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1.3.1 单调性 学案(苏教版高中数学选修2-2)

1、13 导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 131 单调性单调性 学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能 利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间 知识点 函数的单调性与导函数正负的关系 思考 1 观察高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 h(t)4.9t26.5t10 的图象及 h(t)9.8t6.5 的图象, 思考运动员从起跳到最高点, 从最高点到入水的运动状态有什么 区别 答案 从起跳到最高点,h 随 t 的增加而增加,h(t)是增函数,h(t)0;从最高点到入水,h(t) 是减函数,h(t)0 0 锐角 上升 递增

2、0 0,那么 f(x)为该区间上的增函数; 如果在某区间上 f(x)0,那么 f(x)在区间(a,b)内单调递增( ) 2如果函数 yf(x)在区间(a,b)上单调递增,那么它在区间(a,b)上都有 f(x)0.( ) 类型一 利用导数求函数的单调区间 命题角度1 不含参数的函数求单调区间 例 1 求下列函数的单调区间: (1)yx32x2x; (2)f(x)3x22ln x. 解 (1)y3x24x1. 令 3x24x10,解得 x1 或 x1 3, 因此,yx32x2x 的单调增区间为(1,), ,1 3 . 再令 3x24x10,解得1 3x0,即 2 3x21 x 0, 解得 3 3

3、x 3 3 . 又x0,x 3 3 . 令 f(x)0,即 2 3x21 x 0, 解得 x 3 3 或 0x0,0x0 或 f(x)0,不等式的解集就是函数的单调区间 (2)如果函数的单调区间不止一个时,应用“及”、“和”等连接,而不能写成并集的形式 (3)要特别注意函数的定义域 跟踪训练 1 函数 f(x)(x22x)ex(xR)的单调减区间为_ 答案 (2 2,2 2) 解析 令 f(x)(x24x2)ex0, 即 x24x20, 解得2 2x0,得 x1;令 f(x)0,得 0x0 时,f(x) a xa1 a x1 x , a0,a1 a 0,得 x1;令 f(x)0,得 0x0,

4、所以 f(x)在(,)上单调递增 若 a0,则当 x(,ln a)时,f(x)0. 所以 f(x)在(,ln a)上单调递减,在(ln a,)上单调递增 综上所述,当 a0 时,函数 f(x)的单调增区间为(,); 当 a0 时,f(x)的单调增区间为(ln a,),单调减区间为(,ln a) 类型二 已知函数的单调性求参数的范围 例 3 若函数 f(x)kxln x 在区间(1,)上单调递增,则 k 的取值范围是_ 答案 1,) 解析 由于 f(x)k1 x, f(x)kxln x 在区间(1, )上单调递增f(x)k 1 x0 在(1, )上恒成立 由于 k1 x,而 0 1 x1,所以

5、k1. 即 k 的取值范围为1,) 引申探究 1若将本例中条件递增改为递减,求 k 的取值范围 解 f(x)k1 x, 又 f(x)在(1,)上单调递减, f(x)k1 x0 在(1,)上恒成立, 即 k1 x,0 1 x1,k0. 即 k 的取值范围为(,0 2若将本例中条件递增改为不单调,求 k 的取值范围 解 f(x)kxln x 的定义域为(0,), f(x)k1 x. 当 k0 时,f(x)0 时,令 f(x)0,得 x1 k, 当 x1 k时,f(x)0,当 x 1 k时,f(x)1,则 0k0(或 f(x)0,2x3a0, a2x3在2,)上恒成立 a(2x3)min. x2,)

6、,y2x3是增函数, (2x3)min16,a16. 当 a16 时,f(x)2x 316 x2 0(x2,)恒成立 a 的取值范围是(,16. 1函数 f(x)(x1)ex的单调增区间是_ 答案 (0,) 解析 f(x)(x1)ex(x1)(ex)xex, 令 f(x)0,解得 x0. 2若函数 f(x)x3ax2x6 在(0,1)上单调递减,则实数 a 的取值范围是_ 答案 1,) 解析 f(x)3x22ax1,且 f(x)在(0,1)上单调递减, 不等式 3x22ax10 在(0,1)上恒成立, f(0)0,且 f(1)0,a1. 3函数 f(x)3x ln x 的单调增区间是_ 答案

7、1 e, 解析 f(x)的定义域为(0,), f(x)ln x1,令 f(x)0, 即 ln x10,得 x1 e. 故函数 f(x)的单调增区间为 1 e, . 4已知 f(x)x3ax2x1 在 R 上是单调函数,则实数 a 的取值范围是_ 答案 3, 3 解析 f(x)3x22ax1, 由题意知,在 R 上 f(x)0 恒成立, 则 (2a)24(3)(1)0, 得 3a 3. 5试求函数 f(x)kxln x 的单调区间 解 函数 f(x)kxln x 的定义域为(0,), f(x)k1 x kx1 x . 当 k0 时,kx10,f(x)0 时,令 f(x)0,即kx1 x 0, 解

8、得 0x0,即kx1 x 0,解得 x1 k. 当 k0 时,f(x)的单调减区间为 0,1 k , 单调增区间为 1 k, . 综上所述,当 k0 时,f(x)的单调减区间为(0,); 当 k0 时,f(x)的单调减区间为 0,1 k ,单调增区间为 1 k, . 1 导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性, 导数绝对值的大小反映了函数在某个区间 或某点附近变化的快慢程度 2利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域 (2)求导数 f(x) (3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f(x)0 和 f(x)0. (4)根据(3)的结果确定函数 f(x)的单调区间