1、第第 13 章章 概率概率 章末复习课章末复习课 网络构建 概率 试验与事件 事件 事件的运算 概率及其计算 古典概率模型 几何概率 频率与概率 核心归纳 1本章涉及的概念比较多，要真正理解它们的实质，搞清它们的区别与联系了解随机事件 发生的不确定性和频率的稳定性，要进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别 2应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定事件彼此是否互斥，然后求出各事件 分别发生的概率，再求和求较复杂的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互 斥的事件的和； 二是先求其对立事件的概率， 然后再应用公式 P(A)1P(A)(事件 A 与 A 互为对立事件)求解 3对于古典
2、概型概率的计算，关键要分清基本事件的总数 n 与事件 A 包含的基本事件的个 数 m，再利用公式 P(A)m n求出概率有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举 时必须按某一顺序做到不重不漏 4对于几何概率的计算，关键是求得事件 A 所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公 式求解 5学习本章的过程中，要重视教材的基础作用，重视过程的学习，重视基本数学思想和数学 方法的形成和发展，注意培养分析问题和解决问题的能力. 要点一 随机事件的概率 1有关事件的概念 (1)必然事件：我们把在条件 S 下，一定会发生的事件，叫作相对于条件 S 的必然事件，简称 必然事件 (2)不可能事件：在条件 S
3、 下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件 S 的不可能事件，简称 不可能事件 (3)随机事件：在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于条件 S 的随机事件，简 称随机事件 (4)事件的表示方法：确定事件和随机事件一般用大写字母 A，B，C，表示 2对于概率的定义应注意以下几点 (1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验 (2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫作事件 A 的概率 (3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值 (4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小 (5)必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，故 0P(A)1. 例 1 对一批 U 盘
4、进行抽检，结果如下表： 抽出件数 a 50 100 200 300 400 500 次品件数 b 3 4 5 5 8 9 次品频率b a (1)计算表中次品的频率； (2)从这批 U 盘中任抽一个是次品的概率约是多少？ (3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售 2000 个 U 盘，至少需进货多少个 U 盘？ 解 (1)表中次品频率从左到右依次为 0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018. (2)当抽取件数 a 越来越大时，出现次品的频率在 0.02 附近摆动，所以从这批 U 盘中任抽一 个是次品的概率约是 0.02. (3)设需要进货 x 个 U 盘，为保证其中
5、有 2000 个正品 U 盘，则 x(10.02)2000，因为 x 是 正整数， 所以 x2041，即至少需进货 2041 个 U 盘 跟踪演练 1 某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下： 射击次数 n 10 20 50 100 200 500 击中靶心 次数 m 8 19 44 92 178 455 击中靶心 的频率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91 (1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？ (2)假设该射击运动员射击了 300 次，则击中靶心的次数大约是多少？ (3)假如该射击运动员射击了 300 次，前 270 次都击中靶心
6、，那么后 30 次一定都击不中靶心 吗？ (4)假如该射击运动员射击了 10 次， 前 9 次中有 8 次击中靶心， 那么第 10 次一定击中靶心吗？ 解 (1)由题意，击中靶心的频率与 0.9 接近，故概率约为 0.9. (2)击中靶心的次数大约为 3000.9270(次) (3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化后 30 次中，每次击中 靶心的概率仍是 0.9，所以后 30 次不一定都击不中靶心 (4)不一定 要点二 互斥事件与对立事件的概率求法 1互斥事件与对立事件的概念的理解 (1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要 求
7、二者必须有一个发生因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对 立事件是互斥事件的特殊情况 (2)利用集合的观点来看，如果事件 AB，则两事件是互斥的，此时 AB 的概率就可用 加法公式来求，即为 P(AB)P(A)P(B)；如果事件 AB，则可考虑利用古典概型的定 义来解决，不能直接利用概率加法公式 (3)利用集合的观点来看，如果事件 AB，AB，则两事件是对立的，此时 AB 就 是必然事件，可由 P(AB)P(A)P(B)1 来求解 P(A)或 P(B) 2互斥事件概率的求法 (1)若 A1，A2，An互斥，则 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An) (2)利用这一
8、公式求概率的步骤是：要确定这一些事件彼此互斥；先求出这一些事件分别 发生的概率，再求和 3对立事件概率的求法 P()P(A)P(A)1，由公式可得 P(A)1P(A) (这里 A 是 A 的对立事件， 为必 然事件). 4 互斥事件的概率加法公式是解决概率问题的重要公式， 它能把复杂的概率问题转化为较为 简单的概率或转化为其对立事件的概率求解 例 2 现有 8 名 2020 东京奥运会志愿者，其中志愿者 A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓 俄语，C1，C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，组成一个小组 (1)求 A1被选中的概率； (2)求 B1和 C1不全
9、被选中的概率 解 (1)从 8 人中选出日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，其一切可能的结果组成的基本事件 空间 (A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1， B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3， C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)， 即由 18 个基本事件组成 由于每一个基本事件被抽取的机会均等， 因此这些基本事件的
10、发生 是等可能的 用 M 表示“A1被选中”这一事件，则 M(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1， B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，即事件 M 由 6 个基本事件组成故 P(M) 6 18 1 3. (2)用 N 表示“B1和 C1不全被选中”这一事件， 则其对立事件 N 表示“B1和 C1全被选中” 这一事件 因为 N(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，即事件 N 由 3 个基本事件组成， 所以 P(N) 3 18 1 6. 由对立事件的概率公式得 P(N)1P(N)11 6 5 6. 跟踪演练 2
11、甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有 5 个不同题目，选择题 3 个，判断题 2 个， 甲、乙两人各抽一题 (1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？ (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 解 把 3 个选择题记为 x1，x2，x3,2 个判断题记为 p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题” 的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x2，p2)，共 6 种； “甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)， (p2，x3)，共 6 种
12、； “甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)， 共 6 种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共 2 种 (1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为 6 20 3 10，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的 概率为 6 20 3 10， 故“甲、 乙两人中有一个抽到选择题， 另一个抽到判断题”的概率为 3 10 3 10 3 5. (2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为 2 20 1 10，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题” 的概率为 1 1 10 9 10. 要点三 古典概型
13、与几何概率 古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出现 古典概型的题目解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性在应 用公式 P(A)m n时，关键是正确理解基本事件与事件 A 的关系，求出 n，m. 几何概率同古典概型一样，是概率中最具有代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常 重要的位置我们要理解并掌握几何概率试验的两个基本特征，即：每次试验中基本事件的 无限性和每个事件发生的等可能性，并能求简单的几何概率试验的概率 例 3 某产品的三个质量指标分别为 x，y，z，用综合指标 Sxyz 评价该产品的等级若 S4，则该产品为一等品现从一
14、批该产品中，随机抽取 10 件产品作为样本，其质量指标列 表如下： 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 质量指标 (x，y，z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 产品编号 A6 A7 A8 A9 A10 质量指标 (x，y，z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2) (1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率 (2)在该样本的一等品中，随机抽取 2 件产品， 用产品编号列出所有可能的结果； 设事件 B 为“在取出的 2 件产品中，每件产品的综合指标 S 都等于 4”，求事件 B 发生的 概率
15、解 (1)计算 10 件产品的综合指标 S，如下表： 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5 其中 S4 的有 A1，A2，A4，A5，A7，A9，共 6 件，故该样本的一等品率为 6 100.6，从而可 估计该批产品的一等品率为 0.6. (2)在该样本的一等品中，随机抽取 2 件产品的所有可能结果为A1，A2，A1，A4，A1， A5，A1，A7，A1，A9，A2，A4，A2，A5，A2，A7，A2，A9，A4，A5，A4，A7， A4，A9，A5，A7，A5，A9，A7，A9，共 15 种 在该样本的一等品中，综
16、合指标 S 等于 4 的产品编号分别为 A1，A2，A5，A7，则事件 B 发 生的所有可能结果为A1，A2，A1，A5，A1，A7，A2，A5，A2，A7，A5，A7，共 6 种所以 P(B) 6 15 2 5. 跟踪演练 3 如图所示的大正方形面积为 13， 四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形， 较短的直角边长为 2，向大正方形内投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为( ) A. 4 13 B. 2 13 C. 1 13 D. 3 13 答案 C 解析 设阴影小正方形边长为 x，则在直角三角形中有 22(x2)2( 13)2，解得 x1 或 x 5(舍)，阴影部分面积为 1，飞镖落在阴影
17、部分的概率为 1 13. 要点四 数形结合思想 数形结合思想的实质就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的图形结合起来，包含“以形 助数”和“以数辅形”两个方面 在本节中把几何概率问题利用坐标系转化成图形问题(或符 合条件的点集问题)去解决 例 4 甲、 乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面， 并约定先到者应等候另一个人一刻钟， 过时即可离去，求两人能会面的概率 解 以 x 轴和 y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的等价条件是 |xy|15.如图平面直角坐标系下， (x， y)的所有可能结果是边长为 60 的正方形， 而事件 A“两 人能够会面”的可能结果由图中的
18、阴影部分表示，由几何概率的计算公式得 P(A)SA S 602452 602 7 16. 跟踪演练 4 三个人玩传球游戏， 每个人都等可能地传给另两人(不自传)， 若从 A 发球算起， 经 4 次传球又回到 A 手中的概率是多少？ 解 记三人为 A、B、C，则 4 次传球的所有可能可用树状图方式列出：如下图 每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为 16，而又回到 A 手中的事件个数为 6 个， 根据古典概型概率公式得 P 6 16 3 8. 课堂小结 1两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥若事件 A1，A2， A3，An彼此互斥，则 P(A1A2An)P(A1)P
19、(A2)P(An) 2关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题： (1)本试验是否是等可能的？ (2)本试验的基本事件有多少个？ (3)事件 A 是什么，它包含多少个基本事件？ 只有回答好了这三方面的问题，解题才不会出错 3几何概率的试验中，事件 A 的概率 P(A)只与子区域 A 的几何度量(长度、面积或体积)成 正比，而与 A 的位置和形状无关求几何概率，关键是求得事件所占区域和整个区域 的几 何度量，然后代入公式即可求解 4关于随机数与随机模拟试验问题 随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法，用计算器或计算机模拟试验，首先要把实际 问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的量，我们可以从以下几个方面考虑： (1)确定产生随机数组数，如长度型、角度型(一维)一组，面积型(二维)二组 (2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围， 由事件 A 发生的条件确定随机数应 满足的关系式
