1、2020 年山东省青岛市西海岸新区、黄岛区中考数学一模试卷年山东省青岛市西海岸新区、黄岛区中考数学一模试卷 一、选择题： （每小题一、选择题： （每小题 3 分，共计分，共计 24 分）分） 1 （3 分）的绝对值是（ ） A B C D 2 （3 分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）下面计算正确的是（ ） Ax3+4x35x6 B22x2x4x C （2x2）38x6 D （x+2y） （x2y）x22y2 4 （3 分）疫情无情人有情，爱心捐款传真情新冠肺炎疫情发生后，某班学生积极参加献 爱心活动， 该班40名学生的捐款统计情况如表，
2、 关于捐款金额， 下列说法错误的是 （ ） 金额/元 10 20 30 50 100 人数 2 18 10 8 2 A平均数为 32 元 B众数为 20 元 C中位数为 20 元 D极差为 90 元 5 （3 分）如图，AB 为O 的直径，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，点 P 在 BA 的延 长线上，PD 与O 相切，D 为切点，若BCD130，则ADP 的大小为（ ） A25 B30 C35 D40 6 （3 分）如图，把图中的ABC 经过一定的变换得到ABC，如果图中ABC 上的 点 P 的坐标为（a，b） ，那么它的对应点 P的坐标为（ ） A （a2，b） B （a+2，b）
3、C （a2，b） D （a+2，b） 7 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB，垂足为 D，AF 平分CAB，交 CD 于点 E，交 CB 于点 F若 BC8，AB10，则 CE 的长为（ ） A3 B C D 8 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，那么一次函数 ycxa 与反比例函 数 y在同一坐标系内的图象可能是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9 （3 分）计算：2sin45 10 （3 分）人体内某种细胞的形状可近似看做球体，它的直径约为 0.0
4、000032m，数字 0.00000032 用科学记数法表示为 11 （3 分）已知反比例函数 y与一次函数 yx1 的图象的一个交点的纵坐标是 2， 则 k 的值为 12 （3 分）如图，ABC 是边长为 4 的等边三角形ABC，将绕边 AB 的中点 O 逆时针旋 转 60，点 C 的运动路径为，则图中阴影部分的面积为 13 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC4，BD2，AC，BD 相交于点 O，过点 C 作CEAB交AB的延长线于点E， 过点O作OFCE交CE于点F， 则OF的长度为 14 （3 分）如图，有一棱长为 4dm 的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点 A 到
5、点 D 拉一条捆绑线绳，使线绳经过 ABFE、BCGF、EFGH、CDHG 四个面，则所需捆绑线绳 的长至少为 dm 三、作图题（本大题满分三、作图题（本大题满分 4 分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 15 （4 分）已知：如图，线段 a， 求作：RtABC，使C90，ABC，ABa 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 74 分）分） 16 （1）化简：（1） ； （2）解不等式组： 17小颖为班级联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，每个 转盘被分成面积相等的三个扇形游戏
6、者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出红色， 另一个转盘转出蓝色，那么就能配成紫色小明和小亮参加这个游戏，并约定：若配成 紫色，则小明贏；若两个转盘转出的颜色相同，则小亮赢这个游戏对双方公平吗？请 说明理由 18 中学生体质健康标准规定学生体质健康等级标准：90 分及以上为优秀；80 分89 分为良好；60 分79 分为及格；60 分以下为不及格某校为了解学生的体质健康情况， 从八年级学生中随机抽取了 20%的学生进行了体质测试，并将测试数据制成如图统计 图请根据相关信息解答下面的问题： （1）扇形统计图中， “不及格”等级所在扇形圆心角的度数是多少？ （2）求参加本次测试学生的平均成绩； （3
7、）若参加本次测试“良好”及“良好”以上等级的学生共有 96 人，请你估计全校八 年级“不及格”等级的学生大约有多少人 19如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物 ABCD 的 A，C 两点测得该塔顶端 E 的仰角分别为48和65，矩形建筑物的宽度 AD18m，高度 CD30m， 求信号发射塔顶端到地面的距离 EF （结果精确到 0.1m） （参考数据：sin480.7，cos480.7，tan481.1，sin650.9，cos650.4， tan652.1） 20在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上防护口罩出现热销某药店用 3000 元购进甲，乙两 种不同型号的口罩共 1100 个进行销售，
8、已知购进甲种口罩与乙种口罩的费用相同，购进 甲种口罩单价是乙种口罩单价的 1.2 倍 （1）求购进的甲，乙两种口罩的单价各是多少？ （2）若甲，乙两种口罩的进价不变，该药店计划用不超过 7000 元的资金再次购进甲， 乙两种口罩共 2600 个，求甲种口罩最多能购进多少个？ 21如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，作ADC 和ABC 的平 分线，分别交 AC 于点 G，H，延长 DG 交 AB 于点 E，延长 BH 交 CD 于点 F （1）求证：ADGCBH； （2）若 BD 平分CDE，则四边形 DEBF 是什么特殊四边形？请说明理由 22 “互联网+”时代
9、，网上购物备受消费者青睐某网店专售一种商品，其成本为每件 60 元，已知销售过程中，销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品的获利不得 高于 50% 据市场调查发现， 月销售量 y （件） 与销售单价 x （元） 之间的函数关系如表： 销售单价 x （元） 65 70 75 80 月销售量 y （件） 475 450 425 400 （1）请根据表格中所给数据，求出 y 关于 x 的函数关系式； （2）设该网店每月获得的利润为 w 元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大， 最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出 300 元资助贫 困学生为了保证捐款后每月
10、利润不低于 7700 元，且让消费者得到最大的实惠，该如何 确定该商品的销售单价？ 23提出问题正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的边及内角有什么关 系？ 探索发现（1）为了解决这个问题，我们不妨从最简单的正多边形正三 角形入手 如图，ABC 是正三角形，边长是 a，P 是ABC 内任意一点，P 到ABC 各边距离 分别为 h1、h2、h3，确定 h1+h2+h3的值与ABC 的边及内角的关系 （2）如图，五边形 ABCDE 是正五边形，边长是 a，P 是正五边形 ABCDE 内任意一 点，P 到五边形 ABCDE 各边距离分别为 h1，h2，h3，h4，h5，参照（1）的探索过程
11、，确 定 h1+h2+h3+h4+h5的值与正五边形 ABCDE 的边及内角的关系 （3）类比上述探索过程： 正六边形（边长为 a）内任意一点 P 到各边距离之和 h1+h2+h3+h4+h5+h6 正八边形 （边长为a） 内任意一点P到各边距离之和h1+h2+h3+h4+h5+h6+h7+h8 问题解决正 n 边形（边长为 a）内任意一点 P 到各边距离之和 h1+h2+hn 24 已知： 如图， 在四边形 ABCD 中， ABCD， ABC90， ABAD10cm， CD4cm 点 P 从点 A 出发，沿 AB 方向匀速运动，速度为 2cm/s；同时点 Q 从点 C 出发，沿 DC 方向
12、在 DC 的延长线上匀速运动，速度为 1cm/s；当点 P 到达点 B 时，点 Q 停止运动过点 P 作 PEBD，交 AD 于点 E连接 EQ，BQ设运动时间为 t（s） （0t5） ，解答下列问 题： （1）连接 PQ，当 t 为何值时，PQAD？ （2）设四边形 PBQE 的面积为 y（cm2） ，求 y 与 t 的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使四边形 PBQE 的面积为四边形 ABQD 面积 的，若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由； （4） 在运动过程中， 是否存在某一时刻 t， 使 EQBD？若存在， 求出 t 的值； 若不存在， 请说明理由 参
13、考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （每小题一、选择题： （每小题 3 分，共计分，共计 24 分）分） 1 （3 分）的绝对值是（ ） A B C D 【分析】根据绝对值的定义，可以得到的绝对值是多少 【解答】解：的绝对值是， 故选：B 2 （3 分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图
14、形，故此选项不符合题意； 故选：A 3 （3 分）下面计算正确的是（ ） Ax3+4x35x6 B22x2x4x C （2x2）38x6 D （x+2y） （x2y）x22y2 【分析】直接利用合并同类项法则以及整式的除法运算法则、积的乘方运算法则分别化 简得出答案 【解答】解：A、x3+4x35x3，故此选项错误； B、22x2x4x，正确； C、 （2x2）38x6，故此选项错误； D、 （x+2y） （x2y）x24y2，故此选项错误； 故选：B 4 （3 分）疫情无情人有情，爱心捐款传真情新冠肺炎疫情发生后，某班学生积极参加献 爱心活动， 该班40名学生的捐款统计情况如表， 关于捐款金
15、额， 下列说法错误的是 （ ） 金额/元 10 20 30 50 100 人数 2 18 10 8 2 A平均数为 32 元 B众数为 20 元 C中位数为 20 元 D极差为 90 元 【分析】根据加权平均数、众数、中位数、极差的定义，分别求出，就可以进行判断 【解答】解：平均数为：32（元） ，故 A 不 符合题意； 捐款数中最多的是 20 元，因而众数为 20 元，故 B 不符合题意； 将捐款数从小到大的顺序排列， 处于最中间的两个数为 20 元， 30 元， 中位数为 （20+30） 225（元） ，故 C 符合题意； 极差为：1001090（元） ，故 D 不符合题意 故选：C 5
16、（3 分）如图，AB 为O 的直径，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，点 P 在 BA 的延 长线上，PD 与O 相切，D 为切点，若BCD130，则ADP 的大小为（ ） A25 B30 C35 D40 【分析】连接 OD，PD 与O 相切，可得 ODPD，再根据四边形 ABCD 为O 的内接 四边形，可得DAPBCD130，进而可求ADP 的大小 【解答】解：如图，连接 OD， PD 与O 相切， ODPD， ODP90， 四边形 ABCD 为O 的内接四边形， DAPBCD130， OAD18013050， OAOD， ODAOAD50， ADPODPODA905040 故选：D 6
17、 （3 分）如图，把图中的ABC 经过一定的变换得到ABC，如果图中ABC 上的 点 P 的坐标为（a，b） ，那么它的对应点 P的坐标为（ ） A （a2，b） B （a+2，b） C （a2，b） D （a+2，b） 【分析】先根据图形确定出对称中心，然后根据中点公式列式计算即可得解 【解答】解：由图可知，ABC 与ABC关于点（1，0）成中心对称， 设点 P的坐标为（x，y） ， 所以，1，0， 解得 xa2，yb， 所以，P（a2，b） 故选：C 7 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB，垂足为 D，AF 平分CAB，交 CD 于点 E，交 CB 于点 F若 BC8
18、，AB10，则 CE 的长为（ ） A3 B C D 【分析】根据三角形的内角和定理得出CAF+CFA90，FAD+AED90，根 据角平分线和对顶角相等得出CEFCFE，即可得出 ECFC，再利用相似三角形的 判定与性质得出答案 【解答】解一：过点 F 作 FGAB 于点 G， ACB90，CDAB， CDA90， CAF+CFA90，FAD+AED90， AF 平分CAB， CAFFAD， CFAAEDCEF， CECF， AF 平分CAB，ACFAGF90， FCFG， BC8，AB10，ACB90， AC6， BB，FGBACB90， BFGBAC， ， ， FCFG， ， 解得：FC
19、3， 即 CE 的长为 3 解二：过点 F 作 FGAB 于点 G， ACB90，CDAB， CDA90， CAF+CFA90，FAD+AED90， AF 平分CAB， CAFFAD， CFAAEDCEF， CECF， AF 平分CAB，ACFAGF90， FCFG BC8，AB10，ACB90， AC6 设 FGx，则 FCx SABCSAFC+SAFB， 6x+10 x68， x3 CE3 故选：A 8 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，那么一次函数 ycxa 与反比例函 数 y在同一坐标系内的图象可能是（ ） A B C D 【分析】根据二次函数的图象所经过的象
20、限可以判定 a、b、c 的符号，从而得到 ab 的符 号，易得一次函数与反比例函数所经过的象限 【解答】解：如图，抛物线 yax2+bx+c 开口方向向上，则 a0 抛物线对称轴位于 y 轴的右侧，则 a、b 异号，即 ab0所以反比例函数 y的图象 经过第二、四象限 又因为抛物线与 y 轴的交点位于负半轴， 所以 c0 所以一次函数 ycxa 的图象经过第二、三、四象限 观察选项，只有选项 B 符合题意 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9 （3 分）计算：2sin45 【分析】先化简二次根式、代入三角函数值，
21、再约分、计算乘法，最后计算减法即可得 【解答】解：原式2 2 ， 故答案为： 10 （3 分）人体内某种细胞的形状可近似看做球体，它的直径约为 0.0000032m，数字 0.00000032 用科学记数法表示为 3.210 7 【分析】绝对值小于 1 的正数利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，n 由原数左边 起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.000000323.210 7 故答案为：3.210 7 11 （3 分）已知反比例函数 y与一次函数 yx1 的图象的一个交点的纵坐标是 2， 则 k 的值为 6 【分析】把 y2 代入一次函数的解析式，即可求得交点
22、坐标，然后利用待定系数法即可 求得 k 的值 【解答】解：在 yx1 中，令 y2，得x12 解得 x3， 则交点坐标是： （3，2） ， 把（3，2） ，代入 y得，k6 故答案为：6 12 （3 分）如图，ABC 是边长为 4 的等边三角形ABC，将绕边 AB 的中点 O 逆时针旋 转 60，点 C 的运动路径为，则图中阴影部分的面积为 2 【分析】如图，连接 OC，OC，设 AC 于 OC交点为 D，由等边三角形的性质和旋转的 性质可求 OCOC2，COC60，由三角形内角和定理可求ADO90，由 面积的和差关系可求解 【解答】解：如图，连接 OC，OC，设 AC 与 OC交点为 D，
23、ABC 是边长为 2 的等边三角形， BBAC60，ABBC4， 点 O 是 AB 的中点， AOAB2，OCAB， BOCAOC90， OCBCsin602， 将ABC 绕边 AB 的中点 O 逆时针旋转 60， OCOC2，COC60， AOCAOCCOC30， ADO180AOCBAC90， ADAOsin301， S阴影SAOC+S扇形COCSAOC+2122 2， 故答案为：2 13 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC4，BD2，AC，BD 相交于点 O，过点 C 作 CEAB 交 AB 的延长线于点 E，过点 O 作 OFCE 交 CE 于点 F，则 OF 的长度为
24、 【分析】 由菱形的性质和勾股定理可求 AB 的长， 由面积法可求 CE 的长， 通过证明OCF ACE，可得，可求 CF 的长，由勾股定理可求 OF 的长 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， AO2，BO1，ACBD， AB， S菱形ABCDACBDABCE， 4CE， CE， OFCAEC90，ACEOCF， OCFACE， ， CE2CF， CFEF， OF， 故答案为： 14 （3 分）如图，有一棱长为 4dm 的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点 A 到点 D 拉一条捆绑线绳，使线绳经过 ABFE、BCGF、EFGH、CDHG 四个面，则所需捆绑线绳 的长至少为 4 dm 【
25、分析】把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点 A 和 D 点间的线段 长，即可得到捆绑线绳的最短距离在直角三角形中，一条直角边长等于两个棱长，另 一条直角边长等于 3 个棱长，利用勾股定理可求得 【解答】解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段 AD即为最 短路线 展开后由勾股定理得：AD282+122， 故 AD4dm 故答案为 4 三、作图题（本大题满分三、作图题（本大题满分 4 分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 15 （4 分）已知：如图，线段 a， 求作：RtABC，使C90，ABC，A
26、Ba 【分析】根据基本作图方法即可作出 RtABC，使C90，ABC，ABa 【解答】解：如图， 所以 RtABC 即为所求 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 74 分）分） 16 （1）化简：（1） ； （2）解不等式组： 【分析】 （1）根据分式的减法和除法可以解答本题； （2）根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题 【解答】解： （1）（1） ； （2）， 由不等式，得 x， 由不等式，得 x3， 原不等式组的解集是x3 17小颖为班级联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，每个 转盘被分成面积相等的三个扇形游戏者同时转动两个转盘，如
27、果一个转盘转出红色， 另一个转盘转出蓝色，那么就能配成紫色小明和小亮参加这个游戏，并约定：若配成 紫色，则小明贏；若两个转盘转出的颜色相同，则小亮赢这个游戏对双方公平吗？请 说明理由 【分析】分别计算出小明、小亮获胜的概率，比较大小即可得出游戏是否公平 【解答】解：列表如下： 红 蓝 蓝 红 （红，红） （红，蓝） （红，蓝） 黄 （黄，红） （黄，蓝） （黄，蓝） 蓝 （蓝红） （蓝，蓝） （蓝，蓝） 由表格可知，共有 12 种等可能结果，其中配成紫色的有 3 种结果，颜色相同的有 3 种结 果 P（小明赢），P（小亮赢）， ， 游戏公平 18 中学生体质健康标准规定学生体质健康等级标准：9
28、0 分及以上为优秀；80 分89 分为良好；60 分79 分为及格；60 分以下为不及格某校为了解学生的体质健康情况， 从八年级学生中随机抽取了 20%的学生进行了体质测试，并将测试数据制成如图统计 图请根据相关信息解答下面的问题： （1）扇形统计图中， “不及格”等级所在扇形圆心角的度数是多少？ （2）求参加本次测试学生的平均成绩； （3）若参加本次测试“良好”及“良好”以上等级的学生共有 96 人，请你估计全校八 年级“不及格”等级的学生大约有多少人 【分析】 （1）计算出“不及格”等级所占百分比，然后再利用 360乘以百分比可得“不 及格”等级所在扇形圆心角的度数； （2）利用加权平均数
29、的计算方法计算即可； （3）计算出本次测试的总人数再乘以 10%即可 【解答】解： （1）123%25%42%10%， 10%36036， 答： “不及格”等级所在扇形圆心角的度数是 36； （2）9223%+8425%+7042%+4510%76.06（分） 答：参加本次测试学生的平均成绩为 76.06 分； （3）96（23%+25%）20%10%100（人） 答：全校八年级“不及格”等级的学生大约有 100 人 19如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物 ABCD 的 A，C 两点测得该塔顶端 E 的仰角分别为48和65，矩形建筑物的宽度 AD18m，高度 CD30m， 求信号发射
30、塔顶端到地面的距离 EF （结果精确到 0.1m） （参考数据：sin480.7，cos480.7，tan481.1，sin650.9，cos650.4， tan652.1） 【分析】过点 A 作 AGEF，垂足为 G设 EF 为 x 米，由题意可得四边形 CDGF 是矩 形，再根据锐角三角函数即可求出信号发射塔顶端到地面的距离 EF 【解答】解：如图， 过点 A 作 AGEF，垂足为 G设 EF 为 x 米， 由题意可知：四边形 CDGF 是矩形， 则 FGCD30m，DGCF， GEx30 在 RtAEG 中，AGE90， ， ， ， 在 RtCEF 中，CFE90，ECF65， ， ，
31、， DGCF， AGCF+AD， ， x104.58104.6（米） 答：信号发射塔顶端到地面的距离 EF 为 104.6 米 20在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上防护口罩出现热销某药店用 3000 元购进甲，乙两 种不同型号的口罩共 1100 个进行销售，已知购进甲种口罩与乙种口罩的费用相同，购进 甲种口罩单价是乙种口罩单价的 1.2 倍 （1）求购进的甲，乙两种口罩的单价各是多少？ （2）若甲，乙两种口罩的进价不变，该药店计划用不超过 7000 元的资金再次购进甲， 乙两种口罩共 2600 个，求甲种口罩最多能购进多少个？ 【分析】 （1）设乙种口罩的单价为 x 元，则甲种口罩的单价为 1.
32、2x 元，根据数量总价 单价，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设该药店购进甲种口罩 a 只，则购进乙种口罩（2600a）只，根据总价单价 数量结合进货总价不超过 7000 元，即可得出关于 a 的一元一次不等式，解之取其中的最 大值即可得出结论 【解答】解： （1）300021500（元） 设乙种口罩的单价为 x 元，则甲种口罩的单价为 1.2x 元， 依题意，得：， 解得：x2.5， 经检验，x2.5 是原方程的解，且符合题意， 1.2x3 答：甲种口罩的单价为 3 元，乙种口罩的单价为 2.5 元 （2）设该药店购进甲种口罩 a 只，则购进乙种口罩（2600
33、a）只， 依题意，得：3a+2.5（2600a）7000， 解得：a1000 答：甲种口罩最多购进 1000 只 21如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，作ADC 和ABC 的平 分线，分别交 AC 于点 G，H，延长 DG 交 AB 于点 E，延长 BH 交 CD 于点 F （1）求证：ADGCBH； （2）若 BD 平分CDE，则四边形 DEBF 是什么特殊四边形？请说明理由 【分析】 （1） 由平行四边形的性质得出 ADCB， ADCB， ADCABC， 得出DAG BCH，证出ADGCBH，由 ASAS 即可得出ADGCBH； （2）证CBFADE（AS
34、A） ，得出 AECF，证出 EBDF，得出四边形 DEBF 是平 行四边形，再证 EDEB，即可得出结论 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADCB，ADCB，ADCABC， DAGBCH， DE，BF 分别是ADC 和ABC 的平分线， ， ADGCBH， 在ADG 和CBH 中， ADGCBH（ASA） ； （2）解：四边形 DEBF 是菱形，理由如下： 四边形 ABCD 是平行四边形， ADCB，ABCD，ABCD，DABBCD， 在CBF 和ADE 中， CBFADE（ASA） ， AECF， ABAECDCF， 即 EBDF， 又ABCD， 四边形 DEBF
35、是平行四边形， BD 平分CDE， CDBBDE， 又ABCD， CDBDBA， BDEDBA， EDEB， 平行四边形 DEBF 是菱形 22 “互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐某网店专售一种商品，其成本为每件 60 元，已知销售过程中，销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品的获利不得 高于 50% 据市场调查发现， 月销售量 y （件） 与销售单价 x （元） 之间的函数关系如表： 销售单价 x （元） 65 70 75 80 月销售量 y （件） 475 450 425 400 （1）请根据表格中所给数据，求出 y 关于 x 的函数关系式； （2）设该网店每月获得的利润为
36、w 元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大， 最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出 300 元资助贫 困学生为了保证捐款后每月利润不低于 7700 元，且让消费者得到最大的实惠，该如何 确定该商品的销售单价？ 【分析】 （1）待定系数法即可求得函数的解析式； （2）利用销量每件利润总利润进而得出函数关系式求出最值； （3）根据题意列方程求出 x 的值，进而得出答案 【解答】解： （1）根据表格中的数据猜想 y 与 x 的函数关系是一次函数， 设 ykx+b， 将 x65，y475；x70，y450 代入 ykx+b，得， 解得， y5x+800， 经验证，x
37、75，y425；x80，y400 都满足上述函数关系式， 答：y 与 x 的函数关系式为 y5x+800； （2） 由题意， 得 w （x60） y （x60）（5x+800） 5x2+1100 x480005x2+1100 x 48000， 销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品的获利不得高于 50%， ， 60 x90， a50， 抛物线开口向下，对称轴为直线 x110， 60 x90， 此时函数图象在对称轴的左侧，w 随 x 的增大而增大， x90 时，w 取得最大值，wmax10500； 答：当销售单价 x 为 90 元时，每月获得的利润最大，最大利润是 10500 元； （3
38、）根据题意得，5x2+1100 x480003007700 解得：x180，x2140， 抛物线开口向下， 当 80 x140 时，每月利润不低于 7700 元 又60 x90， 当 80 x90 时，每月利润不低于 7700 元， 要让消费者得到最大的实惠， x80， 答：该商品的销售单价定为 80 元时，符合该网店要求且让消费者得到最大的实惠 23提出问题正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的边及内角有什么关 系？ 探索发现（1）为了解决这个问题，我们不妨从最简单的正多边形正三 角形入手 如图，ABC 是正三角形，边长是 a，P 是ABC 内任意一点，P 到ABC 各边距离 分别
39、为 h1、h2、h3，确定 h1+h2+h3的值与ABC 的边及内角的关系 （2）如图，五边形 ABCDE 是正五边形，边长是 a，P 是正五边形 ABCDE 内任意一 点，P 到五边形 ABCDE 各边距离分别为 h1，h2，h3，h4，h5，参照（1）的探索过程，确 定 h1+h2+h3+h4+h5的值与正五边形 ABCDE 的边及内角的关系 （3）类比上述探索过程： 正六边形 （边长为 a） 内任意一点 P到各边距离之和h1+h2+h3+h4+h5+h6 3atan60 正八边形（边长为 a）内任意一点 P 到各边距离之和 h1+h2+h3+h4+h5+h6+h7+h8 4atan67.
40、5 问题解决正 n 边形（边长为 a）内任意一点 P 到各边距离之和 h1+h2+hn atan （90） 【分析】 （1）设ABC 的面积为 S，显然，设ABC 的中心（正多 边形各边垂直平分线的交点，又称正多边形的中心）为 O，连接 OA、OB、OC，它们将 ABC 分成三个全等的等腰三角形，过点 O 作 OMAB，垂足为 M， 根据锐角三角函数和面积公式即可得结论； （2）设正五边形 ABCDE 的面积为 S，显然，设正五边形 ABCDE 的中心为 O，连接 OA、OB、OC、OD、OE，它们将正五边形 ABCDE 分成五个 全等的等腰三角形，过点 O 作 OFAB，根据锐角三角函数和面
41、积公式即可得结论； （3）结合（1） （2）的证明过程，同理可证：正六边形（边长为 a）内任意一点 P 到各 边距离之和 h1+h2+h3+h4+h5+h63atan60正八边形（边长为 a）内任意一点 P 到各边 距离之和 h1+h2+h3+h4+h5+h6+h7+h84atan67.5正 n 边形（边长为 a）内任意一点 P 到各边距离之和 h1+h2+hnatan（90） 【解答】解： （1）设ABC 的面积为 S， 显然， 设ABC 的中心（正多边形各边垂直平分线的交点，又称正多边形的中心）为 O， 连接 OA、OB、OC， 它们将ABC 分成三个全等的等腰三角形， 过点 O 作 OM
42、AB，垂足为 M， 易知， 所以， 那么， 所以； （2）解：设正五边形 ABCDE 的面积为 S， 显然， 设正五边形 ABCDE 的中心为 O， 连接 OA、OB、OC、OD、OE， 它们将正五边形 ABCDE 分成五个全等的等腰三角形， 过点 O 作 OFAB， 垂足为 F，易知 OFAFtanOABABtanBAEatan54， 所以， 那么， 所以 （3）同理可证： 正六边形（边长为 a）内任意一点 P 到各边距离之和 h1+h2+h3+h4+h5+h63atan60 正八边形（边长为 a）内任意一点 P 到各边距离之和 h1+h2+h3+h4+h5+h6+h7+h8 4atan67
43、.5 问题解决正 n 边形（边长为 a）内任意一点 P 到各边距离之和 h1+h2+hnatan（90 ） 故答案为：3atan60，4atan67.5， 24 已知： 如图， 在四边形 ABCD 中， ABCD， ABC90， ABAD10cm， CD4cm 点 P 从点 A 出发，沿 AB 方向匀速运动，速度为 2cm/s；同时点 Q 从点 C 出发，沿 DC 方向 在 DC 的延长线上匀速运动，速度为 1cm/s；当点 P 到达点 B 时，点 Q 停止运动过点 P 作 PEBD，交 AD 于点 E连接 EQ，BQ设运动时间为 t（s） （0t5） ，解答下列问 题： （1）连接 PQ，当
44、 t 为何值时，PQAD？ （2）设四边形 PBQE 的面积为 y（cm2） ，求 y 与 t 的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使四边形 PBQE 的面积为四边形 ABQD 面积 的，若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由； （4） 在运动过程中， 是否存在某一时刻 t， 使 EQBD？若存在， 求出 t 的值； 若不存在， 请说明理由 【分析】 （1）根据平行四边形的对边相等列出方程，解方程得到答案； （2）作 DFAB，EMAB，根据 S四边形PBQES梯形ABQDSAEPSQED，列出函数解 析式； （3）根据（2）的结论、结合图形列出方程，解方程求出 t
45、； （4）根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到 DEDQ，列式计算即可 【解答】解： （1）当 PQAD 时，DCAB， 四边形 APQD 是平行四边形， APDQ，即 2t4+t， 解得，t4， 当 t 为 4s 时，PQAD； （2） 过点 D 作 DFAB 于 F， 过点 E 作 EMAB 于 M， 延长 ME 交 CD 的延长线于点 N， DFADFB90，EMAEMB90， ABCD， CDF90，CNM90， ABC90， 四边形 DFBC、NMFD 是矩形， BFDC4， AF6， DF8， MNBCDF8， PEBD， ， ABAD， AEAP2t， AA，EMADFA，
46、 AEMADF， ，即， ， ， yS四边形PBQES梯形ABQDSAEPSQED （4+t+10）82tt（4+t） （8t） t2+t+40， y 与 t 的函数关系式为：yt2+t+40（0t5） ； （3）假设存在某一时刻 t，四边形 PBQE 的面积为四边形 ABQD 面积的， 则t2+t+40（4+t+10）8， 解得，t14，t2（不合题意，舍去） ， 答：当 t4 时，四边形 PBQE 的面积为四边形 ABQD 面积的； （4）若存在某一时刻 t，使 EQBD，垂足为 O， DOEDOQ90， ABCD， BDCDBA， ABAD， BDADBA， BDCBDA， DEDQ， 4+t102t， t2， 当 t 为 2s 时，EQBD
