1、13 导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 131 单调性单调性 学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能 利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间 知识点 函数的单调性与导函数正负的关系 思考 1 观察高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 h(t)4.9t26.5t10 的图象及 h(t)9.8t6.5 的图象， 思考运动员从起跳到最高点， 从最高点到入水的运动状态有什么 区别 答案 从起跳到最高点，h 随 t 的增加而增加，h(t)是增函数，h(t)0；从最高点到入水，h(t) 是减函数，h(t)0 0 锐角 上升 递增
2、0 0，那么 f(x)为该区间上的增函数； 如果在某区间上 f(x)0，那么 f(x)在区间(a，b)内单调递增( ) 2如果函数 yf(x)在区间(a，b)上单调递增，那么它在区间(a，b)上都有 f(x)0.( ) 类型一 利用导数求函数的单调区间 命题角度1 不含参数的函数求单调区间 例 1 求下列函数的单调区间： (1)yx32x2x； (2)f(x)3x22ln x. 解 (1)y3x24x1. 令 3x24x10，解得 x1 或 x1 3， 因此，yx32x2x 的单调增区间为(1，)， ，1 3 . 再令 3x24x10，解得1 3x0，即 2 3x21 x 0， 解得 3 3
3、x 3 3 . 又x0，x 3 3 . 令 f(x)0，即 2 3x21 x 0， 解得 x 3 3 或 0x0，0x0 或 f(x)0，不等式的解集就是函数的单调区间 (2)如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”、“和”等连接，而不能写成并集的形式 (3)要特别注意函数的定义域 跟踪训练 1 函数 f(x)(x22x)ex(xR)的单调减区间为_ 答案 (2 2，2 2) 解析 令 f(x)(x24x2)ex0， 即 x24x20， 解得2 2x0，得 x1；令 f(x)0，得 0x0 时，f(x) a xa1 a x1 x ， a0，a1 a 0，得 x1；令 f(x)0，得 0x0，
4、所以 f(x)在(，)上单调递增 若 a0，则当 x(，ln a)时，f(x)0. 所以 f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增 综上所述，当 a0 时，函数 f(x)的单调增区间为(，)； 当 a0 时，f(x)的单调增区间为(ln a，)，单调减区间为(，ln a) 类型二 已知函数的单调性求参数的范围 例 3 若函数 f(x)kxln x 在区间(1，)上单调递增，则 k 的取值范围是_ 答案 1，) 解析 由于 f(x)k1 x， f(x)kxln x 在区间(1， )上单调递增f(x)k 1 x0 在(1， )上恒成立 由于 k1 x，而 0 1 x1，所以
5、k1. 即 k 的取值范围为1，) 引申探究 1若将本例中条件递增改为递减，求 k 的取值范围 解 f(x)k1 x， 又 f(x)在(1，)上单调递减， f(x)k1 x0 在(1，)上恒成立， 即 k1 x，0 1 x1，k0. 即 k 的取值范围为(，0 2若将本例中条件递增改为不单调，求 k 的取值范围 解 f(x)kxln x 的定义域为(0，)， f(x)k1 x. 当 k0 时，f(x)0 时，令 f(x)0，得 x1 k， 当 x1 k时，f(x)0，当 x 1 k时，f(x)1，则 0k0(或 f(x)0，2x3a0， a2x3在2，)上恒成立 a(2x3)min. x2，)
6、，y2x3是增函数， (2x3)min16，a16. 当 a16 时，f(x)2x 316 x2 0(x2，)恒成立 a 的取值范围是(，16. 1函数 f(x)(x1)ex的单调增区间是_ 答案 (0，) 解析 f(x)(x1)ex(x1)(ex)xex， 令 f(x)0，解得 x0. 2若函数 f(x)x3ax2x6 在(0,1)上单调递减，则实数 a 的取值范围是_ 答案 1，) 解析 f(x)3x22ax1，且 f(x)在(0,1)上单调递减， 不等式 3x22ax10 在(0,1)上恒成立， f(0)0，且 f(1)0，a1. 3函数 f(x)3x ln x 的单调增区间是_ 答案
7、1 e， 解析 f(x)的定义域为(0，)， f(x)ln x1，令 f(x)0， 即 ln x10，得 x1 e. 故函数 f(x)的单调增区间为 1 e， . 4已知 f(x)x3ax2x1 在 R 上是单调函数，则实数 a 的取值范围是_ 答案 3， 3 解析 f(x)3x22ax1， 由题意知，在 R 上 f(x)0 恒成立， 则 (2a)24(3)(1)0， 得 3a 3. 5试求函数 f(x)kxln x 的单调区间 解 函数 f(x)kxln x 的定义域为(0，)， f(x)k1 x kx1 x . 当 k0 时，kx10，f(x)0 时，令 f(x)0，即kx1 x 0， 解
8、得 0x0，即kx1 x 0，解得 x1 k. 当 k0 时，f(x)的单调减区间为 0，1 k ， 单调增区间为 1 k， . 综上所述，当 k0 时，f(x)的单调减区间为(0，)； 当 k0 时，f(x)的单调减区间为 0，1 k ，单调增区间为 1 k， . 1 导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性， 导数绝对值的大小反映了函数在某个区间 或某点附近变化的快慢程度 2利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域 (2)求导数 f(x) (3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f(x)0 和 f(x)0. (4)根据(3)的结果确定函数 f(x)的单调区间
