1、20192019- -20202020 年北京市中考数学各地区模拟试题分类（一）年北京市中考数学各地区模拟试题分类（一）二次函数二次函数 一选择题 1（2020海淀区一模）将抛物线y2x2向下平移 3 个单位长度所得到的抛物线是（ ） Ay2x2+3 By2x23 Cy2（x3）2 Dy2（x+3）2 2（2019房山区二模）如图，以 40m/s的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出时，小球的飞行路 线将是一条抛物线如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之 间具有函数关系h20t5t2下列叙述正确的是（ ） A小球的飞行高度不能达到 15m B小球的飞行高度
2、可以达到 25m C小球从飞出到落地要用时 4s D小球飞出 1s时的飞行高度为 10m 3 （2019通州区三模）四位同学在研究二次函数yax2+bx+3（a0）时，甲同学发现函数图象的对称 轴是直线x1；乙同学发现 3 是一元二次方程ax2+bx+30（a0）的一个根；丙同学发现函数的最 大值为 4；丁同学发现当x2 时，y5，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同 学是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 4 （2019怀柔区二模）在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其表达式中的二次项系数绝对 值最小的是（ ） Ay1 By2 Cy3 Dy4 5（2019道外区二模）
3、将抛物线yx2沿着x轴向左平移 1 个单位，再沿y轴向下平移 1 个单位，则得 到的抛物线解析式为（ ） Ay（x1）21 By（x1）2+1 Cy（x+1）2+1 Dy（x+1）21 6（2019大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+c经过点（1，2），（5，3）， 则下列说法正确的是（ ） 抛物线与y轴有交点 若抛物线经过点（2，2），则抛物线的开口向上 抛物线的对称轴不可能是x3 若抛物线的对称轴是x4，则抛物线与x轴有交点 A B C D 7（2019丰台区模拟）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方 2m的A处发出， 把球看成点，其运行的高度y（m
4、）与运行的水平距离x（m）满足关系式ya（xk）2+h已知球与 O点的水平距离为 6m时，达到最高 2.6m，球网与O点的水平距离为 9m高度为 2.43m，球场的边 界距O点的水平距离为 18m，则下列判断正确的是（ ） A球不会过网 B球会过球网但不会出界 C球会过球网并会出界 D无法确定 二填空题 8（2020朝阳区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，2），B（0，3），C（3， 3），D（4，2），y是关于x的二次函数，抛物线y1经过点A、B、C，抛物线y2经过点B、C、D， 抛物线y3经过点A、B、D，抛物线y4经过点A、C、D下列判断： 四条抛物线的开口方向均向下；
5、 当x0 时，至少有一条抛物线表达式中的y均随x的增大而减小； 抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的上方； 抛物线y4与y轴的交点在点B的上方 所有正确结论的序号为 9（2020朝阳区校级模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线yx24x+6 上运 动， 过点A作ACx轴于点C， 以AC为对角线作正方形ABCD 则正方形的边长AB的最小值是 10（2020西城区校级模拟）已知在同一坐标系中，抛物线y1ax2的开口向上，且它的开口比抛物线 y23x2+2 的开口小，请你写出一个满足条件的a值： 11（2020海淀区校级一模）计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象用“几何画板”软
6、件画 出的函数yx2（x3）和yx3 的图象如图所示根据图象可知方程x2（x3）x3 的解的个数 为 ；若m，n分别为方程x2（x3）1 和x31 的解，则m，n的大小关系是 12（2020西城区校级模拟）如图，双曲线y与抛物线yax2+bx+c交于点A（x1，y1），B（x2， y2），C（x3，y3），由图象可得不等式组 0+bx+c的解集为 13（2019朝阳区模拟）在平面直角坐标系中xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记函数y x2+a（a0）的图象在x轴上方的部分与x轴围成的区域（不含边界）为W当a2 时，区域W 内的整点个数为 ，若区域W内恰有 7 个整点，则a的取值范围是
7、14（2019大兴区一模）已知二次函数yx22x+3，当自变量x满足1x2 时，函数y的最大值 是 15（2019朝阳区模拟）二次函数yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x1， 则关于x的方程ax2+bx+c0（a0）的解为 16 （2019朝阳区模拟） 请写出一个开口向下， 并且与y轴交于点 （0， 2） 的抛物线的解析式，y 17 （2019石景山区二模）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端安有一个喷水 池，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为 1m处达到最高点C，高度为 3m，水柱落地点 D离池中心A处 3m，以水平方向为x轴，建立平面直
8、角坐标系，若选取A点为坐标原点时的抛物线的 表达式为y，则选取点D为坐标原点时的抛物线表达式为 ，水管 AB的长为 m 三解答题 18（2020北京二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax24ax（a0）与x轴交于点A，B（A 在B的左侧） （1）求点A，B的坐标及抛物线的对称轴； （2）已知点P（2，2），Q（2+2a，5a），若抛物线与线段PQ有公共点，请结合函数图象，求a的 取值范围 19 （2020东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（6，4）抛 物线yx25x+a2 的顶点为C （1）若抛物线经过点B时，求顶点C的坐标； （2）若抛物线与线段
9、AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围； （3）若满足不等式x25x+a20 的x的最大值为 3直接写出实数a的值 20 （2020海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数ymx2+2mx+3 的图象与x轴交于点 A（3，0），与y轴交于点B，将其图象在点A，B之间的部分（含A，B两点）记为F （1）求点B的坐标及该函数的表达式； （2）若二次函数yx2+2x+a的图象与F只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围 21 （2020门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数yax+3 的图象与y轴交于点A，与 抛物线yax22ax3a（a0）的对称轴交于点B，将点A
10、向右平移 5 个单位得到点C，连接AB， AC得到的折线段记为图形G （1）求出抛物线的对称轴和点C坐标； （2）当a1 时，直接写出抛物线yax22ax3a与图形G的公共点个数 如果抛物线yax22ax3a与图形G有且只有一个公共点，求出a的取值范围 22（2020丰台区一模）已知二次函数yax22ax （1）二次函数图象的对称轴是直线x ； （2）当 0 x3 时，y的最大值与最小值的差为 4，求该二次函数的表达式； （3）若a0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当tx1t+1，x23 时，均 满足y1y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围 23 （2020
11、大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx22mx+m4 与x轴交于点A，B（点 A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3） （1）求m的值； （2）若一次函数ykx+5（k0）的图象经过点A，求k的值； （3）将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n0）个单位后得到的图象 记为G，同时将（2）中得到的直线ykx+5（k0）向上平移n个单位，当平移后的直线与图象G有 公共点时，请结合图象直接写出n的取值范围 24（2020朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax23ax+a+1 与y轴交于点A （1）求点A的坐标（用含a的式子表示）； （2）求抛物线的对
12、称轴； （3）已知点M（2，a2），N（0，a）若抛物线与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象， 求a的取值范围 25 （2020西城区校级模拟）定义：点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距 离例如，如图，正方形ABCD满足A（1，0），B（2，0），C（2，1），D（1，1），那么点O（0， 0）到正方形ABCD的距离为 1 （1）如果点G（0，b）（b0）到抛物线yx2的距离为 3，请直接写出b的值 （2）求点M（3，0）到直线yx+3 的距离 （3）如果点N在直线x2 上运动，并且到直线yx+4 的距离为 4，求N的坐标 参考答案参考答案 一选择题 1解：依题意，得平移
13、后抛物线顶点坐标为（0，3）， 由平移不改变二次项系数， 故得到的抛物线解析式为：y2x23 故选：B 2解：A、当h15 时，1520t5t2， 解得：t11，t23， 故小球的飞行高度能达到 15m，故此选项错误； B、h20t5t25（t2）2+20， 故t2 时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误； C、h0 时，020t5t2， 解得：t10，t24， 小球从飞出到落地要用时 4s，故此选项正确； D、当t1 时，h15， 故小球飞出 1s时的飞行高度为 15m，故此选项错误； 故选：C 3解：对称轴是直线x1 时，b2a； 3 是一元二次方程ax2+bx+30（a0）的一个
14、根时，3a+b+10 ； 函数的最大值为 4 时，b24a； 当x2 时，y5 时，2a+b10 ； 当甲不对时，由和联立a2，b5，不满足，故不成立； 当乙不对时，由和联立a1，b2，不满足，故不成立； 当丙不对时，由和联立a2，b5，不满足，故不成立； 当丁不对时，由和联立a1，b2，成立； 故选：D 4解：由图象可知： 抛物线y1的顶点为（1，0），与y轴的交点为（0，4），根据待定系数法求得y12（x1）2； 抛物线y2的顶点为（1，0），与y轴的一个交点为（0，2），根据待定系数法求得y2（x1）2； 抛物线y3的顶点为（1，0），与y轴的交点为（0，1），根据待定系数法求得y3（x
15、1）2； 抛物线y4的顶点为（1，0），与y轴的交点为（0，b）且b4，根据待定系数法求得y4 （x1）2； 综上，二次项系数绝对值最小的是y3 故选：C 5解：抛物线yx2沿着x轴向左平移 1 个单位，再沿y轴向下平移 1 个单位，那么所得新抛物线的表达 式是y（x+1）21 故选：D 6解：当x0 时，yc，与y轴有交点；正确； 抛物线经过（1，2），（2，2），（5，3）， ， a， 抛物线开口向上； 正确； 如果抛物线的对称轴x3， （1，2）关于对称轴对称的点为（5，2）， 与经过点（5，3）矛盾， 对称轴不能是x3， 正确； 对称轴是x4， 4， b8a， 将点（1，2），（5，3
16、）代入得， ， 24a+4b1， 8a1， a， b1，c b24ac64a24ac0， 抛物线与x轴有交点， 正确； 故选：A 7解：球与O点的水平距离为 6m时，达到最高 2.6m， 抛物线为ya（x6）2+2.6 过点， 抛物线ya（x6）2+2.6 过点（0，2）， 2a（06）2+2.6， 解得：a， 故y与x的关系式为：y（x6）2+2.6， 当x9 时，y（x6）2+2.62.452.43， 所以球能过球网； 当y0 时，（x6）2+2.60， 解得：x16+218，x262（舍去） 故会出界 故选：C 二填空题（共 10 小题） 8解：将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，
17、 解得：， 故抛物线y1的表达式为：y1x2+x+3，顶点（，）； 同理可得：y2x2+x+3，顶点坐标为：（，）； y3x2+x+3，顶点坐标为（1，）； y4x2+2x+6，与y轴的交点为：（0，6）； 由函数表达式知，四条抛物线的开口方向均向下，故正确，符合题意； 当x0 时，y3随x的增大而增大，故错误，不符合题意； 由顶点坐标知，抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的下方，错误，不符合题意； 抛物线y4与y轴的交点（0，6）在B的上方，正确，符合题意 故答案为： 9解：四边形ABCD是正方形， ABAC， yx24x+6 （x2）2+2， 当x2 时，AC有最小值 2， 即正方形的边长A
18、B的最小值是 故答案为： 10解：抛物线y1ax2的开口向上， a0， 又它的开口比抛物线y23x2+2 的开口小， |a|3， a3， 取a4 即符合题意， 故答案为：4（答案不唯一） 11解：函数yx2（x3）的图象与函数yx3 的图象有 3 个交点，则方程x2（x3）x3 的解有 3 个； 方程x2（x3）1 的解为函数图象与直线y1 的交点的横坐标，x31 的解为一次函数yx3 与 直线y1 的交点的横坐标， 如图，由图象得mn 故答案为 3，mn 12解：由图可知，x2xx3时，0ax2+bx+c， 所以，不等式组 0ax2+bx+c的解集是x2xx3 故答案为：x2xx3 13解：
19、（1）当a2 时，函数yx2+2，函数与坐标轴的交点坐标分别为（0，2），（，0）， （，0）， 函数yx2+2 的图象在x轴上方的部分与x轴围成的区域中，整数点有（1，1）， （1，1），（0，2）在边界上，不符合题意，点（0，1）在W区域内 所以此时在区域W内的整数点有 1 个 （2）由（1）发现，当（0，2）是顶点时，在W区域内只有 1 个整数点，边界上有 3 个整数点； 当a3 时，在W区域内有 4 个整数点（1，1），（1，1），（0，2），（0，1）， 边界上有 3 个整数点（0，3），（1，2），（1，2）； 当a4 时，在W区域内有 7 个整数点（1，1），（1，1），（0，2
20、），（0，1）， （0，3），（1，2），（1，2）； 所以区域W内恰有 7 个整点，3a4 故本题答案是 1；3a4 14解：二次函数yx22x+3（x1）2+2， 该抛物线的对称轴为x1，且a10， 当x1 时，函数有最小值 2， 当x1 时，二次函数有最大值为：（11）2+26， 故答案为 6 15解：抛物线的对称轴为直线x1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0）， 所以抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0）， 即x1 或3 时，函数值y0， 所以关于x的方程ax2+bx+c0（a0）的解为x13，x21 故答案为x13，x21 16解：函数解析式为yx2+2（答案不唯一） 故答案为：
21、x2+2（答案不唯一） 17解：以池中心A为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系 抛物线的解析式为：y（x1）2+3， 当选取点D为坐标原点时，相当于将原图象向左平移 3 个单位， 故平移后的抛物线表达式为：y（x+2）2+3（3x0）； 令x3，则y+32.25 故水管AB的长为 2.25m 故答案为：y（x+2）2+3（3x0）；2.25 三解答题（共 8 小题） 18解：（1）yax24axax（x4）， y0 时，ax（x4）0， x0 或x4， 抛物线与x轴交于点A（0，0），B（4，0） 抛物线yax24ax的对称轴为直线： （2）yax24axa（x24x
22、）a（x2）24a， 抛物线的顶点坐标为（2，4a） 令y5a，得ax24ax5a，a（x5）（x+1）0， 解得x1 或x5， 当y5a时，抛物线上两点M（1，5a），N（5，5a） 当a0 时，抛物线开口向上，顶点位于x轴下方，且Q（2+2a，5a）位于点P的右侧， 如图 1，当点N位于点Q左侧时，抛物线与线段PQ有公共点， 此时 2+2a5， 解得a 当a0 时，抛物线开口向下，顶点位于x轴上方，点Q（2+2a，5a）位于点P的左侧， （）如图 2，当顶点位于点P下方时，抛物线与线段PQ有公共点， 此时4a2， 解得a （）如图 3，当顶点位于点P上方，点M位于点Q右侧时，抛物线与线段P
23、Q有公共点， 此时 2+2a1， 解得a 综上，a的取值范围是a或a0 或a 19解：（1）由题意可得：43656+a2， a0， 抛物线的解析式为：yx25x2， 顶点C坐标为（，）， （2）如图，当顶点C在线段AB下方时， 由题意可得：， 解得：0a6； 当顶点C在AB时，当x时，y4， ， a， 综上所述：当 0a6 或时，抛物线与线段AB恰有一个公共点； （3）由题意可得当x3 时，y0， 即 915+a20， a8 20解：（1）二次函数ymx2+2mx+3 的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B， 令x0，则y3， B（0，3）， 把A（3，0）代入ymx2+2mx+3，求
24、得m1， 函数的表达式为yx22x+3； （2）画出函数yx22x+3 的图象如图所示： 把A（3，0）代入yx2+2x+a得 096+a， 解得a3， 二次函数yx2+2x+a的的顶点与图象F的顶点（1，4）重合时，则 412+a， 解得a5， 由图象可知，二次函数yx2+2x+a的图象与F只有一个公共点，a的取值范围为3a3 或a5 21解：（1）抛物线yax22ax3a（a0）， 对称轴x1， 一次函数yax+3 的图象与y轴交于点A， A（0，3）， 点A向右平移 5 个单位得到点C， C（5，3） （2）如图 1 中，观察图象可知，抛物线与图象G的交点有 3 个， 抛物线的顶点（1，
25、4a）， 当a0 时，由可知，a1 时，抛物线经过A，B， 当a1 时，抛物线与图象G有且只有一个公共点， 当抛物线的顶点在线段AC上时，如图 2 中，也满足条件， 4a3， a， 当a0 时，如图 3 中， 抛物线经过点C时，25a10a3a3， 解得a， 抛物线经过点B时，4aa+3， 解得a（舍弃）不符合题意 观察图象可知a时，满足条件， 综上所述，满足条件的a的取值范围：a1 或a或a 22解：（1）由题意可得：对称轴是直线x1， 故答案为：1； （2）当a0 时，对称轴为x1， 当x1 时，y有最小值为a，当x3 时，y有最大值为 3a， 3a（a）4 a1， 二次函数的表达式为：y
26、x22x； 当a0 时，同理可得 y有最大值为a； y有最小值为 3a， a3a4， a1， 二次函数的表达式为：yx2+2x； 综上所述，二次函数的表达式为yx22x或yx2+2x； （3）a0，对称轴为x1， x1 时，y随x的增大而增大，x1 时，y随x的增大而减小，x1 和x3 时的函数值相等， tx1t+1，x23 时，均满足y1y2， t1，t+13， 1t2 23解：（1）抛物线yx22mx+m4 与y轴交于点C（0，3）， m43， m1 （2）抛物线的解析式为yx22x3， 令y0，得到x22x30， 解得x1 或 3， 抛物线yx22mx+m4 与x轴交于点A，B（点A在点
27、B的左侧）， A（1，0），B（3，0）， 一次函数ykx+5（k0）的图象经过点A， k+50， k5 （3）如图，设平移后的直线的解析式为y5x+5+n， 点C平移后的坐标为（n，3），点B平移后的坐标为（3n，0）， 当点C落在直线y5x+5+n上时，35n+5+n，解得n2， 当点B落在直线y5x+5+n上时，05（3n）+5+n解得n5， 观察图象可知，满足条件的n的取值范围为 2n5 24解：（1）抛物线yax23ax+a+1 与y轴交于A， 令x0，得到ya+1， A（0，a+1） （2）由抛物线yax23ax+a+1，可知x， 抛物线的对称轴x （3）对于任意实数a，都有a+1
28、a， 可知点A在点N的上方， 令抛物线上的点C（2，y）， yc11a+1， 如图 1 中， 当a0 时，yca2， 点C在点M的上方， 结合图象可知抛物线与线段MN没有公共点 当a0 时， （a）如图 2 中， 当抛物线经过点M时，yca2， a， 结合图象可知抛物线与线段MN巧有一个公共点M （b）当a0 时，观察图象可知抛物线与线段MN没有公共点 （c）如图 3 中，当a时，yca2， 点C在点M的下方， 结合图象可知抛物线与线段MN恰好有一个公共点， 综上所述，满足条件的a的取值范围是a 25解：（1）当G在原点下方时，b3， 当G在原点上方时，3， 整理得：x4+（12b）x2+b2
29、90， （12b）24（b29）0， 解得：b（舍去）， 故答案为：3； （2）如图 1，作直线yx+3 与x轴交于点B（3，0）， 过点M作MNBN交于点N，则MN的长度为所求值， 则BMN为等腰直角三角形， 故MNBM3， 故点M（3，0）到直线yx+3 的距离为 3； （3）当点N在直线BH和x2 的交点下方时， 如图 2，作直线yx+4 交x轴于点B，过点N作NHBH于点H， 过点N作MNx轴交直线BH于点M，则HN4， 由（2）同理可知，HMN为等腰直角三角形， MNHN4， 故xM24，yMxM+464yN， 故点N的坐标为：（2，64）； 当点N在直线BH和x2 的交点上方时， 同理可得：点N的坐标为：（2，6+4）； 综上，点N的坐标为：（2，64）或（2，6+4）
