1、2020 年浙江省宁波市余姚市中考数学适应性试卷年浙江省宁波市余姚市中考数学适应性试卷 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 2 分，满分分，满分 24 分）分） 1 （2 分）3 的倒数是（ ） A3 B3 C D 2 （2 分）全国共产党员踊跃捐款支持新冠肺炎疫情防控工作据统计，截至 3 月 4 日，全 国已有 4128 万多名党员自愿捐款，共捐款 47.3 亿元其中 47.3 亿元用科学记数法表示 （ ） A47.3108元 B4.73108元 C0.473109元 D4.73109元 3 （2 分）下列计算正确的是（ ） A （x+y）2x2+y2 Bx5xx6
2、 C （xy2）3xy6 Dx2+x22x4 4 （2 分）如图的几何体由六个相同的小正方体搭成，它的主视图是（ ） A B C D 5 （2 分）从3，0， 这 5 个数中任意抽取一个，抽到无理数的概率为（ ） A B C D 6 （2 分）不等式组的解是（ ） Ax3 Bx3 C3x3 D3x3 7 （2 分） 如图， 在 RtABC 中， 过顶点 C 作 lAB， 若125， 则2 的度数为 （ ） A35 B45 C55 D65 8 （2 分）如果将一组数据 5、4、6、5、4、13、5 依次重复写 10 次，会得到 70 个数组成 的一组新数据，关于这组新数据的中位数、众数、平均数，
3、下列说法正确的是（ ） A中位数是 4 B众数是 10 C中位数和众数都是 5 D中位数平均数都是 5 9 （2 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，BD6，AC8，直线 OE AB 交 CD 于点 F，则 EF 的长为（ ） A4.8 B C5 D6 10 （2 分）如图一个扇形纸片的圆心角为 90，半径为 4，将这张扇形纸片折叠，使点 A 与点 O 恰好重合，折痕为 CD，则图中阴影部分的面积为（ ） A4 B4 C8 D93 11 （2 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 yx+6 与坐标轴交于点 A，B，点 C 为 OA 上一动点，过点 C 作 CDA
4、B 于点 D，过点 D 作 DEx 轴，交 y 轴于点 E，在直 线 DE 上找一点 F，使得DCF90，连接 OF，当 OF+CF 的值最小时，求点 F 的坐 标为（ ） A （1，） B （，） C （2，2） D （3，1） 12 （2 分）在矩形 ABCD 内，将两张直角边长分别为 a 和 b（ab）的等腰直角三角形按 图 1，图 2 两种方式放置（图 1，图 2 中两张等腰直角三角形纸片均有重叠部分） ，矩形 未被这两张等腰直角三角形纸片覆盖的部分用阴影表示， 设图 1 中阴影部分的面积为 S1， 图 2 中阴影部分的面积为 S2，当 AD6，AB8 时，S1S2的值为（ ） Aa+
5、b4 Ba+b5 Ca+b6 Da+b7 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 13 （3 分）因式分解：3y212 14 （3 分）分式方程的解是 15 （3 分）已知圆锥的轴截面是边长为 6 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是 16 （3 分）如图，在市区 A 道路上建造一座立交桥，要求桥面的高度 h 为 4.8 米，引桥的 坡角为 14，则引桥的水平距离 l 为 米（结果精确到 0.1m，参考数据：sin14 0.24，cos140.97，tan140.25） 17 （3 分）如图，在ABC 中，tanABC，BC5，CAB90
6、，D 为边 AB 上一动 点，以 CD 为一边作等腰 RtCDE，且EDC90，连接 BE，当 SBDE时，则 BD 的长度为 18 （3 分）如图，一次函数 y3x+9 与反比例函数 y （k0）的图象上交于点 A，B， 与 x 轴交于点 C，点 A是点 A 关于 x 轴的对称点，连结 AB，AC，若ABC 的面 积为 6，则 k 的值为 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，满分小题，满分 78 分）分） 19 （6 分）计算： 20 （8 分）图，图，图均是 44 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点， 线段的端点均在格点上，在图，图，图恰定的网格中按要求画图 （1）在图中，画出格
7、点 C，使 ACBC，用黑色实心圆点标出点 C 所有可能的位置 （2）在图中，在线段 AB 上画出点 M，使 AM3BM （3）在图中，在线段 AB 上画出点 P，使 AP2BP （保留作图痕迹） 要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法 21 （8 分）2019 年 10 月 1 日是新中国成立七十周年，某校为庆祝国庆，组织全校学生参加 党史知识竞赛，从中抽取 200 名学生的成绩（得分取正整数，满分 100 分）进行统计， 绘制了如图尚不完整的统计图表 200 名学生党史知识竞赛成绩的频数表 组别（分） 频数 频率 50.560.5 10 0.05 60.570.5 a 0.10
8、70.580.5 26 0.13 80.590.5 b 0.40 90.5100.5 64 c 请结合表中所给的信息回答下列问题： （1）频数表中，a ，b ，c ； （2）将频数直方图补充完整； （3）若该校共有 1500 名学生，请估计本次党史知识竞赛成绩超过 80 分的学生人数 22 （10 分）如图，已知二次函数 yx2+ax+3 的图象经过 P 点（2，3） （1）求 a 的值和图象的顶点坐标 （2）点 Q（m，n）在该二次函数的图象上 当 m2 时，求 n 的值； 若点 Q 到 y 轴的距离小于 2，请根据图象直接写出 n 的取值范围 23 （10 分）已知：如图，在ABCD 中，
9、E，F 分别是边 AD，BC 上的点，且 AECF，直 线 EF 分别交 BA 的延长线、DC 的延长线于点 G，H，交 BD 于点 O （1）求证：ABECDF； （2）连接 DG，若 DGBG，则四边形 BEDF 是什么特殊四边形？请说明理由 24 （10 分）落实上级关于新型冠状病毒的肺炎疫情防控工作，某校计划给每个教师配备紫 外线消毒灯和体温检测仪，已知：购买 1 台紫外线消毒灯和 2 个额温计需要 1450 元，购 买 2 台紫外线消毒灯和 1 个额温计需要 1700 元 （1）求紫外线消毒灯和额温计的单价各位多少元？ （2） 根据学校实际情况， 需要购买紫外线消毒灯和耳温计共计 7
10、5 件， 总费用不超过 38500 元，请你通过计算，求至多可以购买紫外线消毒灯多少台？ 25 （12 分） 【问题发现】如图 1，在 RtABC 中，ABAC，D 为 BC 边上一点（不与点 B、 C 重合）将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 90得到 AE，连结 EC，则线段 BD 与 CE 的数量 关系是 ，位置关系是 ； 【探究证明】如图 2，在 RtABC 和 RtADE 中，ABAC，ADAE，将ADE 绕点 A 旋转，当点 C，D，E 在同一直线时，BD 与 CE 具有怎样的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】如图 3，在 RtBCD 中，BCD90，BC2CD4，将ACD 绕顺
11、时 针旋转，点 C 对应点 E，设旋转角CAE 为 （0360） ，当点 C，D，E 在同一 直线时，画出图形，并求出线段 BE 的长度 26 （14 分）我们规定：对角互补的四边形，若其中一条对角线把四边形分成两个等腰三角 形，我们就把这个四边形成为奇特四边形这条对角线称之为奇特线 （1）如图 1，四边形 ABCD 是奇特四边形，ADBC（ADBC） ，奇特线 AC 恰好平分 BCD，求B 的度数 （2）如图 2，四边形 ABCD 内接于O，DOBC，求证：四边形 ABCD 为奇 特四边形 （3）在（2）的条件下，连接 BD，AC，若 ABa，BDb，请用含 a，b 的代数式表示 AC （4
12、） 如图 3， 在 （2） 的条件下， 连结 BO 并延长交 CD 于点 E， 交O 于点 F， 连结 FC， 设 tanFCDx，y，求 y 与 x 之间的函数关系式 2020 年浙江省宁波市余姚市中考数学适应性试卷年浙江省宁波市余姚市中考数学适应性试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 2 分，满分分，满分 24 分）分） 1 （2 分）3 的倒数是（ ） A3 B3 C D 【分析】根据倒数的定义可得3 的倒数是 【解答】解：3 的倒数是 故选：C 2 （2 分）全国共产党员踊跃捐款支持新冠肺炎疫情防控工作据统计，截至 3
13、 月 4 日，全 国已有 4128 万多名党员自愿捐款，共捐款 47.3 亿元其中 47.3 亿元用科学记数法表示 （ ） A47.3108元 B4.73108元 C0.473109元 D4.73109元 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：47.3 亿元用科学记数法表示 4.73109元 故选：D 3 （2 分）下列计算正确的是（ ） A （x+y）2x2+y2 Bx5xx6
14、 C （xy2）3xy6 Dx2+x22x4 【分析】分别根据完全平方公式，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则 以及合并同类项法则逐一判断即可 【解答】解：Ax+y）2x2+2xy+y2，故本选项不合题意； Bx5xx6，故本选项符合题意； C （xy2）3x3y6，故本选项不合题意； Dx2+x22x2，故本选项不合题意 故选：B 4 （2 分）如图的几何体由六个相同的小正方体搭成，它的主视图是（ ） A B C D 【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案 【解答】解：从正面看有三列，从左起第一列有两个正方形，第二列有两个正方形，第 三列有一个正方形，故 A 符合题意，
15、 故选：A 5 （2 分）从3，0， 这 5 个数中任意抽取一个，抽到无理数的概率为（ ） A B C D 【分析】先求出无理数的个数，再根据概率公式即可得出结论 【解答】解：3，0，这五个数中，无理数有 2 个， 随机抽取一个，则抽到无理数的概率是， 故选：B 6 （2 分）不等式组的解是（ ） Ax3 Bx3 C3x3 D3x3 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解 【解答】解：， 解得 x3， 解得 x3 故不等式组的解是3x3 故选：C 7 （2 分） 如图， 在 RtABC 中， 过顶点 C 作 lAB， 若125， 则2 的度数为 （ ） A35
16、 B45 C55 D65 【分析】根据平行线的性质即可求解 【解答】解：lAB， A1（两直线平行，内错角相等） ， 125， A25， 在 RtACB 中，ACB90， 2180ACBA180902565， 故选：D 8 （2 分）如果将一组数据 5、4、6、5、4、13、5 依次重复写 10 次，会得到 70 个数组成 的一组新数据，关于这组新数据的中位数、众数、平均数，下列说法正确的是（ ） A中位数是 4 B众数是 10 C中位数和众数都是 5 D中位数平均数都是 5 【分析】根据中位数、众数和平均的概念分别求得这组数据的中位数、众数和平均数即 可求解 【解答】解：将这组数据从小到大的
17、顺序排列为 4，4，5，5，5，6，13，处于中间位置 的那个数是 5，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 5，故 A 错误 众数是一组数据中出现次数最多的数，即 5，故 B 错误，C 正确 平均数6，故 D 错误 故选：C 9 （2 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，BD6，AC8，直线 OE AB 交 CD 于点 F，则 EF 的长为（ ） A4.8 B C5 D6 【分析】由在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD6，AC8，可求得菱 形的面积与边长，继而求得答案 【解答】解：在菱形 ABCD 中，BD6，AC8， OBBD3，OA
18、AC4，ACBD， AB5， S菱形ABCDACBDABEF， 即685EF， EF4.8 故选：A 10 （2 分）如图一个扇形纸片的圆心角为 90，半径为 4，将这张扇形纸片折叠，使点 A 与点 O 恰好重合，折痕为 CD，则图中阴影部分的面积为（ ） A4 B4 C8 D93 【分析】根据阴影部分的面积等于扇形 BD 面积 O 减去 S 弓形 OD 面积计算即可 【解答】解：由折叠可知， S弓形ADS弓形OD，DADO， OAOD， ADODOA， AOD 为等边三角形， AOD60，DOB30， ADODOA4， CD2， S弓形ADS扇形ADOSADO， S弓形OD， 阴影部分的面积
19、S扇形BDOS弓形OD（）4， 故选：B 11 （2 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 yx+6 与坐标轴交于点 A，B，点 C 为 OA 上一动点，过点 C 作 CDAB 于点 D，过点 D 作 DEx 轴，交 y 轴于点 E，在直 线 DE 上找一点 F，使得DCF90，连接 OF，当 OF+CF 的值最小时，求点 F 的坐 标为（ ） A （1，） B （，） C （2，2） D （3，1） 【分析】 设 C （m， 0） ， 则 OCm， 根据解析式求得 OAOB6， 即可得出BAO45， 根据 CDAB，求得ACD 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出 D 的坐 标，
20、延长 CF 交 y 轴于 N，根据题意得出 CNAB，根据轴对称的性质，当 OF+CFCN 时，OF+CF 的值最小，即可得出 ENOE，根据三角形中位线的性质得出 EF，即可求 得 F 的坐标 【解答】解：一次函数 yx+6 与坐标轴交于点 A，B， A（6，0） ，B（0，6） ， OAOB6， BAO45， CDAB， DCA45， CDAD， DMAC 于 M， DMACCMAM， 设 C（m，0） ，则 OCm， AC6m， DMCM3m， D（3+m，3m） ， 延长 CF 交 y 轴于 N， CDAB，DCF90， CFAB， 当 ENOE 时，则 OFFN，此时 OF+CFCN
21、，值最小， CNAB，OCm， ONm， 此时 m2（3m） ， 解得 m3， E 是 ON 的中点，DEx 轴， EFOC， F（，） ， 故选：B 12 （2 分）在矩形 ABCD 内，将两张直角边长分别为 a 和 b（ab）的等腰直角三角形按 图 1，图 2 两种方式放置（图 1，图 2 中两张等腰直角三角形纸片均有重叠部分） ，矩形 未被这两张等腰直角三角形纸片覆盖的部分用阴影表示， 设图 1 中阴影部分的面积为 S1， 图 2 中阴影部分的面积为 S2，当 AD6，AB8 时，S1S2的值为（ ） Aa+b4 Ba+b5 Ca+b6 Da+b7 【分析】根据题意用整式表示图形的面积进
22、行计算即可 【解答】解：如图 1， 由已知可得， DQFDFQAEPAPE45， 作 GHAD 于点 H， AD6，AB8， 则 EFa+b6， 如图 2，同理可得 EFa+b8， 图 1 中阴影部分的面积是：68b2+（a+b6）2， 同理可得，图 2 中阴影部分的面积是：68a2b2+（a+b8）2， S1S2（a+b6）2（a+b8）2a+b7 故选：D 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 13 （3 分）因式分解：3y212 3（y+2） （y2） 【分析】先提取公因式 3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解
23、：3y212， 3（y24） ， 3（y+2） （y2） 14 （3 分）分式方程的解是 x2 【分析】方程两边都乘以最简公分母 x（x1） ，化为整式方程，然后解方程，再进行检 验 【解答】解：方程两边都乘以 x（x1）得， 3x2（x1） ， 3x2x2， 解得 x2， 检验：当 x2 时，x（x1）2（21）60， 所以 x2 是分式方程的解， 故原分式方程的解是 x2 故答案为：x2 15 （3 分）已知圆锥的轴截面是边长为 6 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是 18 【分析】易得圆锥的底面半径及母线长，那么圆锥的侧面积底面周长母线长2 【解答】解：圆锥的轴截面是一个边长为 6 的等
24、边三角形， 底面半径3，底面周长6， 圆锥的侧面积6618 故答案为：18 16 （3 分）如图，在市区 A 道路上建造一座立交桥，要求桥面的高度 h 为 4.8 米，引桥的 坡角为 14，则引桥的水平距离 l 为 19.2 米（结果精确到 0.1m，参考数据：sin14 0.24，cos140.97，tan140.25） 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出 tan14，进而得出答案 【解答】解：由题意可得：tan140.25， 解得：l19.2， 故答案为：19.2 17 （3 分）如图，在ABC 中，tanABC，BC5，CAB90，D 为边 AB 上一动 点，以 CD 为一边作等腰 R
25、tCDE，且EDC90，连接 BE，当 SBDE时，则 BD 的长度为 【分析】过点 E 作 EHBA，交 BA 的延长线于 H，过点 C 作 CGBA 于 G，交 BA 的延 长线于 G，由“AAS”可证EDHDCG，可得 EHDG，由锐角三角函数和勾股定 理可求 CG，BG2，由三角形的面积公式 EHDG，即可求解 【解答】解：如图，过点 E 作 EHBA，交 BA 的延长线于 H，过点 C 作 CGBA 于 G， 交 BA 的延长线于 G， EDC90， EDH+CDG90， EHBA，CGBA， EHDCGD90， EDH+DEH90， CDGDEH， 又DEDC， EDHDCG（AA
26、S） ， EHDG， SBDEBDEH， EHDG， tanABC， BG2CG， BG2+CG2BC225， CG，BG2， BD+DGBG， BD+2， BD， 故答案为： 18 （3 分）如图，一次函数 y3x+9 与反比例函数 y （k0）的图象上交于点 A，B， 与 x 轴交于点 C，点 A是点 A 关于 x 轴的对称点，连结 AB，AC，若ABC 的面 积为 6，则 k 的值为 6 【分析】联立 y3x+9 与反比例函数 y并整理得：3x29x+k0，则 xA+xB3，而 ABC 的面积SAACSAAByA（3xB）yAxA，即可求解 【解答】解：连接 AA， 联立 y3x+9 与
27、反比例函数 y并整理得：3x29x+k0， 则 xA+xB3，即 xA3xB， 对于 y3x+9，令 y0，即3x+90，解得 x3，故点 C（3，0） ， 点 A是点 A 关于 x 轴的对称点， yAyA，则 AA2yA， ABC 的面积SAACSAABAA （xCxB） yA （3xB） yAxA6， 而 kyAxA6， 故答案为 6 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，满分小题，满分 78 分）分） 19 （6 分）计算： 【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质分别计算得出答案 【解答】解：原式2231 3 20 （8 分）图，图，图均是 44 的正方形网格，每个小正方形的
28、顶点称为格点， 线段的端点均在格点上，在图，图，图恰定的网格中按要求画图 （1）在图中，画出格点 C，使 ACBC，用黑色实心圆点标出点 C 所有可能的位置 （2）在图中，在线段 AB 上画出点 M，使 AM3BM （3）在图中，在线段 AB 上画出点 P，使 AP2BP （保留作图痕迹） 要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法 【分析】 （1）根据线段垂直平分线的性质画图即可； （2）根据相似三角形的性质，构造相似三角形即可； （3）由相似三角形的性质，构造相似三角形即可 【解答】解： （1）如图所示，点 C 即为所求； （2）如图所示，点 M 即为所求； （3）如图所示，点 P
29、即为所求 21 （8 分）2019 年 10 月 1 日是新中国成立七十周年，某校为庆祝国庆，组织全校学生参加 党史知识竞赛，从中抽取 200 名学生的成绩（得分取正整数，满分 100 分）进行统计， 绘制了如图尚不完整的统计图表 200 名学生党史知识竞赛成绩的频数表 组别（分） 频数 频率 50.560.5 10 0.05 60.570.5 a 0.10 70.580.5 26 0.13 80.590.5 b 0.40 90.5100.5 64 c 请结合表中所给的信息回答下列问题： （1）频数表中，a 20 ，b 80 ，c 0.32 ； （2）将频数直方图补充完整； （3）若该校共有
30、1500 名学生，请估计本次党史知识竞赛成绩超过 80 分的学生人数 【分析】 （1）根据频数分布表中的数据，可以计算出 a、b、c 的值； （2）根据（1）中 a、b 的值，可以将频数分布直方图补充完整； （3）根据频数分布表中的数据，可以计算出本次党史知识竞赛成绩超过 80 分的学生人 数 【解答】解： （1）a2000.1020，b2000.4080，c642000.32， 故答案为：20，80，0.32； （2）由（1）知，a20，b20， 补全的频数分布直方图见右图； （3）1500（0.40+0.32）15000.721080（人） ， 即本次党史知识竞赛成绩超过 80 分的学生有
31、 1080 人 22 （10 分）如图，已知二次函数 yx2+ax+3 的图象经过 P 点（2，3） （1）求 a 的值和图象的顶点坐标 （2）点 Q（m，n）在该二次函数的图象上 当 m2 时，求 n 的值； 若点 Q 到 y 轴的距离小于 2，请根据图象直接写出 n 的取值范围 【分析】 （1）把点 P（2，3）代入 yx2+ax+3 中，即可求出 a； （2）把 m2 代入解析式即可求 n 的值； 由点 Q 到 y 轴的距离小于 2，可得2m2，在此范围内求 n 即可； 【解答】解： （1）把点 P（2，3）代入 yx2+ax+3 中， a2， yx22x+3（x1）2+2， 顶点坐标为
32、（1，2） ； （2）当 m2 时，n（2）22（2）+311， 点 Q 到 y 轴的距离小于 2， |m|2， 2m2， 2n11 23 （10 分）已知：如图，在ABCD 中，E，F 分别是边 AD，BC 上的点，且 AECF，直 线 EF 分别交 BA 的延长线、DC 的延长线于点 G，H，交 BD 于点 O （1）求证：ABECDF； （2）连接 DG，若 DGBG，则四边形 BEDF 是什么特殊四边形？请说明理由 【分析】 （1）由平行四边形的性质得出 ABCD，BAEDCF，由 SAS 证明ABE CDF 即可； （2）由平行四边形的性质得出 ADBC，ADBC，证出 DEBF，得
33、出四边形 BEDF 是平行四边形，得出 OBOD，再由等腰三角形的三线合一性质得出 EFBD，即可得 出四边形 BEDF 是菱形 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，BAEDCF， 在ABE 和CDF 中， ， ABECDF（SAS） ； （2）解：四边形 BEDF 是菱形；理由如下：如图所示： 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， AECF， DEBF， 四边形 BEDF 是平行四边形， OBOD， DGBG， EFBD， 四边形 BEDF 是菱形 24 （10 分）落实上级关于新型冠状病毒的肺炎疫情防控工作，某校计划给每个教师配备紫 外线消毒
34、灯和体温检测仪，已知：购买 1 台紫外线消毒灯和 2 个额温计需要 1450 元，购 买 2 台紫外线消毒灯和 1 个额温计需要 1700 元 （1）求紫外线消毒灯和额温计的单价各位多少元？ （2） 根据学校实际情况， 需要购买紫外线消毒灯和耳温计共计 75 件， 总费用不超过 38500 元，请你通过计算，求至多可以购买紫外线消毒灯多少台？ 【分析】 （1）设紫外线消毒灯的单价为 x 元，额温计的单价为 y 元，根据“购买 1 台紫 外线消毒灯和 2 个额温计需要 1450 元，购买 2 台紫外线消毒灯和 1 个额温计需要 1700 元” ，即可列出关于 x、y 的二元一次方程组，解方程组即
35、可得出结论； （2）设购进紫外线消毒灯 a 台，则购进额温计（75a）个，根据“购买的总费用不超 过 38500 元” ，即可得出关于 a 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论 【解答】解： （1）设紫外线消毒灯的单价为 x 元，额温计的单价为 y 元， 则由题意得， 解得 答：紫外线消毒灯的单价为 650 元，额温计的单价为 400 元； （2）设购进紫外线消毒灯 a 台，则购进额温计（75a）个， 则由题意得 650a+400（75a）38500， 解得 a34 答：至多购进紫外线消毒灯 34 台 25 （12 分） 【问题发现】如图 1，在 RtABC 中，ABAC，D 为 BC 边上
36、一点（不与点 B、 C 重合）将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 90得到 AE，连结 EC，则线段 BD 与 CE 的数量 关系是 BDCE ，位置关系是 BDCE ； 【探究证明】如图 2，在 RtABC 和 RtADE 中，ABAC，ADAE，将ADE 绕点 A 旋转，当点 C，D，E 在同一直线时，BD 与 CE 具有怎样的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】如图 3，在 RtBCD 中，BCD90，BC2CD4，将ACD 绕顺时 针旋转，点 C 对应点 E，设旋转角CAE 为 （0360） ，当点 C，D，E 在同一 直线时，画出图形，并求出线段 BE 的长度 【分析】 （1）证明B
37、ADCAE，根据全等三角形的性质解答； （2）连接 BD，根据全等三角形的判定和性质以及垂直的定义即可得到结论； （3）如图 3，过 A 作 AFEC，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结 论 【解答】解： （1）在 RtABC 中，ABAC， BACB45， BACDAE90， BACDACDAEDAC，即BADCAE， 在BAD 和CAE 中， BADCAE（SAS） ， BDCE，BACE45， ACB45， BCE45+4590， 故答案为：BDCE，BDCE； （2）BDCE， 理由：如图 2，连接 BD， 在 RtABC 和 RtADE 中，ABAC，ADAE，AEC4
38、5， CABDAE90， BADCAE， ACAB，AEAD， CEABDA（SAS） ， BDAAEC45， BDEADB+ADE90， BDCE； （3） 如图 3， 过 A 作 AFEC， 由题意可知 RtABCRtAED， BACEAD90， ，即， BACEAD90， BAECAD， BAECAD， ABEACD， BEC180 （CBE+BCE） 180 （CBA+ABE+BCE） 180 （ CBA+ACD+BCE）90， BECE， 在 RtBCD 中，BC2CD4， BD2， ACBD， SBCDACBDBCAC， ACAE，AD， AF，CE2CF2， BE 26 （14
39、分）我们规定：对角互补的四边形，若其中一条对角线把四边形分成两个等腰三角 形，我们就把这个四边形成为奇特四边形这条对角线称之为奇特线 （1）如图 1，四边形 ABCD 是奇特四边形，ADBC（ADBC） ，奇特线 AC 恰好平分 BCD，求B 的度数 （2）如图 2，四边形 ABCD 内接于O，DOBC，求证：四边形 ABCD 为奇 特四边形 （3）在（2）的条件下，连接 BD，AC，若 ABa，BDb，请用含 a，b 的代数式表示 AC （4） 如图 3， 在 （2） 的条件下， 连结 BO 并延长交 CD 于点 E， 交O 于点 F， 连结 FC， 设 tanFCDx，y，求 y 与 x
40、之间的函数关系式 【分析】 （1）由奇特四边形的定义得BAD+BCD180，B+D180，由平行 线的性质得D+BCD180， 则BBCD， 证出ADC 和ABC 为等腰三角形， 证DACACBACD，则 ADCD，分三种情况，当 ABAC 时，当 AB BC 时，当 ACBC 时，分别求解即可； （2）连接 BD，由圆内接四边形的性质得A+CABC+ADC180，证出 AB AD，OD 所在的直线垂直平分 BC，则 BDCD，进而得出结论； （3）作 DMAB 于点 M，DNAC 于点 N，证BMDCND（AAS） ，得 BMCN， 由角平分线的性质得 ANAM，由三角函数得 BMCN，进而
41、得出答案； （4）连接 BD，延长 DO 交 BC 于 P、交O 于 M，连接 BM，由圆周角定理得BCF 90，证 OP 是BCF 的中位线，ODCDCF，DOFOFC，则 CF2OP， ODEFCE，得，证，由垂径定理得BDOCDOFCD，则 BPDPtanFCDDPx，PMBPtanFCDDPx2，进而得出结论 【解答】 （1）解：四边形 ABCD 是奇特四边形， BAD+BCD180，B+D180， ADBC， D+BCD180， BBCD， AC 为奇特线， ADC 和ABC 为等腰三角形， AC 平分BCD，ADBC， DACACBACD， ADCD， ABC 为等腰三角形， 当
42、ABAC 时，BACB 与BBCD 矛盾（舍去） ； 当 ABBC 时，BACBCAACDCAD， BAD+BCD180， BADBCD90， 此时四边形 ABCD 为正方形，与题意不符（舍去） ； 当 ACBC 时，BBAC， 设BBAC， 则DCAACB1802， BBCD， 2（1802） ， 解得：72， B72； （2）证明：连接 BD，如图 2 所示： 四边形 ABCD 内接于O， A+CABC+ADC180， ， ABAD， DOBC，OD 为半径， OD 所在的直线垂直平分 BC， BDCD，即ABD 和BCD 为等腰三角形， 四边形 ABCD 为奇特四边形； （3）解：作 D
43、MAB 于点 M，DNAC 于点 N，如图 21 所示： 在BMD 和CND 中， BMDCND（AAS） ， BMCN， BDCD， BCDCAD， BAD+BCD180，BAD+MAD180， BCDMADCAD， AD 平分MAN， ANAM， ABa，DCBDb， BMCNDCcosACDDCcosABDDCb， ANAMa， ACAN+CNa+； （4）解：连接 BD，延长 DO 交 BC 于 P、交O 于 M，连接 BM，如图 3 所示： BF 为O 的直径， BCF90， DOBC， DOCF， OP 是BCF 的中位线，ODCDCF，DOFOFC， CF2OP，ODEFCE， ， BEBO+OEOF+OE2OE+EF， +1+1+1+1， DO 垂直平分 BC， BDOCDOFCD， 则 BPDPtanFCDDPx，PMBPtanFCDDPx2， MODO（MP+DP）（DPx2+DP） ， OPMOPM（DPx2+DP）DPx2（DPDPx2） ， y（1x2） ， 即 y 与 x 之间的函数关系式为 y（1x2）
