1、 切线长定理及圆内接正多边形 第16讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.切线长定理 2.圆内接正多边形 教学目标 1.掌握切线长定理的内容 2.掌握圆内接正多边形的画法及相关的性质 教学重点 能熟练掌握切线长定理 教学难点 能熟练掌握切线长定理 【教学建议】【教学建议】 切线长定理在中考数学中考察的频次较高，与圆内接多边形相关的计算问题常在小题中单独考察。教 师在教学中要把主要精力放在切线长定理上，帮助学生多总结，多反思。 学生学习本节时可能会在以下两个方面感到困难： 1. 切线长定理的应用问题。 2. 与圆内接多边形相关的
2、计算。 【知识导图】【知识导图】 【教学建议】【教学建议】 切线长定理及圆内接正多边形 切线长定理 圆内接正多边形 切线长定理 利用切线长定理证明 正多边形及有关概念 正多边形的有关计算 正多边形有关的证明 概述 教学过程 一、导入 切线长定理在中考数学中考察的频次较高，多以综合题的形式出现，而且难度不低，教师在教学中要给予 重视，加大训练的力度。与圆内接多边形相关的计算问题常在小题中单独考察，知识点较单一，属于容易 题，教师在教学中不必在这个知识点上深挖。 切线长与切线长定理 切线长与切线长定理 经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段长叫做点到圆的切线长如图,PA 是O 的切线,切
3、点为 A,则 PA 是点 P 到O 的切线长 切线长定理:从圆外一点可引圆的两条切线,他们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹 角 示意图 切线长定理的证明 如图,连接 OA 和 OB PA 和 PB 是O 的两条切线, OAAP,OBBP 又 OAOB,OPOP, RtAOPRtBOP PAPB,APOBPO 把圆分成 n(n3)等份： (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形； (2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形 二、知识讲解 知识点 1 切线长定理 知识点 2 圆内接正多边形 三、例题精析 【题干】1.下列说
4、法正确的是（ ） A 过任意一点总可以作圆的两条切线 B 圆的切线长就是圆的切线的长度 C 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D 过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据切线长定理即可得。 【题干】【题干】 如图， I 为ABC的内切圆， 点D E，分别为边ABAC，上的点， 且DE为I 的切线， 若ABC 的周长为 21，BC边的长为 6，则ADE的周长为（ ） A15 B8 C9 D75 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据切线长定理即可得。 【题干】【题干】已知：以 RtABC 的直角边 AB 为直径作O，与斜边 AC 交于点 D，过点
5、D 作O 的切线交 BC 边于点 E. 如图，求证：EB=EC=ED； 例题 1 例题 2 例题 3 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】证明：连接 BD. 由于 ED、EB 是O 的切线，由切线长定理，得 ED=EB，DEO=BEO， OE 垂直平分 BD. 又AB 是O 的直径，ADBD.ADOE.即 OEAC. 又 O 为 AB 的中点， OE 为ABC 的中位线，BE=EC， EB=EC=ED. 【题干】【题干】如图,在正五边形 ABCDE 中,对角线 AD CE 相交于 F,求证 （1）三角形 AEF 是等腰三角形 （2）四边形 ABCE 是等腰梯形 （3）四边形 ABCF 是菱
6、形 例题 4 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】证明：（1）AE = DE = CD EAD、DCE 都是等腰三角形,且顶角都是 108,所以每个底角都是 36,即EAF = CED = 36 AEF = AED - CED = 180 - 36 = 72 AFE = 180 - EAF - AEF = 180 - 36 - 72 = 72 即AEF = AFE, AEF 是等腰三角形 （2）BAD = BAE - EAF = 108 - 36 = 72 B + BAD = 180, BCAD, 又AB = CD, 四边形 ABCE 是等腰梯形 （3）根据 1,可知 AF = AE, A
7、F = BC, 四边形 ABCF 是平行四边形（一对边平行且相等） 又临边 AB = BC, 四边形 ABCF 是菱形。 【教学建议】【教学建议】 在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，先把例题讲解清晰，再给学生做针对性的练习。 1.如图，PA 切O 于 A，PB 切O 于 B，连接 OP，AB，下列结论不一定正确的是（ ） 四 、课堂运用 基础 A PA=PB B.OP 垂直平分 AB C.OPA=OPB D.PA =AB 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据切线长定理即可得。 2.如图,PA,PB 是O 的切线,切点为 AB,BC 是O 的直径,连接 AB,AC,OP （1）APB2A
8、BC （2）ACOP 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】 (1)连接 AO.易知APB+AOB=180 AOC+AOB=180 APB=AOC,AOC=2ABC(圆心角与圆周角) APB2ABC （2）证明：连接 OA,OB ,AB PA,PB 是O 的切线 OAP=OBP=90 OA=OB,OP=OP OAPOBP PA=PB,APO=BPO ABPO BC 是直径 BAC=90 即 ABACACPO 3.如图，正六边形 ABCDEF 内接于圆 O，半径为 4，则这个正六边形的圆心 O 到 BC 的距离 OM 和弧 BC 的长分别为（ ） A2、 3 B32、 4 3 C3、 2 3
9、D32、 【答案】【答案】B 【解析】【解析】正六边形的中心角是 60，解直角三角形即可得。 4.已知：如图,ABC 是O 的内接等腰三角形,顶角BAC=36，弦 BD、CE 分别平分ABC、ACB. 求证：五边形 AEBCD 是正五边形。 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】证明：AB=AC， ABC=ACB， 又BAC=36 ， ABC=ACB=72 . 又BD、CE 平分ABC、ACB. BAC=BCE=ACE=ABD=DBC=36 易证五边形 AEBCD 为正五边形 1.如图，半圆 O 与等腰直角三角形两腰 CA、CB 分别切于点 D、E，直径 FG 在 AB 上，若 BG= 2-
10、1，则 ABC 的周长是 【答案】【答案】4+22 【解析】【解析】提示：切线长定理。 2.如图，由 7 个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边 形的边长为 1，ABC 的顶点都在格点上，则ABC 的面积是（ ） A. 3 B.23 C.2 D.33 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据圆内接多边形的中心角度数，结合解直角三角形即可得。 3.如图，一圆内切四边形 ABCD，且 AB=16，CD=10，则四边形的周长为 巩固 【答案】【答案】52 【解析】【解析】根据切线长定理即可得。 4.如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA PB，切点分别为A
11、 B，如果APB=60，PA=8，那么 弦 AB 的长是 . 【答案】【答案】8 【解析】【解析】根据切线长定理，构造直角三角形，解之即可。 1.如图，PA 和 PB 是O 的切线，点 A 和 B 是切点，AC 是O 的直径，已知P=40 ，则ACB 的大小 是（ ）。 A. 60 B. 65 C. 70 D. 75 【答案】【答案】C 【解析】【解析】可根据切线长定理一步步推导出来；因为是选择题也可直接根据弦切角定理直接写出答案。 2.ABC 外切于O，切点分别为点 D、E、F，A=60，BC=7，O 的半径为 拔高 （1）求 BF+CE 的值； （2）求ABC 的周长 【答案】【答案】见解
12、析 【解析】【解析】（1）ABC 外切于O，切点分别为点 D、E、F， BF=BD，CE=CD， BF+CE=BD+CD=BC=7， 答：BF+CE 的值是 7 （2）连接 OE、OF、OA， ABC 外切于O，切点分别为点 D、E、F， OEA=90，OAE= BAC=30， OA=2OE=2， 由勾股定理得：AE=AF=3， ABC 的周长是 AB+BC+AC=AF+AE+CE+BF+BC=7+7+3+3=20， 答：ABC 的周长是 20 3.如图，AB、BC、CD 分别与O 相切于 E、F、G，且 ABCD，BO=6，CO=8 （1）判断OBC 的形状，并证明你的结论； （2）求 BC
13、 的长； （3）求O 的半径 OF 的长 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）答：OBC 是直角三角形 证明：AB、BC、CD 分别与O 相切于 E、F、G， OBE=OBF= EBF，OCG=OCF= GCF， ABCD， EBF+GCF=180， OBF+OCF=90， BOC=90， OBC 是直角三角形； （2）在 RtBOC 中，BO=6，CO=8， BC=10； （3）AB、BC、CD 分别与O 相切于 E、F、G， OFBC， OF=4.8 4.如图、，正三角形 ABC、正方形 ABCD、正五边形 ABCDE 分别是O 的内接三角形、内接四边 形、内接五边形，点 M、N
14、 分别从点 B、C 开始，以相同的速度在O 上逆时针运动 （1）求图中APN 的度数（写出解题过程）； （2）写出图中APN 的度数和图 中APN 的度数 （ 3）试探索APN 的度数与正多边形边数 n 的关系（直接写答案） 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1）APN = 60. 因为APN=ABP+BAP 有因为点 M、N 以相同的速度中O 上逆时针运动 所以弧 AN=弧 CM ABN=MAC 所以APN=BAP+MAC 即APN=BAC=60 (2）按(1）的思路可得：图 2 中，APN 的度数为 90；图 3 中，APN 的度数为 108 (3）则APN 的度数=所在多边形的内
15、角度数=(n-2）*180/n 1.切线长定理 2.圆内接正多边形 1. 既有外接圆，又有内切圆的平行四边形是（ ） A矩形 B.菱形 C.正方形 D.矩形或菱形 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据外接圆和内切圆的相关要求易得。 2. 如图，已知 PA、PB 分别切O 于点 A、B，90P，3PA，那么O 的半径长是 课堂小结 拓展延伸 基础 O B A P 【答案答案】3 【解析解析】容易题 3.一个正多边形的每个外角都等于 36，那么它是（ ） A 正六边形 B.正八边形 C.正十边形 D.正十二边形 【答案答案】B 【解析解析】根据多边形的外交和是 360即可求。 4.如图（1），
16、PT 与O1相切于点 T，PAB 与O1相交于 A、B 两点，可证明PTAPBT，从而有 PT2=PA PB请应用以上结论解决下列问题：如图（2），PAB、PCD 分别与O2相交于 A、B、C、D 四点，已知 PA=2，PB=7，PC=3，则 CD= 【答案答案】 3 5 【解析解析】如图 2 中，过点 P 作O 的切线 PT，切点是 T PT2=PAPB=PCPD， PA=2，PB=7，PC=3， 27=3PD， PD= CD=PDPC=3= 1.对于以下说法： 各角相等的多边形是正多边形； 各边相等的三角形是正三角形； 各角相等的圆内接多边形是正多边形； 各顶点等分外接圆的多边形是正多边形
17、你认为正确的命题有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案答案】B 【解析】根据相关定义易得。 2.圆内接正五边形 ABCDE 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 P，则APB 的度数是（ ） A36 B60 C72 D108 【答案答案】C 【解析】容易题 3.如图，正六边形 ABCDEF 内接于O，若直线 PA 与O相切于点 A，则PAB=（ ） A30 B35 C45 D60 【答案答案】A 【解析】根据切线的性质和正六边形的中心角为 60易得。 巩固 4.如图， 过O 外一点 P 引O 的两条切线 PA、 PB， 切点分别是 A、 B， OP 交O 于点 C，
18、点 D 是优弧 上不与点 A、点 C 重合的一个动点，连接 AD、CD，若APB=80，则ADC 的度数是（ ） A15 B20 C25 D30 【答案答案】C 【解析解析】如图，由四边形的内角和定理，得 BOA=360909080=100， 由=，得 AOC=BOC=50 由圆周角定理，得 ADC=AOC=25， 故选：C 1.如图，在平面直角坐标系中，P 与 x 轴相切，与 y 轴相较于 A（0,2），B（0,8）则圆心 P 的坐标是 （ ） A(5,3) B(5,4) C（3,5） D（4,5） 拔高 【答案答案】D 【解析】过点 P 作 PCAB 于点 C，过点 P 作 PDx 轴于点
19、 D，则由垂径定理可得 BC=AC. A（0,2），B（0,8），OA2，OB8AB826.BCAC3.OCOAAC235. PDPBOC5. 在 RtPBC 中，由勾股定理,得 PCPB 2BC2 52324. PC4,PD5,圆心 P 的坐标是（4,5）. 故选择 D. 2.如图，已知：AB 是O 的弦，过点 B 作 BCAB 交O 于点 C，过点 C 作O 的切线交 AB 的延长线于 点 D，取 AD 的中点 E，过点 E 作 EFBC 交 DC 的延长线于点 F，连接 AF 并延长交 BC 的延长线于点 G 求证： （1）FC=FG； （2）AB2=BCBG 【答案答案】见解析 【解析
20、解析】证明：（1）EFBC，ABBG， EFAD， E 是 AD 的中点， FA=FD， FAD=D， GBAB， GAB+G=D+DCB=90， DCB=G， DCB=GCF， GCF=G ，FC=FG； （2）连接 AC，如图所示： ABBG， AC 是O 的直径， FD 是O 的切线，切点为 C， DCB=CAB， DCB=G， CAB=G， CBA=GBA=90， ABCGBA， =， AB2=BCBG 3.如图，已知O 的直径为 AB，ACAB 于点 A，BC 与O 相交于点 D，在 AC 上取一点 E，使得 ED=EA （1）求证：ED 是O 的切线； （2）当 OE=10 时，求
21、 BC 的长 【答案答案】见解析 【解析解析】（1）证明：如图，连接 OD ACAB， BAC=90，即OAE=90 在AOE 与DOE 中， ， AOEDOE（SSS）， OAE=ODE=90，即 ODED 又OD 是O 的半径， ED 是O 的切线； （2）解：如图，OE=10 AB 是直径， ADB=90，即 ADBC 又由（1）知，AOEDOE， AEO=DEO， 又AE=DE， OEAD， OEBC， =， BC=2OE=20，即 BC 的长是 20 4.如图， 直线 AB 经过O 上的点 C， 直线 AO 与O 交于点 E 和点 D， OB 与O 交于点 F， 连接 DF、 DC
22、已 知 OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6 （1）求证：直线 AB 是O 的切线；FDC=EDC； （2）求 CD 的长 【答案答案】见解析 【解析解析】（1）证明：连接 OC OA=OB，AC=CB， OCAB， 点 C 在O 上， AB 是O 切线 证明：OA=OB，AC=CB， AOC=BOC， OD=OF， ODF=OFD， AOB=ODF+OFD=AOC+BOC， BOC=OFD， OCDF， CDF=OCD， OD=OC， ODC=OCD， ADC=CDF （2）作 ONDF 于 N，延长 DF 交 AB 于 M ONDF， DN=NF=3， 在 RTODN 中，OND=90，OD=5，DN=3， ON=4， OCM+CMN=180，OCM=90， OCM=CMN=MNO=90， 四边形 OCMN 是矩形， ON=CM=4，MN=OC=5， 在 RTCDM 中，DMC=90，CM=4，DM=DN+MN=8， CD=4 教学反思
