1、2019-2020学年山东省青岛市黄岛区、平度九中高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）直线xy+20的倾斜角是（）A30B60C120D1502（4分）双曲线y21的虚轴长等于（）AB1C2D23（4分）已知直线l1：2x+ay+20与直线l2：（a1）x+3y+20平行，则a（）A3B2C2或3D54（4分）观察数列1，ln2，sin3，4，ln5，sin6，7，ln8，sin9，则该数列的第20项等于（）A2020B20Csin20Dln205（4分）若点P在椭圆C：1上，F1，F2分别为
2、椭圆C的左右焦点，且F1PF290，则F1PF2的面积为（）AB3C4D16（4分）已知正项等比数列an的前n项和为Sn，nN*，S24，a39，则（）ABC3D27（4分）已知圆C1：x2+y24与圆C2：x2+y2+6x8y240，则两圆的位置关系为（）A相离B外切C相交D内切8（4分）人造地球卫星的运行轨道是以地心为焦点的椭圆，设地球的半径为R，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为r1、r2，则卫星轨道的离心率等于（）ABCD9（4分）已知直线l：x+ay+10与圆C：（x1）2+（y1）24相交于A，B两点，若|AB|2，则实数a（）ABC1D110（4分）若等差数列an的前n项和为S
3、n，nN*，S120，S130，则Sn的最大值为（）AS5BS6CS7DS12二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得4分，逸对但不全的得2分，有选错的得0分11（4分）若直线过点A（1，2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为（）Axy+10Bx+y30C2xy0Dxy1012（4分）已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P、Q两点，则下列说法正确的是（）A椭圆C的方程为+x21B椭圆C的方程为+y21C|PQ|DPF2Q的周长为413（
4、4分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A，B两点（点A在第一象限）、与抛物线的准线交于点D，若|AF|4，则以下结论正确的是（）Ap2BF为AD中点C|BD|2|BF|D|BF|2三、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分14（4分）若抛物线的准线方程为y2，则该抛物线的标准方程是 15（4分）已知双曲线C：（a0，b0）的一条渐近线于直线l：x2y+20200垂直，则双曲线C的离心率e 16（4分）已知等差数列an的首项为1，公差不为零，若a2，a3，a6成等比数列，则数列an的前8项的和为 17（4分）已知圆x2+（y2）2
5、1上一动点A，定点B（6，1）；x轴上一点W，则|AW|+|BW|的最小值等于 四、解答题：共B2分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，a3S26，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）若bn，数列bn的前n项和为Tn，证明：Tn119（14分）在平面直角坐标系中，圆C的圆心在直线xy0上，且圆C经过点P（2，0）和点Q（1，）（1）求圆C的标准方程；（2）求经过点M（2，1）且与圆C恰有1个公共点的直线的方程20（14分）已知O为坐标原点，点G（2，0）和点H（2，0），动点P满足：|PG|PH|2（1）求动点P的轨迹曲线W的方程并说明W
6、是何种曲线；（2）若抛物线Z：y22px（p0）的焦点F恰为曲线W的顶点，过点F的直线l与抛物线Z交于M，N两点，|MN|8，求直线l的方程21（14分）已知O为坐标原点，定点F（1，0），定直线l：x4，动点P到直线l的距离设为d，且满足：（1）求动点P的轨迹曲线W的方程；（2）若直线m：yx+t与曲线W交于A，B两点，求AOB面积的最大值22（14分）已知数列an的前n项和为Sn，a12，Sn+13Sn+2，nN*（1）证明：数列Sn+1为等比数列；（2）已知曲线n：x2+（19an）y21，若n为椭圆，求n的值；（3）若bn（）log3（），求数列bn的前n项和Tn23（14分）已知O为
7、坐标原点，椭圆C：（ab0）上顶点为A，右顶点为B，离心率e，圆O：x2+y2与直线AB相切（1）求椭圆C的标准方程；（2）若D，E，F为椭圆C上的三个动点，直线EF，DE，DF的斜率分别为k，k1，k2（kk1k20）（i）若EF的中点为W（1，），求直线EF的方程；（）若k1k2，证明：直线EF过定点2019-2020学年山东省青岛市黄岛区、平度九中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）直线xy+20的倾斜角是（）A30B60C120D150【分析】先求出直线xy+20的斜
8、率，再根据斜率是倾斜角的正切值，计算倾斜角即可【解答】解；设倾斜角为，直线xy+20的斜率为tan30故选：A【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握2（4分）双曲线y21的虚轴长等于（）AB1C2D2【分析】直接利用双曲线的标准方程求解双曲线的虚轴长即可【解答】解：双曲线y21，可得b1，所以双曲线y21的虚轴长等于2故选：C【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题3（4分）已知直线l1：2x+ay+20与直线l2：（a1）x+3y+20平行，则a（）A3B2C2或3D5【分析】直接利用两直线的位置关系的应用求出a 的值【解答】解：直线l
9、1：2x+ay+20与直线l2：（a1）x+3y+20平行，则23（a1）a0，解得a2或3，当a3时，两直线重合，故舍去，故a2故选：B【点评】本题考查的知识要点：两直线位置关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型4（4分）观察数列1，ln2，sin3，4，ln5，sin6，7，ln8，sin9，则该数列的第20项等于（）A2020B20Csin20Dln20【分析】通过观察数列得出规律，数列中的项是按正整数顺序排列，且以3为循环节，由此判断第20项是哪个数【解答】解：由数列得出规律，按照1，ln2，sin3，是按正整数的顺序排列，且以3为循环节；由20362；所
10、以该数列的第20项为ln20故选：D【点评】本题考查了归纳推理的应用问题，是基础题5（4分）若点P在椭圆C：1上，F1，F2分别为椭圆C的左右焦点，且F1PF290，则F1PF2的面积为（）AB3C4D1【分析】根据椭圆方程算出c，从而RtF1PF2中得到|PF1|2+|PF2|2，结合椭圆的定义联解，得到|PF1|PF2|，最后用直角三角形面积公式，即可算出F1PF2的面积【解答】解：椭圆C：，a24，b21可得c，因此RtF1PF2中，|F1F2|2，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|212根据椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|2a4联解，可得|PF1|PF2|2，F1PF2的面积S|
11、PF1|PF2|1故选：D【点评】本题给出椭圆方程，求当焦点三角形是直角三角形时求焦点三角形的面积，着重考查了勾股定理、椭圆的标准方程与简单性质等知识，属于中档题6（4分）已知正项等比数列an的前n项和为Sn，nN*，S24，a39，则（）ABC3D2【分析】设正项等比数列an的公比为q0利用通项公式即可得出【解答】解：设正项等比数列an的公比为q0S24，a39，a1（1+q）4，a1q29，解得：a11，q3，则q3故选：C【点评】本题考查了等比数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（4分）已知圆C1：x2+y24与圆C2：x2+y2+6x8y240，则两圆的位
12、置关系为（）A相离B外切C相交D内切【分析】化圆C2的一般方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由两圆的圆心距与半径的关系判断【解答】解：化圆C2：x2+y2+6x8y240为（x+3）2+（y4）249，可得圆C2的圆心坐标为（3，4），半径为7；由圆C1：x2+y24的圆心坐标为（0，0），半径为2，|C1C2|，而725，两圆的位置关系为内切故选：D【点评】本题考查两圆位置关系的判定，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题8（4分）人造地球卫星的运行轨道是以地心为焦点的椭圆，设地球的半径为R，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为r1、r2，则卫星轨道的离心率等于（）ABCD【分析】由题意画
13、出图形，结合椭圆的定义，求出椭圆的长半轴a，半焦距c，即可确定椭圆的离心率【解答】解：椭圆的离心率：e（0，1），（c，半焦距；a，长半轴）所以只要求出椭圆的c和a，由题意，结合图形可知，a，cOF1r1R，所以e故选：A【点评】本题是基础题，考查椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法，是解题的关键，考查学生的作图视图能力9（4分）已知直线l：x+ay+10与圆C：（x1）2+（y1）24相交于A，B两点，若|AB|2，则实数a（）ABC1D1【分析】利用弦长求出圆心到直线的距离，再用点到直线的距离公式即可求出a【解答】解：由题意，圆心C（1，1），半径r2，由几何知识可得，圆心C到直线
14、l的距离，解得a，故选：A【点评】本题主要考查利用几何法解决直线与圆的位置关系，属于基础题10（4分）若等差数列an的前n项和为Sn，nN*，S120，S130，则Sn的最大值为（）AS5BS6CS7DS12【分析】推导出a6+a70，a70，a60，由此能求出Sn的最大值【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，nN*，S120，S130，a6+a70，a70，a60，a6|a7|，Sn的最大值为S6故选：B【点评】本题考查等差数列的前n项和的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，
15、有多项符合题目要求全部选对的得4分，逸对但不全的得2分，有选错的得0分11（4分）若直线过点A（1，2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为（）Axy+10Bx+y30C2xy0Dxy10【分析】讨论直线过原点时和直线不过原点时，分别求出对应的直线方程即可【解答】解：当直线经过原点时，斜率为k2，所求的直线方程为y2x，即2xy0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为xyk，把点A（1，2）代入可得12k，或1+2k，求得k1，或k3，故所求的直线方程为xy+10，或x+y30；综上知，所求的直线方程为 2xy0、xy+10，或x+y30故选：ABC【点评】本题考查了利用分类讨
16、论思想求直线方程的问题，是基础题12（4分）已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P、Q两点，则下列说法正确的是（）A椭圆C的方程为+x21B椭圆C的方程为+y21C|PQ|DPF2Q的周长为4【分析】由已知求得b，再由离心率结合隐含条件求得a，可得椭圆方程，进一步求得通径及PF2Q的周长判断得答案【解答】解：由已知得，2b2，b1，又a2b2+c2，解得a23椭圆方程为如图：|PQ|，PF2Q的周长为4a4故选：ACD【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题13（4分）已知抛物线C：y22px（
17、p0）的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A，B两点（点A在第一象限）、与抛物线的准线交于点D，若|AF|4，则以下结论正确的是（）Ap2BF为AD中点C|BD|2|BF|D|BF|2【分析】由题意画出图形，写出直线方程，与抛物线方程联立，求得A的坐标，再由焦半径公式求p，进一步求出|BF|，|BD|的值，逐一判断四个选项得答案【解答】解：如图，F（，0），直线l的斜率为，则直线方程为y，联立，得12x220px+3p20解得：，由|AF|，得p2抛物线方程为y24x，则|BF|；|BD|，|BD|2|BF|，|BD|+|BF|，则F为AD中点运算结论正确的是A，B，C故
18、选：ABC【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题三、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分14（4分）若抛物线的准线方程为y2，则该抛物线的标准方程是x28y【分析】由抛物线的准线方程可知，抛物线是焦点在y轴负半轴上的抛物线，并求得p值，则答案可求【解答】解：由抛物线的准线方程为y2，可知抛物线是焦点在y轴负半轴上的抛物线，设其方程为x22py（p0），则其准线方程为y，得p4该抛物线的标准方程是x28y故答案为：x28y【点评】本题考查抛物线的标准方程，是基础的计算题15（4分）已知双曲线C：（a0，b0）的一条渐近线于直线l：x2y
19、+20200垂直，则双曲线C的离心率e【分析】求出双曲线的渐近线方程，再由两直线垂直的条件，可得，b2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求【解答】解：双曲线C：（a0，b0）的一条渐近线yx，由于一条渐近线与直线x2y+20200垂直，则有2，即有b2a，ca，则离心率为e故答案为：【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查运算能力，属于基础题16（4分）已知等差数列an的首项为1，公差不为零，若a2，a3，a6成等比数列，则数列an的前8项的和为48【分析】设等差数列的公差为d，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差d，再由等差数
20、列的求和公式，计算可得所求和【解答】解：等差数列an的首项为1，公差d不为零，若a2，a3，a6成等比数列，可得a2a6a32，即（1+d）（1+5d）（1+2d）2，解得d2（0舍去），数列an的前8项的和为8a1+d85648故答案为：48【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题17（4分）已知圆x2+（y2）21上一动点A，定点B（6，1）；x轴上一点W，则|AW|+|BW|的最小值等于31【分析】根据题意画出示意图，进而数形结合求解；【解答】解：根据题意画出圆x2+（y2）21，以及点B（6，1）的图象如图，作B关于x轴的对称
21、点B，连接圆心与B，则与圆的交点A，|AB|即为|AW|+|BW|的最小值，|AB|为点（0，2）到点B（6，1）的距离减圆的半径，即|AB|31，故答案为：31【点评】考查“将军饮马”知识，数形结合的思想，输出图形，做出B点的对称点是解决本题的突破点；四、解答题：共B2分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，a3S26，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）若bn，数列bn的前n项和为Tn，证明：Tn1【分析】（1）直接利用已知条件建立等量关系式求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数
22、列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果【解答】解：（1）设首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，a3S26，则，解得，所以ana1+2（n1）2n证明：（2）由于an2n，所以所以【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型19（14分）在平面直角坐标系中，圆C的圆心在直线xy0上，且圆C经过点P（2，0）和点Q（1，）（1）求圆C的标准方程；（2）求经过点M（2，1）且与圆C恰有1个公共点的直线的方程【分析】（1）首先利用已知条件建立方程组求出圆心和半径，进一步求出圆
23、的方程（2）利用直线与圆相切的应用求出直线的方程【解答】解：（1）圆C的圆心在直线xy0上，设圆心的坐标为（a，a）所以圆的方程为（xa）2+（ya）2r2，且圆C经过点P（2，0）和点Q（1，）所以，解得a0，r2，所以圆的方程为x2+y24（2）由于圆的方程为x2+y24，所以，经过点M（2，1）且与圆C恰有1个公共点的直线的方程，有两种情况，当直线的斜率不存在时，直线的方程为x2，当直线的斜率存在时y1k（x2），所以圆心到直线的距离d2，解得，所以直线的方程为，所以直线的方程为x2或【点评】本题考查的知识要点：圆与直线的位置关系式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力
24、和转换能力及思维能力，属于基础题型20（14分）已知O为坐标原点，点G（2，0）和点H（2，0），动点P满足：|PG|PH|2（1）求动点P的轨迹曲线W的方程并说明W是何种曲线；（2）若抛物线Z：y22px（p0）的焦点F恰为曲线W的顶点，过点F的直线l与抛物线Z交于M，N两点，|MN|8，求直线l的方程【分析】（1）由动点P满足：|PG|PH|2可得到轨迹曲线为双曲线的右支；（2）由（1）可得F的坐标，然后再求出抛物线的方程，设出直线的方程为xmy+1，后根据弦长公式得到关于m的方程，解出即可【解答】解：（1）动点P满足|PG|PH|2|GH|，点P的轨迹曲线W为双曲线的一支，由双曲线的定义
25、有a1，c2，b，曲线W的方程为；（2）由（1）可知曲线W的顶点F（1，0），p2，所以抛物线Z的方程为y24x由题意，直线l的倾斜角不能为0，设直线l的方程为xmy+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），代入到y24x消去x得：y24my40，16m2+160，y1+y24m，y1y24，m1或m1，直线l的方程为xy10或x+y10【点评】本题主要考查双曲线的定义以及直线与圆锥曲线的关系，应用弦长公式即可快速求解，属于基础题21（14分）已知O为坐标原点，定点F（1，0），定直线l：x4，动点P到直线l的距离设为d，且满足：（1）求动点P的轨迹曲线W的方程；（2）若直线m：yx+t与曲
26、线W交于A，B两点，求AOB面积的最大值【分析】（1）设P（x，y），P到F的距离|PF|，P到定直线l的距离为d|x4|，进而求解；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，求出t的取值范围，进而由三角形面积公式求解；【解答】解：（1）设P（x，y），P到F的距离|PF|，P到定直线l的距离为d|x4|，由题意可知，2|x4|，W的方程为（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，整理得，7x2+8tx+4t2120，64t228（4t212）0，解得t，x1+x2，x1x2，O到直线的距离d0|t|AB|x1x2|SAOBd0|AB|t|，令t2m，则0
27、m7，SAOB，m，即t时，AOB有最大值为【点评】（1）考查椭圆轨迹方程解析式求解；，点到直线距离，点到点的距离公式应用；（2）考查圆锥曲线与直线相交，求三角形面积最值问题，解决本题的关键点在于怎么表达三角形的面积；22（14分）已知数列an的前n项和为Sn，a12，Sn+13Sn+2，nN*（1）证明：数列Sn+1为等比数列；（2）已知曲线n：x2+（19an）y21，若n为椭圆，求n的值；（3）若bn（）log3（），求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）对已知条件Sn+13Sn+2两边加1即可得出结论；（2）由（1）得出Sn的表达式，再求出an的通项公式，根据椭圆方程得出19an的范围
28、，从而得出n的值；（3）化简bn，利用错位相减法求和【解答】（1）证明：Sn+13Sn+2，Sn+1+13Sn+33（Sn+1），又S1+1a1+13，Sn+1是以3为首项，以3为公比的等比数列（2）解：由（1）可知Sn+13n，即Sn3n1，当n2时，anSnSn13n3n123n1显然当n1时，上式也成立，故an23n1曲线n：x2+（19an）y21表示椭圆，19an0且19an1，又nN，故n1或n2（3）解：bn3n1log33nn3n1Tn130+23+332+433+n3n1，两边同乘3可得：3Tn13+232+333+434+n3n，可得：2Tn1+3+32+33+3n1n3n
29、n3n（n）3n，Tn3n+【点评】本题考查了等比数列的证明，通项公式，错位相减法求和，属于中档题23（14分）已知O为坐标原点，椭圆C：（ab0）上顶点为A，右顶点为B，离心率e，圆O：x2+y2与直线AB相切（1）求椭圆C的标准方程；（2）若D，E，F为椭圆C上的三个动点，直线EF，DE，DF的斜率分别为k，k1，k2（kk1k20）（i）若EF的中点为W（1，），求直线EF的方程；（）若k1k2，证明：直线EF过定点【分析】（1）由离心率和直线AB与圆相切分别得到a，b的式子，求解得椭圆的方程；（2）（i）由点差法求出直线EF的斜率，然后写出方程；（）利用放射变换将椭圆变换成圆，则对应关
30、系刚好变为垂直，则过圆心，再变回到原椭圆中去【解答】解：（1）A（0，b），B（ a，0）；由，即；则a22b2 ； 又直线AB的方程为：bx+ayab0；圆O：x2+y2与直线AB相切；所以圆心到直线AB的距离为：由得 a22，b21；故椭圆C的标准方程：（2）（i）设E（x1，y1），F（x2，y2）（x1x2否则矛盾）；因为EF的中点为W（1，），则x1+x22，y1+y21，由E，F都在椭圆C上有：，将上两个式子相减得：；即，即kEF1；故直线EF的方程为：yx+；（）法一：证明：椭圆C的方程为：；设变换，则将椭圆变换为圆：x2+y22；则点D，E，F变换后的对应点为D，E，F，且在圆
31、：x2+y22上；所以 kDEkDF 2k1k21；在圆中有DEDF，则EF为圆的直径，故过原点；故直线EF过原点（0，0）法二：设直线DE：yy0k1（xx0），设直线DF：yy0k2（xx0），将yk1（xx0）+y0代入，得：（1+2k12）x2+4k1（y0k1x0）x+2（y0k1x0）220，所以x1+x0，x1x0，因此x1，又因为k1k2，且同理可得：x2，可得x1+x20，设直线EF方程为：ykx+t，将ykx+t代入，得：（1+2k2）x2+4ktx+2t220，得：x1+x20，所以t0，所以直线EF过定点O（0，0）【点评】本题考查了椭圆的基本的几何性质，考查了点差法；直线与椭圆的位置关系，属于难题
