1、2018 年山东省青岛市黄岛区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）1 （3 分） 的相反数是（ ）A3 B3 C D2 （3 分）将数据 162000 用科学记数法表示为（ ）A0.162 105 B1.6210 5 C16.2 104 D16210 33 （3 分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A B C D4 （3 分）下列运算正确的是（ ）A3a 1= Ba 2+2a=3a3 C （ a） 3a2=a6 D （a） 3（ a） 2=a5 （3 分）如图，把ABC 经过一定的变化得到 ABC，如果ABC 上点 P 的坐标为（x，
2、y） ，那么这个点在ABC中的对应点 P的坐标为（ ）A （ x，y2） B （x+2，y+2） C （ x+2， y） D （x，y+2）6 （3 分）八年级学生去距学校 10 千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 20 分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的 2 倍设骑车学生的速度为 x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ）A =20 B =20 C = D =7 （3 分）如图，AB 是 O 的直径，BAD=70，则ACD 的度数是（ ）A20 B15 C35 D708 （3 分）如图，一次函数 y1=k1x+2 与反比例函数 的图象交点A
3、（m ，4）和 B（8，2）两点，若 y1y 2，则 x 的取值范围是（ ）A 8 x4 Bx8 或 0x4 Cx8 或 x4 Dx4 或8x0二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）9 （3 分）计算：2 （ 3.14） 0+（ ） 1= 10 （3 分）有一个不透明的袋子里装有若干个大小相同、质地均匀的白球，由于某种原因，不允许把球全部倒出来数，但可以从中每次摸出一个进行观察为了估计袋中白球的个数，小明再放入 8 个除颜色外，大小、质地均相同的红球，摇匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中摇匀这样不断重复摸球 100 次，其中有 16 次摸到红球，根据这个结
4、果，可以估计袋中大约有白球 个11 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABC=90，AC=AD，M，N 分别为AC，CD 的中点，连接 BM，MN，BNBAD=60，AC 平分BAD，AC=2，BN的长为 12 （3 分）已知抛物线 y=3x24x+c 的顶点在 x 轴上方，则 c 应满足的条件 13 （3 分）将ABC 绕点 B 逆时针旋转到ABC，使 A、B、C在同一直线上，若BCA=90 ，BAC=30，AB=4cm ，则图中阴影部分面积为 cm 214 （3 分）如图所示，已知点 C（1，0） ，直线 y=x+7 与两坐标轴分别交于A，B 两点，D ，E 分别是 AB，OA 上的
5、动点，则 CDE 周长的最小值是 三、作图题（本大题满分 4 分）用哪个圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。15 （4 分）已知：如图，线段 a， 求作：RtABC，使C=90，A=，AC=a四、解答题（本大题共 9 小题，满分 74 分）16 （8 分） （1）化简： （2）解不等式组：17 （6 分）甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有 4 张相同的纸牌，它们分别标有数字 1，2，3，4从中随机摸出一张纸牌然后放回，再随机摸出一张纸牌，若两次摸出的纸牌上数字之和是 3 的倍数，则甲胜；否则乙胜这个游戏对双方公平吗？请列表格或画树状图说明理由18 （6 分）航空测量飞机在与地
6、面平行的直线上飞行，且与一座山的山顶在同一铅锤平面内，已知飞机的飞行高度为 5000 米，速度为 50 米/秒，飞机在点 A处观测山顶 P 的俯角为 32，经过 30 秒后到达 B 处，这时观测山顶 P 的俯角为45，求山的高度 （结果精确到 1 米，参考数据：sin320.53，cos320.85，tan320.62 ）19 （6 分）小颖对自己家近四年的家庭支出情况进行了统计，并制作了下列两个统计图，根据统计图回答下列问题：（1）已知 2015 年小颖家教育支出为 0.24 万元，请将图 l 中的统计图补充完整：（2）求近四年小颖家总支出的中位数和这四年平均每年的总支出；（3）根据以上信息
7、，请你估计小颖家 2018 年教育支出大约是多少万元？并说明你是怎样估计的20 （8 分）学校计划选购甲、乙两种图书作为校园图书节的奖品，已知甲种图书的单价是乙种图书单价的 1.5 倍，用 600 元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少 10 本（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？（2）若学校计划购买这两种图书共 40 本，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量的一半，如何购买使得所需费用最少？最少费用是多少？21 （8 分）如图，在ABC 中，BD 平分ABC，AEBD 于点 O，交 BC 于点E， ADBC，连接 CD，（1）求证：AO=EO；（2）当ABC 满足什么条件时四边形
8、 ABED 是正方形？请说明理由22 （10 分）一座钢索桥的轮廓是抛物线型，如图所示，拱高 6m，跨度 20m，相邻两支柱间的距离约 5m（1）以地面 BC 所在的直线为 x 轴，以 BC 的垂直平分线 OA 所在的直线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）求柱 EF 的长度；（3）拱桥下地平面是单向行车道，能否并排行驶宽 2m、高 3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明理由；（4）拱桥下方要悬挂宽为 1 米的电子警示牌，要求警示牌下底距地面不能少于4.4m，则电子警示牌最长为多长？23 （10 分）探究：（1）图 1 中，已知线段 AB，A （2，0）
9、 ，B （0，3） ，则线段 AO 的长为 2，BO的长为 3，所以线段 AB 的长为；把 RtAOB 向右平移 3 个单位，再向上平移 2个单位，得到 RtCDE则 RtCDE 的顶点坐标分别为 C（1，2） ，D（3，2） ，E（3，5） ；此时线段 CD的长为 ，DE 的长为 ，所以线段 CE 的长为 （2）在图 2 中，已知线段 AB 的端点坐标为 A（a，b ） ，B （c，d） ，求出图中AB 的长 AB= （用含 a，b，c，d 的代数式表示，写出推导过程） ；归纳：无论线段 AB 处于直角坐标系中的哪 个位置，当其端点坐标为A（a ，b ） ，B （c，d）时，线段 AB 的长
10、为 AB= （不必证明）（3）运用 在图 3 中，一次函数 y=x+3 与反比例函数 y= 的图象交点为A，B 求出交点 A、B 的坐标；线段 AB 的长；点 P 是 x 轴上动点，求 PA+PB 的最小值24 （12 分）如图，在ABCD 中，AB=20cm，AD=30cm，ABC=60，点 Q 从点B 出发沿 BA 向点 A 匀速运动，速度为 2cm/s，同时，点 P 从点 D 出发沿 DC 向点 C 匀速运动，速度为 3cm/s，当点 P 停止运动时，点 Q 也随之停止运动，过点 P 做 PM AD 交 AD 于点 M，连接 PQ、QM设运动的时间为ts（ 0t6） （1）当 PQ PM
11、 时，求 t 的值；（2）设PQM 的面积为 y（cm 2） ，求 y 与 x 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻 t，使得PQM 的面积是ABCD 面积的 ？若存在，求出相应 t 的值；若不存在，请说明理由；（4）过点 M 作 MNAB 交 BC 于点 N，是否存在某一时刻 t，使得 P 在线段MN 的垂直平分线上？若存在，求出相应 t 的值；若不存在，请说明理由；2018 年山东省青岛市黄岛区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）1 （3 分） 的相反数是（ ）A3 B3 C D【解答】解：的相反数是 ，故选：C2 （3 分）
12、将数据 162000 用科学记数法表示为（ ）A0.162 105 B1.6210 5 C16.2 104 D16210 3【解答】解：162 000=1.62105故选：B3 （3 分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A B C D【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；故选：D4 （3 分）下列运算正确的 是（ ）A3a 1= Ba 2+2a=3a3 C （ a） 3a2=a6 D （a） 3（ a）
13、2=a【解答】解：A、3a 1= ，此选项错误；B、a 2 与 2a 不是同类项，不能合并，此选项错误；C、 （ a） 3a2=a5，此选项错误；D、 （a） 3（a） 2=a，此选项正确；故选：D5 （3 分）如图，把ABC 经过一定的变化得到 ABC，如果ABC 上点 P 的坐标为（x，y） ，那么这个点在ABC中的对应点 P的坐标为（ ）A （ x，y2） B （x+2，y+2） C （ x+2， y） D （x，y+2）【解答】解：把ABC 向上平移 2 个单位，再关于 y 轴对称可得到ABC，点 P（x，y）的对应点 P的坐标为（ x，y+2） 故选：D6 （3 分）八年级学生去距学
14、校 10 千米的博物馆参观，一部分学生骑自行 车先走，过了 20 分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的 2 倍设骑车学生的速度为 x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ）A =20 B =20 C = D =【解答】解：由题意可得， = ，故选：C7 （3 分）如图，AB 是 O 的直径，BAD=70，则ACD 的度数是（ ）A20 B15 C35 D70【解答】解：连接 BD，AB 是O 的直径，ADB=90 ，BAD=70 ， B=90BAD=20，ACD=B=20故选：A8 （3 分）如图，一次函数 y1=k1x+2 与反比例函数 的图象交点A（m
15、 ，4）和 B（8，2）两点，若 y1y 2，则 x 的取值范围是（ ）A 8 x4 Bx8 或 0x4 Cx8 或 x4 Dx4 或8x0【解答】解：把 B（8，2）代入 得 k2=8（2）=16，所以反比例函数解析式为 y2= ，把 A（m，4）代入 y2= 得 4m=16，解得 m=4，所以 A 点坐标为（4，4） ，当 y1y 2，x 的取值范围为 8x0 或 x4故选：D二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）9 （3 分）计算：2 （ 3.14） 0+（ ） 1= 6 +2 【解答】解：原式=23 1+3=6 +2故答案为：6 +210 （3 分）有一个不透明
16、的袋子里装有若干个大小相同、质地均匀的白球，由于某种原因，不允许把球全部倒出来数，但可以从中每次摸出一个进行观察为了估计袋中白球的个数，小明再放入 8 个除颜色外，大小、质地均相同的红球，摇匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中摇匀这样不断重复摸球 100 次，其中有 16 次摸到红球，根据这个结果，可以估计袋中大约有白球 42 个【解答】解：设袋中白球有 x 个，根据题意，得： = ，解得：x=42 ，经检验：x=42 是原分式方程的解，即估计袋中大约有白球 42 个故答案为：4211 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABC=90，AC=AD，M，N 分别为AC，CD 的中
17、点，连接 BM，MN，BNBAD=60，AC 平分BAD，AC=2，BN的长为 【解答】解：在CAD 中，M、N 分别是 AC、CD 的中点 ，MNAD，MN= AD，在 RtABC 中，M 是 AC 中点，BM= AC，AC=AD，MN=BM，BAD=60 ，AC 平分BAD，BAC=DAC=30，BM= AC=AM=MC，BMC= BAM+ABM=2BAM=60，MNAD，NMC=DAC=30 ，BM N=BMC +NMC=90，BN 2=BM2+MN2，MN=BM= AC=1，BN= 故答案为： 12 （3 分）已知抛物线 y=3x24x+c 的顶点在 x 轴上方，则 c 应满足的条件
18、c 【解答】解：抛物线 y=3x24x+c 的开口向上，其顶点的纵坐标为：=由于抛物线的顶点在 x 轴上方，所以 0解得：c故答案为：c13 （3 分）将ABC 绕点 B 逆时针旋转到ABC，使 A、B、C在同一直线上，若BCA=90 ，BAC=30，AB=4cm ，则图中阴影部分面积为 4 cm 2【解答】解：BCA=90，BAC=30 ，AB=4cm，BC=2，AC=2 ，ABA=120，CBC=120，阴影部分面积=（S ABC +S 扇形 BAA）S 扇形 BCCSABC = （4 222）=4cm 2故答案为：414 （3 分）如图所示，已知点 C（1，0） ，直线 y=x+7 与两
19、坐标轴分别交于A，B 两点，D ，E 分别是 AB，OA 上的动点，则 CDE 周长的最小值是 10 【解答】解：如图，点 C 关于 OA 的对称点 C（1，0） ，点 C 关于直线 AB 的对称点 C，直线 AB 的解析式为 y=x+7，直线 CC的解析式为 y=x1，由 解得 ，直线 AB 与直线 CC的交点坐标为 K（4，3 ） ，来源:学| 科 |网 Z|X|X|KK 是 CC中点，可得 C（7 ，6 ） 连接 CC与 AO 交于点 E，与 AB 交于点 D，此时DEC 周长最小，DEC 的周长=DE+EC +CD=EC +ED+DC=CC= =10故答案为 10三、作图题（本大题满分
20、 4 分）用哪个圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。15 （4 分）已知：如图，线段 a， 求作：RtABC，使C=90，A=，AC=a【解答】解：如图，ABC 为所作四、解答题（本大题共 9 小题，满分 74 分）16 （8 分） （1）化简： （2）解不等式组：【解答】解：（1）原式= + = =a1；（2）解得 x ，解得 x0，不等式组的解集是 x 017 （6 分）甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有 4 张相同的纸牌，它们分别标有数字 1，2，3，4从中随机摸出一张纸牌然后放回，再 随机摸出一张纸牌，若两次摸出的纸牌上数字之和是 3 的倍数，则甲胜；否则乙胜这个游戏
21、对双方公平吗？请列表格或画树状图说明理由【解答】解：根据题意列表如下：来源: 学科网1 2 3 41 （1 ，1） （2 ，1） （3 ，1） （4 ，1）2 （1 ，2） （2 ，2） （3 ，2） （4 ，2）3 （1 ，3） （2 ，3） （3 ，3） （4 ，3）4 （1 ，4） （2 ，4） （3 ，4） （4 ，4）所有等可能的情况数有 16 种，其中两次摸出的纸牌上数字之和是 3 的倍数的情况有：（2，1） ， （1，2） ， （4，2） ， （3，3） ， （2，4） ，共 5 种，P（甲获胜）= ，P（乙获胜）=1 = ，则该游戏不公平18 （6 分）航空测量飞机在与地面平行
22、的直线上飞行，且与一座山的山顶在同一铅锤平面内，已知飞机的飞行高度为 5000 米，速度为 50 米/秒，飞机在点 A处观测山顶 P 的俯角为 32，经过 30 秒后到达 B 处，这时观测山顶 P 的俯角为45，求山的高度 （结果精确到 1 米，参考数据：sin320.53，cos320.85，tan320.62 ）【解答】解：过点 P 作 PEAB 于点 E，设 PE=x 米根据题意，得 AB=5030=1500 米在AEP 中，有 AE=PEtan32= x；在BEP 中，有 BE=PEtan45=x；AB=AEBE=1500， xx=1500；解得：x2447.4；故山高约为 50002
23、447.42553 （米） ；答：山的高度约为 2553 米19 （6 分）小颖对自己家近四年的家庭支出情况进行了统计，并制作了下列两个统计图，根据统计图回答下列问题：（1）已知 2015 年小颖家教育支出为 0.24 万元，请将图 l 中的统计图补充完整：（2）求近四年小颖家总支出的中位数和这四年平均每年的总支出；（3）根据以上信息，请你估计小颖家 2018 年教育支出大约是多少万元？并说明你是怎样估计的【解答】解：（1）0.2415%=1.6（万元） ，如图所示：（2）近四年小颖家总支出的中位数为 =1.45（万元） ，这四年平均每年的总支出： =1.45（万元） ，答：近四年小颖家总支出
24、的中位数为 1.45 万元，这四年平均每年的总支出为1.45 万元；（3）估计小颖家 2018 年教育支出大约是 0.208 万元，由折线统计图知教育支出占总支出大约为 16%，所以 2018 年的教育支出约为 1.316%=0.208 万元20 （8 分）学校计划选购甲、乙两种图书作为校园图书节的奖品，已知甲种图书的单价是乙种图书单价的 1.5 倍，用 600 元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少 10 本（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？（2）若学校计划购买这两种图书共 40 本，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量的一半，如何购买使得所需费用最少？最少费用是多少？【解答】
25、解：（1）设乙种图书的单价为 x 元/本，则甲种图书的单价为 1.5x 元/本，根据题意得： =10，解得：x=20 ，经检验，x=20 是原方程的根，且符合题意，1.5x=30答：甲种图书的单价为 30x 元/ 本，乙种图书的单价为 20 元/本（2）设购买甲种图书 m 本，则购买乙种图书（40m）本，根据题意得：m （40 m） ，解得：m ，m 为整数，m14设购书费用为 y 元，则 y=30m+20（40 m）=10m +800，100 ，y 随 m 的增大而增大，当 m=14 时， y 取最小值，最小值=1014+800=940答：购买 14 本甲种图书、26 本乙种图书费用最少，最
26、少费用为 940 元21 （8 分）如图，在ABC 中，BD 平分ABC，AEBD 于点 O，交 BC 于点E， ADBC，连接 CD，（1）求证：AO=EO；（2）当ABC 满足什么条件时四边形 ABED 是正方形？请说明理由【解答】解：（1）证明：ADBC，CBD=ADB，BD 平分ABC ，ABD=CBD，ABD=ADB ，AB=AD，又AEBD，BO=DO，又AOD=EOB，AOD EOB，AO=EO；（2）当ABC 满足ABC=90时，四边形 AECD 是正方形理由：AOD EOB，AD=BE，又ADBE，AEBD ，四边形 ABED 是菱形，当ABC=90 时，菱形 ABED 是正
27、方形，即当ABC 满足ABC=90时，四边形 AECD 是正方形22 （10 分）一座钢索桥的轮廓是抛物线型，如图所示，拱高 6m，跨度 20m，相邻两支柱间的距离约 5m（1）以地面 BC 所在的直线为 x 轴，以 BC 的垂直平分线 OA 所在的直线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系 ，求抛物线的解析式；（2）求柱 EF 的长度；（3）拱桥下地平面是单向行车道，能否并排行驶宽 2m、高 3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明理由；（4）拱桥下方要悬挂宽为 1 米的电子警示牌，要求警示牌下底距地面不能少于4.4m，则电子警示牌最长为多长？【解答】解：（1）根据题目条件 B、C
28、 、A 的坐标分别是（ 10，0） ， （10，0） ，（0，6） ，设抛物线的解析式为 y=ax2+c，将 A、C 的坐标代入 y=ax2+c，得 ，解得 所以抛物线的表达式 y= x2+6（2）可设 F（5，y F） ，于是yF= 52+6=4.5， 来源: 学科网从而支柱 EF 的长度是 104.5=5.5 米（3）根据题意，当 x= 2+2=3 时，y= 32+6=5.463，所以可以并排行驶宽 2m、高 3m 的三辆汽车；来源: 学科网（4）根据题意，当 y=1+4.4=5.4 时， x2+6=5.4，解得：x= ，则电子警示牌最长为 2 米23 （10 分）探究：（1）图 1 中，
29、已知线段 AB，A （2，0） ，B （0，3） ，则线段 AO 的长为 2，BO的长为 3，所以线段 AB 的长为 ；把 RtAOB 向右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，得到 RtCDE来源:学&科&网 Z&X&X&K则 RtCDE 的顶点坐标分别为 C（1，2） ，D（3，2） ，E（3，5） ；此时线段 CD的长为 2 ，DE 的长为 3 ，所以线段 CE 的长为 （2）在图 2 中，已知线段 AB 的端点坐标为 A（a，b ） ，B （c，d） ，求出图中AB 的长 AB= （用含 a，b ，c，d 的代数式表示，写出推导过程） ；归纳：无论线段 AB 处于直角坐标系中的哪个
30、位置，当其端点坐标为 A（a ，b） ，B（c， d）时，线段 AB 的长为 AB= （不必证明）（3）运用 在图 3 中，一次函数 y=x+3 与反比例函数 y= 的图象交点为A，B 求出交点 A、B 的坐标；线段 AB 的长；点 P 是 x 轴上动点，求 PA+PB 的最小值【解答】解：（1）C（ 1，2） ，D（3，2） ，E （3，5） ，CD=2，DE=3，CE= = 故答案为：2；3； （2）在图 2 中，过点 A 作 x 轴的平行线 l1，过点 B 作 y 轴的平行线 l2，直线l1、l 2 交于点 E，则点 E 的坐标为（c，b） ，AE=ca，BE=db，AB= = 故答案为
31、： ； （3）联立两函数解析式成方程组，得：，解得： ， ，点 A 的坐标为（1，2） ，点 B 的坐标为（2，1） AB= = 在图 3 中，作点 B 关于 y 轴的对称点 B，连接 AB交 x 轴于点 P，点 B、B关于 x 轴对称，PB=PB，PA+PB=PA+PB=AB两点之间线段最短，此时，PA +PB 取最小值点 A 的坐标为（1，2） ，点 B 的坐标为（2，1） ，点 B的坐标为（ 2，1 ） ，AB= = ，PA+PB 的最小值为 24 （12 分）如图，在ABCD 中，AB=20cm，AD=30cm，ABC=60，点 Q 从点B 出发沿 BA 向点 A 匀速运动，速度为 2
32、cm/s，同时，点 P 从点 D 出发沿 DC 向点 C 匀速运动，速度为 3cm/s，当点 P 停止运动时，点 Q 也随之停止运动，过点 P 做 PM AD 交 AD 于点 M，连接 PQ、QM设运动的时间为ts（ 0t6） （1）当 PQ PM 时，求 t 的值；（2）设PQM 的面积为 y（cm 2） ，求 y 与 x 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻 t，使得PQM 的面积是ABCD 面积的 ？若存在，求出相应 t 的值；若不存在，请说明理由；（4）过点 M 作 MNAB 交 BC 于点 N，是否存在某一时刻 t，使得 P 在线段MN 的垂直平分线上？若存在，求出相应 t 的值
33、；若不存在，请说明理由；【解答】解：（1）PMAD，PQPM，PQ AD，四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，四边形 AQPD 是平行四边形，AQ=PD，202t=3t ，t=4（2）如图，过 A 作 AIBC 于 I，在 RtABI 中，AI=ABsin60=20 =10 ，S 四边形 ABCD=BCAI=3010 =300如图 1 中，作 MNCD 于 N，在 RtPMD 中，PMD=90，D=60 ，PD=3t，DM= PD= ，在 RtMND 中，D=60，MND=90 ，NMD=30DN= DM= t，MN= DN= t，0t6 ，y= PCMN= （20 3t） t= t2+
34、 ，PQM 的面积是 ABCD 面积的 ， t2+ = 300 ，3t 220t+300=0，而=400433000 ，此方程无实数根，即：不存在某一时刻 t，使得 PQM 的面积是ABCD 面积的 （3）如图 2 中，作 BGDA 交 DA 的延长线于 G，过点 Q 作 QKPM 于 K，交BG 于 H，则四边形 GHKM 是矩形，在 Rt ABG 中，G=90，ABG=30，AB=20 ，AG= AB=10，在 RtBHQ 中，BHQ=90，HBQ=30，BQ=2t，HQ= BQ=t，QK=40 tt，S QPM = PMQK= t（40 t）= t2+30 t，a= 0，S QPM 有最大值，此时 t= =8，t=8 秒时，QPM 面积最大（4）存在理由：如图 3 中，PM=PN，PMN=PNM，ABMN， AMBN，四边形 ABNM 是平行四边形，AMN= MNC=B=60，PMD=90 ，NMD=120，PMN=PNM=PNC=30，C=120，CPN=30=PNC，NC=PC=DM= t，PC+DP=20， t+3t=20，t= t= s 时，使得 P 在线段 MN 的垂直平分线上
