1、第四章 三角形4.1认识三角形第1课时三角形的定义和内角和1.理解并掌握三角形的概念，会用符号表示三角形.2.通过剪拼、平移等操作，掌握三角形内角和定理，并能利用三角形内角和定理解决简单问题.3.能根据三角形内角的大小将三角形分类，并掌握直角三角形的相关性质.自学指导阅读教材P8183，完成下列问题.(一)知识探究1.三角形(1)定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.(2)有关概念：如图，线段AB，BC，AC是三角形的边，点A，B，C是三角形的顶点，A，B，C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角.(3)表示方法：顶点是A，B，C的三角形，记作“AB
2、C”，读作“三角形ABC”.2.三角形三个内角的和等于180.3.三角形按角分类：(1)锐角三角形：三个内角都是锐角；(2)直角三角形：有一个内角是直角；(3)钝角三角形：有一个内角是钝角.4.直角三角形：如图，我们用符号“RtABC”表示“直角三角形ABC”.把直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角边.直角三角形的两个锐角互余.(二)自学反馈1.三角形是( B )A.连接任意三点组成的图形B.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形C.由三条线段组成的图形D.以上说法均不对2.如图，ABC中，A60，B40，则C等于( B )A.100 B.80 C.60 D.4
3、0活动1小组讨论例1在ABC中，A的度数是B的度数的3倍，C比B大15，求A，B，C的度数.解：设B为x，则A为(3x)，C为(x15)，从而有3xx(x15)180.解得x33.所以3x99，x1548.答：A，B，C的度数分别为99，33，48.例2如图，ACBD，12，D35，求BAD的度数.解：因为ACBD，根据“垂直的定义”，所以ACBACD90.根据直角三角形的两个锐角互余，所以1290.因为12，所以145.因为D35，根据直角三角形的两个锐角互余.所以CAD55.所以BAD1CAD100.“直角三角形的两个锐角互余”常常和三角形内角和定理综合起来求角的度数.活动2跟踪训练1.如
4、图所示是小明用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是( C )2.如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上.若BC120，则12120.3.如图，在ABC中，ACB90，F是AC延长线上一点，FDAB，垂足为D，FD与BC相交于点E.(1)图中有几个直角三角形？是哪几个？(2)A与B有什么关系？A与F呢？解：(1)4个，分别是ABC，CEF，ADF，BDE.(2)AB90，AF90.活动3课堂小结本节课我们主要学习了三角形的内角和、三角形按角分类、直角三角形的性质，以及相关的运用.第2课时三角形的三边关系1.会按边对三角形进行分类.2.通过度量三角形的边长，理解并掌握三角形的三边关系
5、.自学指导阅读教材P8586“随堂练习”之前的内容，完成下列问题.(一)知识探究1.三角形按边分类如下：三角形等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形.2.三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.(二)自学反馈1.下列说法正确的有( B )等边三角形是等腰三角形；三角形的两边之差大于第三边；三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？(1)3，4，8；解：不能组成三角形，因为3和4的和小于8.(2)2，5
6、，6；解：能组成三角形，因为2和5的和大于6，且任意两边的差小于第三边.(3)5，6，10；解：能组成三角形，因为5和6的和大于10，且任意两边的差小于第三边.(4)5，6，11.解：不能组成三角形，因为5和6的和等于11.用较短的两条线段之和与最长的线段比较，若和大，则能组成三角形，反之，则不能.活动1小组讨论例1若三角形的两边长分别是2和7，第三边长为奇数，求第三边的长.解：设第三边的长为x，根据两边之和大于第三边，得x27，即x9.根据两边之差小于第三边，得x72，即x5.所以x的值大于5小于9.又因为它是奇数，所以x只能取7.例2用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形.(1)如果
7、腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？(2)能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？解：(1)设底边长为x厘米，则腰长为2x厘米.x2x2x18.解得x3.6.所以三边长分别为3.6厘米，7.2厘米，7.2厘米.(2)当4厘米长为底边，设腰长为x厘米，则42x18.解得x7.所以可围成三边长分别为7厘米、7厘米、4厘米的等腰三角形.当4厘米长为腰长，设底边长为x厘米，则42x18.解得x10.因为4410，所以此时不能构成三角形.在不明确给出的边是等腰三角形的腰还是底边时，要分情况进行讨论，同时还要考虑到求出的各边长度能否构成三角形.活动2跟踪训练1.已知ABC三边a，b，c满足(ab)20，
8、则ABC的形状是( C )A.钝角三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.以上都不对2.一个等腰三角形的周长为18 cm，一边长为7 cm，求其他两边的长.解：若7 cm为腰长，则另一腰长为7 cm，底边长为18774(cm)，且7 cm，7 cm，4 cm能围成三角形；若7 cm为底边长，则腰长为(187)25.5(cm)，且7 cm，5.5 cm，5.5 cm也能围成三角形.故其他两边长分别为7 cm，4 cm或5.5 cm，5.5 cm.活动3课堂小结这节课我们主要学习了：(1)三角形按边分类；(2)三角形的三边关系.第3课时三角形的中线、角平分线1.认识三角形的中线、重心、角平分线.
9、2.能准确画出三角形的中线、角平分线.自学指导阅读教材P8788，完成下列问题.(一)知识探究1.在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.一个三角形共有三条中线，它们都在三角形内部，且交于一点，这点称为三角形的重心.2.在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.简称三角形的角平分线.一个三角形共有三条角平分线，且交于一点.(二)自学反馈1.一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线交于一点，这个交点一定在( A )A.三角形内部 B.三角形的一边上C.三角形外部 D.三角形的某个顶点上2.填空：(1)AD是ABC的角平
10、分线(D在BC所在直线上)，那么BADCADBAC；(2)AE是ABC的中线(E在BC所在直线上)，那么BEECBC.活动1小组讨论例1如图，已知ABC的周长为21 cm，AB6 cm，BC边上的中线AD5 cm，ABD的周长为15 cm，求AC的长.解：因为AB6 cm，AD5 cm，ABD的周长为15 cm，所以BD15654(cm).因为AD是BC边上的中线，所以BC8 cm.因为ABC的周长为21 cm，所以AC21687(cm).例2如图，在ABC中，已知ABC80，ACB40，BO，CO平分ABC，ACB，求BOC的度数.解：因为在ABC中，ABC80，ACB40，BO，CO分别平
11、分ABC，ACB，所以OBCABC8040，OCBACB4020.所以BOC180OBCOCB120.活动2跟踪训练1.如图，D，E分别是ABC的边AC，BC的中点，那么下列说法中不正确的是( D )A.DEC中C的对边是DE B.BD是ABC的中线C.ADDC，BEEC D.DE是ABC的中线2.如图，ABC中，B90，AD平分BAC，且C4BAD，求ADC的度数.解：因为B90，所以BACC90.因为AD平分BAC，所以BADCAD.因为C4BAD，所以2BAD4BAD90.所以BADCAD15.所以ADC180CADC1801560105.活动3课堂小结通过本节课的学习，我们认识三角形的
12、角平分线、中线，并知道了三角形的三条角平分线的交点、三条中线的交点的位置.第4课时三角形的高线1.认识三角形的高线，能画任意三角形的高.2.了解三角形三条高所在直线交于一点的性质.自学指导阅读教材P8990，完成下列问题.(一)知识探究(1)三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.(2)锐角三角形的三条高在三角形的内部；直角三角形的三条高交于直角顶点处；钝角三角形的三条高所在直线交于一点，此点在三角形的外部.(二)自学反馈1.如图，过ABC的顶点A作BC边上的高，以下作法正确的是( A )回忆并演示“过一点画已知直线的垂线”
13、画法.2.不一定在三角形内部的是( C )A.三角形的角平分线 B.三角形的中线C.三角形的高 D.以上都不对活动1小组讨论例如图，在ABC中，BAC80，C60，ADBC于D，AE是BAC的平分线.(1)求DAE的度数；(2)指出AD是哪几个三角形的高.解：(1)因为BAC80，AE是BAC的平分线，所以CAE40.因为ADBC，C60，所以CAD30.所以DAE10.(2)ABC，ABE，AED，ACD，ACE，ABD.活动2跟踪训练1.如图，ACBC，CDAB，DEBC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是( C )A.AC是ABC的高 B.DE是BCD的高C.DE是ABE的高 D
14、.AD是ACD的高2.如图，ACB中，ACB90，1B.(1)试说明CD是ABC的高；(2)如果AC8，BC6，AB10，求CD的长.解：(1)因为ACB90，所以AB90.因为1B，所以A190.所以ADC90.所以CD是ABC的高.(2)因为ACB90，AC8，BC6，所以ABC的面积为24.因为AB10，CD是高，所以CD4.8.活动3课堂小结通过本节课的学习，我们认识了三角形的高，并知道了三条高所在直线的交点的位置.4.2图形的全等1.学会辨认全等三角形的对应元素.2.掌握全等三角形的性质.自学指导阅读教材P9294，完成下列问题.(一)知识探究1.能够完全重合的两个图形称为全等图形.
15、如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同.2.能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.表示方法：ABCDEF.3.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.(二)自学反馈1.下列各组的两个图形属于全等图形的是( D )2.下列关于全等三角形的说法不正确的是( A )A.形状相同的三角形是全等三角形B.全等三角形的形状相同C.全等三角形的大小相等D.全等三角形的对应边相等只有形状和大小都相等的两个图形才全等，形状相等和大小相等这两个条件缺一不可.活动1小组讨论例如图，已知ABCADE.(1)写出它们的对应边和对应角；(2)说明：EACBAD.解：(1)对应边：AB和AD，AC和A
16、E，BC和DE.对应角：BAC和DAE，B和ADE，C和E.(2)因为ABCADE，所以CABEAD.所以CABCADEADCAD，即BADEAC.通常把对应顶点的字母写在对应的位置上.活动2跟踪训练1.如图，四边形ABCD与四边形EFGH是全等图形.若AD5，B70，则EH5，F70.2.已知ABCABC，点A与点A，点B与点B是对应点，ABC的周长为9 cm，AB3 cm，BC4 cm，则AC2cm.3.如图，BEFAEF，C是BE延长线上的点，ED平分AEC，求FED的度数.解：因为BEFAEF，所以AEFBEF.因为ED平分AEC，所以AEDCED.因为AEFBEFAEDCED180，
17、所以FEDAEFAED90.活动3课堂小结学生试述：这节课你学到了什么？4.3探索三角形全等的条件第1课时边边边(SSS)1.掌握“边边边”证明方法的内容，会运用“边边边”证明方法说明两个三角形全等.2.能用“边边边”定理判定两个三角形全等和解决相关实际问题，体会三角形的稳定性.自学指导阅读教材P9798，完成下列问题.(一)知识探究三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.(二)自学反馈1.如图，在ABC中，ABAC，EBEC，则由“SSS”可以直接判定( B )A.ABDACD B.ABEACEC.BDECDE D.以上答案都不对2.如图，通常凳子腿活动后，木工师傅会在凳
18、腿上斜钉一根木条，这是利用了三角形的稳定性.活动1小组讨论例如图，已知ABAC，BECE，BDCD.(1)图中有几对全等三角形？请分别写出来；(2)请选择一对全等三角形说明其相等的理由.解：(1)一共有3对全等三角形，ABEACE，ABDACD，BEDCED.(2)因为ABAC，BECE，AEAE，所以ABEACE(SSS).注意运用“SSS”说明三角形全等的书写格式，在解答过程中善于挖掘“公共边”这个隐含的条件.活动2跟踪训练1.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上木条的根数为( B )A.0 B.1 C.2 D.32.如图，ABAD，BCDC，B与
19、D相等吗？为什么？解：BD.理由：连接AC，在ABC和ADC中，所以ABCADC(SSS).所以BD.三角形全等的判定与性质的应用经常交叉使用.活动3课堂小结1.本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的方法“SSS”.并利用它证明简单的三角形全等问题.2.添加辅助线构造公共边，可以为证明两个三角形全等提供条件，证明两个三角形全等是证明线段相等或角相等的重要方法.第2课时角边角(ASA)与角角边(AAS)1.掌握三角形全等的“角边角”“角角边”判定方法.2.学会运用“角边角”“角角边”判定方法进行简单的说理.自学指导阅读教材P100101，完成下列问题.(一)知识探究1.两角
20、及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”.2.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角全等，简写为“角角边”或“AAS”.三角形全等的条件至少需要三对相等的元素(其中至少需要一条边相等).(二)自学反馈1.如图，点B，E，F，C在同一直线上，已知AD，BC，要使ABFDCE，需要补充的一个条件是答案不唯一，如：ABDC.(写出一个即可)2.如图，已知AC平分BAD，BD.ABC和ADC全等吗？请说明理由.解：ABCADC.理由：因为AC平分BAD，所以BACDAC.又因为BD，ACAC，所以ABCADC(AAS).活动1小组讨论例1如图，AB平分CAD，12.AEC
21、和AED全等吗？试说明理由.解：AECAED.理由：因为AB平分CAD，所以CAEDAE.因为12，AEC1801，AED1802，所以AECAED.又因为AEAE，所以AECAED(ASA).应用“ASA”说明三角形全等时注意边是对应角的夹边.例2如图，已知，CE，12，ABAD，ABC和ADE全等吗？试说明理由.解：ABCADE.理由：因为12，所以1DAC2DAC，即BACDAE.又因为CE，ABAD，所以ABCADE(AAS).应用“AAS”证三角形全等时应注意边是对应角的对边.活动2跟踪训练1.如图，已知ABCDCB，若以“AAS”为依据说明ABCDCB，还需添加的一个条件是( A
22、)A.AD B.ABDC C.ACBDBC D.ACBD2.已知：如图，PMPN，MN.试说明：AMBN.解：因为PP，PMPN，MN，所以PBMPAN(ASA).所以PAPB.因为PMPN，所以PMPAPNPB，即AMBN.善于挖掘隐含条件“公共边、公共角、对顶角”等.活动3课堂小结1.本节内容是已知两个角和一条边对应相等得三角形全等，三个角对应相等不能确定三角形全等.2.三角形全等的判定和全等三角形的性质常在一起进行综合应用，有时还得反复用两次或两次以上，从而达到解决问题的目的.第3课时边角边(SAS)1.掌握三角形全等的“边角边”判定方法.2.学会运用“边角边”判定方法进行简单的说理.自
23、学指导阅读教材P102103，完成下列问题.(一)知识探究两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.(二)自学反馈1.下列条件能判定两个三角形全等的是( D )A.有两条边对应相等的两个三角形B.有两边及一角对应相等的两个三角形C.有三角对应相等的两个三角形D.有两边及其夹角对应相等的两个三角形两个三角形具备两边和一对角相等时，不一定全等.2.如图，已知DCBC，那么添加下列一个条件后，就能判定ABCADC的是( D )A.BACDAC B.BCACC.BD D.ACBACD活动1小组讨论例如图，点B为AC的中点，BEBF，12，ABE与CBF全等吗？请说明理由.解：
24、ABECBF.理由如下：因为12，所以1EBF2EBF，即ABECBF.因为B是AC的中点，所以ABCB.又因为BEBF，所以ABECBF(SAS).利用“SAS”说明两个三角形全等时，要注意“角”只能是两组相等边的夹角.活动2跟踪训练1.如图，已知ABCD，ABCD，BEDF，则图中的全等三角形一共有( A )A.3对 B.4对 C.5对 D.6对2.如图，ADAE，要根据“SAS”判定ABDACE，则还需添加的条件是ABAC或BECD.分析已知条件，确定说明三角形全等的条件，充分挖掘隐藏条件.3.如图，在ABC中，点D为BC上一点，E，F两点分别在边AB，AC上.若BECD，BDCF，BC
25、，A50，求EDF的度数.解：因为在ABC中，ABC180，BC，A50，所以BC(180A)65.在BDE和CFD中，因为BECD，BC，BDCF，所以BDECFD(SAS).所以BDECFD.所以EDF180(BDECDF)180(CFDCDF)180(180C)C65.活动3课堂小结通过本节课的学习，学会利用“SAS”进行说理.4.4用尺规作三角形经过分析与动手操作，掌握已知边、角作三角形的作图方法.自学指导阅读教材P105107，完成下列问题.(一)知识探究用尺规作三角形，其实质可以归结为：(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角.(二)自学反馈已知三边作三角形，用到的基
26、本作图方法是( C )A.作一个角等于已知角B.平分一个已知角C.在射线上截取一线段等于已知线段D.作一条直线的垂线活动1小组讨论例1根据下列条件，不能作出唯一的ABC的是( A )A.AB3，AC4，B30B.AB3，BC4，AC6C.A50，B60，AB4D.AB3，AC4，A30例2作图题.(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)已知：(如图)线段a和.求作：ABC，使ABACa，A.解：作图如图所示.尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角是作三角形的基础.活动2跟踪训练1.如图所示，小敏在做题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，她想在一块空白纸上作一个完全一样的三
27、角形，然后粘贴在上面，她作图的依据是( C )A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS2.如图，已知线段a和，作一个ABC，使BCa，AC2a，BCA.解：如图，ABC为所作.活动3课堂小结通过本节课的学习，我们知道了三角形全等条件与作图之间的关系，学会了分析作图题的方法，掌握作图语言的应用.4.5利用三角形全等测距离能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系.自学指导阅读教材P108109，完成下列问题.(一)知识探究(1)全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等.(2)全等三角形的判定方法是SSS，ASA，AAS，SAS.(二)自学反馈如图，小牛利用全等三角
28、形的知识测量池塘两端A，B的距离.若CDOBAO，则只需测出其长度的线段是( D )A.AO B.CB C.BO D.CD活动1小组讨论例1如图，将两根等长钢条AA，BB的中点O连在一起，使AA，BB可绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则AB的长等于容器内径AB，那么判定OABOAB的理由是( B )A.AAS B.SAS C.SSS D.ASA例2如图，在一条河的两岸各耸立着一座宝塔，隔河相对，在无任何过河工具情况下，你能测量出两座宝塔间的距离吗？说说你的方法和理由.解：可以测量出两座宝塔间的距离.方法：如图所示，把宝塔看作A，B两点，可以沿河岸作射线BF，且使BFAB，在BF上截取BCCD，过D点作DEBF，使E，C，A在一条直线上，则这两个三角形全等，从而可测量出两座宝塔间的距离.理由：因为ACBECD，BCDC，BEDC90，所以ACBECD(SAS).所以ABED.活动2跟踪训练如图，太阳光线AC与AC是平行的，AB表示一棵塔松，AB表示电线杆，BC表示塔松的影长，BC表示电线杆的影长，且BCBC，已知电线杆高3 m，则塔松高( B )A.大于3 m B.等于3 m C.小于3 m D.和影子的长相同活动3课堂小结通过本节课的学习我们学会了利用三角形的全等解决实际问题.
