1、 探索三角形全等的条件 第13讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中一年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1、三角形全等的条件边边边与三角形的稳定性 2、三角形全等的条件角边角（ASA）与角角边（AAS） 3、三角形全等的条件边角边（SAS） 4、三角形全等条件的灵活运用 5、三角形综合问题 教学目标 1、掌握三角形全等的“边边边” （ “SSS” ）判定方法，了解三角形的稳定性，会运用”SSS” 判定方法证明两个三角形全等以及解决一些实际问题. 2、经历探索三角形全等的条件的过程，通过动手实践探究问题、发现问题，培养动手实 践、探究、归纳的能力和发展推理、论证合作能
2、力. 教学重点 掌握三角形全等的条件“SSS” ，并能利用它判定两三角形是否全等. 教学难点 探索思路的选择和探索三角形全等的“SSS”条件的过程. 【教学建议】【教学建议】 本节的教学重点引导学生发现三角形全等的条件，鼓励学生相互交流发表自己的想法，从而得出当两 个三角形的边和角满足哪些条件时可以判定三角形全等，通过作图分析加深学生的理解，并能够将三角形 全等的性质和判定进行综合应用解决相关问题。 学生学习本节时可能会在以下两个方面感到困难： 1.判定三角形全等的条件； 2.全等三角形的性质和判定的综合应用； 【知识导图】【知识导图】 概述 【教学建议】【教学建议】 在探索三角形全等的条件时
3、，要注意引导学生去发现两个三角形的边、角需要满足的条件，可让学生分 组进行讨论，培养学生的动手能力和分析观察问题的能力。 在学生基本掌握判定三角形全等的条件之后，要让学生能够区分和联系全等三角形的性质和判定，形 成完整的知识体系，对整体的几何证明、计算问题有更深入的理解，掌握解决几何综合题的思路和方法。 1.三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS” ； 2.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“ASA” ； 3.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS” ； 4.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”
4、或“SAS” ； 5.三角形的稳定性。 全等三角形的判定 三角形全等的条件 “边边边”（或SSS） “边角边”（或SAS） “角边角”（或ASA） “角角边”（或AAS） 全等三角形的性质和判 定综合应用 知识点 1 三角形全等的条件 二、知识讲解 一、导入 教学过程 1.三角形的性质与判定； 2.尺规作图。 【题干】不是利用三角形稳定性的是（ ） A. 自行车的三角形车架 B. 三角形房架 C. 照相机的三角架 D. 矩形门框的斜拉条 【答案】【答案】C 【解析】【解析】照相机的三脚架构成的是立体图形，不是三角形。故选 C. 【题干】【题干】如图，ABC 中，AB=AC，D 为 BC 的中点
5、，以下结论： （1）ABDACD ； （2）ADBC； （3）B=C ； （4）AD 是ABC 的角平分线 其中正确的有（ ） A1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 A B C D 例题 2 例题 1 三、例题精析 知识点 2 综合应用 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由 SSS 得出ABD 和ACD 全等，ADBC；B=C AD 是ABC 的角平分线 故选 D 【题干】【题干】已知：点 B、E、C、F 在同一直线上，ABDE，AD，ACDF求证：ABCDEF 【答案】【答案】见解析。 【解析】【解析】证明： （1）ACDF ACBF 在ABC 与DEF 中 ABCDEF 【题干】
6、【题干】如图，已知点 A、F、E、C 在同一直线上，ABCD，ABE=CDF，AF=CE 写出图中全等的三角形，并选择其中一对进行证明 【答案】【答案】见解析。 【解析】【解析】（1）ABECDF，AFDCEB； （2）ABCD， 1=2， AF=CE， AF+EF=CE+EF， 即 AE=FC， 在ABE 和CDF 中， ACBF AD ABDE 例题 4 例题 3 ， ABECDF（AAS） 【题干】【题干】已知：如图，点 B、F、E、C 在同一条直线上，ABCD，且 AB=CD，BF=CE 求证：AEB=DFC 证明：ABCD（已知） ， B=C（ ） BF=CE（已知） ， BF+_=
7、CE+_，即 BE=CF 在ABE 和DCF 中， _,_ _,_ _,_ ABEDCF（ ） AEB=DFC 【答案】【答案】见解析. 【解析】【解析】证明：ABCD（已知） ， B=C（两直线平行，内错角相等） BF=CE（已知） ， F D A B C E 例题 5 BF+ EF =CE+EF，即 BE=CF 在ABE 和DCF 中， CFBE CB CDAB ABEDCF（SAS） AEB=DFC 【教学建议】【教学建议】 在学习过程中，要让学生在充分理解四种判定方法的基础之上，选择合适的习题进行针对性练习，并且 要让学生学会总结分析不同类型问题在解题方法上的异同，加深理解。 1. 如
8、图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】【答案】A 【解析】【解析】构成AOB，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性。故选：A. 2.已知：如图,AB=AC,AD=AE,BD=CE。求证：BAC=DAE。 基础 四 、课堂运用 【答案】【答案】见解析。 【解析】【解析】证明：AB=AC，AD=AE，BD=CE ABDACE(SSS) BADCAE DAC=CAD BAD+DAC=CAE+CAD 即BAC=DAE. 3. 已知：如图，在BAC 中，AB=AC，D、E 分
9、别是 AB、AC 的中点，且 CD=BE 求证：ADC=AEB 【答案】【答案】见解析。 【解析】【解析】证明：D、E 分别是 AB、AC 的中点 ACAEABAD 2 1 2 1 又AB=AC AD=AE 在ADC 与AEB 中， BEDC ADAE ACAB ADCAEB ADC=AEB 4. 在ABC 中，AB=AC，点 E，F 分别在 AB，AC 上，AE=AF，BF 与 CE 相交于点 P.求证：PB=PC，并直接写出 图中其他相等的线段。 【答案】【答案】见解析。 【解析】【解析】证明：在ABF 和ACE 中， AB=AC，BAF=CAE，AF=AE， ABFACE(SAS)， A
10、BF=ACE(全等三角形的对应角相等)， BF=CE(全等三角形的对应边相等)， AB=AC，AE=AF， BE=CF， 在BEP 和CFP 中， BPE=CPF，PBE=PCF，BE=CF， BEPCFP(AAS)， PB=PC， BF=CE， PE=PF， 图中相等的线段为 PE=PF，BE=CF，BF=CE. 1. 某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃那么最省事的 办法是带_去配（ ） A B C D和 【答案】【答案】C 【解析】【解析】第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，由这两块中的任一块均不能配一块与原来 巩固 完全一样的； 第
11、三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边， 则可以由 ASA 来配一块一样的玻璃 故 选 C 2. 如图：等边三角形 ABC 中，BDCE，AD 与 BE 相交于点 P，则APE 的度数是（ ） A45 B55 C60 D75 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据题意可得ABD 和CBE 全等， 从而得出BAP=CBE， 则APE=BAP+ABP=CBE+ABE=ABC=60 3. 如图，AEAB，且 AE=AB，BCCD，且 BC=CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的 面积 S= 【答案】【答案】50 【解析】【解析】解：解：由 AEAB，EFFH，BGAG，可以得
12、到EAF=ABG，而 AE=AB，EFA=AGB， 由此可以证明EFAABG，所以 AF=BG，AG=EF； 同理证得BGCDHC，GC=DH，CH=BG，故 FH=FA+AG+GC+CH=2+6+4+2=14， 然后利用面积的割补法和面积公式 S= 1 2 （6+4）14-24-62=50 4. 如图，在ABC 中，ACB=90，AC=BC，BECE 于 E，ADCE 于 D （1）求证：ADCCEB （2）AD=5cm，DE=3cm，求 BE 的长度 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）证明：如图，ADCE，ACB=90， ADC=ACB=90， BCE=CAD（同角的余角相等）
13、 在ADC 与CEB 中， ， ADCCEB（AAS） ； （2）由（1）知，ADCCEB，则 AD=CE=5cm，CD=BE 如图，CD=CEDE， BE=ADDE=53=2（cm） ，即 BE 的长度是 2cm 1. 工人师傅常用角尺平分一个任意角。 做法如下： 如图， AOB 是一个任意角， 在边 OA， OB 上分别取 OM=ON， 移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 M，N 重合。过角尺顶点 C 作射线 OC.由此做法得MOCNOC 的 依据是（ ） A. AAS B. SAS C. ASA D. SSS 【答案】【答案】D 【解析】【解析】解：OM=ON，CM=CN，OC为公共边
14、， 拔高 MOCNOC(SSS). 故选 D. 2. 如图，DCE=90，CD=CE，ADAC，BEAC，垂足分别为 A、B试说明 AD+AB=BE 【答案】【答案】见解析。 【解析】【解析】ADAC，BEAC A=EBC=90 ACD+D=90 DCE=90 ACD+ECB=90 D=ECB 又CD=CE ADCBCE（AAS） AC=BE AD=BC AC=AB+BC BE=AB+AD 3. 如图，RtABC 中，ACB90，ACBC，点 D、E 分别为 AB、BC 的中点，AE 与 CD 相交于点 H，CF AE 交 AB 于点 F，垂足为 G，连结 EF、FH 和 DG （1）求证：A
15、CHCBF； （2）求证：AEEFFC； 【答案】【答案】见解析。 【解析】【解析】证明：证明：（1）ACBC，ACB90， CABB45 又D 为 AB 中点，ACDBCD45 ACHB H G F E D C BA CGAE，CAHACG90 又BCFACG90 CAHBCF ACHCBF （2）由（1）得 CHBF，HCEB45 又 E 为 BC 中点，CEBE HCEFBE HEFE 由（1）得 AHCF AEAHHE AECFEF 4.已知：ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点 F。 （1）如图，若ABC为锐角三角形，且,45oABC 过点F作BCFG/交直线AB于点G，求
16、证： .ADDCFG=+ （2）如图，若ABC为钝角三角形，且,135 o ABC （1）中的其他条件不变，则ADDCFG、之 间满足怎样的数量关系？并给出证明。 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】证明：先证 FDB CDA ， .DCDF BADAGF,45ABCAGF,BD/GF .,ADDFFADCFGFGFA （2） ADDCFG 同（1）可证 FDB CDA ， DCDF ，又可证 ,FGFA .ADDFFADCFG 1.三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS” ； 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“ASA” ； 两角分别相等且其中一组
17、等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS” ； 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS” ； 2.全等三角形的性质与判定。 1. 王师傅用 4 根木条钉成一个四边形木架，如图。要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条?() A. 0 根 B. 1 根 C. 2 根 D. 3 根 【答案】【答案】B 【解析】【解析】加上AC后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的ACD及ABC， 故这种做法根据的是三角形的稳定性。 2. 如图，C 是 AB 的中点，AD=BE，CD=CE求证：D=E 【答案答案】见解析。 基础 扩展延伸 课堂小结 【解析解析】证
18、明：C 是 AB 中点， AC=BC， 在BCE 和ACD 中， AC=BC，CD=CE，AD=BE， BCEACD（SSS） ， D=E 3. 如图，AC=DC，BC= EC，ACD = BCE求证：A=D 【答案答案】见解析。 【解析解析】证明：ACD=BCE， ACB=DCE，在ABC 和DEC 中， AC=DC，ACB=DCE，BC=EC， ABCDEC（SAS） ， A=D 1. 如图， 已知ABC中，45ABC， F是高AD和BE的交点， 3CD， 则线段DF的长度为 【答案答案】3 【解析解析】解： ADBC， ADB=ADC=90， 巩固 又ABC=45， BAD=ABD=45
19、， AD=BD， BEAC，BEC=90， FBD+C=90，CAD+C=90， FBD=CAD， 在FBD 和CAD 中 CAD=DBF，FDB=ADC=90，AD=BD， ADCBDF， DF=CD=3 2. ABC 的两条高 AD、BE 交于点 H，若 BH=AC，则ABC= 【答案答案】45或 135 【解析解析】解：有 2 种情况，如图（1） ， （2） ， BHD=AHE，又AEH=ADC=90， DAC+C=90，HAE+AHE=90， AHE=C， C=BHD， BH=AC，HBD=DAC，C=BHD， HBDCAD， AD=BD 如图（1）时ABC=45； 如图（2）时ABC
20、=135 AD=BD，ADBD， ADB 是等腰直角三角形， ABD=45， ABC=180-45=135， 故答案为：45或 135 3. 如图正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别为 DC、BC 中点 （1）求证：ADEABF （2）求AEF 的面积 【答案答案】见解析 【解析解析】 （1）证明：四边形 ABCD 为正方形， AB=AD，=90，DC=CB， E、F 为 DC、BC 中点， DE=DC，BF=BC， DE=BF， 在ADE 和ABF 中， ADEABF（SAS） ； （2）解：由题知ABF、ADE、CEF 均为直角三角形， 且 AB=AD=4，DE=BF=4=2，CE
21、=CF=4=2， SAEF=S正方形 ABCDSADESABFSCEF=44424222=6 4. 阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明已知：如图，E 是 BC 的中点，点 A 在 DE 上，且BAE= CDE 求证：AB=CD. 分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要 证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等因此，要证 AB=CD， 必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形 现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明 【答案答案】见解析 【解析解析】方法一：作 BFD
22、E 于点 F，CGDE 于点 G，F=CGE=90 又BEF=CEG，BE=CE，BFECGEBF=CG 在ABF 和DCG 中，F=DGC=90，BAE=CDE，BF=CG， ABFDCGAB=CD 方法二：作 CFAB，交 DE 的延长线于点 F，F=BAE 又ABE=D，F=DCF=CD F=BAE，AEB=FEC，BE=CE，ABEFCE AB=CFAB=CD 方法三：延长 DE 至点 F，使 EF=DE，又BE=CE，BEF=CED，BEFCED BF=CD，D=F又BAE=D，BAE=F AB=BFAB=CD 1. 如图，在方格纸中，以 AB 为一边作ABP，使之与ABC 全等，从
23、 P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件 的点 P，则点 P 有（ ） 拔高 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案答案】C 【解析解析】根据三角形全等的判定定理可得：符合条件的点 P 为： 1 P、 3 P和 4 P三种情况 2.如图，在四边形 ABCD 中，ADBC4，ABCD，BD6，点 E 从 D 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿 DA 向点 A 匀速移动，点 F 从点 C 出发，以每秒 3 个单位的速度沿 CBC 作匀速移动，点 G 从点 B 出发沿 BD 向点 D 匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动 （1）试证明：ADBC； （2）
24、在移动过程中，小明发现当点 G的运动速度取某个值时，有DEG 与BFG 全等的情况出现，请你探究 当点 G 的运动速度取哪些值时，DEG 与BFG 全等 【答案答案】见解析 【解析解析】解： （1）证明：在ABD 和CDB 中， AD=BC，AB=CD，BD=DB， ABDCDB， ADB=CBD， ADBC； （2）解：设运动时间为 t，点 G 的运动速度为 v， 当 0t 4 3 时，若DEGBFG，则 DE=BF，DG=BG，4 3tt ，6-BG=BG， t=1，BG=3，v=3； 若DEGBGF，则 DE=BG，DG=BF， 643 tBG BGt ， 1 1 t BG （舍去） ；
25、 当 4 3 t 8 3 时，若DEGBFG，则 DE=BF，DG=BG， 34tt，6-BG=BG，t=2，BG=3，v= 3 2 ； 若DEGBGF，则 DE=BG，DG=BF， 634 tBG BGt ， 5 2 5 2 t BG ，v=1 综上，点 G 的速度为 3 或 3 2 或 1 3. 在ABC 和DEC 中，AC=BC，DC=EC，ACB=ECD=90 （1）如图 1，当点 A、C、D 在同一条直线上时，AC=12，EC=5 求证：AFBD， 求 AF 的长度； （2）如图 2，当点 A、C、D 不在同一条直线上时求证：AFBD； （3）如图 3，在（2）的条件下，连接 CF
26、并延长 CF 交 AD 于点 G，AFG 是一个固定的值吗？若是，求出 AFG 的度数，若不是，请说明理由 【答案答案】见解析 【解析解析】解： （1）证明：如图 1，AC=BC，ACB=ECD=90，EC=DC，ACEBCD， 1=2，3=4，BFE=ACE=90，AFBD G F E D C B AA B C D E F F E D C B A 图1 图2 ECD=90，BC= AC=12，DC= EC=5，BD=13， SABD= ADBC= BDAF，AF= （法 2：ECD=90，BC= AC=12，DC= EC=5，AE=BD=13，BE=7，设 EF=x， BFE=90，BF 2
27、=BE2-EF2，BF2=AB2-AF2，72-x2=288-（13+x）2， x=，AF=13+=） （2）证明：如图 4，ACB=ECD，ACB+ACD=ECD+ACD，BCD=ACE， AC=BC，ACE=BCD，EC=DC，ACEBCD，1=2， 3=4，BFA=BCA=90，AFBD （3）AFG=45 如图 4，过点 C 作 CMBD，CNAE，垂足分别为 M、N， ACEBCD，SACE=SBCD，AE=BD，SACE= AECN， SBCD= BDCM，CM=CN， CMBD，CNAE，CF 平分BFE， AFBD，BFE=90，EFC=45，AFG=45 （法 2：过点 C
28、作 CMBD，CNAE，垂足分别为 M、N，CMBD，CNAE， BMC=ANC=90，ACEBCD，1=2，BMC=ANC=90，1=2， AC=BC，BCMACN，CM=CN，CMBD，CNAE，CF 平分BFE， AFBD，BFE=90，EFC=45，AFG=45 图 4 1 2 4 3 N M A B C D E F G 图 3 4 3 1 2 F E D C B A 4. 如图，已知ABC 中，ABAC12 厘米，BC9 厘米，点 D 为 AB 的中点。 （1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点
29、运 动。 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，1 秒钟时，BPD 与CQP 是否全等，请说明理由； 点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使BPDCPQ？ （2）若点 Q 以的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿ABC 的 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇？ 【答案答案】见解析 【解析解析】解： （1）全等 证明：当 1 秒钟时有 BP=CQ=3，由于 BC=9，PC=6，而 AB=AC，B=C， 在DBP 和CQP 中 BPDCQP 当点 Q 的速度是 4 厘
30、米/秒时BPDCPQ。 证明： 要使BPDCPQ， 则 BP=CP， 故当 P 运动 1.5 秒时才有可能。 而此时， CQ=1.54=6 厘米。 从而 CQ=BD。 而AB=AC，B=C。 在BPD 和CPQ 中 BPDCPQ。 （2）ABC 的周长为 33 厘米，所以设经过 t 秒后 P 和 Q 第一次相遇，则 4t-3t=12+12，t=24 此时 P 点走过的路程为 243=72（厘米） 。而 7233=26， 所以点 P 与点 Q 第一次在ABC 的 BC 边上相遇。 5. 如图， ABC 中， ACB=90， AC=BC， 将ABC 绕点 C 逆时针旋转角（090） 得到 111
31、CBA， 连接设 1 CB交 AB 于 D， 11B A分别交 AB、AC 于 E、F （1） 在图中不再添加其它任何线段的情况下， 请你找出一对全等的三角形， 并加以说明 （ABC 与 111 CBA 全等除外） ； （2）当DBB1是等腰三角形时，求； 【答案答案】见解析 【解析解析】解：（1）全等的三角形有：CBDCA1F 或AEFB1ED 或ACDB1CF 等； 以说明CBDCA1F 为例： 理由：ACB1+A1CF=ACB1+BCD=90 A1CF=BCD A1C=BC A1=CBD=45 CBDCA1F； （2）在CBB1中 CB=CB1 CBB1=CB1B=1/2（180-） 又ABC 是等腰直角三角形 ABC=45 B1B=B1D，则B1DB=B1BD B1DB=45+ B1BD=CBB1-45=1/2（180-）-45=45-1/2 45+=45- =0（舍去）； BB1C=B1BCB1BD，BDB1D，即 BDB1D； 若 BB1=BD，则BDB1=BB1D，即 45+=1/2（180-），=30 由可知，当BB1D 为等腰三角形时，=30； 教学反思
