A 逆时针旋转 60得到AB1C1， 连接 CB1，则点 B1到直线 AC 的距离为 【分析】如图，连接 CC1，过点 B1作 B1HAC，由旋转的性质可得 ACAC12，CAC160， AB1AB2， BCB1C12， 可得ACC1是等边三角形， 由 “SSS” 可证AB1CC1B1C， 可得 S，由三角形的面积关系可求解 【解答】解：如图，连接 CC1，过点 B1作 B1HAC， B90，ABBC2， AC2， 把ABC 绕点 A 逆时针旋转 60得到AB1C1， ACAC12，CAC160，AB1AB2，BCB1C12， ACC1是等边三角形， C1CAC，B1CB1C
21、，AB1B1C1， AB1CC1B1C（SSS） ， +2， （2）222+22B1H， B1H， 故答案为： 三、解答题（共三、解答题（共 8 题，共题，共 72 分）分） 17 （8 分）解方程： （1）x2x10； （2）3x（1x）22x 【分析】 （1）求出 b24ac 的值，再代入公式求出即可； （2）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】解： （1）x2x10， b24ac（1）241（1）5， x， 解得：x1，x2 （2）3x（1x）22x 3x（1x）2（1x） ， （3x2） （1x）0， 3x20，1x0， 解得：x1，x21 18 （8 分）已
22、知关于 x 的一元二次方程 x2（2k1）x+k20 有两个不相等的实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）若此方程的两实数根 x1，x2满足（x11） （x21）5，求 k 的值 【分析】 （1）利用判别式的意义得到（2k1）24k20，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到 x1+x22k1，x1x2k2，再根据（x11） （x21）5 得到 k2（2k1） +15，然后解关于 k 的方程，最后利用 k 的范围确定 k 的值 【解答】解： （1）根据题意得（2k1）24k20， 解得 k； （2）根据题意得 x1+x22k1，x1x2k2， （x11） （x21）5， x1x2
23、（x1+x2）+15， 即 k2（2k1）+15， 整理得 k22k30，解得 k11，k23， k， k1 19 （8 分）如图，已知ABC 的三个顶点坐标为 A（2，3） ，B（6，0） ，C（1，0） （1）将ABC 绕坐标原点 O 旋转 180，画出图形，并写出点 A 的对应点 A的坐标； （2）将ABC 绕坐标原点 O 逆时针旋转 90，直接写出点 A 的对应点 A的坐标 （3）请直接写出：以 A、B、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标 【分析】 （1）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用旋转的性质得出对应点坐标即可； （3）利用平行四边形
24、的性质得出对应点位置即可 【解答】解： （1）如图所示：ABC，即为所求，A（2，3） ； 故答案为： （2，3） ； （2）A（3，2） ； 故答案为： （3，2） ； （3）第四个顶点 D 的坐标为（3，3）或（7，3）或（5，3） 故答案为： （3，3）或（7，3）或（5，3） 20 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC，BAC110，将ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 35后能与 ADE 重合，点 G、F 是 DE 分别与 AB、BC 的交点 （1）求AGE 的度数； （2）求证：四边形 ADFC 是菱形 【分析】 （1）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出BC35，由旋转的性质
25、得出D B35，BAD35，由三角形的外角性质即可得出答案； （2）由旋转的性质得出 ADAB，AEAC，DB35C，BAD35，求出DAC BAD+BAC145，得出DAC+D180，DAC+C180，证出 ACDF，ADCF，得出 四边形 ADFC 是平行四边形，证出 ADAC，即可得出结论 【解答】 （1）解：ABAC，BAC110， BC（180110）35， 由旋转的性质得：DB35，BAD35， AGED+BAD35+3570； （2）证明：将ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 35后能与ADE 重合， ADAB，AEAC，DB35C，BAD35， DACBAD+BAC35+1101
26、45， DAC+D180，DAC+C180， ACDF，ADCF， 四边形 ADFC 是平行四边形， 又ABAC， ADAC， 四边形 ADFC 是菱形 21 （8 分）如图，ABC 内接于O，B60，CD 是O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，且 AP AC （1）求证：PA 是O 的切线； （2）若 PD，求O 的直径 【分析】 （1）连接 OA，根据圆周角定理求出AOC，再由 OAOC 得出ACOOAC30，再由 APAC 得出P30，继而由OAPAOCP，可得出 OAPA，从而得出结论； （2） 利用含 30的直角三角形的性质求出 OP2OA， 可得出 OPPDOD， 再由
27、PD， 可得出O 的直径 【解答】 （1）证明：连接 OA， B60， AOC2B120， 又OAOC， OACOCA30， 又APAC， PACP30， OAPAOCP90， OAPA， PA 是O 的切线 （2）在 RtOAP 中，P30， PO2OAOD+PD， 又OAOD， PDOA， ， O 的直径为 22 （10 分）网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，某市长亲自在某网络平台上进 行直播销售板栗为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出 2000 元现金，作为红包发给购 买者已知该板栗的成本价格为 6 元/kg，每日销售量 y（kg）与销售单价 x（元/k
28、g）满足关系式：y 100 x+5000经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于 30 元/kg当每日销售量不低于 4000kg 时， 每千克成本将降低 1 元设板栗公司销售该板栗的日获利为 W（元） （1）请求出日获利 W 与销售单价 x 之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ 【分析】 （1）分两种情况讨论，由日获利销售单价数量，可求解； （2） 分两种情况讨论， 由二次函数的性质，分别求出 6x10 和 10 x30 时的最大利润， 即可求解 【解答】解： （1）当 y4000，即100 x+50004000， x10， 当 6x10
29、 时，W（x6+1） （100 x+5000）2000100 x2+5500 x27000， 当 10 x30 时，W（x6） （100 x+5000）2000100 x2+5600 x32000， 综上所述：W； （2）当 6x10 时，W100 x2+5500 x27000100（x）2+48625， a1000，对称轴为 x， 当 6x10 时，y 随 x 的增大而增大，即当 x10 时，W最大值18000 元， 当 10 x30 时，W100 x2+5600 x32000100（x28）2+46400， a1000，对称轴为 x28， 当 x28 时，W 有最大值为 46400 元，
30、4640018000， 当销售单价定为 28 元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为 46400 元 23 （10 分）如图 1，ACCH 于点 C，点 B 是射线 CH 上一动点，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60得到 ADE（点 D 对应点 C） （1）延长 ED 交 CH 于点 F，求证：FA 平分CFE； （2）如图 2，当CAB60时，点 M 为 AB 的中点，连接 DM，请判断 DM 与 DA、DE 的数量关系， 并证明 【分析】 （1）根据角平分线的判定定理解决问题即可 （2）结论：2DM+ADDE如图 2 中，延长 AD 交 BC 于 F，连接 CD利用三角形的中位线定理解
31、 决问题即可 【解答】证明： （1）如图 1 中， ADE 由ABC 旋转得到， ACAD，ACFADEADF90， FA 平分CFE； （2）结论：2DM+ADDE， 理由如下：如图 2 中，延长 AD 交 BC 于 F，连接 CD， ACAD，CAD60， ACD 为等边三角形， ADCDAC， ACF90， AFC30， ACAF， ADDF， D 为 AF 的中点， 又M 为 AD 的中点， DMFB， 在 RtAFC 中，FCAC， DMFB（BCCF）（BCAC）（DEAD） ， 2DM+ADDE 24 （12 分）如图，抛物线 yax2+bx 过 A（4，0） ，B（1，3）两点
32、 （1）求该抛物线的解析式； （2）点 P 是抛物线上一点，且位于第一象限，当ABP 的面积为 3 时，求出点 P 的坐标； （3）过 B 作 BCOA 于 C，连接 OB，点 G 是抛物线上一点，当BAG+OBCBAO 时，请直接写 出此时点 G 的坐标 【分析】 （1）将点 A、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）ABP 的面积 SABPH3PH3，解得：PHAN，直线 AB 的倾斜角为 45，故直线 m、n 所在直线的 k 值为：1，则 AMAH2，故点 M（6，0） ，则直线 m 的表达式 为：yx+6，同理直线 n 的表达式为：yx+2，即可求解； （3）分点 G 在 AB
33、 上方、点 G 在 AB 下方两种情况，分别求解即可 【解答】解： （1）将点 A、B 的坐标代入抛物线表达式并解得： a1，b4， 故抛物线的表达式为：yx2+4x； （2）过点 P 作直线 m 交 x 轴于点 M，过点 P 作 PHAB 于点 H，过点 A 作 AN直线 m， 在 AB 下方作直线 n 距离直线 AB 的长度为 PH， ABP 的面积 SABPH3PH3，解得：PHAN， 直线 AB 的倾斜角为 45，故直线 m、n 所在直线的 k 值为：1， 则 AMAH2，故点 M（6，0） ， 则直线 m 的表达式为：yx+6， 同理直线 n 的表达式为：yx+2， 联立并解得：x2
34、 或 3， 联立并解得：x（舍去） ； 综上，点 P 的坐标为： （3，3）或（2，4）或（，） ； （3）BCAC3，故BAO45BAG+OBC， 当点 G 在 AB 上方时，如图 2（左侧图） ， 设抛物线对称轴交 x 轴于点 M，连接 BM， OCOM1，故CBMOBC， 则CAB45CBM+MBAOBC+ABM，而 45BAG+OBC， 故ABMGAB，则 AGBM， 直线 BM 表达式中的 k 值为：3， 故直线 AG 的表达式为：y3x+b，将点 A 的坐标代入上式并解得： 直线 AG 的表达式为：y3x+12； 联立并解得：x3 或 4（舍去 4） ； 当点 G 在 AB 下方时，如图 2（右侧图） ， BAG+OBCBAO45，而BAG+GAC45， OBCGAC，而 tanOBCtanGAC， 则直线 AG 的表达式为：yx+b，将点 A 坐标代入上式并解得： 直线 AG 的表达式为：yx2+， 联立并解得：x或 4（舍去 4） ； 综上，点 P 的坐标为： （3，3）或（，）
