1、2020 年湖北省武汉市第三寄宿中学中考数学模拟试卷（年湖北省武汉市第三寄宿中学中考数学模拟试卷（6 月份）月份） 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）2 的相反数是（ ） A B C2 D2 2 （3 分）式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax0 Bx2 Cx2 Dx2 3 （3 分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字 1、2、3、4、5，从中同时抽取 两张，则下列事件为必然事件的是（ ） A两张卡片的数字之和等于 1 B两张卡片的数字之和大于 1 C两张卡片的数字之和等于 9 D两张卡片的数
2、字之和大于 9 4 （3 分）下列文字中，是轴对称图形的是（ ） A我 B爱 C中 D国 5 （3 分）如图所示的几何体的左视图是（ ） A B C D 6 （3 分）关于反比例函数 y，下列说法错误的是（ ） A图象关于原点对称 By 随 x 的增大而减小 C图象分别位于第一、三象限 D若点 M（a，b）在其图象上，则 ab3 7 （3 分）假如每个鸟卵都可以成功孵化小鸟，且孵化小鸟是雄性和雌性的可能性相等现 有 3 枚鸟卵，孵化出的小鸟恰有两个雌性一个雄性的概率是（ ） A B C D 8 （3 分）在同一条道路上，甲车从 A 地到 B 地，乙车从 B 地到 A 地，两车同时出发，乙 车先
3、到达目的地，图中的折线段表示甲，乙两车之间的距离 y（千米）与行驶时间 x（小 时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（ ） A甲乙两车出发 2 小时后相遇 B甲车速度是 40 千米/小时 C乙车到 A 地比甲车到 B 地早小时 D当甲乙两车相距 100 千米时，x 的值一定为 1 9 （3 分） 如图， AB 为O 的直径， AC 为O 的弦， D 是弧 BC 的中点， E 是 AC 的中点 若 CD2，AC6，则 DE（ ） A B5 C D4 10 （3 分）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和例如：23、33和 43分别 可以“分裂”成 2 个、3 个和 4 个连续奇数的和，
4、即 233+5，337+9+11，43 13+15+17+19，若 1003也按照此规律来进行“分裂” ，则 1003“分裂”出的奇数中，最 小的奇数是（ ） A9999 B9910 C9901 D9801 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）计算： 12 （3 分）为了参加中学生足球联赛，某校足球队准备购买 13 双运动鞋，收集尺码，并整 理如下统计表： 尺码/cm 25 25.5 26 26.5 27 购买量/双 5 2 3 2 1 则这组数据的中位数是 13 （3 分）计算： 14 （3 分）如图，
5、菱形纸片 ABCD 中，A60，折叠菱形纸片 ABCD，使点 C 落在 DP （P 为 AB 中点） 所在的直线上， 得到经过点 D 的折痕 DE 则DEC 的大小为 15 （3 分）抛物线 yax2+bx+c 的顶点为 D（1，2） ，与 x 轴的一个交点 A 在点（3，0） 和 （2， 0） 之间， 则以下结论： b24ac0； a+b+c0； ca2； 方程 ax2+bx+c 20 有两个不相等的实数根，其中正确结论为 16 （3 分）如图，在ABC 中，B30，EF10，CF6D 是 AC 的中点，点 E 在 AB 上，点 F 在 BC 上若EDF90，则 AE 三、解答题（共三、解答
6、题（共 8 题，共题，共 72 分）分） 17 （8 分）计算：8a2a4（3a3）2a2 18 （8 分）已知：点 B、E、C、F 在同一直线上，ABDE，AD，求证：ACDF 19 （8 分）某中学为了解疫情期间学生每天完成家庭作业所用时间的情况，从每班抽取相 同数量的学生进行调查，并将所得数据进行整理，并绘制出如下两幅不完整的统计图， 请根据统计图回答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）求扇形统计图中扇形 D 的圆心角的度数； （3） 若该中学有 1000 名学生， 请估计能在 1.5 小时内完成家庭作业的学生约有多少名？ 20 （8 分）如图，在下列 147 的网格中，横、纵坐标
7、均为整数的点叫做格点 （1）直接写出ABO 的形状； （2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将ABO 绕点 O 顺时针旋转得DEO，且 点 B 的对应点 E 落在 x 轴正半轴上，操作如下： 第一步：在 x 轴上找一个格点 E，使 OEOB； 第二步：找一个格点 F，使EOFAOB； 第三步：找一个格点 M，作直线 AM 交直线 OF 于 D，连 DE，则DEO 即为所作出的图 形 21 （8 分）如图，在菱形 ABCD 中，P 为对角线 AC 上一点，AB 与经过 A、P、D 三点的O 相切于点 A （1）求证：APDP； （2）若 AC8，tanBAC，求O 的半径 22 （10 分）超
8、市销售某种儿童玩具，如果每件利润为 40 元（市场管理部门规定，该种玩 具每件利润不能超过 60 元） ，每天可售出 50 件根据市场调查发现，销售单价每增加 2 元，每天销售量会减少 1 件设销售单价增加 x 元，每天售出 y 件 （1）请写出 y 与 x 之间的函数表达式； （2）当 x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利 w 元，当 x 为多少时 w 最大，最大值是多少？ 23 （10 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，ABnBC，点 E 为射线 BC 上的一个动点，过点 E 作 EFAE，连接 AF，使EAFBAC，连接 CF
9、（1）求证：ABEACF； （2）如图 2，若 n，AC5，连接 DF 若CDF45，求 BE； 当 E 点在射线 BC 上运动时，则 DF+AE 的最小值为 24 （12 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（3，12） 、B（3，0） （1）求 b、c 的值； （2） 如图 1， 点 D 是直线 AB 下方抛物线上一点， 过点 D 作 y 轴的平行线交 AB 于点 N， 求 DN 的最大值； （3）如图 2，若 P 是 y 轴上一点，连 PA、PB 分别交抛物线于点 E、F，探究 EF 与 AB 的位置关系，并说明理由 2020 年湖北省武汉市第三寄宿中学中考数学模拟试卷（年湖北
10、省武汉市第三寄宿中学中考数学模拟试卷（6 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）2 的相反数是（ ） A B C2 D2 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数 【解答】解：2 的相反数是 2， 故选：C 2 （3 分）式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax0 Bx2 Cx2 Dx2 【分析】根据二次根式有意义的条件可得 x20，再解即可 【解答】解：由题意得：x20， 解得：x2， 故选：D 3 （3 分）有五张背面完全相同的卡
11、片，正面分别标有数字 1、2、3、4、5，从中同时抽取 两张，则下列事件为必然事件的是（ ） A两张卡片的数字之和等于 1 B两张卡片的数字之和大于 1 C两张卡片的数字之和等于 9 D两张卡片的数字之和大于 9 【分析】根据事件发生的可能性大小判断 【解答】解：A、两张卡片的数字之和等于 1，是不可能事件，不符合题意； B、两张卡片的数字之和大于 1，是必然事件，符合题意； C、两张卡片的数字之和等于 9，是随机事件，不符合题意； D、两张卡片的数字之和大于 9，是不可能事件，不符合题意； 故选：B 4 （3 分）下列文字中，是轴对称图形的是（ ） A我 B爱 C中 D国 【分析】利用轴对称
12、图形的概念可得答案 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C 5 （3 分）如图所示的几何体的左视图是（ ） A B C D 【分析】根据左视图即从左边观察所得图形 【解答】解：该几何体从左边看有两列，左边一列底层是一个正方形，右边一列是三个 正方形 故选：B 6 （3 分）关于反比例函数 y，下列说法错误的是（ ） A图象关于原点对称 By 随 x 的增大而减小 C图象分别位于第一、三象限 D若点 M（a，b）在其图象上，则 ab3 【分析】根据题目中的函
13、数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是 否正确，从而可以解答本题 【解答】解：反比例函数 y， 该函数图象关于原点轴对称，故选项 A 正确； 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小，故选项 B 错误； 该函数图象为别位于第一、三象限，故选项 C 正确； 若点 M（a，b）在其图象上，则 ab3，故选项 D 正确； 故选：B 7 （3 分）假如每个鸟卵都可以成功孵化小鸟，且孵化小鸟是雄性和雌性的可能性相等现 有 3 枚鸟卵，孵化出的小鸟恰有两个雌性一个雄性的概率是（ ） A B C D 【分析】用 A 表示雄性，B 表示雌性，画出树状图，共有 8 个等可能的结果，孵化出的 小鸟恰
14、有两个雌性一个雄性的结果有 3 个，然后根据概率公式计算即可 【解答】解：用 A 表示雄性，B 表示雌性，画树状图如图： 共有 8 个等可能的结果，孵化出的小鸟恰有两个雌性一个雄性的结果有 3 个， 孵化出的小鸟恰有两个雌性一个雄性的概率为； 故选：C 8 （3 分）在同一条道路上，甲车从 A 地到 B 地，乙车从 B 地到 A 地，两车同时出发，乙 车先到达目的地，图中的折线段表示甲，乙两车之间的距离 y（千米）与行驶时间 x（小 时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（ ） A甲乙两车出发 2 小时后相遇 B甲车速度是 40 千米/小时 C乙车到 A 地比甲车到 B 地早小时 D当甲乙两车
15、相距 100 千米时，x 的值一定为 1 【分析】根据相遇时距离为 0，即甲乙两车出发 2 小时后相遇；根据图象分别分析甲、乙 两车的速度，进而分析得出答案 【解答】解：出发 2h 后，其距离为零，即两车相遇，故选项 A 说法正确； 甲的速度是40（km/h） ，故选项 B 说法正确； 乙的速度为：60（km/h） ，乙行驶的时间为（h） ，乙车到 A 地比甲 车到 B 地早：（h） ，故选项 C 说法正确； 设出发x小时后， 甲乙两车相距100千米， 则 （40+60） x200100或 （40+60） x200+100， 解得 x1 或 x3，故选项 D 说法错误 故选：D 9 （3 分）
16、 如图， AB 为O 的直径， AC 为O 的弦， D 是弧 BC 的中点， E 是 AC 的中点 若 CD2，AC6，则 DE（ ） A B5 C D4 【分析】连接 OC、BC、OE、BD，OE 交O 于 F，OD 交 BC 于 G，如图，先根据垂径 定理得到 ODBC，CGBG，DBDC2，BODCOD，OEAC， 再计算出DOF90，设O 的半径为 r，则 DGr3，利用勾股定理得到 BG2r2 32，BG2（2）2（r3）2，则 r232（2）2（r3）2，解得 r5，所 以 BG4，然后利用勾股定理计算 DE 的长 【解答】解：连接 OC、BC、OE、BD，OE 交O 于 F，OD
17、 交 BC 于 G，如图， D 是弧 BC 的中点， ODBC，CGBG，DBDC2，BODCOD， E 是 AC 的中点， OEAC， AOFCOF， DOF18090， OAOB，BGCG， OGAC，OGAC3， 设O 的半径为 r，则 DGr3， 在 RtOBG 中，BG2r232， 在 RtDBG 中，BG2（2）2（r3）2， r232（2）2（r3）2，解得 r12（舍去） ，r25， OD5， BG4， 易得四边形 OGCE 为矩形， OECGBG4， 在 RtDOE 中，DE 故选：A 10 （3 分）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和例如：23、33和 43分别
18、 可以“分裂”成 2 个、3 个和 4 个连续奇数的和，即 233+5，337+9+11，43 13+15+17+19，若 1003也按照此规律来进行“分裂” ，则 1003“分裂”出的奇数中，最 小的奇数是（ ） A9999 B9910 C9901 D9801 【分析】根据“233+5；337+9+11；4313+15+17+19” ，归纳出 m3“分裂”出的奇 数中最小的奇数是 m（m1）+1，把 m100 代入，计算求值即可 【解答】解：233+5；337+9+l1；4313+15+17+19； 321+1， 732+1， 1343+1， m3“分裂”出的奇数中最小的奇数是 m（m1）+
19、1， 1003“分裂”出的奇数中最小的奇数是 10099+19901， 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）计算： 6 【分析】根据二次根式的性质：|a|和绝对值的代数定义求解 【解答】解：|6|6 故答案为：6 12 （3 分）为了参加中学生足球联赛，某校足球队准备购买 13 双运动鞋，收集尺码，并整 理如下统计表： 尺码/cm 25 25.5 26 26.5 27 购买量/双 5 2 3 2 1 则这组数据的中位数是 25.5 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数
20、（或两个数的 平均数）为中位数 【解答】解：处于这组数据中间位置的数是 25.5，那么由中位数的定义可知，这组数据 的中位数是 25.5； 故答案为：25.5 13 （3 分）计算： 【分析】首先把分母分解因式，然后约分，再计算加法即可 【解答】解：原式+ + ， 故答案为： 14 （3 分）如图，菱形纸片 ABCD 中，A60，折叠菱形纸片 ABCD，使点 C 落在 DP （P 为 AB 中点） 所在的直线上， 得到经过点 D 的折痕 DE 则DEC 的大小为 75 【分析】连接 BD，由菱形的性质及A60，得到三角形 ABD 为等边三角形，P 为 AB 的中点，利用三线合一得到 DP 为角
21、平分线，得到ADP30，ADC120， C60，进而求出PDC90，由折叠的性质得到CDEPDE45，利用三角 形的内角和定理即可求出所求角的度数 【解答】解：如图，连接 BD， 四边形 ABCD 为菱形，A60， ABD 为等边三角形，ADC120，C60， P 为 AB 的中点， DP 为ADB 的平分线，即ADPBDP30， PDC90， 由折叠的性质得到CDEPDE45， 在DEC 中，DEC180（CDE+C）75 故答案为：75 15 （3 分）抛物线 yax2+bx+c 的顶点为 D（1，2） ，与 x 轴的一个交点 A 在点（3，0） 和 （2， 0） 之间， 则以下结论： b
22、24ac0； a+b+c0； ca2； 方程 ax2+bx+c 20 有两个不相等的实数根，其中正确结论为 【分析】由抛物线与 x 轴有两个交点得到 b24ac0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的 对称轴为直线 x1， 则根据抛物线的对称性得抛物线与 x 轴的另一个交点在点 （0， 0） 和（1，0）之间，所以当 x1 时，y0，则 a+b+c0；由抛物线的顶点为 D（1，2） 得 ab+c2，由抛物线的对称轴为直线 x1 得 b2a，所以 ca2；根据二次函数 的最大值问题，当 x1 时，二次函数有最大值为 2，即只有 x1 时，ax2+bx+c2， 所以说方程 ax2+bx+c20 有两个相等
23、的实数根 【解答】解：抛物线与 x 轴有两个交点， b24ac0，所以错误，不符合题意； 顶点为 D（1，2） ， 抛物线的对称轴为直线 x1， 抛物线与 x 轴的一个交点 A 在点（3，0）和（2，0）之间， 抛物线与 x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间， 当 x1 时，y0， a+b+c0，所以正确，符合题意； 抛物线的顶点为 D（1，2） ， ab+c2， 抛物线的对称轴为直线 x1， b2a， a2a+c2，即 ca2，所以正确，符合题意； 当 x1 时，二次函数有最大值为 2， 即只有 x1 时，ax2+bx+c2， 方程 ax2+bx+c20 有两个相等的实数根，所以
24、错误，不符合题意 故答案为： 16 （3 分）如图，在ABC 中，B30，EF10，CF6D 是 AC 的中点，点 E 在 AB 上，点 F 在 BC 上若EDF90，则 AE 【分析】延长 FD 至点 H，使得 FDDH，连接 AH，过 H 作 HGAB，交 BA 的延长线 于点 G，证明DAHDCF（SAS） ，求得 AH，由垂直平分线的性质求得 EH，再通过 解直角三角形求得 AG，由勾股定理求得 EG，最后由线段和差求得结果 【解答】解：延长 FD 至点 H，使得 FDDH，连接 AH，过 H 作 HGAB，交 BA 的延 长线于点 G， D 是 AD 的中点， DADC， 在DAH
25、和DCF 中， ， DAHDCF（SAS） ， AHCF6，DAHC， AHBC， HAGB30， HG3，AGAHcos303， DEDF，DHDF， EHEF10， EG， AEEGAG 故答案为： 三、解答题（共三、解答题（共 8 题，共题，共 72 分）分） 17 （8 分）计算：8a2a4（3a3）2a2 【分析】原式中括号中利用同底数幂的乘法法则，以及幂的乘方与积的乘方运算法则计 算，合并后利用单项式除以单项式法则计算即可得到结果 【解答】解：原式（8a69a6）a2 a6a2 a4 18 （8 分）已知：点 B、E、C、F 在同一直线上，ABDE，AD，求证：ACDF 【分析】根
26、据平行线的性质和三角形内角和得出ACBDFE，进而利用平行线的判 定证明即可 【解答】证明：ABDE， ABCDEF， AD， ACBDFE， ACDF 19 （8 分）某中学为了解疫情期间学生每天完成家庭作业所用时间的情况，从每班抽取相 同数量的学生进行调查，并将所得数据进行整理，并绘制出如下两幅不完整的统计图， 请根据统计图回答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）求扇形统计图中扇形 D 的圆心角的度数； （3） 若该中学有 1000 名学生， 请估计能在 1.5 小时内完成家庭作业的学生约有多少名？ 【分析】 （1）先求出总人数，再求 B 组人数，从而补全统计图； （2）1 减去其余
27、各类所占百分率，再乘以 360即可； （3）用该校的总人数乘以在 1.5 小时内完成家庭作业的学生所占的百分比即可 【解答】解： （1）抽取的总人数是：1025%40（名） ， 则 B 的人数为 4010143112（名） ，补全条形统计图： （2）125%30%35%2.5%7.5%， 3607.5%27， 扇形统计图中扇形 D 的圆心角的度数为 27 （3）根据题意得： 1000（25%+30%+35%）900（名） ， 答：估计能在 1.5 小时内完成家庭作业的学生约有 900 名 20 （8 分）如图，在下列 147 的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点 （1）直接写出ABO 的形
28、状； （2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将ABO 绕点 O 顺时针旋转得DEO，且 点 B 的对应点 E 落在 x 轴正半轴上，操作如下： 第一步：在 x 轴上找一个格点 E，使 OEOB； 第二步：找一个格点 F，使EOFAOB； 第三步：找一个格点 M，作直线 AM 交直线 OF 于 D，连 DE，则DEO 即为所作出的图 形 【分析】 （1）利用勾股定理求出 AB，OB 即可判断 （2）根据要求作出点 E（5，0） ，点 F（3，4） ，取格点 M（0，3） ，使得 AM 平分BAO， 直线 AM 交 OF 于 D，连接 DE，DEO 即为所求 【解答】解： （1）ABOB5， A
29、BO 是等腰三角形 （2）如图，DEO 即为所求E（5，0） ，F（3，4） ，M（0，3） 21 （8 分）如图，在菱形 ABCD 中，P 为对角线 AC 上一点，AB 与经过 A、P、D 三点的O 相切于点 A （1）求证：APDP； （2）若 AC8，tanBAC，求O 的半径 【分析】 （1）连结 OP、OA，OP 交 AD 于 E，由切线的性质得出BAC+OPA90， 而OAPOPA， 所以BAC+OAP90， 得出 OPAD， 根据垂径定理得出结论； （2）连结 BD，交 AC 于点 F，根据菱形的性质得 DB 与 AC 互相垂直平分，则 AF4， tanDAC， DF2， 理由勾
30、股定理计算出 AD2， 所以 AE， 在 RtPAE 中， 利用正切的定义得 tanDAC，则 PE，设O 的半径为 R，则 OER， OAR，在 RtOAE 中根据勾股定理得到 R2（R）2+（）2，解得 R 【解答】 （1）证明：连结 OP、OA，OP 交 AD 于 E， 直线 AB 与O 相切， OAAB， BAC+OAP90， OPOA， OAPOPA， BAC+OPA90， 四边形 ABCD 为菱形， BACDAC， DAC+OPA90， OPAD， 弧 AP弧 DP， APPD； （2）连结 BD，交 AC 于点 F，如图 2， 四边形 ABCD 为菱形， DB 与 AC 互相垂直
31、平分， AC8，tanBACtanDAC， AF4，tanDAC， DF2， AD2， AE， 在 RtPAE 中，tanDAC， PE， 设O 的半径为 R，则 OER，OAR， 在 RtOAE 中，OA2OE2+AE2， R2（R）2+（）2， R， 即O 的半径为 22 （10 分）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为 40 元（市场管理部门规定，该种玩 具每件利润不能超过 60 元） ，每天可售出 50 件根据市场调查发现，销售单价每增加 2 元，每天销售量会减少 1 件设销售单价增加 x 元，每天售出 y 件 （1）请写出 y 与 x 之间的函数表达式； （2）当 x 为多少时，超市
32、每天销售这种玩具可获利润 2250 元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利 w 元，当 x 为多少时 w 最大，最大值是多少？ 【分析】 （1）根据“每天可售出 50 件根据市场调查发现，销售单价每增加 2 元，每天 销售量会减少 1 件”列函数关系式即可； （2）根据题意“每天可售出 50 件根据市场调查发现，销售单价每增加 2 元，每天销 售量会减少 1 件，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元”即可得到结论； （3）根据题意得到 w（x30）2+2450，根据二次函数的性质得到当 x30 时，w 随 x 的增大而增大，于是得到结论 【解答】解： （1）根据题意得，yx+50（0
33、x20） ； （2）根据题意得， （40+x） （x+50）2250， 解得：x150，x210， 每件利润不能超过 60 元， x10， 答：当 x 为 10 时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元； （3）根据题意得，w（40+x） （x+50）x2+30 x+2000 （x30） 2+2450， a0， 当 x30 时，w 随 x 的增大而增大， 40+x60，x20， 当 x20 时，w最大2400， 答：当 x 为 20 时 w 最大，最大值是 2400 元 23 （10 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，ABnBC，点 E 为射线 BC 上的一个动点，过点 E 作 EFA
34、E，连接 AF，使EAFBAC，连接 CF （1）求证：ABEACF； （2）如图 2，若 n，AC5，连接 DF 若CDF45，求 BE； 当 E 点在射线 BC 上运动时，则 DF+AE 的最小值为 2 【分析】 （1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可 （2）首先利用勾股定理求出 AB，BC，由ABEACF，推出ACFB90， ，设 BE3m，则 CF5m，证明CHFCBA，可得， 推出，推出 CH4m，FH3m，再构建方程求解即可 如图 3 中，延长 AC 到 A，使得 CACA，连接 AD，AF，过点 A作 AH DC 交 DC 的延长线于 H 由ABEACF， 推出BACF9
35、0， 推出 AFAE， CFAC， 推出 A， A关于 CF 对称， 推出 DF+AEDF+AFDF+FA AD，推出当 D，F，A共线时，DF+AE 的值最小，最小值为线段 DA的长 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， B90， EFAE， AEFB90， EAFBAC， ABCAEF， ACBAFE， A，E，C，F 四点共圆， ACFAEF90， ACFABE， BACEAF， BAECAF， ABEACF （2）解：如图 2 中，过点 F 作 FHCD 于 H RtABC 中，B90，AC5，ABBC， 可以假设 AB3k，BC4k， 则有（3k）2+（4k）25， k1
36、， AB3，BC4， ABEACF， ACFB90，设 BE3m，则 CF5m， BCDACF90， DCFACB， FHCD， FHCB90， CHFCBA， ， ， CH4m，FH3m， CDF45，DHF90， DFHHDF45， DHFH3m， CDCH+DH7m3， m， BE3m 如图 3 中，延长 AC 到 A，使得 CACA，连接 AD，AF，过点 A作 AH DC 交 DC 的延长线于 H ABEACF， BACF90， AFAE，CFAC， A，A关于 CF 对称， DF+AEDF+AFDF+FAAD， 当 D，F，A共线时，DF+AE 的值最小，最小值为线段 DA的长，
37、ACCA，ACDACH，ADCH90， ADCAHC（AAS） ， ADAH4，DCCH3， DH6， DA2， DF+的最小值为 2 故答案为 2 24 （12 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（3，12） 、B（3，0） （1）求 b、c 的值； （2） 如图 1， 点 D 是直线 AB 下方抛物线上一点， 过点 D 作 y 轴的平行线交 AB 于点 N， 求 DN 的最大值； （3）如图 2，若 P 是 y 轴上一点，连 PA、PB 分别交抛物线于点 E、F，探究 EF 与 AB 的位置关系，并说明理由 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）设点 D（x，x22x3
38、） ，则点 N（x，2x+6） ，则 DN2x+6（x22x3） x2+99，即可求解； （3）求出直线 PA、PB 的解析式，进而求出点 E、F 的坐标，得到直线 EF 的表达式， 即可求解 【解答】 解：（1） 将点 A、 B 的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故抛物线的表达式为 yx22x3， 答：b、c 的值分别为2，3； （2）设直线 AB 的表达式为 ykx+t，则，解得， 故直线 AB 的表达式为 y2x+6， 设点 D（x，x22x3） ，则点 N（x，2x+6） ， 则 DN2x+6（x22x3）x2+99， 故 DN 的最大值为 9； （3）结论：EFBA 或 EF 与 BA 重合 理由：设 P（0，m） ， A（3，12） ，B（3，0） ， 由点 A、P 的坐标得，直线 PA 的解析式为 yx+m， 同理，直线 PB 的解析式为 ymx+m， 联立并整理得：3x2+（6m）x3（m+3）0， 解得：x3 或（舍去3） ， E（，） ， 同理可得，点 F（，） ， 设直线 EF 解析式为 yax+t， 则，解得， 即直线 EF 的表达式为 y2x+t， 直线 BA 的解析式为 y2x+6， t6 时，EFAB， t6 时，直线 EF 与 BA 重合
