1、 平行线的性质与画角 第10讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中一年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1、平行线的性质 2、平行线的性质与判定综合 3、尺规作图 4、用尺规作一个角等于已知角 5、作已知角的和差及倍数 6、尺规作图的应用 教学目标 1、理解平行线的性质的推导，掌握平行线的性质. 2、初步感受原命题与逆命题，从而了解平行线的性质公理与判定公理的区别，能在推理 过程正确使用. 3、能按作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角. 教学重点 1、平行线的性质以及应用. 2、能按作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角. 教学难点 1、平行
2、线的性质公理与判定公理的区别. 2、作图步骤和作图语言的叙述，及作角的综合应用. 【教学建议】【教学建议】 本节的教学重点是利用平行线的性质进行计算，要让学生注意图形中各种角的位置和数量关系，运用 正确的方法进行求解；然后要让学生掌握平行线的性质和判定的综合问题，注意思维方式的培养；最后的 尺规作图问题要强调圆规的作用，让学生掌握如何做等角或二倍角或差角。 学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难： 1.平行线的性质； 2.平行线的性质判定的综合应用； 3.尺规作图。 概述 【知识导图】【知识导图】 【教学建议】【教学建议】 有关平行线性质的问题， 要让学生能够与平行线的判断区分开， 在题目
3、中合理利用性质或者判断进行解题， 要形成比较完善的逻辑思维，能够自主思考解决相关的几何问题。 尺规作图问题结合之前所学尺规作线段问题，让学生充分意识到圆规的作用，可以利用尺规作出已知角、 二倍角或者差角、和角，更进一步可以利用尺规作图作已知直线的平行线。 1.两直线平行，同位角相等； 2.两直线平行，内错角相等； 3.两直线平行，同旁内角互补。 平行线的性质 两直线平行同位角相等 两直线平行内错角相等 两直线平行同旁内角互补 尺规作图 尺规做一个角等于已知角 其他尺规作角 知识点 1 平行线的性质 二、知识讲解 一、导入 教学过程 1.尺规作一个角等于已知角； 2.尺规做一条直线平行于已知直线
4、。 【题干】如图，已知 ab，直角三角板的直角顶点在直线 b上，若1=60 ，则2 等于（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 【答案】【答案】A 【解析】根据两直线平行同旁内角互补可得，2=30，故选 A. 【题干】【题干】如图所示，则下列说法中不正确的是（ ） A.由 ab 能得到2=5 B.由 cd 能得到3=1 C.由 cd 能得到3=4 D.由 ab 能得到1=5 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由 cd 不能得到3=4，故选 C 例题 2 例题 1 三、例题精析 知识点 2 尺规作图 【题干】【题干】如图，已知1+2=180，3=75，那么4 的度数是（ ） A
5、.75 B.45 C.105 D.135 【答案】【答案】C 【解析】【解析】解：由1+2=180可得两直线平行，故4=180-75=105，故选 C。 【题干】【题干】如图所示，已知 ABDC，AE 平分BAD，CD 与 AE 相交于点 F，CFE=E试说明 ADBC 完成推理过程： ABDC（已知） 1=CFE（ ） AE 平分BAD（已知） 1=2 （角平分线的定义） CFE=E（已知） 2= （等量代换） ADBC （ ） 【答案】【答案】见解析。 【解析】【解析】证明：ABDC（已知） 1=CFE（两直线平行，同位角相等） AE 平分BAD（已知） 1=2（角平分线的定义） 例题 4
6、 例题 3 CFE=E（已知） 2=E（等量代换） ADBC（内错角相等，两直线平行） 【题干】【题干】尺规作图：:已知AOB，求作AOB使AOB=AOB （保留作图痕迹，写出作法） 【答案】画图见解析，步骤见解析. 【解析】作法： 步骤一：以点O为圆心，以任意长度为半径画弧，交OA于点F，交OB于点E； 步骤二：画射线OB； 步骤三：以点O为圆心，以OE为半径画弧，交OB于点E 步骤四：以点E为圆心，以EF为半径画弧，与已知画的弧交点与点F 步骤五：连接OF得射线OA 如图： AOB即为所求角。 【教学建议】【教学建议】 在学习过程中要注意培养学生的逻辑思维能力，使他们形成良好的解题习惯和做
7、题方法，遇到问题能够独 立进行思考，能够充分发挥所学知识；并要锻炼学生的动手能力，增强学生的学习兴趣和学习信心。 1. 如图，已知直线 AB、CD 被直线 EF 所截，且 ABCD，若1=50，则2 的度数是（ ） 基础 四 、课堂运用 例题 5 A120 B130 C140 D150 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据平行线性质进行计算。 2. 如图，ABCD，EFAB 于 E，若1=60，则2 的度数是（ ） A. 35 B. 30 C. 25 D. 20 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由平行线性质进行计算。 3. 下列关于尺规的功能说法不正确的是（ ） A直尺的功能是：在两点
8、间连接一条线段，将线段向两方向延长 B直尺的功能是：可作平角和直角 C圆规的功能是：以任意长为半径，以任意点为圆心作一个圆 D圆规的功能是：以任意长为半径，以任意点为圆心作一段弧 【答案】【答案】B 【解析】【解析】解：A、直尺的功能是：在两点间连接一条线段，将线段向两方向延长正确 B、直尺的功能是：可作平角和直角错误 C、圆规的功能是：以任意长为半径，以任意点为圆心作一个圆正确 D、圆规的功能是：以任意长为半径，以任意点为圆心作一段弧正确 故选 B 4.完成下列推理说明：如图，已知 ABDE，且有12，34， ABDE( ) 1 (根据两直线平行，同位角相等) 1 ， 34(已知) 2 (等
9、量代换) BCEF(根据_) 【答案】【答案】见解析。 【解析】【解析】ABDE( 已知 ) 1 3 (根据两直线平行，同位角相等) 1 2 ， 34(已知) 2 4 (等量代换) BCEF( 同位角相等，两直线平行 ) 1. 如图，直线 AB，CD 被 BC 所截，若 ABCD，1=45，2=35，则3= 度 【答案】【答案】80 【解析】【解析】解：ABCD，1=45， C=1=45， 2=35， 3=2+C=35+45=80， 故答案为：80 2. 根据如图所示的图形填空： （1）因为 EFAB，所以 （两直线平行，同位角相等） ； （2）因为 DECB，所以 （两直线平行，内错角相等）
10、 ； （3）因为 ，所以A+AEF=180（两直线平行，同旁内角互补） 巩固 【答案】【答案】CEF=CAB（CFE=CBA） ；DEF=EFC；EFAB 【解析】【解析】解： （1）EFAB， CEF=CAB（CFE=CBA） （两直线平行，同位角相等） ； （2）DECB， DEF=EFC（两直线平行，内错角相等） ； （3）A+AEF=180， EFAB（同旁内角互补，两直线平行） 故答案为：CEF=CAB（CFE=CBA） ，DEF=EFC，EFAB 3. 如图，1=120，2=60，3=100，则4= 时，ABEF 【答案】【答案】当4=100时，ABEF 【解析】【解析】解：3=1
11、00，4=100， DCEF， 1=120， 5=60， 2=60， ABCD， ABEF 4. 如图，已知1+2=180，3=B，试判断AED 与ACB 的大小关系，并说明理由 【答案】【答案】AED=ACB 【解析】【解析】解：解：1+4=180（平角定义） ，1+2=180（已知） 2=4 EFAB（内错角相等，两直线平行） 3=ADE（两直线平行，内错角相等） 3=B（已知） ， B=ADE（等量代换） DEBC（同位角相等，两直线平行） AED=ACB（两直线平行，同位角相等） 1. 如图所示，如果 ABCD，那么（ ） A1=4，2=5 B2=3，4=5 C1=4，5=7 D2=3
12、，6=8 【答案】【答案】D. 【解析】【解析】解：A、1 与4 不是由两平行线形成的内错角，2 与5 不是三线八角中的角，故错误； 拔高 B、ABCD，2=3，4 与5 不是三线八角中的角，故错误； C、1 与4，5 与7 不是由两平行线形成的内错角，故错误； D、ABCD，2=3，6=8（两直线平行，内错角相等） ，故正确 故选 D 2. 如图，如果1=2，DEBC，则下列结论正确的个数为（ ） （1）FGDC； （2）AED=ACB； （3）CD 平分ACB； （4）1+B=90； （5）BFG=BDC A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】【答案】C C 【解析】【解
13、析】解：解：DEBC， DCB=1，AED=ACB， （2）正确； 1=2， 2=DCB， FGDC， （1）正确； BFG=BDC， （5）正确； 正确的个数有 3 个，故选：C 3. 如图所示，ABCD，CFE 的平分线与EGB 平分线的反向延长线交于点 P，若E=20，则FPH 的度 数为多少？ 【答案】【答案】100，见解析。 【解析】【解析】解：作 PMCD，如图， ABCD， ABPMCD， 4=2，3=1， FPH=1+2， CFE 的平分线与EGB 的平分线的反向延长线交于点 P， CFQ=21，EGB=2BGH， BGH=2， FPH=（CFQ+EGB） ， EGB=E+EQ
14、G， EQG=180EQA， CDAB， CFQ=EQA， EGB=E+180CFQ， FPH=（CFQ+E+180CFQ） =（20+180） =100 1 平行线的性质：两直线平行同位角相等； 两直线平行内错角相等； 两直线平行同旁内角互补 2.尺规作图。 课堂小结 1. 下列属于尺规作图的是（ ） A用刻度尺和圆规作ABC B用量角器画一个 300的角 C用圆规画半径 2cm 的圆 D作一条线段等于已知线段 【答案】【答案】D 【解析】【解析】解：A、用刻度尺和圆规作ABC，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误； B、量角器不在尺规作图的工具里，错误； C、画半径 2cm 的圆，需要知道
15、长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误； D、正确 故选：D 2. 如图，ABCD，DEBC，若1=120，则2= 。 【答案答案】60 【解析解析】解：DEBC， BCD=1=120， ABCD， BCD+2=180， 2=60 故答案为：60 3. 如图，直线 l1l2，并且被直线 l3，l4所截，则= 。 基础 扩展延伸 【答案答案】ABDE 【解析解析】解：如图 1， ， 1+56=120， 1=12056=64， 又直线 l1l2， =1=64 故答案为：64 4. 如图，EFAD，1=2，BAC=70，求AGD 【答案答案】AGD=110，见解析。 【解析解析】解：EFAD（已
16、知） 2=3（两直线平行，同位角相等） ； 1=2（已知） ， 1=3（等量代换） ； DGAB（内错角相等，两直线平行） BAC+AGD=180（两直线平行，同旁内角互补） BAC=70， AGD=110 1.1. 下列语句是有关几何作图的叙述 以 O 为圆心作弧；延长射线 AB 到点 C；作AOB，使AOB=1；作直线 AB，使 AB=a；过三角形 ABC 的顶点 C 作它的对边 AB 的平行线其中正确的有 （填序号即可） 【答案答案】 【解析解析】解：以 O 为圆心作弧可以画出无数条弧，因为半径不固定，所以叙述错误； 射线 AB 是由 A 向 B 向无限延伸，所以叙述错误； 根据作一个角
17、等于已知角的作法，可以作一个角AOB，使AOB 等于已知1，所以叙述正 确； 直线可以向两方无限延伸，所以叙述错误； 根据平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可以过三角形 ABC 的顶点 C 作它的对边 AB 的平行线，所以叙述正确 所以正确的有 故答案为： 2. 如图，直线 ABCD，C=44，E 为直角，则1 等于（ ） A132 B134 C136 D138 【答案答案】B 【解析解析】解：过 E 作 EFAB， ABCD， ABCDEF， C=FEC，BAE=FEA， C=44，AEC 为直角， 巩固 FEC=44，BAE=AEF=9044=46， 1=180BAE=
18、18046=134， 故选 B 3 如图，已知 ABCD，分别探究下面四个图形中APC 和PAB、PCD 的关系，并请你从四个图形中任选 一个说明你所探究的结论的正确性 【答案答案】图一：APC+PAB+PCD=360；图二：APC=PAB+PCD； 图三：APC=PCDPAB ； 图四：APC=PABPCD。 【解析解析】解：以图（1）为例说明理由： 如图，过点 P 做 PMAB， ABCD， PMCD， APM+A=180，CPM+C=180， 两式相加得A+C+APM+CPM=360， 即APC+PAB+PCD=360 4 如图，已知AOB，以 P 为顶点，PC 为一边作CPD，并用移动
19、三角尺的方法验证 PC 与 OB，PD 与 OA 是否平行。 【答案答案】见解析。 【解析解析】用三角尺平移可以验证得 PCOB，但 PD 与 OA 不一定平行，CPD=AOB= ，有两解，如图: 1. 如图，小强发现地图上的 A，B，C 三个城市中的 C 城市被墨汁污染了，但知道BAC=1，ABC=2， 请你用尺规作图帮他在地图上确定 C 城市的具体位置。 （不用写作法，只需保留作图痕迹） 【答案答案】见解析 【解析解析】如图所示： 2. 已知 ADBC，EGBC，垂足分别为点 D，G，E=AFE，试说明 AD 平分BAC， （写出证明过程，并注 明依据） 【答案答案】见解析 P A B C
20、 O 拔高 【解析解析】解：ADBC，EGBC ADEG（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行） DAC=E（两直线平行，同位角相等） DAF=AFE（两直线平行，内错角相等） E=AFE（已知） DAF=DAC（等量代换） 即 AD 平分BAC 3. 探索：小明和小亮在研究一个数学问题：已知 ABCD，AB 和 CD 都不经过点 P，探索P 与A，C 的 数量关系 发现：在图 1 中，小明和小亮都发现：APC=A+C； 小明是这样证明的：过点 P 作 PQAB APQ=A（ ） PQAB，ABCD PQCD（ ） CPQ=C APQ+CPQ=A+C 即APC=A+C 小亮是这样证
21、明的：过点作 PQABCD APQ=A，CPQ=C APQ+CPQ=A+C 即APC=A+C 请在上面证明过程的横线上，填写依据；两人的证明过程中，完全正确的是 应用： 在图 2 中，若A=120，C=140，则P 的度数为 ； 在图 3 中，若A=30，C=70，则P 的度数为 ； 拓展： 在图 4 中，探索P 与A，C 的数量关系，并说明理由 【答案答案】两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行； 小明的证法；100；40；APC=AC 【解析解析】解：过 P 作 PEAB 即可得。 4.如图，已知两条射线 OMCN，动线段 AB 的两个端点 A、B 分别在射线 OM、CN 上，
22、且C=OAB=108，F 在线段 CB 上，OB 平分AOF，OE 平分COF （1）请在图中找出与AOC 相等的角，并说明理由； （2）若平行移动 AB，那么OBC 与OFC 的度数比是否随着 AB 位置的变化而发生变化？若变化，找出变化 规律；若不变，求出这个比值； （3）在平行移动 AB 的过程中，是否存在某种情况，使OEC=2OBA？若存在，请求出OBA 度数；若不存 在，说明理由 【答案答案】(1)ABC，BAM；理由见解析.(2)不变， 1 2 ； （3）不存在. 【解析解析】解： （1）OMCN， AOC=180-C=180-108=72，ABC=180-OAB=180-108=
23、72， 又BAM=180-OAB=180-108=72， 与AOC 相等的角是ABC，BAM； （2）OMCN， OBC=AOB，OFC=AOF， OB 平分AOF， AOF=2AOB， OFC=2OBC，OBC：OFC= 1 2 ； （3）设OBA=x，则OEC=2x， 在AOB 中，AOB=180-OAB-ABO=180-x-108=72-x， 在OCE 中，COE=180-C-OEC=180-108-2x=72-2x， OB 平分AOF，OE 平分COF， COE+AOB= 1 2 COF+ 1 2 AOF= 1 2 AOC= 1 2 72=36，72-x+72-2x=36， 解得 x=36，即OBA=36， 此时，OEC=236=72，COE=72-236=0， 点 C、E 重合，所以，不存在 教学反思
