1、2018-2019学年广东省中山大学附中九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）下列图形中，既是轴对称图形又对称轴的数量大于2条的是（）ABCD2（3分）若方程（a2）x22018x+20190是关于x的一元二次方程，则（）Aa1Ba2Ca2Da33（3分）抛物线y3（x1）2+1的顶点坐标是（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）4（3分）如果x1是方程x2x+k0的解，那么常数k的值为（）A2B1C1D25（3分）已知AB是O的弦，且ABOA，则OAB的度数为（）A30B60C1
2、20D1506（3分）一元二次方程（x+1）（x3）2x5根的情况是（）A无实数根B有一个正根，一个负根C有两个正根，且都小于3D有两个正根，且有一根大于37（3分）某同学在用描点法画二次函数yax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：x21012y112125由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（）A11B2C1D58（3分）ABC中，ABAC，BAC30，将AB绕着点A逆时针旋转m（0m360）至AD，连BD，CD，且DBC为等腰三角形，设DBC的面积为s，则s的值有（）个A2B3C4D59（3分）如图，在矩形ABCD中，AB4，BC6，E是矩形内部的一个动点，且AEBE，
3、则线段CE的最小值为（）AB22C22D410（3分）如图，已知抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x1，与x轴的一个交点坐标为（1，0），其部分图象如图所示下列结论：方程ax2+bx+c0的两个根是x11，x23：ab+c0；8a+c0；当y0时，x的取值范围是1x3；当y随x的增大而增大时，一定有xO其中结论正确的个数是（）A1个B2个C3个D4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11（3分）在平面直角坐标系中，点A（0，1）关于原点对称的点是 12（3分）方程x（x+1）0的解是 13（3分）某楼盘2013年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，201
4、5年房价为7600元设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为 14（3分）如图，AB为O直径，BAC的平分线交O于D点，BAC40，ABD 15（3分）如图，射线OC与x轴正半轴的夹角为30，点A是OC上一点，AHx轴于H，将AOH绕着点O逆时针旋转90后，到达DOB的位置，再将DOB沿着y轴翻折到达GOB的位置，若点G恰好在抛物线yx2（x0）上，则点A的坐标为 16（3分）直线ykx+b与抛物线yx2交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当OAOB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为 提示：直线l1：yk1x+b1与直线l2：yk2x+b2互相垂直，则k1k21三、解答
5、题（本大题共9小题，满分20分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）解方程：（1）（x+2）（x5）1 （2）3（x5）22（5x）18（8分）如图，把ABC向右平移5个方格，得到ABC，再绕点B顺时针方向旋转90，得到A“B“C“分别画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母19已知二次函数yx2x2（1）将其配方成顶点式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴（2）在如图所示的直角坐标系中画出函数图象，并指出当y0时x的取值范围20已知，P为等边三角形内一点，且BP3，PC4，将BP绕点B顺时针旋转60至BP的位置（1）试判断BPP的形状，并说明理由；（2）若BPC150
6、，求PA的长度21如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，点G在直径DF的延长线上，DG30（1）求证：CG是O的切线；（2）若CD6，求GF的长22已知关于x的一元二次方程x2（2k+1）x+k2+10有两个不等的实数根x1，x2（1）求实数k的取值范围；（2）若该方程的两个实数根x1，x2满足|x1|+|x2|x12+x2210，求k的值23某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件设每件商品的售价为x元，每个月的销售量为y件（1）
7、求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式；（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？24如图，抛物线yax2+bx经过点A（1，）及原点，交x轴于另一点C（2，0），点D（0，m）是y轴正半轴上一动点，直线AD交抛物线于另一点B（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AO、BO，若OAB的面积为5，求m的值；（3）如图2，作BEx轴于E，连接AC、DE，当D点运动变化时，AC、DE的位置关系是否变化？请证明你的结论25已知在ABC中，BAC60，点P为边BC的中点，分别以AB和AC为斜边向外
8、作RtABD和RtACE，且DABEAC，连结PD，PE，DE（1）如图1，若45，则 ；（2）如图2，若为任意角度，求证：PDE；（3）如图3，若15，AB8，AC6，则PDE的面积为 参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1解：A、是轴对称图形，有1条对称轴，故本选项错误；B、是轴对称图形，有6条对称轴，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误故选：B2解：方程（a2）x22018x+20190是关于x的一元二次方程，a20，即：a2，故选：C3解：抛物线y3（x1
9、）2+1是顶点式，顶点坐标是（1，1）故选A4解：把x1代入方程x2x+k0，得1+1+k0，解得k2故选：D5解：作ODAB于D则ADDB，ABOA，ADABOA，cosOAB，OAB30，故选：A6解：（x+1）（x3）2x5整理得：x22x32x5，则x24x+20，（x2）22，解得：x12+3，x22，故有两个正根，且有一根大于3故选：D7解：由函数图象关于对称轴对称，得（1，2），（0，1），（1，2）在函数图象上，把（1，2），（0，1），（1，2）代入函数解析式，得，解得，函数解析式为y3x2+1x2时y11，故选：D8解：ABC中，ABAC，BAC30，ABCACB（1803
10、0）75如图：分四种情况，由图可知m的取值为：30，120，210，300故DBC的面积s的值有3个，故选：B9解：如图，AEBE，点E在以AB为直径的半O上，连接CO交O于点E，当点E位于点E位置时，线段CE取得最小值，AB4，OAOBOE2，BC6，OC2，则CEOCOE22，故选：B10解：抛物线的对称轴为直线x1，而点（1，0）关于直线x1的对称点的坐标为（3，0），方程ax2+bx+c0的两个根是x11，x23，所以正确；当x1时，y0，即ab+c0；故正确，x1，即b2a，而x1时，y0，即ab+c0，a+2a+c0，3a+c0，抛物线的开口向下，a0，5a0，8a+c0；故正确；
11、当y0时，函数图象在x轴的上面，x的取值范围是1x3；故正确；当x1时，y随x增大而增大，当y随x的增大而增大时，一定有xO抛物线的对称轴为直线x1，当x1时，y随x增大而增大，当y随x的增大而增大时，一定有xO所以错误故选：D二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11解：点（0，1）关于原点O对称的点是 （0，1），故答案为：（0，1）12解：x（x+1）0x0或x+10x10，x21故本题的答案是x10，x2113解：设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意列方程得：8100（1x）27600，故答案为：8100（1x）2760014解：AD平分BAC，BADBAC4020
12、，AB为直径，ADB90，ABD90BAD70故答案为7015解：点G的坐标为（a，a2），则点D的坐标为（a，a2），点A的坐标为（a2，a），射线OC与x轴正半轴的夹角为30，tan30，即，解得，a，点A的坐标为（3，）16解：直线ykx+b与抛物线yx2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，kx+bx2，化简，得x24kx4b0，x1+x24k，x1x24b，又OAOB，1，解得，b4，即直线ykx+4，故直线恒过顶点（0，4），故答案为：（0，4）三、解答题（本大题共9小题，满分20分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17解：（1）x23x110，（3）24（11）53
13、，x所以x1，x2；（2）3（x5）2+2（x5）0，（x5）（3x15+2）0，x50或3x15+20，所以x15，x218解：如图所示，ABC和ABC即为所求19解：（1）y（x22x）2（x22x+11）2（x1）2，所以抛物线的图象的开口向上、顶点坐标为（1，）、对称轴为直线x1；（2）当y0时，yx2x20，解得x11，x23，抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），抛物线如图，y0时，1x3时20解：（1）BPP是等边三角形理由：BP绕点B顺时针旋转60至BP，BPBP，PBP60；BPP是等边三角形（2）BPP是等边三角形，BPP60，PPBP3，PPCBPCBPP150
14、6090；在RtPPC中，由勾股定理得PC5，PAPC521（1）证明：连接OCOCOD，D30，OCDD30G30，DCG180DG120GCODCGOCD90OCCG又OC是O的半径CG是O的切线（2）解：AB是O的直径，CDAB，CECD3在RtOCE中，CEO90，OCE30，EOCO，CO2EO2+CE2设EOx，则CO2x（2x）2x2+32解得x（舍负值）CO2 FO2在OCG中，OCG90，G30，GO2CO4GFGOFO222解：（1）由题意，0，（2k+1）24（k2+1）0，解得k（2）依题意得：x1+x22k+1，x1x2k2+1，由（1）得：k，x1+x20，x1x2
15、0，x1、x2同为正根，|x1|+|x2|x12+x2210，可化为：x1+x2x12+x2210，2k+1（x1+x2）22x1x210，2k+1（2k+1）22（k2+1）10，k2+k60，（k+3）（k2）0，k13，k22，k，k223解：（1）当50x80时，y210（x50），即y260x，当80x140时，y210（8050）3（x80），即y4203x则，（2）由利润（售价成本）销售量可以列出函数关系式wx2+300x10400（50x80）w3x2+540x16800（80x140），（3）当50x80时，wx2+300x10400，当x80有最大值，最大值为7200，当8
16、0x140时，w3x2+540x16800，当x90时，有最大值，最大值为7500，故售价定为90元利润最大为7500元24解：（1）抛物线yax2+bx经过点A（1，）和点C（2，0），解得，抛物线解析式为yx2x；（2）D（0，m），可设直线AD解析式为ykx+m，把A点坐标代入可得k+m，即km，直线AD解析式为y（m）x+m，联立直线AD与抛物线解析式可得，消去y，整理可得x2+（m）xm0，解得x1或x2m，B点横坐标为2m，SAOB5，OD2m（1）5，即m（2m+1）5，解得m或m2，点D（0，m）是y轴正半轴上一动点，m2；（3）AC和DE的位置关系不变，证明如下：设直线AC解
17、析式为ykx+b，A（1，）、C（2，0），解得，直线AC解析式为yx+1，由（2）可知E（2m，0），且D（0，m），可设直线DE解析式为ysx+m，02ms+m，解得s，直线DE解析式为yx+m，ACDE，即AC和DE的位置关系不变25解：（1）分别取AB、AC中点F、G，连接DF、PF、PG、EG，则根据三角形中位线定理可得，AFPG，AGPF，即四边形AFPG为平行四边形，PFBBACPGC60，RtABD和RtACE中，DABEAC45，ABD和ACE都是等腰直角三角形，DFAB，EGAC，且DFAFPG，PFAGEG，DFPPGE150，在DFP和PGE中，DFPPGE（SAS），
18、DPPE，GPEFDP，DPF中，FDP+DPF+PFB90，而PFBFPG，GPE+DPF+FPG90，即DPE90，DEP是等腰直角三角形，；故答案为：；（2）证明：分别取AB、AC中点F、G，连接DF、PF、PG、EG，则根据三角形中位线定理可得，AFPG，AGPF，即四边形AFPG为平行四边形，PFBBACPGC60，RtABD和RtACE中，DFAF，GEAG，DFPG，PFEG，DFB2DAF2，EGC2CAE2，DFPPGE，在DFP和PGE中，DFPPGE（SAS），DPPE，GPEFDP，在DFP中，FDP+DPF+PFB180DFB，而PFBFPG，GPE+DPF+FPG180DFB，即DPE180DFB，又DFA180DFB，DPEDFA，在等腰三角形DPE和等腰三角形ADF中，PDEDAF；（3）分别取AB、AC中点F、G，连接DF、PF、PG、EG，则根据三角形中位线定理可得，AFPG4，AGPF3，即四边形AFPG为平行四边形，PFBBACPGC60RtABD和RtACE中，DFAF，GEAG，DFPG4，PFEG3，DFB2DAF230，EGC2CAE230，DFPPGE90，DPEP5，由（2）可得，PDE15PED，过点E作DP的垂线，交DP的延长线于H，则EPH30，EHPE，PDE的面积DPEH5故答案为：
