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2020年北京市中考数学各地区模拟试题分类(一)二次函数(含解析)

1、20192019- -20202020 年北京市中考数学各地区模拟试题分类(一)年北京市中考数学各地区模拟试题分类(一)二次函数二次函数 一选择题 1(2020海淀区一模)将抛物线y2x2向下平移 3 个单位长度所得到的抛物线是( ) Ay2x2+3 By2x23 Cy2(x3)2 Dy2(x+3)2 2(2019房山区二模)如图,以 40m/s的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出时,小球的飞行路 线将是一条抛物线如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之 间具有函数关系h20t5t2下列叙述正确的是( ) A小球的飞行高度不能达到 15m B小球的飞行高度

2、可以达到 25m C小球从飞出到落地要用时 4s D小球飞出 1s时的飞行高度为 10m 3 (2019通州区三模)四位同学在研究二次函数yax2+bx+3(a0)时,甲同学发现函数图象的对称 轴是直线x1;乙同学发现 3 是一元二次方程ax2+bx+30(a0)的一个根;丙同学发现函数的最 大值为 4;丁同学发现当x2 时,y5,已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的,则该同 学是( ) A甲 B乙 C丙 D丁 4 (2019怀柔区二模)在平面直角坐标系xOy中,四条抛物线如图所示,其表达式中的二次项系数绝对 值最小的是( ) Ay1 By2 Cy3 Dy4 5(2019道外区二模)

3、将抛物线yx2沿着x轴向左平移 1 个单位,再沿y轴向下平移 1 个单位,则得 到的抛物线解析式为( ) Ay(x1)21 By(x1)2+1 Cy(x+1)2+1 Dy(x+1)21 6(2019大兴区一模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线yax2+bx+c经过点(1,2),(5,3), 则下列说法正确的是( ) 抛物线与y轴有交点 若抛物线经过点(2,2),则抛物线的开口向上 抛物线的对称轴不可能是x3 若抛物线的对称轴是x4,则抛物线与x轴有交点 A B C D 7(2019丰台区模拟)如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方 2m的A处发出, 把球看成点,其运行的高度y(m

4、)与运行的水平距离x(m)满足关系式ya(xk)2+h已知球与 O点的水平距离为 6m时,达到最高 2.6m,球网与O点的水平距离为 9m高度为 2.43m,球场的边 界距O点的水平距离为 18m,则下列判断正确的是( ) A球不会过网 B球会过球网但不会出界 C球会过球网并会出界 D无法确定 二填空题 8(2020朝阳区校级模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(2,2),B(0,3),C(3, 3),D(4,2),y是关于x的二次函数,抛物线y1经过点A、B、C,抛物线y2经过点B、C、D, 抛物线y3经过点A、B、D,抛物线y4经过点A、C、D下列判断: 四条抛物线的开口方向均向下;

5、 当x0 时,至少有一条抛物线表达式中的y均随x的增大而减小; 抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的上方; 抛物线y4与y轴的交点在点B的上方 所有正确结论的序号为 9(2020朝阳区校级模拟)已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,点A在抛物线yx24x+6 上运 动, 过点A作ACx轴于点C, 以AC为对角线作正方形ABCD 则正方形的边长AB的最小值是 10(2020西城区校级模拟)已知在同一坐标系中,抛物线y1ax2的开口向上,且它的开口比抛物线 y23x2+2 的开口小,请你写出一个满足条件的a值: 11(2020海淀区校级一模)计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象用“几何画板”软

6、件画 出的函数yx2(x3)和yx3 的图象如图所示根据图象可知方程x2(x3)x3 的解的个数 为 ;若m,n分别为方程x2(x3)1 和x31 的解,则m,n的大小关系是 12(2020西城区校级模拟)如图,双曲线y与抛物线yax2+bx+c交于点A(x1,y1),B(x2, y2),C(x3,y3),由图象可得不等式组 0+bx+c的解集为 13(2019朝阳区模拟)在平面直角坐标系中xOy中,横、纵坐标都是整数的点叫做整点,记函数y x2+a(a0)的图象在x轴上方的部分与x轴围成的区域(不含边界)为W当a2 时,区域W 内的整点个数为 ,若区域W内恰有 7 个整点,则a的取值范围是

7、14(2019大兴区一模)已知二次函数yx22x+3,当自变量x满足1x2 时,函数y的最大值 是 15(2019朝阳区模拟)二次函数yax2+bx+c(a0)的部分图象如图所示,对称轴为直线x1, 则关于x的方程ax2+bx+c0(a0)的解为 16 (2019朝阳区模拟) 请写出一个开口向下, 并且与y轴交于点 (0, 2) 的抛物线的解析式,y 17 (2019石景山区二模)如图,在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB,水管的顶端安有一个喷水 池,使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为 1m处达到最高点C,高度为 3m,水柱落地点 D离池中心A处 3m,以水平方向为x轴,建立平面直

8、角坐标系,若选取A点为坐标原点时的抛物线的 表达式为y,则选取点D为坐标原点时的抛物线表达式为 ,水管 AB的长为 m 三解答题 18(2020北京二模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线yax24ax(a0)与x轴交于点A,B(A 在B的左侧) (1)求点A,B的坐标及抛物线的对称轴; (2)已知点P(2,2),Q(2+2a,5a),若抛物线与线段PQ有公共点,请结合函数图象,求a的 取值范围 19 (2020东城区二模)在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,4),点B的坐标为(6,4)抛 物线yx25x+a2 的顶点为C (1)若抛物线经过点B时,求顶点C的坐标; (2)若抛物线与线段

9、AB恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围; (3)若满足不等式x25x+a20 的x的最大值为 3直接写出实数a的值 20 (2020海淀区二模)在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数ymx2+2mx+3 的图象与x轴交于点 A(3,0),与y轴交于点B,将其图象在点A,B之间的部分(含A,B两点)记为F (1)求点B的坐标及该函数的表达式; (2)若二次函数yx2+2x+a的图象与F只有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围 21 (2020门头沟区一模)在平面直角坐标系xOy中,一次函数yax+3 的图象与y轴交于点A,与 抛物线yax22ax3a(a0)的对称轴交于点B,将点A

10、向右平移 5 个单位得到点C,连接AB, AC得到的折线段记为图形G (1)求出抛物线的对称轴和点C坐标; (2)当a1 时,直接写出抛物线yax22ax3a与图形G的公共点个数 如果抛物线yax22ax3a与图形G有且只有一个公共点,求出a的取值范围 22(2020丰台区一模)已知二次函数yax22ax (1)二次函数图象的对称轴是直线x ; (2)当 0 x3 时,y的最大值与最小值的差为 4,求该二次函数的表达式; (3)若a0,对于二次函数图象上的两点P(x1,y1),Q(x2,y2),当tx1t+1,x23 时,均 满足y1y2,请结合函数图象,直接写出t的取值范围 23 (2020

11、大兴区一模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线yx22mx+m4 与x轴交于点A,B(点 A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,3) (1)求m的值; (2)若一次函数ykx+5(k0)的图象经过点A,求k的值; (3)将二次函数的图象在点B,C间的部分(含点B和点C)向左平移n(n0)个单位后得到的图象 记为G,同时将(2)中得到的直线ykx+5(k0)向上平移n个单位,当平移后的直线与图象G有 公共点时,请结合图象直接写出n的取值范围 24(2020朝阳区一模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线yax23ax+a+1 与y轴交于点A (1)求点A的坐标(用含a的式子表示); (2)求抛物线的对

12、称轴; (3)已知点M(2,a2),N(0,a)若抛物线与线段MN恰有一个公共点,结合函数图象, 求a的取值范围 25 (2020西城区校级模拟)定义:点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距 离例如,如图,正方形ABCD满足A(1,0),B(2,0),C(2,1),D(1,1),那么点O(0, 0)到正方形ABCD的距离为 1 (1)如果点G(0,b)(b0)到抛物线yx2的距离为 3,请直接写出b的值 (2)求点M(3,0)到直线yx+3 的距离 (3)如果点N在直线x2 上运动,并且到直线yx+4 的距离为 4,求N的坐标 参考答案参考答案 一选择题 1解:依题意,得平移

13、后抛物线顶点坐标为(0,3), 由平移不改变二次项系数, 故得到的抛物线解析式为:y2x23 故选:B 2解:A、当h15 时,1520t5t2, 解得:t11,t23, 故小球的飞行高度能达到 15m,故此选项错误; B、h20t5t25(t2)2+20, 故t2 时,小球的飞行高度最大为:20m,故此选项错误; C、h0 时,020t5t2, 解得:t10,t24, 小球从飞出到落地要用时 4s,故此选项正确; D、当t1 时,h15, 故小球飞出 1s时的飞行高度为 15m,故此选项错误; 故选:C 3解:对称轴是直线x1 时,b2a; 3 是一元二次方程ax2+bx+30(a0)的一个

14、根时,3a+b+10 ; 函数的最大值为 4 时,b24a; 当x2 时,y5 时,2a+b10 ; 当甲不对时,由和联立a2,b5,不满足,故不成立; 当乙不对时,由和联立a1,b2,不满足,故不成立; 当丙不对时,由和联立a2,b5,不满足,故不成立; 当丁不对时,由和联立a1,b2,成立; 故选:D 4解:由图象可知: 抛物线y1的顶点为(1,0),与y轴的交点为(0,4),根据待定系数法求得y12(x1)2; 抛物线y2的顶点为(1,0),与y轴的一个交点为(0,2),根据待定系数法求得y2(x1)2; 抛物线y3的顶点为(1,0),与y轴的交点为(0,1),根据待定系数法求得y3(x

15、1)2; 抛物线y4的顶点为(1,0),与y轴的交点为(0,b)且b4,根据待定系数法求得y4 (x1)2; 综上,二次项系数绝对值最小的是y3 故选:C 5解:抛物线yx2沿着x轴向左平移 1 个单位,再沿y轴向下平移 1 个单位,那么所得新抛物线的表达 式是y(x+1)21 故选:D 6解:当x0 时,yc,与y轴有交点;正确; 抛物线经过(1,2),(2,2),(5,3), , a, 抛物线开口向上; 正确; 如果抛物线的对称轴x3, (1,2)关于对称轴对称的点为(5,2), 与经过点(5,3)矛盾, 对称轴不能是x3, 正确; 对称轴是x4, 4, b8a, 将点(1,2),(5,3

16、)代入得, , 24a+4b1, 8a1, a, b1,c b24ac64a24ac0, 抛物线与x轴有交点, 正确; 故选:A 7解:球与O点的水平距离为 6m时,达到最高 2.6m, 抛物线为ya(x6)2+2.6 过点, 抛物线ya(x6)2+2.6 过点(0,2), 2a(06)2+2.6, 解得:a, 故y与x的关系式为:y(x6)2+2.6, 当x9 时,y(x6)2+2.62.452.43, 所以球能过球网; 当y0 时,(x6)2+2.60, 解得:x16+218,x262(舍去) 故会出界 故选:C 二填空题(共 10 小题) 8解:将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得:,

17、 解得:, 故抛物线y1的表达式为:y1x2+x+3,顶点(,); 同理可得:y2x2+x+3,顶点坐标为:(,); y3x2+x+3,顶点坐标为(1,); y4x2+2x+6,与y轴的交点为:(0,6); 由函数表达式知,四条抛物线的开口方向均向下,故正确,符合题意; 当x0 时,y3随x的增大而增大,故错误,不符合题意; 由顶点坐标知,抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的下方,错误,不符合题意; 抛物线y4与y轴的交点(0,6)在B的上方,正确,符合题意 故答案为: 9解:四边形ABCD是正方形, ABAC, yx24x+6 (x2)2+2, 当x2 时,AC有最小值 2, 即正方形的边长A

18、B的最小值是 故答案为: 10解:抛物线y1ax2的开口向上, a0, 又它的开口比抛物线y23x2+2 的开口小, |a|3, a3, 取a4 即符合题意, 故答案为:4(答案不唯一) 11解:函数yx2(x3)的图象与函数yx3 的图象有 3 个交点,则方程x2(x3)x3 的解有 3 个; 方程x2(x3)1 的解为函数图象与直线y1 的交点的横坐标,x31 的解为一次函数yx3 与 直线y1 的交点的横坐标, 如图,由图象得mn 故答案为 3,mn 12解:由图可知,x2xx3时,0ax2+bx+c, 所以,不等式组 0ax2+bx+c的解集是x2xx3 故答案为:x2xx3 13解:

19、(1)当a2 时,函数yx2+2,函数与坐标轴的交点坐标分别为(0,2),(,0), (,0), 函数yx2+2 的图象在x轴上方的部分与x轴围成的区域中,整数点有(1,1), (1,1),(0,2)在边界上,不符合题意,点(0,1)在W区域内 所以此时在区域W内的整数点有 1 个 (2)由(1)发现,当(0,2)是顶点时,在W区域内只有 1 个整数点,边界上有 3 个整数点; 当a3 时,在W区域内有 4 个整数点(1,1),(1,1),(0,2),(0,1), 边界上有 3 个整数点(0,3),(1,2),(1,2); 当a4 时,在W区域内有 7 个整数点(1,1),(1,1),(0,2

20、),(0,1), (0,3),(1,2),(1,2); 所以区域W内恰有 7 个整点,3a4 故本题答案是 1;3a4 14解:二次函数yx22x+3(x1)2+2, 该抛物线的对称轴为x1,且a10, 当x1 时,函数有最小值 2, 当x1 时,二次函数有最大值为:(11)2+26, 故答案为 6 15解:抛物线的对称轴为直线x1,抛物线与x轴的一个交点坐标为(1,0), 所以抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0), 即x1 或3 时,函数值y0, 所以关于x的方程ax2+bx+c0(a0)的解为x13,x21 故答案为x13,x21 16解:函数解析式为yx2+2(答案不唯一) 故答案为:

21、x2+2(答案不唯一) 17解:以池中心A为原点,竖直安装的水管为y轴,与水管垂直的为x轴建立直角坐标系 抛物线的解析式为:y(x1)2+3, 当选取点D为坐标原点时,相当于将原图象向左平移 3 个单位, 故平移后的抛物线表达式为:y(x+2)2+3(3x0); 令x3,则y+32.25 故水管AB的长为 2.25m 故答案为:y(x+2)2+3(3x0);2.25 三解答题(共 8 小题) 18解:(1)yax24axax(x4), y0 时,ax(x4)0, x0 或x4, 抛物线与x轴交于点A(0,0),B(4,0) 抛物线yax24ax的对称轴为直线: (2)yax24axa(x24x

22、)a(x2)24a, 抛物线的顶点坐标为(2,4a) 令y5a,得ax24ax5a,a(x5)(x+1)0, 解得x1 或x5, 当y5a时,抛物线上两点M(1,5a),N(5,5a) 当a0 时,抛物线开口向上,顶点位于x轴下方,且Q(2+2a,5a)位于点P的右侧, 如图 1,当点N位于点Q左侧时,抛物线与线段PQ有公共点, 此时 2+2a5, 解得a 当a0 时,抛物线开口向下,顶点位于x轴上方,点Q(2+2a,5a)位于点P的左侧, ()如图 2,当顶点位于点P下方时,抛物线与线段PQ有公共点, 此时4a2, 解得a ()如图 3,当顶点位于点P上方,点M位于点Q右侧时,抛物线与线段P

23、Q有公共点, 此时 2+2a1, 解得a 综上,a的取值范围是a或a0 或a 19解:(1)由题意可得:43656+a2, a0, 抛物线的解析式为:yx25x2, 顶点C坐标为(,), (2)如图,当顶点C在线段AB下方时, 由题意可得:, 解得:0a6; 当顶点C在AB时,当x时,y4, , a, 综上所述:当 0a6 或时,抛物线与线段AB恰有一个公共点; (3)由题意可得当x3 时,y0, 即 915+a20, a8 20解:(1)二次函数ymx2+2mx+3 的图象与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B, 令x0,则y3, B(0,3), 把A(3,0)代入ymx2+2mx+3,求

24、得m1, 函数的表达式为yx22x+3; (2)画出函数yx22x+3 的图象如图所示: 把A(3,0)代入yx2+2x+a得 096+a, 解得a3, 二次函数yx2+2x+a的的顶点与图象F的顶点(1,4)重合时,则 412+a, 解得a5, 由图象可知,二次函数yx2+2x+a的图象与F只有一个公共点,a的取值范围为3a3 或a5 21解:(1)抛物线yax22ax3a(a0), 对称轴x1, 一次函数yax+3 的图象与y轴交于点A, A(0,3), 点A向右平移 5 个单位得到点C, C(5,3) (2)如图 1 中,观察图象可知,抛物线与图象G的交点有 3 个, 抛物线的顶点(1,

25、4a), 当a0 时,由可知,a1 时,抛物线经过A,B, 当a1 时,抛物线与图象G有且只有一个公共点, 当抛物线的顶点在线段AC上时,如图 2 中,也满足条件, 4a3, a, 当a0 时,如图 3 中, 抛物线经过点C时,25a10a3a3, 解得a, 抛物线经过点B时,4aa+3, 解得a(舍弃)不符合题意 观察图象可知a时,满足条件, 综上所述,满足条件的a的取值范围:a1 或a或a 22解:(1)由题意可得:对称轴是直线x1, 故答案为:1; (2)当a0 时,对称轴为x1, 当x1 时,y有最小值为a,当x3 时,y有最大值为 3a, 3a(a)4 a1, 二次函数的表达式为:y

26、x22x; 当a0 时,同理可得 y有最大值为a; y有最小值为 3a, a3a4, a1, 二次函数的表达式为:yx2+2x; 综上所述,二次函数的表达式为yx22x或yx2+2x; (3)a0,对称轴为x1, x1 时,y随x的增大而增大,x1 时,y随x的增大而减小,x1 和x3 时的函数值相等, tx1t+1,x23 时,均满足y1y2, t1,t+13, 1t2 23解:(1)抛物线yx22mx+m4 与y轴交于点C(0,3), m43, m1 (2)抛物线的解析式为yx22x3, 令y0,得到x22x30, 解得x1 或 3, 抛物线yx22mx+m4 与x轴交于点A,B(点A在点

27、B的左侧), A(1,0),B(3,0), 一次函数ykx+5(k0)的图象经过点A, k+50, k5 (3)如图,设平移后的直线的解析式为y5x+5+n, 点C平移后的坐标为(n,3),点B平移后的坐标为(3n,0), 当点C落在直线y5x+5+n上时,35n+5+n,解得n2, 当点B落在直线y5x+5+n上时,05(3n)+5+n解得n5, 观察图象可知,满足条件的n的取值范围为 2n5 24解:(1)抛物线yax23ax+a+1 与y轴交于A, 令x0,得到ya+1, A(0,a+1) (2)由抛物线yax23ax+a+1,可知x, 抛物线的对称轴x (3)对于任意实数a,都有a+1

28、a, 可知点A在点N的上方, 令抛物线上的点C(2,y), yc11a+1, 如图 1 中, 当a0 时,yca2, 点C在点M的上方, 结合图象可知抛物线与线段MN没有公共点 当a0 时, (a)如图 2 中, 当抛物线经过点M时,yca2, a, 结合图象可知抛物线与线段MN巧有一个公共点M (b)当a0 时,观察图象可知抛物线与线段MN没有公共点 (c)如图 3 中,当a时,yca2, 点C在点M的下方, 结合图象可知抛物线与线段MN恰好有一个公共点, 综上所述,满足条件的a的取值范围是a 25解:(1)当G在原点下方时,b3, 当G在原点上方时,3, 整理得:x4+(12b)x2+b2

29、90, (12b)24(b29)0, 解得:b(舍去), 故答案为:3; (2)如图 1,作直线yx+3 与x轴交于点B(3,0), 过点M作MNBN交于点N,则MN的长度为所求值, 则BMN为等腰直角三角形, 故MNBM3, 故点M(3,0)到直线yx+3 的距离为 3; (3)当点N在直线BH和x2 的交点下方时, 如图 2,作直线yx+4 交x轴于点B,过点N作NHBH于点H, 过点N作MNx轴交直线BH于点M,则HN4, 由(2)同理可知,HMN为等腰直角三角形, MNHN4, 故xM24,yMxM+464yN, 故点N的坐标为:(2,64); 当点N在直线BH和x2 的交点上方时, 同理可得:点N的坐标为:(2,6+4); 综上,点N的坐标为:(2,64)或(2,6+4)