【BSD版春季课程初三数学】第10讲:二次函数与一元二次方程学案(教师版)

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1、 二次函数与一元二次方程 第10讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 北师版区域 课时时长(分钟) 120 知识点 1. 二次函数与一元二次方程 2. 二次函数与不等式 3. 二次函数与方程和不等式综合 教学目标 1.掌握二次函数与一元二次方程的联系 2.掌握二次函数与不等式的联系 3.掌握利用函数图像解决实际问题 教学重点 能熟练掌握二次函数与一元二次方程的联系 教学难点 能熟练掌握二次函数与一元二次方程的联系 【教学建议】【教学建议】 本节课的内容在二次函数中占有着重要的地位,也是中考中的必考内容。函数是方程和不等式的高级 形式,借助图象,可以用函数的观点去统领一元二次方

2、程和一元二次不等式,在实际问题中有着重要的应 用。在教学中要让学生充分体会到处理函数问题的方法:“胸中有图,见数想图”。 学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难: 1. 二次函数与 x 轴的交点的横坐标就是对应一元二次方程的根; 2. 由图象判别函数值的情况。 3.对 hcbxax 2 的不同理解方式。 【知识导图】【知识导图】 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程 二次函数与不等式 二次函数与方程和不等式综合 概述 【教学建议】【教学建议】 二次函数是中考数学中最重要的内容之一,对于学生来说也是最难的内容。属于中考数学的必考内容,函 数是方程和不等式的高级形式,本节课主要是用函

3、数的观点去统领对应的一元二次方程和一元二次不等式, 可以全面考察学生的读图识图能力,在中考数学试卷中,也是必考题,一般不单独设题,常与其它知识融 合在一起考。 二次函数 y=ax 2+bx+c 与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的关系. (1)一般地,二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴交点的横坐标就是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根;当二次 函数 y=ax 2+bx+c 的函数值为 0 时,相应的自变量的值即是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根; (2)若抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴的两个交点坐标分别为( 1,0 x ), 2 (,0)x ,那么

4、对应方程 ax 2+bx+c=0 的两个根 即为 12 ,x x,结合一元二次方程根与系数关系可知 12 , b xx a 12 c xx a (3)二次函数与 x 轴的交点情况和一元二次方程根的情况的关系具体见下表: 二次函数 y=ax 2+bx+c 与 x 轴交点情况 a0 两个交点 一个交点 没有交点 a0 两个交点 一个交点 没有交点 教学过程 一、导入 二、知识讲解 知识点 1 二次函数与一元二次方程 2 4bac的值 2 40bac 2 40bac 2 40bac 一元二次方程 ax 2+ bx+c=0 根的情 况 有两个不相等的实根 有两个相等的实根 没有实根 二次函数与一元二次

5、不等式解集的关系二次函数与一元二次不等式解集的关系 (1)从“形”的方面看二次函数 y=ax 2+bx+c 在 x 轴上方的图象上的点的横坐标,即为 ax2+bx+c0 的解集, 在 x 轴下方的图象上的点的横坐标,即为 ax 2+bx+c0 的解集;从“数”的方面看,当二次函数 y=ax2+bx+c 的函数值大于 0 时,相应的自变量的值即为不等式 ax 2+bx+c0 的解集,当二次函数 y=ax2+bx+c 的函数值小 于 0 时,相应的自变量的值即为不等式 ax 2+bx+c0 b 2-4ac=0 b 2-4acy2,求实数 n 的取值范围。 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(

6、1)y=x 2+2x+m=(x+1)2+m1,对称轴为直线 x=1, 与 x 轴有且只有一个公共点,顶点的纵坐标为 0,C1的顶点坐标为(1,0); (2)设 C2的函数关系式为 y=(x+1)2+k, 把 A(3,0)代入上式得(3+1)2+k=0,得 k=4,C2的函数关系式为 y=(x+1) 24. 抛物线的对称轴为直线 x=1,与 x 轴的一个交点为 A(3,0),由对称性可知,它与 x 轴的另一个 交点坐标为(1,0); (3)当 x 1 时,y 随 x 的增大而增大,当 n 1 时, y1y2,n2. 知识点 3 二次函数与方程和不等式综合 三、例题精析 例题 1 例题 2 当 n

7、1, y1y2,2n2,n2 或 n0 的解集是 ; (3)y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围是 。 (4)若方程 ax 2+bx+c=k 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是。 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)由图象可得 y=ax2+bx+c(a0)与 x 轴两交点坐标分别为(1,0)和(3,0), 抛物线的对称轴为直线 x=2, 方程 ax 2+bx+c=0 的两个根是:x 1=1,x2=3; (2)由图象可得:不等式 ax 2+bx+c0 的解集为 1x2 时,y 随 x 的增大而减小; (4)方程 ax 2+bx+c=k 有两个不相等的实数根可以看做

8、y=ax2+bx+c 与 y=k 的交点有两个 如图所示: 例题 3 根据图象可得:当 k2 时,方程 ax 2+bx+c=k 有两个不相等的实数根。 【题干】【题干】在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 yx 22(k1)xk25 2 k(k 为常数) (1)若抛物线经过点(1,k 2),求 k 的值 (2)若抛物线经过点(2k,y1)和点(2,y2),且 y1y2,求 k 的取值范围 (3)若将抛物线向右平移 1 个单位长度得到新抛物线,当 1x2 时,新抛物线对应的函数有最小值 3 2 ,求 k 的值 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)抛物线 yx 22(k1)xk25

9、2 k(k 为常数)经过点(1,k 2), 12(k1)k 25 2 kk 2解得 k2 3 (2)抛物线经过点(2k,y1)和点(2,y2), y1(2k) 24k (k1)k25 2 kk 23 2 k,y244(k1)k 25 2 kk 213 2 k8; 又y1y2,k 23 2 kk 213 2 k8,k1 (3)抛物线 yx 22(k1)xk25 2 k(xk1) 21 2 k1, 平移后的解析式为 y(xk) 21 2 k1该抛物线的对称轴为直线 xk 若 k1,则当 x1 时,y 有最小值 3 2 (1k) 21 2 k1 3 2 ,解得11,2 3 2 k1,11,2 3 2

10、 都不符合题意,舍去 若 1k2,则当 xk 时,y 有最小值 3 2 1 2 k1 3 2 ,解得1 若 k2,则当 x2 时,y 有最小值 3 2 (2k) 21 2 k1 3 2 ,解得13,2 3 2 例题 4 k1,3 综上,k 的值为 1 或 3 【教学建议】【教学建议】 在讲解过程中,教师可以以中考真题入手,重点放在用二次函数的观点去看对应的一元二次方程和一元二 次不等式,教师在教学中,先把例题讲解清晰,帮助学生形成相应的知识结构图;再给学生做针对性的练 习,抓住它们三者之间的内在逻辑联系。 1.一元二次方程 ax 2+bx+c=h 的根就是二次函数 y=ax2+bx+c 的图像

11、与直线 交点的 坐标。 【答案】【答案】y=h,横 【解析】【解析】根据二次函数与一元二次方程之间的关系易得。 2.在平原上,一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度 y(m)与飞行时间 x(s)的关系满足 y= 1 5 x 2+1Ox. (1)经过多长时间,炮弹达到它的最高点?最高点的高度是多少? (2)经过多长时间,炮弹落在地上爆炸? 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)y= 1 5 x 2+1Ox. y= 1 5 (x 250 x), y= 1 5 (x25) 2+125. a=150,x=50 四 、课堂运用 基础 3. “如果二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴有两

12、个公共点,那么一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实 数根。”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若 m、n(mn)是关于 x 的方程 1(xa)(xb)=0 的两根, 且 ab,则 a、b、m、n 的大小关系是( ) A. mabn B.amnb C.ambn D.manb 【答案】【答案】A 【解析】【解析】依题意,画出函数 y=(xa)(xb)的图象,如图所示。 函数图象为抛物线,开口向上,与 x 轴两个交点的横坐标分别为 a,b(ab). 方程 1(xa)(xb)=0 转化为(xa)(xb)=1, 方程的两根是抛物线 y=(xa)(xb)与直线 y=1 的两个交点。 由

13、 mn,可知对称轴左侧交点横坐标为 m,右侧为 n. 由抛物线开口向上,则在对称轴左侧,y 随 x 增大而减少,则有 ma;在对称轴右侧,y 随 x 增大而 增大,则有 bn. 综上所述,可知 mabn. 1.当 m 取何值时,抛物线 y=x 2与直线 y=xm (1)有公共点; (2)没有公共点 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)抛物线 y=x 2与直线 y=xm 有公共点,反映在图象上就是它们两个的图象有交点,反映在数 巩固 量上就是由它们两个联立得方程有实数根,即 x 2=xm 有实数根,所以0,即 1+4m0,解得:m- 4 1 . (2)同理可得,x 2=xm 没有实数根

14、,即 1+4m0,解得:m 4 1 . 2.已知关于 x 的方程 x 2(2k3)x+k2+1=0 有两个不相等的实数根 x 1、x2. (1)求 k 的取值范围; (2)试说明 x10,x20, 即12k+50k 5 12 (2)x1+x2=2k30,x 10,x20. (3)依题意,不妨设 A(x1,0),B(x2,0). OA+OB=|x1|+|x2|=(x1+x2)=(2k3) OA OB=|x1|x2|=x1x2=k 2+1, OA+OB=2OA OB3,(2k3)=2(k 2+1)3,解得 k 1=1,k2=2. k0. 解:设 y=x 22x3,则 y 是 x 的二次函数.a=1

15、0,抛物线开口向上。 又当 y=0 时,x 22x3=0,解得 x 1=1,x2=3. 由此得抛物线 y=x 22x3 的大致图象如图所示。 观察函数图象可知:当 x3 时,y0. x 22x30 的解集是:x3. (1)观察图象,直接写出一元二次不等式:x 22x30.(大致图象画在答题卡上) 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)1x0,抛物线开口向上。 又当 y=0 时,x 21=0,解得 x 1=1,x2=1. 由此得抛物线 y=x 21 的大致图象如图所示。观察函数图象可知:当 x1 时,y0. x 210 的解集是:x1. 回忆以下三个方面的知识: 1.二次函数与一元二次方

16、程 2.二次函数与不等式 3.二次函数与方程和不等式综合 1. 已知二次函数 y=ax 2+bx+c(a0)的顶点坐标(1,3.2)及部分图象(如图), 由图象可知关于 x 的一元二次 方程 ax 2+bx+c=0 的两个根分别是 x 1=1.3 和 x2=( ) 课堂小结 拓展延伸 基础 A. 1.3 B. 2.3 C. 0.3 D. 3.3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据对称轴为;x=1,关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=0 的两个根分别是 x 1=1.3, 则 12 1 2 xx ,即, 2 1.3 1 2 x , 解得:x2=3.3,故选 D 2. 如图, 以 (

17、1, -4) 为顶点的二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴负半轴交于 A 点, 则一元二次方程 ax2+bx+c=0 的正数解的范围是( ) A2x3 B3x4 C4x5 D5x6 【答案答案】C 【解析解析】二次函数 y=ax 2+bx+c 的顶点为(1,-4),对称轴为 x=1,而对称轴左侧图象与 x 轴交点横坐 标的取值范围是-3x-2,右侧交点横坐标的取值范围是 4x52 3.已知二次函数 y2(x1)(xm3)(m 为常数) (1)求证:不论 m 为何值,该函数的图像与 x 轴总有公共点; (2)当 m 取什么值时,该函数的图像与 y 轴的交点在 x 轴的上方? 【答案

18、答案】见解析 【解析解析】(1)证明:当 y0,根据方程 2(x1)(xm3)0 解得 x11,x2m3 所以,不论 m 为何值,该函数的图像与 x 轴总有公共点 (2)解:当 x0 时,y2m6,即该函数的图像与y轴交点的纵坐标是 2m6 当 2m60,即 m3 时,该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方 1. 已知二次函数 yx 2 2xm 的图象 C1与 x 轴有且只有一个公共点。 (1)求 C1 的顶点坐标; (2)将 C1向下平移若干个单位后,得抛物线 C2,如果 C2与 x 轴的一个交点为 A(3,0),求 C2 函数关 系式,并求 C 2与 x 轴的另一个交点的坐标 【答案答案】见

19、解析 【解析】(1)C1的顶点坐标为(-1,0); (2)C2的函数关系式为 y=(x+1 2-4它与 x 轴的另一个交点坐标为(1,0) 2.已知二次函数 yax 2bxc 的图象如图所示,对称轴为直线 x1,则下列结论正确的是( ) A. ac0 B.方程 ax 2+bx+c=0 的两根是 x 1=-1,x2=3 C. 2a-b=0 D.当 y0 时,y 随 x 的增大而减小. 【答案答案】B 【解析】根据抛物线的开口方向,对称轴,与 x 轴、y 轴的交点,逐一判断:A、抛物线开口向下,与 y 轴 交于正半轴,所以 a0,ac1 时,y 随 x 的增大而减小,故本选项错误。 巩固 3.阅读

20、材料,解答问题 利用图象法解一元二次不等式:x 2+2x-30 解:设y=x 2+2x-3,则y是x的二次函数a=10,抛物线开口向上 又当y=0时,x 2+2x-3=0,解得x 1=1,x2=-3 由此得抛物线y=x 2+2x-3的大致图象如图所示 观察函数图象可知:当-3x1时,y0 x 2+2x-30的解集是:-3x1时 (1)观察图象,直接写出一元二次不等式:x 2+2x-30的解集 (2)仿照上例,用图象法解一元二次不等式:-2x 2-4x+60 (3)不等式 2x 2-4x+60 有解吗?若有,求出其解集;若没有请结合图象说明理由 【答案答案】见解析 【解析】(1)x 2+2x-3

21、0 的解集是 x1 或 x-3; (2)设 y=-2x 2-4x+6,则 y 是 x 的二次函数, a=-20, 抛物线开口向下, 又当 y=0 时,-2x 2-4x+6=0,解得 x 1=1,x2=-3 由此得抛物线 y=x 2+2x-3 的大致图象如图所示, 观察函数图象可知:当-3x1 时,y0 -2x 2-4x+60 的解集是:-3x1 时 (3)抛物线 y=2x 2-4x+6 的图象如图所示,由图象可知,无论 x 取何值,y0, 即不可能 y0,所以,不等式 2x 2-4x+60 无解 1.已知抛物线与轴交于点,与轴交于,两点,顶点的 纵坐标为,若,是方程的两根,且 (1)求,两点坐

22、标; (2)求抛物线表达式及点坐标; (3)在抛物线上是否存在着点,使面积等于四边形面积的 2 倍,若存在,求出点坐 标;若不存在,请说明理由 2 yaxbxcyCx 1 (0)A x, 212 (0)()B xxx,M 4 1 x 2 x 22 2(1)70 xmxm 22 12 10 xx AB C PPABACMBP 拔高 【答案答案】见解析 【解析】(1)由, ,得, (2)抛物线过,两点,其对称轴为,顶点纵坐标为,抛物线为把 ,代入得,抛物线函数式为,其中 (3)存在着点, 即,把代入抛物线方程得, 所以 P 的坐标为)或(9 ,1319 ,13-1。 2.如图,若二次函数 2 ya

23、xbxc(a0)图象的对称轴为 x1,与 y 轴交于点 C,与 x 轴交于点 A、点 B(1,0)则二次函数的最大值为 abc;abc0;b4ac0;当 y0 时,1x 3其中正确的个数是( ) A1 B2 C3 D4 12 2(1)xxm 2 12 7x xm 22222 121212 ()24(1)2(7)10 xxxxx xmm2m 1 1x 2 3x ( 10)A , (3 0)B , AB1x 4 2 (1)4ya x 1x0y 1a 2 23yxx(03)C, P( 10)A ,(03)C,(14)M,(3 0)B ,9 ACMB S 四形 18 ABP S 1 18 2 P yA

24、B 4AB 9 P y9y 1 113x 2 113x x y -1 B O C A x=1 【答案答案】B 【解析解析】由图像可知,当 x1 时,函数值取到最大值,最大值为:abc,故正确;因为抛物线经过点 B(1,0),所以当 x1 时,yabc0,故错误;因为该函数图象与 x 轴有两个交点 A、B,所 以 b4ac0,故错误;因为点 A 与点 B 关于直线 x1 对称,所以 A(3,0),根据图像可知,当 y0 时,1x3,故正确;故选 B 3.如图,抛物线 2 45 7 2 1 2 xxy与 x 轴的交于点 A、B,把抛物线在 x 轴即其下方的部分记作 C1,将 C1向左平移得 C2,

25、C2与 x 轴的交于点 B、D若直线mxy 2 1 与 C1、C2共有三个不同的交点,则 m 的取值范围是 A 2 5 -m 8 45 B 2 1 -m 8 29 C 2 5 -m 8 29 D 2 1 -m 8 45 【答案答案】C 【解析解析】 在 y 2 45 7 2 1 2 xx中, 令 y0, 解得 x19,x25, 点 A, B 的坐标分别为 (9, 0) , (5, 0) C2是由 C1向左平移得到的,点 D 的坐标为(1,0),C2对应的函数解析式为 y23 2 1 2 )(x 2 5 3 2 1 2 xx(1x5)当直线 ymx 2 1 与 C2相切时,可知关于 x 的一元二次方程 2 5 3 2 1 2 xx mx 2 1 有两个相等的实数根,即方程 x 27x52m0 有两个相等的实数根,(7)241(5 2m)0,解得 m 8 29 当直线 ymx 2 1 过点 B 时,可得 0m5 2 1 ,解得 m 2 5 如图,故 当 8 29 m 2 5 ,直线 ymx 2 1 与 C1,C2共有 3 个不同的交点 教学反思

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