1、2020 年年 5 月月中考数学模拟试卷中考数学模拟试卷 一、选择题 1在 0，2，1 这四个数中，最大的数是（ ） A0 B C2 D1 2下列运算正确的是（ ） Ax2+x22x4 Bx3 x2x5 Cx9x3x3 D（x2）3x5 3据交通运输部统计，受肺炎疫情影响，今年春运 1 月 25 日2 月 14 日，全国共发送旅 客 2.83 亿人次，日均 1348 万人次，同比分别下降 82.3%，将 1348 万用科学记数法表示 为（ ） A1348104 B13.48106 C1.348106 D1.348107 4在函数 y中，自变量 x 的取值范围是（ ） Ax3 Bx3 且 x0
2、Cx0 Dx3 5图是由五个完全相同的小正方体组成的立体图形将图中的一个小正方体改变位置 后如图，则三视图发生改变的是（ ） A主视图 B俯视图 C左视图 D主视图、俯视图和左视图都改变 6解不等式组，并把解集在数轴上表示（ ） A B C D 7五张完全相同的卡片的正面分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形， 将其背面朝上放在桌面上， 从中随机抽取一张， 所抽取的卡片上的图形既是轴对称图形， 又是中心对称图形的概率是（ ） A B C D 8小红同学对数据 24，48，23，24，5，52 进行统计分析，发现其中一个两位数的个位 数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关
3、的是（ ） A平均数 B中位数 C方差 D众数 9如图，将矩形 ABCD 绕着点 A 逆时针旋转得到矩形 AEFG，点 B 的对应点 E 落在边 CD 上，且 DEEF，若 AD，则的长为（ ） A B C D 10在矩形 ABCD 内，将两张边长分别为 a 和 b（ab）的正方形纸片按图 1，图 2 两种方 式放置（图 1，图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆 盖的部分用阴影表示，设图 2 中阴影部分的周长与图 1 中阴影部分的周长的差为 l，若要 知道 l 的值，只要测量图中哪条线段的长（ ） Aa Bb CAD DAB 二、填空题（每小题 5 分，共 30
4、 分) 11分解因式：x24y2 1264 的立方根是 13已知圆锥的母线和高线的长是一元二次方程 x28x+150 的两个根，则圆锥的侧面积 为 14 在一次综合社会实践活动中， 小东同学从 A 处出发， 要到 A 地北偏东 60方向的 C 处， 他先沿正东方向走了 4 千米到达 B 处，再沿北偏东 15方向走，恰能到达目的地 C，如 图所示， 则 A、 C 两地相距 千米 （结果精确到 0.1 千米， 参考数据：1.414， 1.732） 15如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC4，P 是对角线 AC 上的动点，以点 P 为圆心， PC 长为半径作P当P 与矩形 ABCD 的边相切时，
5、CP 的长为 16如图，在平面直角坐标系中，OAB 的边 OB 在 x 轴的正半轴上，AOAB，M 是边 AB 的中点，经过点 M 的反比例函数 y （k0，x0）的图象与边 OA 交于点 C，则的 值为 三、解答题（本大题有 8 小题，共 80 分） 17解答下列各题： （1）计算：23+|3|0； （2）解方程：+1 18图 1，图 2 都是由边长为 1 的小等边三角形构成的网格，ABC 为格点三角形请仅用 无刻度直尺在网格中完成下列画图 （1）在图 1 中，画出ABC 中 AB 边上的中线 CM； （2）在图 2 中，画出APC，使APCABC，且点 P 是格点（画出一个即 可） 19某
6、校为了解学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从全校 1500 名学生中随机抽取部 分学生进行测试，并将测试成绩（百分制，得分均为整数）进行统计分析，绘制了不完 整的频数表和频数直方图 组别 成绩 x（分） 频数（人） 频率 A 组 50x60 6 0.12 B 组 60x70 a 0.28 C 组 70x80 16 0.32 D 组 80x90 10 0.20 E 组 90x100 4 0.08 由图表中给出的信息回答下列问题： （1）表中的 a ；抽取部分学生的成绩的中位数在 组； （2）把如图的频数直方图补充完整； （3）如果成绩达到 80 分以上（包括 80 分）为优秀，请估计该校 15
7、00 名学生中成绩优 秀的人数 20如图，已知二次函数 yx2+bx+c 的图象经过点 A（3，1），点 B（0，4） （1）求该二次函数的表达式及顶点坐标； （2）点 C（m，n）在该二次函数图象上 当 m1 时，求 n 的值； 当 mx3 时，n 最大值为 5，最小值为 1，请根据图象直接写出 m 的取值范围 21如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 作 BD 的垂线与边 AD，BC 分别交于点 E，F，连接 BE 交 AC 于点 K，连接 DF （1）求证：四边形 EBFD 是菱形； （2）若 BK3EK，AE4，求四边形 EBFD 的周长 22小明星期天上午
8、 8：00 从家出发到离家 36 千米的书城买书，他先从家出发骑公共自行 车到公交车站，等了 12 分钟的车，然后乘公交车于 9：48 分到达书城（假设在整个过程 中小明骑车的速度不变，公交车匀速行驶，小明家、公交车站、书城依次在一条笔直的 公路旁） 如图是小明从家出发离公交车站的路程 y （千米） 与他从家出发的时间 x （时） 之间的函数图象，其中线段 AB 对应的函教表达式为 ykx+6 （1）求小明骑公共自行车的速度； （2）求线段 CD 对应的函数表达式； （3）求出发时间 x 在什么范围时，小明离公交车站的路程不超过 3 千米？ 23 如图 1， 平面内有一点 P 到ABC 的三个
9、顶点的距离分别为 PA、 PB、 PC， 若有 PA2+PB2 PC2，则称点 P 为ABC 关于点 C 的勾股点 （1） 如图 2， 在 43 的方格纸中， 每个小正方形的边长均为 1， ABC 的顶点在格点上， 请找出所有的格点 P，使点 P 为ABC 关于点 A 的勾股点 （2）如图 3，ABC 为等腰直角三角形，P 是斜边 BC 延长线上一点，连接 AP，以 AP 为直角边作等腰直角三角形 APD（点 A、P、D 顺时针排列）PAD90，连接 DC， DB，求证：点 P 为BDC 关于点 D 的勾股点 （3）如图 4，点 E 是矩形 ABCD 外一点，且点 C 是ABE 关于点 A 的
10、勾股点，若 AD 8，CE5，ADDE，求AE的 长 24如图 1，直线 l：yx+4 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，以 AB 为直径作M， 点 P 为线段 OA 上一动点（与点 O、A 不重合），作 PCAB 于 C，连结 BP 并延长交O 于点 D （1）求点 A，B 的坐标和 tanBAO 的值； （2）设x，tanBPOy 当 x1 时，求 y 的值及点 D 的坐标； 求 y 关于 x 的函数表达式； （3）如图 2，连接 OC，当点 P 在线段 OA 上运动时，求 OC PD 的最大值 参考答案参考答案 一.选择题（每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中
11、，只有一项符合题目要求） 1在 0，2，1 这四个数中，最大的数是（ ） A0 B C2 D1 【分析】正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值 大的反而小，据此判断即可 解：201， 在 0，2，1 这四个数中，最大的数是 2 故选：C 2下列运算正确的是（ ） Ax2+x22x4 Bx3 x2x5 Cx9x3x3 D（x2）3x5 【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则以及幂的乘方运算法则逐一 判断即可 解：Ax2+x22x2，故本选项不合题意； Bx3 x2x5，正确； Cx9x3x6，故本选项不合题意； D（x2）3x6，故本选项不合题意
12、 故选：B 3据交通运输部统计，受肺炎疫情影响，今年春运 1 月 25 日2 月 14 日，全国共发送旅 客 2.83 亿人次，日均 1348 万人次，同比分别下降 82.3%，将 1348 万用科学记数法表示 为（ ） A1348104 B13.48106 C1.348106 D1.348107 【分析】 用科学记数法表示较大的数时， 一般形式为 a10n， 其中 1|a|10， n 为整数， 据此判断即可 解：1348 万134800001.348107 故选：D 4在函数 y中，自变量 x 的取值范围是（ ） Ax3 Bx3 且 x0 Cx0 Dx3 【分析】根据二次根式的被开方数是非负
13、数、分式的分母不为 0 列出不等式，解不等式 得到答案 解：由题意得，x+30， 解得，x3， 故选：D 5图是由五个完全相同的小正方体组成的立体图形将图中的一个小正方体改变位置 后如图，则三视图发生改变的是（ ） A主视图 B俯视图 C左视图 D主视图、俯视图和左视图都改变 【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看 得到的图形是俯视图对两个组合体进行判断，可得答案 解：的主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形；左视图是第一层两 个小正方形，第二层左边一个小正方形；俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三 个小正方形； 的主视图是第一层三个小正方
14、形，第二层左边一个小正方形；左视图是第一层两个小 正方形，第二层左边一个小正方形；俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三个小 正方形； 所以将图中的一个小正方体改变位置后，俯视图和左视图均没有发生改变，只有主视 图发生改变， 故选：A 6解不等式组，并把解集在数轴上表示（ ） A B C D 【分析】求出两个不等式的解集的公共部分，并把解集在数轴上表示出来即可 解：， 解不等式得 x1， 解不等式得 x2， 故不等式的解集为 1x2， 把解集在数轴上表示出来为： ， 故选：B 7五张完全相同的卡片的正面分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形， 将其背面朝上放在桌面上， 从中随机抽
15、取一张， 所抽取的卡片上的图形既是轴对称图形， 又是中心对称图形的概率是（ ） A B C D 【分析】由五张完全相同的卡片的正面分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、 正方形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有矩形、菱形、正方形，然后直接利 用概率公式求解即可求得答案 解：五张完全相同的卡片的正面分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正 方形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有矩形、菱形、正方形，一共 3 种， 所抽取的卡片上的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 故选：C 8小红同学对数据 24，48，23，24，5，52 进行统计分析，发现其中一个两位数的个位
16、 数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A平均数 B中位数 C方差 D众数 【分析】利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断 解：这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为 24 与 48 的平均数，与被涂污数字无关 故选：B 9如图，将矩形 ABCD 绕着点 A 逆时针旋转得到矩形 AEFG，点 B 的对应点 E 落在边 CD 上，且 DEEF，若 AD，则的长为（ ） A B C D 【分析】连接 AC、AF，根据等腰直角三角形的性质得到DAE45，AE，根据 旋转变换的性质、弧长公式计算，得到答案 解：连接 AC、AF， 由旋
17、转的性质可知，BCEF，ABAE， DEEF， DEBCAD， 在 RtADE 中，DEAD， DAE45，AE， EAB904545，即旋转角为 45， FAC45， 在 RtABC 中，AC3， 的长， 故选：B 10在矩形 ABCD 内，将两张边长分别为 a 和 b（ab）的正方形纸片按图 1，图 2 两种方 式放置（图 1，图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆 盖的部分用阴影表示，设图 2 中阴影部分的周长与图 1 中阴影部分的周长的差为 l，若要 知道 l 的值，只要测量图中哪条线段的长（ ） Aa Bb CAD DAB 【分析】 根据平移的知识和周长
18、的定义， 列出算式 l2AD2b+4AB （2AD+2AB2b） ， 再去括号，合并同类项即可求解 解：图 1 中阴影部分的周长2AD+2AB2b， 图 2 中阴影部分的周长2AD2b+4AB， l2AD2b+4AB（2AD+2AB2b）2AD2b+4AB2AD2AB+2b2AB 故若要知道 l 的值，只要测量图中线段 AB 的长 故选：D 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分) 11分解因式：x24y2 （x+2y）（x2y） 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案 解：x24y2（x+2y）（x2y） 故答案为：（x+2y）（x2y） 1264 的立方根是 4 【分析】根据立方根的
19、定义求解即可 解：（4）364， 64 的立方根是4 故选4 13已知圆锥的母线和高线的长是一元二次方程 x28x+150 的两个根，则圆锥的侧面积 为 20 【分析】解方程求得圆锥的母线和高，然后利用勾股定理求得底面半径的长，从而求得 圆锥的侧面积即可 解：圆锥的母线和高线的长是一元二次方程 x28x+150 的两个根， 解方程得：x5 或 x3， 圆锥的母线长为 5，高线长为 3， 圆锥的底面半径为：4， 圆锥的侧面积为 rl4520， 故答案为：20 14 在一次综合社会实践活动中， 小东同学从 A 处出发， 要到 A 地北偏东 60方向的 C 处， 他先沿正东方向走了 4 千米到达 B
20、 处，再沿北偏东 15方向走，恰能到达目的地 C，如 图所示， 则 A、 C 两地相距 5.5 千米 （结果精确到 0.1 千米， 参考数据：1.414， 1.732） 【分析】先求出BAC，再根据三角形的内角和定理求出C，然后解直角三角形即可得 到结论 解：B 在 A 的正东方，C 在 A 地的北偏东 60方向， BAC906030， C 在 B 地的北偏东 15方向， ABC90+15105， C180BACABC1803010545， 过 B 作 BDAC 于 D， 在 RtABD 中，BAD30，AB4km， BDAB2km，AD2km， 在 RtBCD 中，C45， CDBD2km，
21、 ACAD+CD（2+2）km， 答：A、C 两地相距 5.5 千米， 故答案为：5.5 15如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC4，P 是对角线 AC 上的动点，以点 P 为圆心， PC 长为半径作P当P 与矩形 ABCD 的边相切时，CP 的长为 或 【分析】 作 PEAD 于 E， PFAB 于 F， 根据勾股定理求出 AC， 分P 与 AD 相切、 P 与 AB 相切相切两种情况，根据相似三角形的判定定理和性质定理计算 解：作 PEAD 于 E，PFAB 于 F， 在 RtABC 中，AC5， 由题意可知，P 只能与矩形 ABCD 的边 AD、AB 相切， 当P 与 AD 相切时，
22、PEPC， PEAD，CDAD， PECD， APEACD， ，即， 解得，CP， 当P 与 AB 相切时，PFPC， PFAB，CBAB， PFBC， APEACD， ，即， 解得，CP， 综上所述，当P 与矩形 ABCD 的边相切时，CP 的长或， 故答案为：或 16如图，在平面直角坐标系中，OAB 的边 OB 在 x 轴的正半轴上，AOAB，M 是边 AB 的中点，经过点 M 的反比例函数 y （k0，x0）的图象与边 OA 交于点 C，则的 值为 【分析】过点 C、点 A、点 M 作 x 轴的垂线 CD、AE、MF，由平行线截线段成比例定理 可得； 再由三角形的中位线定理得出 MFAE
23、， EFBFBEOE， 从而 OFOE；由点 C 和点 M 均在反比例函数 y（k0，x0）的图象上，得出 ODCDOFMFk， 将前面所得的相关线段的数量关系代入化简， 得出， 则可求得答案 解：如图，过点 C、点 A、点 M 作 x 轴的垂线 CD、AE、MF， 则 CDAEMF， ， AOAB，AEx 轴， OEBE， M 是边 AB 的中点，MFAE， MFAE，EFBFBEOE， OFOE， 点 C 和点 M 均在反比例函数 y（k0，x0）的图象上， OD CDOF MFk， OD CDOEAE， ， ， ， ，（负值舍去） 故答案为： 三、解答题（本大题有 8 小题，共 80 分
24、） 17解答下列各题： （1）计算：23+|3|0； （2）解方程：+1 【分析】（1）根据实数的运算法则即可求出答案 （2）根据分式方程的解法即可求出答案 解：（1）原式8+3317 （2）+1， ， 2x53， x1， 经检验，x1 是分式方程的解 18图 1，图 2 都是由边长为 1 的小等边三角形构成的网格，ABC 为格点三角形请仅用 无刻度直尺在网格中完成下列画图 （1）在图 1 中，画出ABC 中 AB 边上的中线 CM； （2）在图 2 中，画出APC，使APCABC，且点 P 是格点（画出一个即 可） 【分析】（1）根据三角形中线的定义即可得到结论； （2）根据圆周角定理即可得
25、到结论 解：（1）如图所示，线段 CM 即为所求 （2）如图所示，点 P 即为所求 19某校为了解学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从全校 1500 名学生中随机抽取部 分学生进行测试，并将测试成绩（百分制，得分均为整数）进行统计分析，绘制了不完 整的频数表和频数直方图 组别 成绩 x（分） 频数（人） 频率 A 组 50x60 6 0.12 B 组 60x70 a 0.28 C 组 70x80 16 0.32 D 组 80x90 10 0.20 E 组 90x100 4 0.08 由图表中给出的信息回答下列问题： （1）表中的 a 14 ；抽取部分学生的成绩的中位数在 C 组； （2）把如
26、图的频数直方图补充完整； （3）如果成绩达到 80 分以上（包括 80 分）为优秀，请估计该校 1500 名学生中成绩优 秀的人数 【分析】（1）首先计算抽取的学生总数，再利用总人数频率可得 a 的值； （2）根据（1）中计算的数据画图即可； （3）利用样本估计总体的方法可得答案 解：（1）抽取的学生总数：60.1250， 则 a500.2814， 抽取部分学生的成绩的中位数在 C 组， 故答案为：14；C （2）如右图所示： （3）1500（0.20+0.08）15000.28420（人）， 答：该校 1500 名学生中成绩优秀的有 420 人 20如图，已知二次函数 yx2+bx+c 的图
27、象经过点 A（3，1），点 B（0，4） （1）求该二次函数的表达式及顶点坐标； （2）点 C（m，n）在该二次函数图象上 当 m1 时，求 n 的值； 当 mx3 时，n 最大值为 5，最小值为 1，请根据图象直接写出 m 的取值范围 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）把 x1 代入（1）中求得的解析式求得函数 y 的值，即可求得 n 的值； 把 y1 代入抛物线解析式求得对应的 x 的值， 然后根据图象即可求得 m 的取值范围 解：（1）二次函数 yx2+bx+c 的图象经过点 A（3，1），点 B（0，4） ，解得， 该二次函数为 yx2+2x+4， y（x1）2+5， 顶点
28、为（1，5）； （2）点 C（m，n）在该二次函数图象上， 当 m1 时，则 C（1，n）， 把 C（1，n）代入 yx2+2x+4 得，n1； 当 mx3 时，n 最大值为 5，最小值为 1， 抛物线的顶点为（1，5）， 把 y1 代入 yx2+2x+4 得 1x2+2x+4，解得 x13，x21， m 的取值范围是1m1 21如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 作 BD 的垂线与边 AD，BC 分别交于点 E，F，连接 BE 交 AC 于点 K，连接 DF （1）求证：四边形 EBFD 是菱形； （2）若 BK3EK，AE4，求四边形 EBFD 的周长 【分析
29、】（1）四边形 ABCD 是平行四边形，可以证明DEOBFO，可得 OEOF， 从而四边形 EBFD 是平行四边形，根据 EFBD，进而可得平行四边形 EBFD 是菱形； （2）证明AEKCBK，对应边成比例可得 BC12，进而求出 DE 的长，可得菱形的 周长 解：（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， EDOFBO， OBOD， EOFFOB， DEOBFO（ASA）， OEOF， 四边形 EBFD 是平行四边形， EFBD， 平行四边形 EBFD 是菱形； （2）AEBC， AEKCBK， ， BK3EK，AE4， ， BC12， ADBCDE+AEDE+412 DE8
30、， 菱形 EBFD 的周长为 4DE32 答：四边形 EBFD 的周长为 32 22小明星期天上午 8：00 从家出发到离家 36 千米的书城买书，他先从家出发骑公共自行 车到公交车站，等了 12 分钟的车，然后乘公交车于 9：48 分到达书城（假设在整个过程 中小明骑车的速度不变，公交车匀速行驶，小明家、公交车站、书城依次在一条笔直的 公路旁） 如图是小明从家出发离公交车站的路程 y （千米） 与他从家出发的时间 x （时） 之间的函数图象，其中线段 AB 对应的函教表达式为 ykx+6 （1）求小明骑公共自行车的速度； （2）求线段 CD 对应的函数表达式； （3）求出发时间 x 在什么范
31、围时，小明离公交车站的路程不超过 3 千米？ 【分析】（1）根据线段 AB 对应的函教表达式为 ykx+6 和函数图象中的数据，可以求 得 k 的值，然后即可得到点 A 的坐标，从而可以求得小明骑公共自行车的速度； （2）根据题意，可以得到点 C 和点 D 的坐标，然后即可求得线段 CD 对应的函数表达 式； （3）根据前面求出的函数解析式，可以得到出发时间 x 在什么范围时，小明离公交车站 的路程不超过 3 千米 解：（1）线段 AB 对应的函教表达式为 ykx+6，点（0.6，0）在 ykx+6 上， 00.6k+6，得 k10， y10x+6， 当 x0 时，y6， 小明骑公共自行车的速
32、度为 60.610（千米/小时）， 答：小明骑公共自行车的速度是 10 千米/小时； （2）点 C 的横坐标为：0.6+0.8， 点 C 的坐标为（0.8，0）， 从 8：00 到 9：48 分是 1.8 小时，点 D 的纵坐标是 36630， 点 D 的坐标为（1.8，30）， 设线段 CD 对应的函数表达式是 ymx+n， ，得， 即线段 CD 对应的函数表达式是 y30x24； （3）令10x+63，得 x0.3， 令 30x243，得 x0.9， 即出发时间 x 在 0.3x0.9 范围时，小明离公交车站的路程不超过 3 千米 23 如图 1， 平面内有一点 P 到ABC 的三个顶点的
33、距离分别为 PA、 PB、 PC， 若有 PA2+PB2 PC2，则称点 P 为ABC 关于点 C 的勾股点 （1） 如图 2， 在 43 的方格纸中， 每个小正方形的边长均为 1， ABC 的顶点在格点上， 请找出所有的格点 P，使点 P 为ABC 关于点 A 的勾股点 （2）如图 3，ABC 为等腰直角三角形，P 是斜边 BC 延长线上一点，连接 AP，以 AP 为直角边作等腰直角三角形 APD（点 A、P、D 顺时针排列）PAD90，连接 DC， DB，求证：点 P 为BDC 关于点 D 的勾股点 （3）如图 4，点 E 是矩形 ABCD 外一点，且点 C 是ABE 关于点 A 的勾股点
34、，若 AD 8，CE5，ADDE，求AE的 长 【分析】（1）如图 1，图 2，求出 PA2，PB2，PC2，得到 PC2+PB2PA2，即得出点 P 是 ABC 关于点 A 的勾股点； （2）证明ABDACP（SAS），得出 BDCP，ABDACP135，证明DBP 90，则结论得证； （3）由条件“点 C 是ABE 关于点 A 的勾股点”可得 CECD5，如图 3，过点 E 作 MNAB 于点 M，交 DC 的延长线于点 N，设 AMDNx，则 CNDNCDx5，由 勾股定理可得 62x252（x5）2，解得：x ，则求出 AM，ME 的长，则答案可 得出 解：（1）如图 1， PA212
35、+3210，PB212+225，PC2PB25， PA2PC2+PB2， 点 P 是ABC 关于点 A 的勾股点； 如图 2， PA232+3218，PB212+4217，PC21， PA2PC2+PB2， 点 P 是ABC 关于点 A 的勾股点； （2）ABC 和APD 为等腰直角三角形， ABAC，ADAP，BACDAP90， BACDACDAPDAC， 即BADCAP， ABDACP（SAS）， BDPC，ABDACP135， ABC45， DBPABDABC1354590， BD2+PB2PD2， PC2+PB2PD2， 点 P 为BDC 关于点 D 的勾股点 （3）解：矩形 ABCD
36、 中，AD8， ADBC8，CDAB， ADDE， DE8， 点 C 是ABE 关于点 A 的勾股点， AC2CB2+CE2， AC2AB2+BC2， CECD5， 如图 3，过点 E 作 MNAB 于点 M，交 DC 的延长线于点 N， AMEMND90， 四边形 AMND 是矩形， MNAD8，AMDN， 设 AMDNx，则 CNDNCDx5， RtDEN 中，EN2+DN2DE2；RtCEN 中，EN2+CN2CE2， DE2DN2CE2CN2， 62x252（x5）2 解得：x， EN，AMDN， MEMNEN8， RtAME 中，AE 24如图 1，直线 l：yx+4 与 x 轴交于
37、点 A，与 y 轴交于点 B，以 AB 为直径作M， 点 P 为线段 OA 上一动点（与点 O、A 不重合），作 PCAB 于 C，连结 BP 并延长交O 于点 D （1）求点 A，B 的坐标和 tanBAO 的值； （2）设x，tanBPOy 当 x1 时，求 y 的值及点 D 的坐标； 求 y 关于 x 的函数表达式； （3）如图 2，连接 OC，当点 P 在线段 OA 上运动时，求 OC PD 的最大值 【分析】 （1）对于直线 l：yx+4，令 x0，则 y4，令 y0，则 x8，求出点 A、 B 的坐标，即可求解； （2）当 x1 时，则 BCAC，PBPA，进而确定直线 BP 的表
38、达式； 根据 DM 是圆的半径，即可求出点 D 的坐标； ABAC+BC，求得 PA，即可求解； （3）证明OACODP，利用二次函数求最大值的方法，即可求解 解：（1）对于直线 l：yx+4，令 x0，则 y4，令 y0，则 x8， 故点 A、B 的坐标分别为：（8，0）、（0，4）； tanBAO； （2）由点 A、B 的坐标得：AB4，则圆的半径 r2， 如图 1，当 x1 时，则 BCAC， 又PMAB， AMBMAB2， tanBAO，则 cosBAO， PBPA5， OPOAAP853，故点 P（3，0）， 在 RtBOP 中，ytanBPO； 设直线 BP 的表达式为：ykx+b
39、，则，解得：， 故直线 BP 的表达式为：yx+4， 设点 D 的坐标为：（m，m+4）， 点 M 是 AB 的中点，则其坐标为：（4，2）， DM 是圆的半径， MD（m4）2+（m+42）2（2）2， 解得：m0 或（舍去 0）， 故 m， 故点 D（，）； 故 y，点 D 的坐标为（，）； 在RtACP 中，ACPA， x，则 BCx AC， ABAC+BCPA+ PA x4， PA， OPOAPA4， ytanBPO； （3）如图 2，连接 OD、OC， BOA90，BCP90， O、P、C、B 四点共圆， COPCBP， 而CBPAOD， COPAOD， 而BDOBAO， OACODP， ，即 OC PDAC OP， 设 PAx，则 OP8x， 在 RtACP 中，ACAP cosBAOxx， OC PDAC OPx（8x）x2+x， 0，故 OC PD 有最大值， 当 x4 时，OC PD 最大值为
