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2020-2021学年广东省广州市海珠区中山大学附中九年级上期中数学试卷(含答案解析)

1、2020-2021 学年广州市海珠区中山大学附中九年级(上)期中数学试卷学年广州市海珠区中山大学附中九年级(上)期中数学试卷 一、选择题(共一、选择题(共 10 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 30 分)分) 1一元二次方程 x22x+30 的一次项和常数项分别是( ) A2 和 3 B2 和 3 C2x 和 3 D2x 和 3 2平面直角坐标系内一点 P(4,3)关于原点对称的点的坐标是( ) A (3,4) B (4,3) C (4,3) D (4,3) 3二次函数 y(x+2)23 的顶点坐标是( ) A (2,3) B (2,3) C (2,3) D (2,3) 4如图,将

2、ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转 45后得到ABC,若A45,B100,则 BCA的度数是( ) A10 B15 C20 D25 5在半径等于 4 的圆中,垂直平分半径的弦长为( ) A4 B3 C2 D 6已知一元二次方程 x22xa0,当 a 取下列值时,使方程无实数解的是( ) A2 B1 C0 D1 7如图,在O 中,点 C 为弧 AB 的中点若ADC( 为锐角) ,则APB( ) A180 B1802 C75+ D3 8抛物线 y(x3)22 经过平移得到抛物线 yx2,平移过程正确的是( ) A先向下平移 2 个单位,再向左平移 3 个单位 B先向上平移 2 个单位,再向右平移

3、3 个单位 C先向下平移 2 个单位,再向右平移 3 个单位 D先向上平移 2 个单位,再向左平移 3 个单位 9从前有一个醉汉拿着竹竿进城,横拿竖拿都进不去,横着比城门宽米,竖着比城门高米,一个聪明 人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿,这个醉汉一试,不多不少刚好进去了,求竹竿的长度若设竹竿 长 x 米,则根据题意,可列方程( ) A B C D 10 已知 a、 b、 m、 n 为互不相等的实数, 且 (a+m) (a+n) 2, (b+m) (b+n) 2, 则 abmn 的值为 ( ) A4 B1 C2 D1 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题个小题,每小题 3

4、分,共分,共 18 分)分) 11一元二次方程 ax2+2x0 的一个根是 1,则 a 12二次函数 y2x22x 的对称轴是 13在O 中,圆心角AOB80,点 P 是圆上不同于点 A、B 的点,则APB 14 “绿水青山就是金山银山” ,为了山更绿、水更清,某区大力实施生态修复工程,发展林业产业,确保 到 2021 年实现全区森林覆盖率达到 72.6%的目标已知该区 2019 年全区森林覆盖率为 60%,设从 2019 年起该区森林覆盖率年平均增长率为 x,则 x 15已知二次函数 yax2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如表: x 0 1 2 y 4 3 4 若一次函数 ybxa

5、c 的图象不经过第 m 象限,则 m 16 如图, ABC 为等腰直角三角形, B90, AB2, 把ABC 绕点 A 逆时针旋转 60得到AB1C1, 连接 CB1,则点 B1到直线 AC 的距离为 三、解答题(共三、解答题(共 8 题,共题,共 72 分)分) 17 (8 分)解方程: (1)x2x10; (2)3x(1x)22x 18 (8 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2(2k1)x+k20 有两个不相等的实数根 (1)求 k 的取值范围; (2)若此方程的两实数根 x1,x2满足(x11) (x21)5,求 k 的值 19 (8 分)如图,已知ABC 的三个顶点坐标为 A(2,

6、3) ,B(6,0) ,C(1,0) (1)将ABC 绕坐标原点 O 旋转 180,画出图形,并写出点 A 的对应点 A的坐标; (2)将ABC 绕坐标原点 O 逆时针旋转 90,直接写出点 A 的对应点 A的坐标 (3)请直接写出:以 A、B、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标 20 (8 分)如图,在ABC 中,ABAC,BAC110,将ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 35后能与 ADE 重合,点 G、F 是 DE 分别与 AB、BC 的交点 (1)求AGE 的度数; (2)求证:四边形 ADFC 是菱形 21 (8 分)如图,ABC 内接于O,B60,CD 是O 的直径,点

7、 P 是 CD 延长线上的一点,且 AP AC (1)求证:PA 是O 的切线; (2)若 PD,求O 的直径 22 (10 分)网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存,某市长亲自在某网络平台上进 行直播销售板栗为提高大家购买的积极性,直播时,板栗公司每天拿出 2000 元现金,作为红包发给购 买者已知该板栗的成本价格为 6 元/kg,每日销售量 y(kg)与销售单价 x(元/kg)满足关系式:y 100 x+5000经销售发现,销售单价不低于成本价格且不高于 30 元/kg当每日销售量不低于 4000kg 时, 每千克成本将降低 1 元设板栗公司销售该板栗的日获利为 W(元)

8、 (1)请求出日获利 W 与销售单价 x 之间的函数关系式; (2)当销售单价定为多少时,销售这种板栗日获利最大?最大利润为多少元? 23 (10 分)如图 1,ACCH 于点 C,点 B 是射线 CH 上一动点,将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60得到 ADE(点 D 对应点 C) (1)延长 ED 交 CH 于点 F,求证:FA 平分CFE; (2)如图 2,当CAB60时,点 M 为 AB 的中点,连接 DM,请判断 DM 与 DA、DE 的数量关系, 并证明 24 (12 分)如图,抛物线 yax2+bx 过 A(4,0) ,B(1,3)两点 (1)求该抛物线的解析式; (2)点 P

9、是抛物线上一点,且位于第一象限,当ABP 的面积为 3 时,求出点 P 的坐标; (3)过 B 作 BCOA 于 C,连接 OB,点 G 是抛物线上一点,当BAG+OBCBAO 时,请直接写 出此时点 G 的坐标 2020-2021 学年广东省广州市海珠区中山大学附中九年级(上)期中数学试学年广东省广州市海珠区中山大学附中九年级(上)期中数学试 卷卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(共一、选择题(共 10 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 30 分)分) 1一元二次方程 x22x+30 的一次项和常数项分别是( ) A2 和 3 B2 和 3 C2x 和 3 D2x

10、 和 3 【分析】根据项的定义得出答案即可 【解答】解:一元二次方程 x22x+30 的一次项是2x,常数项是 3, 故选:C 2平面直角坐标系内一点 P(4,3)关于原点对称的点的坐标是( ) A (3,4) B (4,3) C (4,3) D (4,3) 【分析】 根据关于原点对称的点的坐标特点: 两个点关于原点对称时, 它们的坐标符号相反, 即点 P (x, y)关于原点 O 的对称点是 P(x,y)可以直接得到答案 【解答】解:点 P(4,3) , 关于原点对称的点的坐标是(4,3) , 故选:D 3二次函数 y(x+2)23 的顶点坐标是( ) A (2,3) B (2,3) C (

11、2,3) D (2,3) 【分析】根据顶点式的意义直接解答即可 【解答】解:二次函数 y(x+2)23 的图象的顶点坐标是(2,3) 故选:B 4如图,将ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转 45后得到ABC,若A45,B100,则 BCA的度数是( ) A10 B15 C20 D25 【分析】利用三角形内角和定理以及旋转不变性解决问题即可 【解答】解:由题意BB100,A45, ACB180BA1801004535, ACA45, BCAACAACB453510, 故选:A 5在半径等于 4 的圆中,垂直平分半径的弦长为( ) A4 B3 C2 D 【分析】根据题意,利用勾股定理,先求出弦长的

12、一半,进而求出弦长 【解答】解:根据题意,画出图形,如右图 由题意知,OA4,ODCD2,OCAB, ADBD, 在 RtAOD 中,AD, AB224 故选:A 6已知一元二次方程 x22xa0,当 a 取下列值时,使方程无实数解的是( ) A2 B1 C0 D1 【分析】当方程无实数根时,由判别式小于 0 可求得 m 的取值范围 【解答】解:方程无实数解, 4+4a0, a1, 故选:A 7如图,在O 中,点 C 为弧 AB 的中点若ADC( 为锐角) ,则APB( ) A180 B1802 C75+ D3 【分析】连接 BD,如图,由于点 C 为弧 AB 的中点,根据圆周角定理得到BDC

13、ADC,然后根 据圆内接四边形的对角互补可用 表示出APB 【解答】解:连接 BD,如图, 点 C 为弧 AB 的中点, , BDCADC, APB+ADB180, APB1802 故选:B 8抛物线 y(x3)22 经过平移得到抛物线 yx2,平移过程正确的是( ) A先向下平移 2 个单位,再向左平移 3 个单位 B先向上平移 2 个单位,再向右平移 3 个单位 C先向下平移 2 个单位,再向右平移 3 个单位 D先向上平移 2 个单位,再向左平移 3 个单位 【分析】先利用顶点式得到抛物线 y(x3)22 的顶点坐标为(3,2) ,抛物线 yx2的顶点坐标 为(0,0) ,然后利用点平移

14、的规律确定抛物线的平移情况 【解答】解:抛物线 y(x3)22 的顶点坐标为(3,2) ,抛物线 yx2的顶点坐标为(0,0) ,而 点(3,2)先向上平移 2 个单位,再向左平移 3 个单位后可得点(0,0) , 抛物线 y(x3)22 先向上平移 2 个单位,再向左平移 3 个单位后可得抛物线 yx2 故选:D 9从前有一个醉汉拿着竹竿进城,横拿竖拿都进不去,横着比城门宽米,竖着比城门高米,一个聪明 人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿,这个醉汉一试,不多不少刚好进去了,求竹竿的长度若设竹竿 长 x 米,则根据题意,可列方程( ) A B C D 【分析】用竹竿表示出门框的边长,根据门框的边长

15、的平方和等于竹竿的长的平方列方程即可 【解答】解:设竹竿的长为 x 米 由题意得 故选:B 10 已知 a、 b、 m、 n 为互不相等的实数, 且 (a+m) (a+n) 2, (b+m) (b+n) 2, 则 abmn 的值为 ( ) A4 B1 C2 D1 【分析】先把已知条件变形得到 a2+(m+n)a+mn20,b2+(m+n)b+mn20,则可把 a、b 看作 方程 x2+ (m+n) x+mn20 的两实数根, 利用根与系数的关系得到 abmn2, 从而得到 abmn 的值 【解答】解:(a+m) (a+n)2, (b+m) (b+n)2, a2+(m+n)a+mn20,b2+(

16、m+n)b+mn20, 而 a、b、m、n 为互不相等的实数, a、b 看作方程 x2+(m+n)x+mn20 的两实数根, abmn2, abmn2 故选:C 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题个小题,每小题 3 分,共分,共 18 分)分) 11一元二次方程 ax2+2x0 的一个根是 1,则 a 2 【分析】根据一元二次方程的解的定义,将 x1 代入关于 x 的一元二次方程 ax2+2x0,列出关于 a 的 方程,通过解该方程求得 a 值即可 【解答】解:一元二次方程 ax2+2x0 的一个根为 1, x1 满足关于 x 的一元二次方程 ax2+2x0, a+2

17、0, 解得,a2; 故答案是:2 12二次函数 y2x22x 的对称轴是 直线 x 【分析】利用公式法求对称轴也可以用配方法 【解答】解:根据题意得 x 即对称轴是直线 x, 故答案为直线 x 13在O 中,圆心角AOB80,点 P 是圆上不同于点 A、B 的点,则APB 40 或 140 【分析】讨论:点 P 点在优弧 AB 上,直接利用圆周角定理得到APB 的度数;点 P 点在劣弧 AB 上, 利用圆内接四边形的性质得到APB 的度数 【解答】解:如图,点 P 点在优弧 AB 上,则APBAOB8040, 点 P 点在劣弧 AB 上,则APB18040140, 综上所述,APB 的度数为

18、40或 140 故答案为 40 或 140 14 “绿水青山就是金山银山” ,为了山更绿、水更清,某区大力实施生态修复工程,发展林业产业,确保 到 2021 年实现全区森林覆盖率达到 72.6%的目标已知该区 2019 年全区森林覆盖率为 60%,设从 2019 年起该区森林覆盖率年平均增长率为 x,则 x 10% 【分析】设从 2019 年起该区森林覆盖率年平均增长率为 x,根据 2019 年及 2021 年全区森林覆盖率,即 可得出关于 x 的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论 【解答】解:设从 2019 年起该区森林覆盖率年平均增长率为 x, 依题意,得:60%(1+x)272.6%

19、, 解得:x10.110%,x22.2(不合题意,舍去) 故答案为:10% 15已知二次函数 yax2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如表: x 0 1 2 y 4 3 4 若一次函数 ybxac 的图象不经过第 m 象限,则 m 1 【分析】根据表中数据确定求出 a,b,c 的符号,即可判断 【解答】解:由表中的数据可知抛物线开口向上,二次函数的顶点为(1,3) ,与 y 轴的交点为(0,4) , a0,1,c40, b0, ac0, 一次函数 ybxac 的图象经过二、三、四象限,不经过第一象限,则 m1, 故答案为:1 16 如图, ABC 为等腰直角三角形, B90, AB2,

20、 把ABC 绕点 A 逆时针旋转 60得到AB1C1, 连接 CB1,则点 B1到直线 AC 的距离为 【分析】如图,连接 CC1,过点 B1作 B1HAC,由旋转的性质可得 ACAC12,CAC160, AB1AB2, BCB1C12, 可得ACC1是等边三角形, 由 “SSS” 可证AB1CC1B1C, 可得 S,由三角形的面积关系可求解 【解答】解:如图,连接 CC1,过点 B1作 B1HAC, B90,ABBC2, AC2, 把ABC 绕点 A 逆时针旋转 60得到AB1C1, ACAC12,CAC160,AB1AB2,BCB1C12, ACC1是等边三角形, C1CAC,B1CB1C

21、,AB1B1C1, AB1CC1B1C(SSS) , +2, (2)222+22B1H, B1H, 故答案为: 三、解答题(共三、解答题(共 8 题,共题,共 72 分)分) 17 (8 分)解方程: (1)x2x10; (2)3x(1x)22x 【分析】 (1)求出 b24ac 的值,再代入公式求出即可; (2)分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可 【解答】解: (1)x2x10, b24ac(1)241(1)5, x, 解得:x1,x2 (2)3x(1x)22x 3x(1x)2(1x) , (3x2) (1x)0, 3x20,1x0, 解得:x1,x21 18 (8 分)已

22、知关于 x 的一元二次方程 x2(2k1)x+k20 有两个不相等的实数根 (1)求 k 的取值范围; (2)若此方程的两实数根 x1,x2满足(x11) (x21)5,求 k 的值 【分析】 (1)利用判别式的意义得到(2k1)24k20,然后解不等式即可; (2)根据根与系数的关系得到 x1+x22k1,x1x2k2,再根据(x11) (x21)5 得到 k2(2k1) +15,然后解关于 k 的方程,最后利用 k 的范围确定 k 的值 【解答】解: (1)根据题意得(2k1)24k20, 解得 k; (2)根据题意得 x1+x22k1,x1x2k2, (x11) (x21)5, x1x2

23、(x1+x2)+15, 即 k2(2k1)+15, 整理得 k22k30,解得 k11,k23, k, k1 19 (8 分)如图,已知ABC 的三个顶点坐标为 A(2,3) ,B(6,0) ,C(1,0) (1)将ABC 绕坐标原点 O 旋转 180,画出图形,并写出点 A 的对应点 A的坐标; (2)将ABC 绕坐标原点 O 逆时针旋转 90,直接写出点 A 的对应点 A的坐标 (3)请直接写出:以 A、B、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标 【分析】 (1)利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案; (2)直接利用旋转的性质得出对应点坐标即可; (3)利用平行四边形

24、的性质得出对应点位置即可 【解答】解: (1)如图所示:ABC,即为所求,A(2,3) ; 故答案为: (2,3) ; (2)A(3,2) ; 故答案为: (3,2) ; (3)第四个顶点 D 的坐标为(3,3)或(7,3)或(5,3) 故答案为: (3,3)或(7,3)或(5,3) 20 (8 分)如图,在ABC 中,ABAC,BAC110,将ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 35后能与 ADE 重合,点 G、F 是 DE 分别与 AB、BC 的交点 (1)求AGE 的度数; (2)求证:四边形 ADFC 是菱形 【分析】 (1)由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出BC35,由旋转的性质

25、得出D B35,BAD35,由三角形的外角性质即可得出答案; (2)由旋转的性质得出 ADAB,AEAC,DB35C,BAD35,求出DAC BAD+BAC145,得出DAC+D180,DAC+C180,证出 ACDF,ADCF,得出 四边形 ADFC 是平行四边形,证出 ADAC,即可得出结论 【解答】 (1)解:ABAC,BAC110, BC(180110)35, 由旋转的性质得:DB35,BAD35, AGED+BAD35+3570; (2)证明:将ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 35后能与ADE 重合, ADAB,AEAC,DB35C,BAD35, DACBAD+BAC35+1101

26、45, DAC+D180,DAC+C180, ACDF,ADCF, 四边形 ADFC 是平行四边形, 又ABAC, ADAC, 四边形 ADFC 是菱形 21 (8 分)如图,ABC 内接于O,B60,CD 是O 的直径,点 P 是 CD 延长线上的一点,且 AP AC (1)求证:PA 是O 的切线; (2)若 PD,求O 的直径 【分析】 (1)连接 OA,根据圆周角定理求出AOC,再由 OAOC 得出ACOOAC30,再由 APAC 得出P30,继而由OAPAOCP,可得出 OAPA,从而得出结论; (2) 利用含 30的直角三角形的性质求出 OP2OA, 可得出 OPPDOD, 再由

27、PD, 可得出O 的直径 【解答】 (1)证明:连接 OA, B60, AOC2B120, 又OAOC, OACOCA30, 又APAC, PACP30, OAPAOCP90, OAPA, PA 是O 的切线 (2)在 RtOAP 中,P30, PO2OAOD+PD, 又OAOD, PDOA, , O 的直径为 22 (10 分)网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存,某市长亲自在某网络平台上进 行直播销售板栗为提高大家购买的积极性,直播时,板栗公司每天拿出 2000 元现金,作为红包发给购 买者已知该板栗的成本价格为 6 元/kg,每日销售量 y(kg)与销售单价 x(元/k

28、g)满足关系式:y 100 x+5000经销售发现,销售单价不低于成本价格且不高于 30 元/kg当每日销售量不低于 4000kg 时, 每千克成本将降低 1 元设板栗公司销售该板栗的日获利为 W(元) (1)请求出日获利 W 与销售单价 x 之间的函数关系式; (2)当销售单价定为多少时,销售这种板栗日获利最大?最大利润为多少元? 【分析】 (1)分两种情况讨论,由日获利销售单价数量,可求解; (2) 分两种情况讨论, 由二次函数的性质,分别求出 6x10 和 10 x30 时的最大利润, 即可求解 【解答】解: (1)当 y4000,即100 x+50004000, x10, 当 6x10

29、 时,W(x6+1) (100 x+5000)2000100 x2+5500 x27000, 当 10 x30 时,W(x6) (100 x+5000)2000100 x2+5600 x32000, 综上所述:W; (2)当 6x10 时,W100 x2+5500 x27000100(x)2+48625, a1000,对称轴为 x, 当 6x10 时,y 随 x 的增大而增大,即当 x10 时,W最大值18000 元, 当 10 x30 时,W100 x2+5600 x32000100(x28)2+46400, a1000,对称轴为 x28, 当 x28 时,W 有最大值为 46400 元,

30、4640018000, 当销售单价定为 28 元时,销售这种板栗日获利最大,最大利润为 46400 元 23 (10 分)如图 1,ACCH 于点 C,点 B 是射线 CH 上一动点,将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60得到 ADE(点 D 对应点 C) (1)延长 ED 交 CH 于点 F,求证:FA 平分CFE; (2)如图 2,当CAB60时,点 M 为 AB 的中点,连接 DM,请判断 DM 与 DA、DE 的数量关系, 并证明 【分析】 (1)根据角平分线的判定定理解决问题即可 (2)结论:2DM+ADDE如图 2 中,延长 AD 交 BC 于 F,连接 CD利用三角形的中位线定理解

31、 决问题即可 【解答】证明: (1)如图 1 中, ADE 由ABC 旋转得到, ACAD,ACFADEADF90, FA 平分CFE; (2)结论:2DM+ADDE, 理由如下:如图 2 中,延长 AD 交 BC 于 F,连接 CD, ACAD,CAD60, ACD 为等边三角形, ADCDAC, ACF90, AFC30, ACAF, ADDF, D 为 AF 的中点, 又M 为 AD 的中点, DMFB, 在 RtAFC 中,FCAC, DMFB(BCCF)(BCAC)(DEAD) , 2DM+ADDE 24 (12 分)如图,抛物线 yax2+bx 过 A(4,0) ,B(1,3)两点

32、 (1)求该抛物线的解析式; (2)点 P 是抛物线上一点,且位于第一象限,当ABP 的面积为 3 时,求出点 P 的坐标; (3)过 B 作 BCOA 于 C,连接 OB,点 G 是抛物线上一点,当BAG+OBCBAO 时,请直接写 出此时点 G 的坐标 【分析】 (1)将点 A、B 的坐标代入抛物线表达式,即可求解; (2)ABP 的面积 SABPH3PH3,解得:PHAN,直线 AB 的倾斜角为 45,故直线 m、n 所在直线的 k 值为:1,则 AMAH2,故点 M(6,0) ,则直线 m 的表达式 为:yx+6,同理直线 n 的表达式为:yx+2,即可求解; (3)分点 G 在 AB

33、 上方、点 G 在 AB 下方两种情况,分别求解即可 【解答】解: (1)将点 A、B 的坐标代入抛物线表达式并解得: a1,b4, 故抛物线的表达式为:yx2+4x; (2)过点 P 作直线 m 交 x 轴于点 M,过点 P 作 PHAB 于点 H,过点 A 作 AN直线 m, 在 AB 下方作直线 n 距离直线 AB 的长度为 PH, ABP 的面积 SABPH3PH3,解得:PHAN, 直线 AB 的倾斜角为 45,故直线 m、n 所在直线的 k 值为:1, 则 AMAH2,故点 M(6,0) , 则直线 m 的表达式为:yx+6, 同理直线 n 的表达式为:yx+2, 联立并解得:x2

34、 或 3, 联立并解得:x(舍去) ; 综上,点 P 的坐标为: (3,3)或(2,4)或(,) ; (3)BCAC3,故BAO45BAG+OBC, 当点 G 在 AB 上方时,如图 2(左侧图) , 设抛物线对称轴交 x 轴于点 M,连接 BM, OCOM1,故CBMOBC, 则CAB45CBM+MBAOBC+ABM,而 45BAG+OBC, 故ABMGAB,则 AGBM, 直线 BM 表达式中的 k 值为:3, 故直线 AG 的表达式为:y3x+b,将点 A 的坐标代入上式并解得: 直线 AG 的表达式为:y3x+12; 联立并解得:x3 或 4(舍去 4) ; 当点 G 在 AB 下方时,如图 2(右侧图) , BAG+OBCBAO45,而BAG+GAC45, OBCGAC,而 tanOBCtanGAC, 则直线 AG 的表达式为:yx+b,将点 A 坐标代入上式并解得: 直线 AG 的表达式为:yx2+, 联立并解得:x或 4(舍去 4) ; 综上,点 P 的坐标为: (3,3)或(,)