1、2020 年云南省昆明三中中考数学一模试卷年云南省昆明三中中考数学一模试卷 一、填空题（每小题一、填空题（每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 1 （3 分）的倒数是 2 （3 分）若式子有意义，则 x 的取值范围是 3 （3 分）计算： （1） 4 （3 分） 如图， 直线 ab， BAC 的顶点 A 在直线 a 上， 且BAC100 若134， 则2 5 （3 分）如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，AC3，BOC2AOC若用扇形 OAC （图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是 6 （3 分）如图，已知点 A 是一次函数 yx（x0）图象上一点，过点 A 作
2、 x 轴的垂线 l， B 是 l 上一点（B 在 A 上方） ，在 AB 的右侧以 AB 为斜边作等腰直角三角形 ABC，反比例 函数 y （x0） 的图象过点 B， C， 若OAB 的面积为 6， 则ABC 的面积是 二、选择题（选择每题二、选择题（选择每题 4 分，共分，共 32 分）分） 7 （4 分）长城、故宫等是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总厂约 21196.19 千米，将 21196.18 用科学记数法表示为（ ） A2.119618104 B2.119618106 C2.119618105 D0.2119618105 8 （4 分）如图所示，该几何体的主视图是（ ）
3、 A B C D 9 （4 分）下列运算正确的是（ ） Aaa5a4 B2（ab）2ab C （a3）2a5 Da22a2a2 10 （4 分）如果 n 边形每一个内角等于与它相邻外角的 2 倍，则 n 的值是（ ） A4 B5 C6 D7 11 （4 分）2017 年我市有 7.1 万名初中生参加升学考试，为了了解这 7.1 万名考生的数学成 绩，从中抽取 2000 名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中，样本容量是（ ） A7.1 B2000 C7.1 万名考生的数学成绩 D2000 名考生的数学成绩 12 （4 分） “一带一路”国际合作高峰论坛于 2017 年 5 月 14 日至 15
4、 日在北京举行，在论 坛召开之际，福田欧辉陆续向缅甸仰光公交公司交付 1000 台清洁能源公交车，以 2017 客车海外出口第一大单的成绩，创下了客车行业出口之最，同时，这也是在国家“一带 一路”战略下，福田欧辉代表“中国制造”走出去的成果预计到 2019 年，福田公司将 向海外出口清洁能源公交车达到 3000 台设平均每年的出口增长率为 x，可列方程为 （ ） A1000（1+x%）23000 B1000（1x%）23000 C1000（1+x）23000 D1000（1x）23000 13 （4 分）如图，折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知折痕 A
5、E 5cm，且 tanEFC，那么矩形 ABCD 的周长为（ ） A18 B25 C32 D36 14 （4 分）如图，点 A 的坐标为（0，1） ，点 B 是 x 轴正半轴上的一动点，以 AB 为边作等 腰直角ABC，使BAC90，设点 B 的横坐标为 x，点 C 的纵坐标为 y，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ） A B C D 三、解答题（本大题共九小题，共三、解答题（本大题共九小题，共 70 分）分） 15 （8 分）计算： （1）|3|+tan30（2018）0+（） 1 （2）解方程：+2 16 （6 分）已知平行四边形 ABCD 中，CE 平分BCD 且交 AD 于
6、点 E，AFCE，且交 BC 于点 F （1）求证：ABFCDE； （2）如图，若165，求B 的大小 17 （6 分）如图，A1B1C1是ABC 向右平移 4 个单位长度后得到的，且三个顶点坐标分 别为 A1（1，1） ，B1（4，2） ，C1（3，4） （1）请画出ABC，并写出点 A、B、C 的坐标； （2）求出COA1的面积 18 （6 分）为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳 光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取 了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图和图，请根据相关信息，解答下列问题： （）本次接受随机抽样调查的
7、学生人数为 ，图中 m 的值为 ； （）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数； （）根据样本数据，若学校计划购买 200 双运动鞋，建议购买 35 号运动鞋多少双？ 19 （6 分）有四张规格、质地相同的卡片，它们背面完全相同，正面图案分别是 A菱形， B平行四边形，C线段，D角，将这四张卡片背面朝上洗匀后： （1）随机抽取一张卡片图案是轴对称图形的概率是 ； （2）随机抽取两张卡片（不放回） ，求两张卡片卡片图案都是中心对称图形的概率，并 用树状图或列表法加以说明 20 （8 分）如图，在楼房 AB 和塔 CD 之间有一棵树 EF，从楼顶 A 处经过树顶 E 点恰好看 到塔的底部 D 点，
8、且俯角 为 45从距离楼底 B 点 1 米的 P 点处经过树顶 E 点恰好 看到塔的顶部 C 点，且仰角 为 30已知树高 EF6 米，求塔 CD 的高度 （结果保 留根号） 21 （9 分）某中学开学初到商场购买 A、B 两种品牌的足球，购买 A 种品牌的足球 50 个， B 种品牌的足球 25 个，共花费 4500 元，已知购买一个 B 种品牌的足球比购买一个 A 种 品牌的足球多花 30 元 （1）求购买一个 A 种品牌、一个 B 种品牌的足球各需多少元 （2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进 A、B 两种品牌足球 共 50 个， 正好赶上商场对商品价格进行调整，
9、A 品牌足球售价比第一次购买时提高 4 元， B 品牌足球按第一次购买时售价的 9 折出售，如果学校此次购买 A、B 两种品牌足球的总 费用不超过第一次花费的 70%， 且保证这次购买的 B 种品牌足球不少于 23 个， 则这次学 校有哪几种购买方案？ （3）请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？ 22 （9 分）如图，点 E 是ABC 的内心，AE 的延长线交 BC 于点 F，交ABC 的外接圆O 于点 D，连接 BD，过点 D 作直线 DM，使BDMDAC （1）求证：直线 DM 是O 的切线； （2）求证：DE2DFDA 23 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直
10、线 yx+4 与坐标轴分别交于 A、B 两点， 过 A、B 两点的抛物线为 yx2+bx+c点 D 为线段 AB 上一动点，过点 D 作 CDx 轴 于点 C，交抛物线于点 E （1）求抛物线的解析式 （2）当 DE4 时，求四边形 CAEB 的面积 （3）连接 BE，是否存在点 D，使得DBE 和DAC 相似？若存在，求此点 D 坐标；若 不存在，说明理由 2020 年云南省昆明三中中考数学一模试卷年云南省昆明三中中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（每小题一、填空题（每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 1 （3 分）的倒数是 3 【分析】根据倒数的定
11、义求解 【解答】解：因为（）（3）1， 所以的倒数是3 2 （3 分）若式子有意义，则 x 的取值范围是 x2 且 x0 【分析】分式中：分母不为零、分子的被开方数是非负数 【解答】解：根据题意，得 x+20，且 x0， 解得 x2 且 x0 故答案是：x2 且 x0 3 （3 分）计算： （1） x+1 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，从而可以解答本题 【解答】解： （1） x+1， 故答案为：x+1 4 （3 分） 如图， 直线 ab， BAC 的顶点 A 在直线 a 上， 且BAC100 若134， 则2 46 【分析】根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论 【解答】
12、解：直线 ab， 3134， BAC100， 21803410046， 故答案为：46 5 （3 分）如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，AC3，BOC2AOC若用扇形 OAC （图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是 【分析】根据平角的定义得到AOC60，推出AOC 是等边三角形，得到 OA3， 根据弧长的规定得到的长度，于是得到结论 【解答】解：BOC2AOC，BOC+AOC180， AOC60， OAOC， AOC 是等边三角形， OA3， 的长度， 圆锥底面圆的半径， 故答案为： 6 （3 分）如图，已知点 A 是一次函数 yx（x0）图象上一点，过点 A 作 x
13、 轴的垂线 l， B 是 l 上一点（B 在 A 上方） ，在 AB 的右侧以 AB 为斜边作等腰直角三角形 ABC，反比例 函数 y（x0）的图象过点 B，C，若OAB 的面积为 6，则ABC 的面积是 3 【分析】本题介绍两种解法： 解法一：设 A（t，） 、B（t，） ，根据反比例函数关于 yx 对称可得 C（，t） ，得： CE，则 DEt2CE，则发现ABC 和ABO 两个三角形是同底边，根据高的倍数 可得：SABO2SABC，可得结论； 解法二：作辅助线，构建直角三角形，设 AB2a，根据直角三角形斜边中线是斜边一半 得：BEAECEa，设 A（x，x） ，则 B（x，x+2a）
14、，C（x+a，x+a） ，因为 B、 C 都在反比例函数的图象上，列方程可得结论 【解答】解：解法一：设 A（t，） 、B（t，） ， ABC 是等腰直角三角形，且 ABx 轴， 直线 BC 与 y 轴夹角为 45 度角， 所以根据双曲线的对称性可得，C（，t） ， 过 C 作 CE 垂直 AB 于 E，交 y 轴于 D， AEyCyAttt， AEC 是等腰直角三角形， CEAE，则 DEt2CE， 则 SABO2SABC， OAB 的面积为 6， SABC3； 解法二：如图，过 C 作 CDy 轴于 D，交 AB 于 E， ABx 轴， CDAB， ABC 是等腰直角三角形， BEAECE
15、， 设 AB2a，则 BEAECEa， 设 A（x，x） ，则 B（x，x+2a） ，C（x+a，x+a） ， B，C 在反比例函数的图象上， x（x+2a）（x+a） （x+a） ， x2a， SOABABDE2ax6， ax6， 2a26， a23， SABCABCE2aaa23 故答案为：3 二、选择题（选择每题二、选择题（选择每题 4 分，共分，共 32 分）分） 7 （4 分）长城、故宫等是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总厂约 21196.19 千米，将 21196.18 用科学记数法表示为（ ） A2.119618104 B2.119618106 C2.11961810
16、5 D0.2119618105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：21196.182.119618104 故选：A 8 （4 分）如图所示，该几何体的主视图是（ ） A B C D 【分析】从前往后看到一个矩形，后面的轮廓线用虚线表示 【解答】解：该几何体为三棱柱，它的主视图是由 1 个矩形，中间的轮廓线用虚线表示 故选：D 9 （4 分）下列运算正确的是（ ） Aaa5
17、a4 B2（ab）2ab C （a3）2a5 Da22a2a2 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，去括号法则，幂的乘方运算法则以及合并同类 项法则逐一判断即可 【解答】解：Aaa5a6，故本选项不合题意； B.2（ab）2a2b，故本选项不合题意； C （a3）2a6，故本选项不合题意； Da22a2a2，故本选项符合题意 故选：D 10 （4 分）如果 n 边形每一个内角等于与它相邻外角的 2 倍，则 n 的值是（ ） A4 B5 C6 D7 【分析】设出外角的度数，表示出内角的度数，根据一个内角与它相邻的外角互补列出 方程，解方程得到答案 【解答】解：设外角为 x，则相邻的内角为 2x，
18、 由题意得，2x+x180， 解得，x60， 360606， 故选：C 11 （4 分）2017 年我市有 7.1 万名初中生参加升学考试，为了了解这 7.1 万名考生的数学成 绩，从中抽取 2000 名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中，样本容量是（ ） A7.1 B2000 C7.1 万名考生的数学成绩 D2000 名考生的数学成绩 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体 中所抽取的一部分个体， 而样本容量则是指样本中个体的数目 我们在区分总体、 个体、 样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象从而找出总体、个体再根据 被收集数据的这一部分对
19、象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量 【解答】解：2017 年我市有 7.1 万名初中生参加升学考试，为了了解这 7.1 万名考生的数 学成绩，从中抽取 2000 名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中，样本容量是 2000 故选：B 12 （4 分） “一带一路”国际合作高峰论坛于 2017 年 5 月 14 日至 15 日在北京举行，在论 坛召开之际，福田欧辉陆续向缅甸仰光公交公司交付 1000 台清洁能源公交车，以 2017 客车海外出口第一大单的成绩，创下了客车行业出口之最，同时，这也是在国家“一带 一路”战略下，福田欧辉代表“中国制造”走出去的成果预计到 2019 年，福田公司将
20、 向海外出口清洁能源公交车达到 3000 台设平均每年的出口增长率为 x，可列方程为 （ ） A1000（1+x%）23000 B1000（1x%）23000 C1000（1+x）23000 D1000（1x）23000 【分析】根据题意得出 2018 年的台数为 1000（1+x）台，2019 年为 1000（1+x）2台， 列出方程即可 【解答】解：根据题意：2019 年为 1000（1+x）2台 则 1000（1+x）23000； 故选：C 13 （4 分）如图，折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知折痕 AE 5cm，且 tanEFC，那么矩形 A
21、BCD 的周长为（ ） A18 B25 C32 D36 【分析】根据 tanEFC，设 CE3k，在 RtEFC 中可得 CF4k，EFDE5k， 由BAFEFC，由三角函数的知识求出 AF，在 RtAEF 中由勾股定理求出 k，代入 可得出答案 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， BCD90， 由折叠的性质得：AFED90，EFED，AFAD， tanEFC， 设 CE3k，则 CF4k， 由勾股定理得 DEEF5k， DCAB8k， AFB+BAF90，AFB+EFC90， BAFEFC， tanBAFtanEFC， BF6k，AFBCAD10k， 在 RtAFE 中，由勾股定理得 A
22、E5k5， 解得：k1， 矩形 ABCD 的周长2（AB+BC）2（8k+10k）36（cm） ， 故选：D 14 （4 分）如图，点 A 的坐标为（0，1） ，点 B 是 x 轴正半轴上的一动点，以 AB 为边作等 腰直角ABC，使BAC90，设点 B 的横坐标为 x，点 C 的纵坐标为 y，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ） A B C D 【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明ADC 和AOB 的关系，即可建立 y 与 x 的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的 【解答】解：作 ADx 轴，作 CDAD 于点 D，如右图所示， 由已知可得，OBx，OA1，AOB90
23、，BAC90，ABAC，点 C 的纵坐标 是 y， ADx 轴， DAO+AOD180， DAO90， OAB+BADBAD+DAC90， OABDAC， 在OAB 和DAC 中， ， OABDAC（AAS） ， OBCD， CDx， 点 C 到 x 轴的距离为 y，点 D 到 x 轴的距离等于点 A 到 x 的距离 1， yx+1（x0） 故选：A 三、解答题（本大题共九小题，共三、解答题（本大题共九小题，共 70 分）分） 15 （8 分）计算： （1）|3|+tan30（2018）0+（） 1 （2）解方程：+2 【分析】 （1）根据实数的运算、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂
24、即可运 算； （2）根据分式方程的解题过程即可进行计算 【解答】解： （1）原式3+21+2 3+121+2 3； （2）去分母，得 1+2（x2）x1， 去括号，得 1+2x4x1， 移项合并同类项，得 x2， 检验：当 x2 时，x20， 所以此方程无解 16 （6 分）已知平行四边形 ABCD 中，CE 平分BCD 且交 AD 于点 E，AFCE，且交 BC 于点 F （1）求证：ABFCDE； （2）如图，若165，求B 的大小 【分析】（1） 由平行四边形的性质得出 ABCD， ADBC， BD， 得出1DCE， 证出AFB1，由 AAS 证明ABFCDE 即可； （2）由（1）得1
25、DCE65，由平行四边形的性质和三角形内角和定理即可得出 结果 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ADBC，BD， 1BCE， AFCE， BCEAFB， 1AFB， 在ABF 和CDE 中， ABFCDE（AAS） ； （2）解： CE 平分BCD， DCEBCE165， BD18026550 17 （6 分）如图，A1B1C1是ABC 向右平移 4 个单位长度后得到的，且三个顶点坐标分 别为 A1（1，1） ，B1（4，2） ，C1（3，4） （1）请画出ABC，并写出点 A、B、C 的坐标； （2）求出COA1的面积 【分析】 （1）直接利用平移的性质得出
26、对应点位置进而得出答案； （2）直接利用COA1所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案 【解答】解： （1）如图所示：ABC 即为所求，A（3，1） ，B（0，2） ，C（1，4） ； （2）COA1的面积为：24231411 832 18 （6 分）为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳 光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取 了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图和图，请根据相关信息，解答下列问题： （）本次接受随机抽样调查的学生人数为 40 ，图中 m 的值为 15 ； （）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数； （
27、）根据样本数据，若学校计划购买 200 双运动鞋，建议购买 35 号运动鞋多少双？ 【分析】 （）根据条形统计图求出总人数即可；由扇形统计图以及单位 1，求出 m 的值 即可； （） 找出出现次数最多的即为众数， 将数据按照从小到大顺序排列， 求出中位数即可； （）根据题意列出算式，计算即可得到结果 【解答】解： （）本次接受随机抽样调查的学生人数为 6+12+10+8+440，图中 m 的值为 1003025201015； 故答案为：40；15； （）在这组样本数据中，35 出现了 12 次，出现次数最多， 这组样本数据的众数为 35； 将这组样本数据从小到大得顺序排列，其中处于中间的两个数
28、都为 36， 中位数为36； （）在 40 名学生中，鞋号为 35 的学生人数比例为 30%， 由样本数据，估计学校各年级中学生鞋号为 35 的人数比例约为 30%， 则计划购买 200 双运动鞋，有 20030%60 双为 35 号 19 （6 分）有四张规格、质地相同的卡片，它们背面完全相同，正面图案分别是 A菱形， B平行四边形，C线段，D角，将这四张卡片背面朝上洗匀后： （1）随机抽取一张卡片图案是轴对称图形的概率是 ； （2）随机抽取两张卡片（不放回） ，求两张卡片卡片图案都是中心对称图形的概率，并 用树状图或列表法加以说明 【分析】 （1）判断菱形，平行四边形，线段及角中轴对称图形
29、的个数，即可得到所求的 概率； （2）找出四个图形中中心对称图形的个数，列表得出所有等可能的情况数，找出两张都 为中心对称图形的情况数，即可求出所求的概率 【解答】解： （1）菱形，轴对称图形；平行四边形，不是轴对称图形；线段，轴对称图 形；角，轴对称图形， 则随机抽取一张卡片图案是轴对称图形的概率是； 故答案为：； （2）列表如下：其中 A，B，C 为中心对称图形，D 不为中心对称图形， A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 所有等可能的情况有 12 种，
30、其中都为中心对称图形的有 6 种， 则 P 20 （8 分）如图，在楼房 AB 和塔 CD 之间有一棵树 EF，从楼顶 A 处经过树顶 E 点恰好看 到塔的底部 D 点，且俯角 为 45从距离楼底 B 点 1 米的 P 点处经过树顶 E 点恰好 看到塔的顶部 C 点，且仰角 为 30已知树高 EF6 米，求塔 CD 的高度 （结果保 留根号） 【分析】 根据题意求出BADADB45， 进而根据等腰直角三角形的性质求得 FD， 在 RtPEH 中， 利用特殊角的三角函数值分别求出 BF， 即可求得 PG， 在 RtPCG 中， 继而可求出 CG 的长度 【解答】解：由题意可知BADADB45，
31、FDEF6 米， 在 RtPEH 中，tan， BF5， PGBDBF+FD5+6， 在 RTPCG 中，tan， CG（5+6） 5+2， CD（6+2）米 21 （9 分）某中学开学初到商场购买 A、B 两种品牌的足球，购买 A 种品牌的足球 50 个， B 种品牌的足球 25 个，共花费 4500 元，已知购买一个 B 种品牌的足球比购买一个 A 种 品牌的足球多花 30 元 （1）求购买一个 A 种品牌、一个 B 种品牌的足球各需多少元 （2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进 A、B 两种品牌足球 共 50 个， 正好赶上商场对商品价格进行调整， A 品牌足球售价
32、比第一次购买时提高 4 元， B 品牌足球按第一次购买时售价的 9 折出售，如果学校此次购买 A、B 两种品牌足球的总 费用不超过第一次花费的 70%， 且保证这次购买的 B 种品牌足球不少于 23 个， 则这次学 校有哪几种购买方案？ （3）请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？ 【分析】 （1）设 A 种品牌足球的单价为 x 元，B 种品牌足球的单价为 y 元，根据“总费 用买 A 种足球费用+买 B 种足球费用，以及 B 种足球单价比 A 种足球贵 30 元”可得出 关于 x、y 的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）设第二次购买 A 种足球 m 个，则购买 B 种足
33、球（50m）个，根据“总费用买 A 种足球费用+买 B 种足球费用，以及 B 种足球不小于 23 个”可得出关于 m 的一元一次不 等式组，解不等式组可得出 m 的取值范围，由此即可得出结论； （3）分析第二次购买时，A、B 种足球的单价，即可得出哪种方案花钱最多，求出花费 最大值即可得出结论 【解答】解： （1）设 A 种品牌足球的单价为 x 元，B 种品牌足球的单价为 y 元， 依题意得：，解得： 答：购买一个 A 种品牌的足球需要 50 元，购买一个 B 种品牌的足球需要 80 元 （2）设第二次购买 A 种足球 m 个，则购买 B 种足球（50m）个， 依题意得：， 解得：25m27
34、故这次学校购买足球有三种方案： 方案一：购买 A 种足球 25 个，B 种足球 25 个； 方案二：购买 A 种足球 26 个，B 种足球 24 个； 方案三：购买 A 种足球 27 个，B 种足球 23 个 （3）第二次购买足球时，A 种足球单价为 50+454（元） ，B 种足球单价为 800.9 72（元） ， 当购买方案中 B 种足球最多时，费用最高，即方案一花钱最多 2554+25723150（元） 答：学校在第二次购买活动中最多需要 3150 元资金 22 （9 分）如图，点 E 是ABC 的内心，AE 的延长线交 BC 于点 F，交ABC 的外接圆O 于点 D，连接 BD，过点
35、D 作直线 DM，使BDMDAC （1）求证：直线 DM 是O 的切线； （2）求证：DE2DFDA 【分析】 （1）根据垂径定理的推论即可得到 ODBC，再根据BDMDBC，即可判 定 BCDM，进而得到 ODDM，据此可得直线 DM 是O 的切线； （2） 根据三角形内心的定义以及圆周角定理， 得到BEDEBD， 即可得出 DBDE， 再判定DBFDAB，即可得到 DB2DFDA，据此可得 DE2DFDA 【解答】解： （1）如图所示，连接 OD， 点 E 是ABC 的内心， BADCAD， ， ODBC， 又BDMDAC，DACDBC， BDMDBC， BCDM， ODDM， 直线 DM
36、 是O 的切线； （2）如图所示，连接 BE， 点 E 是ABC 的内心， BAECAECBD，ABECBE， BAE+ABECBD+CBE， 即BEDEBD， DBDE， DBFDAB，BDFADB， DBFDAB， ，即 DB2DFDA， DE2DFDA 23 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+4 与坐标轴分别交于 A、B 两点， 过 A、B 两点的抛物线为 yx2+bx+c点 D 为线段 AB 上一动点，过点 D 作 CDx 轴 于点 C，交抛物线于点 E （1）求抛物线的解析式 （2）当 DE4 时，求四边形 CAEB 的面积 （3）连接 BE，是否存在点 D
37、，使得DBE 和DAC 相似？若存在，求此点 D 坐标；若 不存在，说明理由 【分析】 （1）首先求出点 A、B 的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）设点 C 坐标为（m，0） （m0） ，根据已知条件求出点 E 坐标为（m，8+m） ；由于 点 E 在抛物线上，则可以列出方程求出 m 的值在计算四边形 CAEB 面积时，利用 S四边 形CAEBSACE+S梯形OCEBSBCO，可以简化计算； （3）由于ACD 为等腰直角三角形，而DBE 和DAC 相似，则DBE 必为等腰直角 三角形分两种情况讨论，要点是求出点 E 的坐标，由于点 E 在抛物线上，则可以由此 列出方程求出未
38、知数 【解答】解： （1）在直线解析式 yx+4 中，令 x0，得 y4；令 y0，得 x4， A（4，0） ，B（0，4） 点 A（4，0） ，B（0，4）在抛物线 yx2+bx+c 上， ， 解得：b3，c4， 抛物线的解析式为：yx23x+4 （2）设点 C 坐标为（m，0） （m0） ，则 OCm，AC4+m OAOB4，BAC45， ACD 为等腰直角三角形，CDAC4+m， CECD+DE4+m+48+m， 点 E 坐标为（m，8+m） 点 E 在抛物线 yx23x+4 上， 8+mm23m+4，解得 m1m22 C（2，0） ，ACOC2，CE6， S四边形CAEBSACE+S梯
39、形OCEBSBCO26+（6+4）22412 （3）设点 C 坐标为（m，0） （m0） ，则 OCm，CDAC4+m，BDOC m，则 D（m，4+m） ACD 为等腰直角三角形，DBE 和DAC 相似 DBE 必为等腰直角三角形 i）若BED90，则 BEDE， BEOCm， DEBEm， CE4+mm4， E（m，4） 点 E 在抛物线 yx23x+4 上， 4m23m+4，解得 m0（不合题意，舍去）或 m3， D（3，1） ； ii）若EBD90，则 BEBDm， 在等腰直角三角形 EBD 中，DEBD2m， CE4+m2m4m， E（m，4m） 点 E 在抛物线 yx23x+4 上， 4mm23m+4，解得 m0（不合题意，舍去）或 m2， D（2，2） 综上所述， 存在点 D， 使得DBE 和DAC 相似， 点 D 的坐标为 （3， 1） 或 （2， 2）
