1、 二元一次方程组 通过对本节课的学习，你能够： 能够根据题意列出正确的方程并解决实际问题. 概 述 第 3 讲 知识点一知识点一 二元一次方程二元一次方程 1.二元一次方程定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程 （1）二元一次方程的条件：整式方程；只含两个未知数；两个未知数系数都不为 0；含有未知数的 项的次数都是 1. (2)二元一次方程的一般形式：axbyc(a0，b0) 例 1 有下列方程：xy 1；2x3y； 2 1 y x； x2y3； 13 4 y x ；ax22x3y0(a 0)，其中，二元一次方程有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D
2、4 个 【方法总结】判断一个方程是否为二元一次方程的方法：一看原方程是否是整式方程且只含有两个未知数； 二看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都 不为 0 且含未知数的项的次数都是 1. 例2. (1)已知方程(a2)x(b3)y9 是关于 x，y 的二元一次方程，则 a 的取值范围是_， b 的取值 范围是_； (2)已知 xm 2yn199 是关于 x，y 的二元一次方程，则 m_，n_. 【方法总结】 在含有字母参数的方程中，如果指明它是二元一次方程，那么它必定隐含两个条件：含未知数 的项的次数都是 1 且两个未知数的系数都不为 0。 随堂练习 1.在下列式子：6 5 2 y x；
3、4 1 y x ；3xy220；xy；xyz18； 2xy 90 中，是二元一次方程的是_(填序号) 2.已知 3xm 15yn210 是关于 x，y 的二元一次方程，则 m_，n_ 一、知识讲解 教学过程 知识点二 一元二次方程的解 1. 定义：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解 例3. 若 是方程 4x3y10 的一个解， 求 m 的值 【方法总结】已知二元一次方程的解确定字母参数的方法是已知二元一次方程的解确定字母参数的方法是：将方程的解代入方程中，得到一个关于这个字 母参数的新方程，解这个方程即可求出这个字母参数的值 随堂练习 1. 方程 2xy5 的一
4、个解是 2. 已 知 是方程 2xay3 的一个解，那么 a 的值是( ) A 1 B3 C3 D1 知识点 3 用含一个未知数的式子表示两一个未知数 二元一次方程 xy=6， (1)用含有 x 的代数式表示 y 为_; (2)用含有 y 的代数式表示 x 为_. 例 4 在二元一次方程 2xy3 中，请选用一个适当的未知数的代数式表示另一个未知数. 【方法总结】用含一个未知数的式子表示另一个未知数的变形步骤为： (1)移项，把被表示项移到一边，把其他项移到另 一边； (2)化系数为 1，在方程两边同除以被表示项的系数. 随堂练习 31 22 xm ym ， 2 _. x y ， 1 1 x
5、y ， 知识点 4 二元一次方程的整数解 例 5 求二元一次方程 3x2y12 的非负整数解 【方法总结】求二元一次方程的整数解的方法：(1)变形： 把 x 看成常数， 把方程变形为用 x 表示 y 的形式； (2)划界：根据方程的解都是整数的特点，划定 x 的取值范围；(3)试值：在 x 的取值范围内逐一试值；(4)确 定：根据试值结果得到二元一次方程的整数解其求解流程可概述为： 随堂练习 1.方程 2xy9 的正整数解有( ) A1 组 B2 组 C3 组 D4 组 2.(中考龙东)为推进课改，王老师把班级里 40 名学生分成若干小组，每小组只能是 5 人或 6 人，则有几种 分组方案(
6、) A4 B3 C2 D1 知识点 5 二元一次方程组 1.定义：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组 2.要点精析：二元一次方程组的条件： (1)共含有两个未知数 (2)每个方程都是一次方程 例1 有下列方程组： 其中二元一次方程组有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【方法总结】识别一个方程组是否为二元一次方程组的方法： 一看方程组中的方程是否都是整式方程； 二看方程组中是不是只含有两个未知数； 5, 7; 23 x xy = += 20, 1 3; 5 xz xy += -= 3, 1 1; xy y x -= += 1, 2; xy xy =
7、+= 1, 1 x xy += -= ， 三看含未知数的项的次数是不是都为 1. 注意：有时还需将方程组化简后再看 随堂练习 知识点 6 二元一次方程组的解 1.定义：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解 知识点 7 二元一次方程组的解法 1. 消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为 一元一次方程，先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少，逐一解决的思 想，叫消元思想 2. 代入消元：将二元一次方程组中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入 另一个方程中，从而消去一
8、个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消 元法，简称代入法 例 1 解方程组： 例2 解方程组： 例 3 用代入消元法解二元一次方程组： 随堂练习 1.用代入法解方程组 比较合理的变形是( ) A由得 B由得 C由得 D 由得 y2x5 2.用代入法解方程组 较简单的方法是( ) 3 +214, 3. xy xy = =+ 2 +316, +413. xy xy = = 13 , 232 3 . 342 xy xy += = 342, 25 xy xy . . 23 4 x y 24 3 y x 5 2 y x 26, 3 +44 xy xy . . A消 y B
9、消 x C消 x 和消 y 一样 D无法确定 类型一 鸡兔同笼 1. 在一望无际呼伦贝尔大草原上， 一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着， 老牛喘着气吃力地说： “累 死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮 2 个”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿 来一个，我的包裹就是你的 2 倍！”，小马天真而不信地说：“真的？！”同学们，你们能否用数学知 识帮助小马解决问题呢？ 【解析】 【总结与反思】 2.某校团支部发出为贫困地区捐款的倡议后，全校师生奉献爱心，踊跃捐款，已知全校师生共捐款 45000 元，其中学生捐款数比老师捐款数的 2 倍少 9 千元，该校老师和学生各捐款多少元？ 【
10、解析】 三 、例题精析 【总结与反思】 类型二 增收节支 某 工 厂 去 年 的 利 润 为 200 万 元 ， 今 年 总 产 值 比 去 年 增 加 20%， 总 支 出 比 去 年 减 少 10%， 今 年 的 利 润 为 780 万 元 ， 问 ： 去 年 的 总 支 出 、 总 产 值 各 是 多 少 万 元 ？ （ 利 润 =总 产 值 -总 支 出 ） 【解析】 【总结与反思】 类型三 里程碑上的数 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大 9，如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原 两位数大 27，求这个两位数。 【解析】 【总结与反思】 四 、课堂运用 基础 1.
11、根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是( ) A51 元 B35 元 C8 元 D 7.5 元 2.在社会主义新农村建设中，某村积极响应党的号召，大力发动农户扩大烟叶和蔬菜的种植面积，取得了 较好的经济效益，今年该村烟叶和蔬菜的种植面积比去年增加了 800 亩，其中烟叶种植面积增加了 20%，蔬 菜种植面积增加了 30%，从而是该村的烟叶和蔬菜种植面积共达到了 4200 亩，问该村去年种植烟叶和蔬菜 的面积各是多少亩？ 3.一列快车长 70 米，慢车长 80 米，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车所用时间为 20 秒. 若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4 秒，求两车每秒钟各
12、行多少米？ 如图 1： 图 1 若设快车每秒钟行x米，慢车每秒行y米. 根据题意填空： （1）若同向而行，经过 20 秒快车行驶路程比慢车行驶路程多_米，可列方程_. （2）若相向而行，两车 4 秒钟共行驶_米，可列方程_. （3）由以上可得方程组_，解得_. 1.用 8 块相同的矩形地砖拼成一块大的矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，求每块地砖的长 与宽 2.某市现有 42 万人口，计划一年后城镇人口增加 0.8%，农村人口增加 1.1%，这样全市人口将增加 1%，求 这个市现在的城镇人口与农村人口？ 设城镇人口是 x 万，农村人口是 y 万，根据题意填写下表，并列出方程组求 x、y
13、 的值. 城镇 农村 全市 现有人数（万人） x y 42 一年后增加人口（万人） 3.A 市至 B 市航线长 1 20 0 km，一架飞机从 A 市顺风向飞往 B 市需 2 小时 30 分，从 B 市逆风向飞往 A 市需 3 小时 20 分求飞机的速度与风速 巩固 1.现有 190 张铁皮，每张铁皮可制作成 8 个盒身或 22 个盒底，一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子， 那么用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？ 2.某商店购进甲、乙两种商品后，甲种商品加价 50%，乙种商品加价 40%作为标价，适逢元旦，商场举办促 销活动，甲种商品打八折销售，乙种商品打八五
14、折销售，某顾客购买甲乙两种商品各 1 件，共付款 538 元， 已知商场共盈利 88 元，求甲、乙两种商品的进价各是多少元？ 3.已知某一铁路桥长 1 000 m，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用 1 min，整 列火车完全在桥上的时间为 40 s，求火车的长度和速度 拔高 1. 年前父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍，从现在起 3 年后父亲的年龄成为儿子年龄的 3 倍，求父亲和儿子现 在的年龄 2. 张文以两种形式分别储蓄了 2000 元和 1000 元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得利息为 43.92 元，已知当时这两种储蓄方式年利率的和为 3.24%.问这两种储
15、蓄方式的年利率各是百分之几？（公民 应交利息所得税=利息金额20%） 3. 甲乙二人在一环形场地上从 A 点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的 2.5 倍，4min 两人首次相遇，此 时乙还需要跑 300m 才跑完第一圈，求甲乙两人的速度及环形场地的周长. 五 、课堂小结 六 、课后作业 基础 1. 一张方桌由 1 张桌面和 4 条桌腿做成，已知 1 m 3木料可以做桌面 50 张或桌腿 300 条现有 5 m3木料， 恰好能做成方桌多少张？ 2. 某人以两种形式储蓄了 800 元，一种储蓄的年利率为 10%，另一种储蓄的年利率为 11%，一年到期时去 提取，他共得到利息 85 元 5 角，问两
16、种储蓄他共存了多少钱？ 3. 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路没分钟走 60m，下坡路每分钟走 80m，上坡路没分钟走 40m，从家里到学校需 10min，从学校到家里需 15min，请问小华家离学校多远？ 1.学校书法兴趣小组准备到文具店购买 A、B 两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买 A 型毛笔 不超过 20 支时，按零售价销售；超过 20 支时，超过部分每支比零售价低 0.4 元，其余 部分仍按零售价销 售一次性购买 B 型毛笔不超过 15 支时，按零售价销售；超过 15 支时，超过部分每支比零售价低 0.6 元， 其余部分仍按零售价销售 如果全
17、组共有 20 名同学，若每人各买 1 支 A 型毛笔和 2 支 B 型毛笔，共支付 145 元 ；若每人各买 2 支 A 型毛笔和 1 支 B 型毛笔，共支付 129 元这家文具店的 A、B 两种类型毛笔的零售价各是多少？ 巩固 拔高 2.甲、乙两件服装的成本共 500 元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按 50%的利润定价，乙服装按 40% 的利润定价，应顾客要求，两件服装均按 9 折出售，这样商店共获利 157 元，问甲、乙两件服装的成本各 是多少元？ 3.为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作。某地决 定对居民家庭用电实行“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭月用电量在 80 千瓦时下（含 80 千瓦时， 一千瓦时俗称 1 度）时，实行“基本电价”，当居民家庭月用电量超过 80 千瓦时时，超过部分实行“提高 电价”. 小张家 2014 年 4 月份用电 100 千瓦时，上缴电费 68 元；5 月份用电 120 千瓦时，上缴电费 88 元，求 “基本电价”和“提高电价”分别是多少.
