2.1.1 合情推理(第1课时)归纳推理 学案(苏教版高中数学选修2-2)

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1、21 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 211 合情推理合情推理 第第 1 课时课时 归纳推理归纳推理 学习目标 1.了解归纳推理的含义,能利用归纳进行简单的推理.2.了解归纳推理在数学发 现中的作用 知识点一 推理 1推理的定义 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理 2推理的组成 任何推理都包含前提和结论两个部分, 前提是推理所依据的命题, 它告诉我们已知的知识是 什么;结论是根据前提推得的命题,它告诉我们推出的知识是什么 知识点二 归纳推理 思考 (1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电,猜想:一切金属都能导电 (2)统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体 以上

2、属于什么推理? 答案 属于归纳推理符合归纳推理的定义特征,即由部分对象具有某些特征,推出该类事 物的全部对象都具有这些特征的推理 梳理 (1)归纳推理的定义 从个别事实中推演出一般性的结论,像这样的推理通常称为归纳推理 (2)归纳推理的思维过程大致如图 实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论 (3)归纳推理的特点 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象, 归纳所得的结论是尚属未知的一般现象, 该结论 超越了前提所包容的范围 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑推理和实践检验, 因此,它不能作为数学证明的工具 归纳推理是一种具有创造性的推理, 通过归纳推理得到的猜想, 可以

3、作为进一步研究的起 点,帮助人们发现问题和提出问题 1由个别到一般的推理为归纳推理( ) 2归纳的前提是特殊现象,归纳是立足于观察或实验的基础上的,结论一定正确( ) 类型一 数列中的归纳推理 例 1 已知 f(x) x 1x,设 f1(x)f(x),fn(x)fn 1(fn1(x)(n1,且 nN*),则 f3(x)的表达式 为_,猜想 fn(x)(nN*)的表达式为_ 答案 f3(x) x 14x fn(x) x 12n 1x 解析 f(x) x 1x,f1(x) x 1x. 又fn(x)fn1(fn1(x), f2(x)f1(f1(x) x 1x 1 x 1x x 12x, f3(x)f

4、2(f2(x) x 12x 12 x 12x x 14x, f4(x)f3(f3(x) x 14x 14 x 14x x 18x, f5(x)f4(f4(x) x 18x 18 x 18x x 116x, 根据前几项可以猜想 fn(x) x 12n 1x. 引申探究 在本例中,若把“fn(x)fn1(fn1(x)”改为“fn(x)f(fn1(x)”,其他条件不变,试猜想 fn(x)(nN*)的表达式 解 f(x) x 1x,f1(x) x 1x. 又fn(x)f(fn1(x), f2(x)f(f1(x) x 1x 1 x 1x x 12x, f3(x)f(f2(x) x 12x 1 x 12x

5、 x 13x, f4(x)f(f3(x) x 13x 1 x 13x x 14x. 因此,可以猜想 fn(x) x 1nx. 反思与感悟 在数列问题中,常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前 n 项和 (1)通过已知条件求出数列的前几项或前 n 项和 (2)根据数列中的前几项或前 n 项和与对应序号之间的关系求解 (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前 n 项和公式 跟踪训练 1 已知数列an的前 n 项和为 Sn, a12 3, 且 Sn 1 Sn2an(n2), 计算 S1, S2, S3,S4,并猜想 Sn的表达式 解 当 n1 时,S1a12 3; 当 n2 时, 1 S22S1 4

6、 3,所以 S2 3 4; 当 n3 时, 1 S32S2 5 4,所以 S3 4 5; 当 n4 时, 1 S42S3 6 5,所以 S4 5 6. 猜想:Snn1 n2,nN *. 类型二 等式与不等式中的归纳推理 例 2 (1)观察下列等式: 11 2 1 2, 11 2 1 3 1 4 1 3 1 4, 11 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 4 1 5 1 6, , 据此规律,第 n 个等式可为_ 答案 11 2 1 3 1 4 1 2n1 1 2n 1 n1 1 n2 1 2n 解析 等式左边的特征:第 1 个有 2 项,第 2 个有 4 项,第 3 个有 6 项,且正负交错

7、,故第 n 个等式左边有 2n 项且正负交错,应为 11 2 1 3 1 4 1 2n1 1 2n;等式右边的特征:第 1 个有 1 项,第 2 个有 2 项,第 3 个有 3 项,故第 n 个等式右边有 n 项,且由前几个等式的 规律不难发现,第 n 个等式右边应为 1 n1 1 n2 1 2n. (2)观察下列式子: 1 1 22 3 2 , 1 1 22 1 32 5 3 , 1 1 22 1 32 1 42 7 4 , , 猜 想 第 n 个 不 等 式 为 _ 答案 1 1 22 1 32 1 n12 2n1 n1 解析 第 1 个不等式:1 1 112 211 11 , 第 2 个

8、不等式:1 1 22 1 212 221 21 , 第 3 个不等式:1 1 22 1 32 1 312 231 31 , , 故猜想第 n 个不等式: 1 1 22 1 32 1 42 1 n121, 等式 x1 x2; x 22 x3; x 33 x4; , 可以推广为_ 答案 xnn xn1 解析 不等式左边是两项的和,第一项是 x,x2,x3,右边的数是 2,3,4,利用此规 律观察所给不等式,都是写成 xnn xn1 的形式,从而归纳出一般性结论:x nn xn1. (2)观察下列等式,并从中归纳出一般结论 112, 23432, 3456752, 4567891072, 56789

9、1011121392, 解 等号的左端是连续自然数的和,且项数为 2n1,等号的右端是项数的平方 所以猜想结论:n(n1)(3n2)(2n1)2(nN*) 类型三 图形中的归纳推理 例 3 如图,第 n 个图形是由正 n2 边形“扩展”而来(n1,2,3,),则第 n 个图形中顶 点的个数为_ 答案 (n2)(n3) 解析 由已知中的图形我们可以得到: 当 n1 时,顶点共有 1234(个), 当 n2 时,顶点共有 2045(个), 当 n3 时,顶点共有 3056(个), 当 n4 时,顶点共有 4267(个), , 则第 n 个图形共有顶点(n2)(n3)个 反思与感悟 图形中归纳推理的

10、特点及思路 (1)从图形的数量规律入手,找到数值变化与数量的关系 (2)从图形结构变化规律入手,找到图形的结构每发生一次变化后,与上一次比较,数值发 生了怎样的变化 跟踪训练 3 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案,则第 n 个图案 中有黑色地面砖的块数是_ 答案 5n1 解析 观察图案知,从第一个图案起,每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为 6,公差为 5 的等差数列,从而第 n 个图案中黑色地面砖的个数为 6(n1)55n1. 1观察下列各式: ab1,a2b23,a3b34,a4b47,a5b511,则 a10b10_. 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在数对(组

11、)中的应用 答案 123 解析 利用归纳法:ab1,a2b23,a3b3314,a4b4437,a5b57 411,a6b611718,a7b7181129,a8b8291847,a9b94729 76,a10b107647123,规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和 2按照图 1、图 2、图 3 的规律,第 10 个图中圆点的个数为_ 答案 40 解析 图 1 中的点数为 414, 图 2 中的点数为 824, 图 3 中的点数为 1234, 所以图 10 中的点数为 10440. 3已知 a11,a21 3,a3 1 6,a4 1 10,则数列an的一个通项公式 an_. 答案 2

12、nn1(nN *) 解析 a1 2 12,a2 2 23,a3 2 34,a4 2 45, 则 an 2 nn1(nN *) 4观察(x2)2x,(x4)4x3,(cos x)sin x,由归纳推理可得:若定义在 R 上的函 数 f(x)满足 f(x)f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(x)_. 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 g(x) 解析 由所给函数及其导数知,偶函数的导函数为奇函数因此当 f(x)是偶函数时,其导函 数应为奇函数, 故 g(x)g(x) 5将全体正整数排成一个三角形数阵: 按照以上排列的规律,求第 n 行(n3)从左向右数第 3 个数 解 前(n1)行共有正整数12(n1)个,即n 2n 2 个,因此第 n 行第 3 个数是全体 正整数中第 n2n 2 3 个,即为n 2n6 2 (nN*) 1归纳推理的一般步骤 (1)通过观察某类事物的个别情况,发现某些相同性质 (2)对这些性质进行归纳整理,得到一个合理的结论 (3)猜想这个结论对该类事物都成立 2归纳推理应注意的问题 归纳推理可从具体事例中发现一般规律,但应注意,仅根据一系列有限的特殊事例,所得出 的一般结论不一定可靠,其结论的正确与否,还要经过严格的理论证明

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