1、2020 年广东省佛山市南海区二校联考中考数学模拟试卷（一）年广东省佛山市南海区二校联考中考数学模拟试卷（一） 一、选择题（本大题一、选择题（本大题 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30）在每小题列出的四个选项中，只有一个）在每小题列出的四个选项中，只有一个 是正确的请将正确答案填写在后面表格中的相应位置是正确的请将正确答案填写在后面表格中的相应位置 1 （3 分）5 的倒数为（ ） A B5 C D5 2 （3 分）国家邮政局监测信息显示，2018 年快递业务量峰值出现在 2018 年 11 月 11 日， 当天处理量达到 416000000 件， 再次刷新了我国快递最高日
2、处理量的纪录， 将 416000000 用科学记数法表示为（ ） A0.416108 B0.416109 C4.16108 D4.16109 3 （3 分）如图，CAAB，EAAD，已知DAB45，那么EAC 的大小是（ ） A50 B45 C30 D60 4 （3 分）在 0，2，1，这五个数中，最小的数是（ ） A0 B2 C D1 5 （3 分）下列所述图形中，是中心对称但不一定是轴对称图形的是（ ） A圆 B菱形 C平行四边形 D正方形 6 （3 分）数据 23、29、20、23、21 的众数是（ ） A20 B29 C23 D21 7 （3 分）如图，在同一平面直角坐标系中，直线 y
3、k1x（k10）与双曲线 y（k20） 相交于 A，B 两点，已知点 A 的坐标为（1，2） ，则点 B 的坐标为（ ） A （1，2） B （2，1） C （1，1） D （2，2） 8 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，如果AOB60，AB 2，那么 BC 的长为（ ） A4 B C D 9 （3 分）关于 x 的一元二次方程 ax2+5x+30 有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范 围是（ ） Aa且 a0 Ba Ca且 a0 Da 10 （3 分）如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 P 为线段 AB 上的动点，E 为 AD 的
4、中点，射线 PE 交 CD 的延长线于点 Q，过点 E 作 PQ 的垂线交 CD 于点 H、交 BC 的 延长线于点 F，则以下结论：AEPCHF；EHQCHF；当点 F 与点 C 重合时 3PAPB；当 PAPB 时，CF成立的是（ ） A B C D 二、填空题（本大题二、填空题（本大题 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）请将下列各题的正确答案填写在答题分）请将下列各题的正确答案填写在答题 区相应的位置上区相应的位置上 11 （4 分）比较大小：4 （填“”或“” ） 12 （4 分）分解因式：x216 13 （4 分）不等式组的解集是 14 （4 分）如图，利用标
5、杆 BE 测量建筑物的高度已知标杆 BE 高 1.5m，测得 AB2m， BC6m，则建筑物 CD 的高是 m 15 （4 分）如图，若菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（6，0） ， （4，0） ，点 D 在 y 轴上，则点 C 的坐标是 16 （4 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，C30，AB2，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60，得到ADE，连接 BE，那么BDE 的面积是 17 （4 分）如图所示，P1（x1，y1） 、P2（x2，y2） ，Pn（xn，yn）在函数 y（x0）的 图象上， OP1A1， P2A1A2， P3A2A3PnAn1An都是等腰直角三角形
6、， 斜边 OA1， A1A2An1An，都在 x 轴上，则 y1+y2+yn 三、解答题（一） （本大题三、解答题（一） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）计算：tan45|3|（） 1 19 （6 分）先化简，再求值：，其中 a13 20 （6 分）如图，ABC 中，B60，C45 （1）请用尺规作图法，作B 的角平分线 BD 交边 AC 于点 D； （不要求写作法，保留作 图痕迹） （2）如果 AB4，求 BD 的长 四解答题（二） （本大题四解答题（二） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 7 分，共分，共 21 分）分） 21
7、 （7 分）某手机旗舰店销售 A，B 两种型号的手机，售出 1 台 A 型号和 3 台 B 型号所得 利润为 500 元，售出 2 台 A 型号和 5 台 B 型号所得利润为 900 元 （1）求 A，B 两种型号手机每台的利润分别为多少元？ （2）由于手机销量很好旗舰店决定再一次购进 A，B 两种型号的手机共 35 台，为了售出 后利润不少于 5000 元，则需购进 A 型号手机不少于多少台？ 22 （7 分）如图，ABC 与DEC 为正三角形，A，E，D 三点在一条直线上，AD 与 BC 交于点 F，BEAD （1）求证：AECBDC； （2）求证：AE2DE 23 （9 分） “足球运球
8、”是某市中考体育选考项目之一某学校为了解今年九年级学生足球 运球的掌握情况， 随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本， 按 A， B， C，D 四个等级进行统计，制成了如图不完整的统计图根据所给信息，解答以下问题： （1）在扇形统计图中，C 对应的扇形的圆心角是 度； （2）补全条形统计图； （3）所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在 等级； （4）该校九年级有 1000 名学生，请估计足球运球测试成绩达到 A 级的学生有多少人？ 五、解答题（三） （本大题五、解答题（三） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 27 分）分） 24 （9 分）如图，AC
9、 是四边形 ABCD 外接圆 O 的直径，ABBC，DAC30，延长 AC 到 E 使得 CECD，作射线 ED 交 BO 的延长线与 F，BF 交 AD 与 G （1）求证：ADE 是等腰三角形； （2）求证：EF 与O 相切； （3）若 AO2，求FGD 的周长 25 （9 分）如图，在同一平面上，一个正方形纸 ABCD 与一个等腰直角三角形纸片 ECD 拼 在一起，使一直角边与正方形一边完全重合，且顶点 B、E 分别在 CD 的两侧，连接 AE 交 CD 于 F，点 P 是边 AB 上的动点，连接 PF，作 QFFP 交 BE 于 Q，连接 PQ，AB 4，设 QCx （1）求当点 P
10、与点 A 重合时 x 的值； （2）是否存在这样的点 P，连接 PD、QD，使得 PDQD？若存在，请求出 AP 的长度； 若不存在，请说明理由； （3）设PQD 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并求出 y 的最小值 2020 年广东省佛山市南海区二校联考中考数学模拟试卷（一）年广东省佛山市南海区二校联考中考数学模拟试卷（一） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题一、选择题（本大题 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30）在每小题列出的四个选项中，只有一个）在每小题列出的四个选项中，只有一个 是正确的请将正确答案填写在后面表格中的相应位置是正确
11、的请将正确答案填写在后面表格中的相应位置 1 （3 分）5 的倒数为（ ） A B5 C D5 【分析】根据乘积为 1 的两个数互为倒数，可得一个数的倒数 【解答】解：5 的倒数是， 故选：A 2 （3 分）国家邮政局监测信息显示，2018 年快递业务量峰值出现在 2018 年 11 月 11 日， 当天处理量达到 416000000 件， 再次刷新了我国快递最高日处理量的纪录， 将 416000000 用科学记数法表示为（ ） A0.416108 B0.416109 C4.16108 D4.16109 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的
12、值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：4160000004.16108 故选：C 3 （3 分）如图，CAAB，EAAD，已知DAB45，那么EAC 的大小是（ ） A50 B45 C30 D60 【分析】根据垂线的定义可求解ACD 的度数，进而可求解EAC 的度数 【解答】解：CAAB， CAD+DABCAB90， DAB45， CAD45， EAAD， EAD90， EAC90CAD904545， 故选：B 4 （3 分）在 0，2，1，这五个数中，最小的数是（
13、） A0 B2 C D1 【分析】将这五个数比较大小，即可求解 【解答】解：102， 最小的数为1 故选：D 5 （3 分）下列所述图形中，是中心对称但不一定是轴对称图形的是（ ） A圆 B菱形 C平行四边形 D正方形 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A圆既是中心对称图形又是轴对称图形； B菱形既是中心对称图形又是轴对称图形； C平行四边形是中心对称但不一定是轴对称图形； D正方形既是中心对称图形又是轴对称图形 故选：C 6 （3 分）数据 23、29、20、23、21 的众数是（ ） A20 B29 C23 D21 【分析】找到出现次数最多的数即为众数 【解答】解
14、：数据 23、29、20、23、21 中出现次数最多的是 23， 所以众数为 23， 故选：C 7 （3 分）如图，在同一平面直角坐标系中，直线 yk1x（k10）与双曲线 y（k20） 相交于 A，B 两点，已知点 A 的坐标为（1，2） ，则点 B 的坐标为（ ） A （1，2） B （2，1） C （1，1） D （2，2） 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关 于原点对称 【解答】解：点 A 与 B 关于原点对称， B 点的坐标为（1，2） 故选：A 8 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，如果AOB60，AB
15、 2，那么 BC 的长为（ ） A4 B C D 【分析】由矩形的性质可得ABC90，AOBOCO，可证AOB 是等边三角形， 可得 ABAOBOCO2，由勾股定理可求 BC 的长 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形 ABC90，AOCOAC，BODOBD，ACBD AOBOCO，且AOB60 AOB 是等边三角形 ABAOBOCO2 AC4 BC2 故选：C 9 （3 分）关于 x 的一元二次方程 ax2+5x+30 有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范 围是（ ） Aa且 a0 Ba Ca且 a0 Da 【分析】由关于 x 的一元二次方程 ax2+5x+30 有两个不相等的实数根，
16、即可得判别式 0，继而可求得 a 的范围 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 ax2+5x+30 有两个不相等的实数根， b24ac524a32512a0， 解得：a， 方程 ax2+5x+30 是一元二次方程， a0， a 的范围是：a且 a0 故选：A 10 （3 分）如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 P 为线段 AB 上的动点，E 为 AD 的中点，射线 PE 交 CD 的延长线于点 Q，过点 E 作 PQ 的垂线交 CD 于点 H、交 BC 的 延长线于点 F，则以下结论：AEPCHF；EHQCHF；当点 F 与点 C 重合时 3PAPB；当 PAPB 时，CF成立
17、的是（ ） A B C D 【分析】利用正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识一一判断即可 【解答】解：如图 1，四边形 ABCD 是正方形， ADCBCD90， DEH+DHE90， PQEF， PEFAEP+DEH90， DHEAEP， DHECHF， AEPCHF， 故正确； QEHHCF90，EHQCHF， EHQCHF， 故不正确； 当点 F 与点 C 重合时，如图 2， E 是 AD 的中点， AEED， 在PAE 和QDE 中， ， PAEQDE（ASA） ， PEEQ，PADQ， PQEF， PCQC， 设 PAx，则 DQx， PCCQ2+x，PB2x， RtPBC
18、中，PC2PB2+BC2， （2x）2+22（2+x）2， x， PB2， 3PAPB， 故正确； 如图 3，P 是 AB 的中点， PAAEED1， RtPAE 中，AEP45， PEF90， DEH45， RtEDH 中，DHDE1， CHDH1， 在EDH 和FCH 中， ， EDHFCH（ASA） ， CFED1， 故不正确； 本题成立的结论有：； 故选：C 二、填空题（本大题二、填空题（本大题 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）请将下列各题的正确答案填写在答题分）请将下列各题的正确答案填写在答题 区相应的位置上区相应的位置上 11 （4 分）比较大小：4 （填
19、“”或“” ） 【分析】根据二次根式的性质求出4，比较和的值即可 【解答】解：4， ， 4， 故答案为： 12 （4 分）分解因式：x216 （x4） （x+4） 【分析】运用平方差公式分解因式的式子特点：两项平方项，符号相反直接运用平方 差公式分解即可a2b2（a+b） （ab） 【解答】解：x216（x+4） （x4） 13 （4 分）不等式组的解集是 1x4 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中 间找、大大小小无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 x40，得：x4， 解不等式 2x+20，得：x1， 则不等式组的解集为1x4， 故答案为：
20、1x4 14 （4 分）如图，利用标杆 BE 测量建筑物的高度已知标杆 BE 高 1.5m，测得 AB2m， BC6m，则建筑物 CD 的高是 6 m 【分析】直接利用已知得出ABEACD，再利用相似三角形的性质得出答案 【解答】解：由题意可得：BEDC， 则ABEACD， 故， 标杆 BE 高 1.5m，AB2m，BC6m， ， 解得：DC6 故答案为：6 15 （4 分）如图，若菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（6，0） ， （4，0） ，点 D 在 y 轴上，则点 C 的坐标是 （10，8） 【分析】由菱形的性质可求 ABAD10，OA6，由勾股定理可得 OD8，即可求点 C
21、 坐标 【解答】解：菱形 ABCD 的顶点 AB 的坐标分别为（6，0） ， （4，0） ， CDAB，OA6，OB4，CDABAD10， OD8， 点 D（0，8） CDAB，CD10， 点 C（10，8） 故答案为： （10，8） 16 （4 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，C30，AB2，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60，得到ADE，连接 BE，那么BDE 的面积是 【分析】过过点 E 作 EFBD，与 BD 的延长线交于点 F，解直角三角形求出 BC，用旋 转的性质得出ABD 是等边三角形，求得 BD 与ADB，进而解 RtDEF，求得 EF，最 后根据三角形的面积公式求
22、得结果 【解答】解：过点 E 作 EFBD，与 BD 的延长线交于点 F， 在 RtABC 中，ABC90，C30，AB2， BAC60，BC， 将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60，得到ADE， ABAD，ADEABC90，DEBC2， ABD 是等边三角形， BDAB2，ADB60， EDF180ADBADE30， ， 17 （4 分）如图所示，P1（x1，y1） 、P2（x2，y2） ，Pn（xn，yn）在函数 y（x0）的 图象上， OP1A1， P2A1A2， P3A2A3PnAn1An都是等腰直角三角形， 斜边 OA1， A1A2An1An，都在 x 轴上，则 y1+y2+yn 【
23、分析】 （方法一）由于OP1A1是等腰直角三角形，过点 P1作 P1Mx 轴，则 P1M OMMA1，所以可设 P1的坐标是（a，a） ，把（a，a）代入解析式得到 a3，从而求出 A1的坐标是（6，0） ，再根据P2A1A2是等腰直角三角形，设 P2的纵坐标是 b，则 P2的 横坐标是 6+b，把（6+b，b）代入函数解析式得到 b，解得 b33，则 A2的 横坐标是 6，同理可以得到 A3的横坐标是 6，An的横坐标是 6，根据等腰三角 形的性质得到 y1+y2+yn等于 An 点横坐标的一半，因而值是 3 （方法二）设 OA12a1，A1A22a2，A2A32a3，An1An2an，则
24、A1（2a1，0） ， A2（2a1+2a2，0） ，An（2a1+2a2+2an，0） ，由等腰直角三角形的性质可得出 y1 a1， y2a2， y3a3， ， ynan， x1a1， x22a1+a2， x32a1+2a2+a3， ， xn2a1+2a2+ +an， 进而可得出 y1+y2+ynOAn， 再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出 a1， a2，an的值，将其代入 y1+y2+yna1+a2+an中即可求出结论 【解答】解： （方法一）如图，过点 P1作 P1Mx 轴， OP1A1是等腰直角三角形， P1MOMMA1， 设 P1的坐标是（a，a） ， 把（a，a）代入解析式
25、y（x0）中，得 a3， A1的坐标是（6，0） ， 又P2A1A2是等腰直角三角形， 设 P2的纵坐标是 b，则 P2的横坐标是 6+b， 把（6+b，b）代入函数解析式得 b， 解得 b33， A2的横坐标是 6+2b6+666， 同理可以得到 A3的横坐标是 6， An的横坐标是 6， 根据等腰三角形的性质得到 y1+y2+yn等于 An点横坐标的一半， y1+y2+yn 故答案为： （方法二）设 OA12a1，A1A22a2，A2A32a3，An1An2an， A1（2a1，0） ，A2（2a1+2a2，0） ，An（2a1+2a2+2an，0） OP1A1，P2A1A2，P3A2A3
26、，PnAn1An，都是等腰直角三角形， y1a1，y2a2，y3a3，ynan，x1a1，x22a1+a2，x32a1+2a2+a3，xn 2a1+2a2+an， y1+y2+ynOAn P1（x1，y1） 、P2（x2，y2） ，Pn（xn，yn）在函数 y（x0）的图象上， a129， （2a1+a2）a29， （2a1+2a2+a3）a39， （2a1+2a2+an）an9， a13，a233，a333，an33， y1+y2+yna1+a2+an3+33+33+333 故答案为： 三、解答题（一） （本大题三、解答题（一） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18
27、 分）分） 18 （6 分）计算：tan45|3|（） 1 【分析】首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可 【解答】解：tan45|3|（） 1 13（3） 1 19 （6 分）先化简，再求值：，其中 a13 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解：原式+ ， 当 a13 时， 原式 20 （6 分）如图，ABC 中，B60，C45 （1）请用尺规作图法，作B 的角平分线 BD 交边 AC 于点 D； （不要求写作法，保留作 图痕迹） （2）如果 AB4，求 BD 的长 【分析】 （1）利用角平分线的作法作出线段 BD 即可； （2）根据三角形的内角和定理和等腰
28、三角形的性质即可得到结论 【解答】解： （1）如图，线段 BD 为所求出； （2）在ABC 中，ABC60，C45， A180604575， BD 是ABC 的角平分线，DBCABC30， ADBDBC+C75， AADB， BDAB4 四解答题（二） （本大题四解答题（二） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 7 分，共分，共 21 分）分） 21 （7 分）某手机旗舰店销售 A，B 两种型号的手机，售出 1 台 A 型号和 3 台 B 型号所得 利润为 500 元，售出 2 台 A 型号和 5 台 B 型号所得利润为 900 元 （1）求 A，B 两种型号手机每台的利润分别为多少元？
29、（2）由于手机销量很好旗舰店决定再一次购进 A，B 两种型号的手机共 35 台，为了售出 后利润不少于 5000 元，则需购进 A 型号手机不少于多少台？ 【分析】 （1）设 A 型号手机每台利润为 x 元，B 型号手机每台利润为 y 元，根据“售出 1 台 A 型号和 3 台 B 型号所得利润为 500 元， 售出 2 台 A 型号和 5 台 B 型号所得利润为 900 元”列二元一次方程组求解可得； （2）设商家购进 A 型号手机 m 台，则购进 B 型号手机（35m）台，根据“售出后利润 不少于 5000 元”列不等式，解之可得 【解答】解： （1）设 A 型号手机每台利润为 x 元，B
30、 型号手机每台利润为 y 元，根据题 意可得：， 解得：x200，y100， 答：A，B 两种型号手机每台的利润分别为 200 元，100 元； （2）设商家购进 A 型号手机 m 台，则购进 B 型号手机（35m）台， 根据题意可得：200m+100（35m）5000， 解得：m15， 答：需购进 A 型号手机不少于 15 台 22 （7 分）如图，ABC 与DEC 为正三角形，A，E，D 三点在一条直线上，AD 与 BC 交于点 F，BEAD （1）求证：AECBDC； （2）求证：AE2DE 【分析】 （1）结合等边三角形的性质利用 SAS 可证明结论； （2）结合等边三角形的性质，全等
31、三角形的性质可求得ADB60，由 BEAD 可得 DBE30，利用含 30 角的直角三角形的性质可证明结论 【解答】证明： （1）ABC 与DEC 为正三角形， ACBDCE60，ACBC，ECDC， ACEBCD， AECBDC（SAS） ； （2）AECBDC， AEBD，BDCAEC， DEC 为正三角形， EDC60 AECEDC+ECD60+60120， BDC120， ADB60， BEAD， DBE30， BD2DE， AE2DE 23 （9 分） “足球运球”是某市中考体育选考项目之一某学校为了解今年九年级学生足球 运球的掌握情况， 随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为
32、一个样本， 按 A， B， C，D 四个等级进行统计，制成了如图不完整的统计图根据所给信息，解答以下问题： （1）在扇形统计图中，C 对应的扇形的圆心角是 115.2 度； （2）补全条形统计图； （3）所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在 B 等级； （4）该校九年级有 1000 名学生，请估计足球运球测试成绩达到 A 级的学生有多少人？ 【分析】 （1）先根据 B 等级人数及其所占百分比求出被调查的总人数，再用总人数减去 A、 B、 D 等级人数从而求得 C 等级人数， 最后用 360乘以 C 等级人数所占比例即可得； （2）根据（1）种所求人数即可补全图形； （3）根据中位数的定义
33、求解可得； （4）用总人数乘以样本中 A 等级人数所占比例即可得 【解答】解： （1）被调查的总人数为 4545%100（人） ， C 等级人数为 100（10+45+13）32（人） ， C 对应的扇形的圆心角是 360115.2， 故答案为：115.2； （2）补全条形统计图如下： （3）第 50、51 个数据均落在 B 等级， 所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在 B 等级， 故答案为：B （4）估计足球运球测试成绩达到 A 级的学生有 1000100（人） 五、解答题（三） （本大题五、解答题（三） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 27 分）分） 24
34、（9 分）如图，AC 是四边形 ABCD 外接圆 O 的直径，ABBC，DAC30，延长 AC 到 E 使得 CECD，作射线 ED 交 BO 的延长线与 F，BF 交 AD 与 G （1）求证：ADE 是等腰三角形； （2）求证：EF 与O 相切； （3）若 AO2，求FGD 的周长 【分析】 （1）由圆周角定理可得ADC90，由等腰三角形的性质和直角三角形的性 质可求EDAC30，可得 ADDE，可得结论； （2）先证OCD 是等边三角形，可得ODC60，可得ODE90，可得结论； （3）由等腰三角形的性质可得 BOAC，可证FGD 是等边三角形，可得 FDDG FG，由直角三角形的性质可
35、求 DG 的长，即可求解 【解答】证明： （1）AC 是直径， ADC90， DAC30， ACD60， CECD， ECDE， CDE+EACD60， E30CDE， EDAC， ADDE， ADE 是等腰三角形； （2）如图，连接 OD， OCOD，OCD60， OCD 是等边三角形， ODC60， ODEODC+CDE90， 又OD 是半径， EF 是O 的切线； （3）ABBC，AOCO， BOAC， AOGEOF90， DACE30， AGOF60， FFGD60， FGD 是等边三角形， FDDGFG， AO2，DAC30，ADCAOG90， AC4，DCAC2，ADDC2，AG2
36、OG，AOOG， OG，AG， DG， FGD 的周长3DG2 25 （9 分）如图，在同一平面上，一个正方形纸 ABCD 与一个等腰直角三角形纸片 ECD 拼 在一起，使一直角边与正方形一边完全重合，且顶点 B、E 分别在 CD 的两侧，连接 AE 交 CD 于 F，点 P 是边 AB 上的动点，连接 PF，作 QFFP 交 BE 于 Q，连接 PQ，AB 4，设 QCx （1）求当点 P 与点 A 重合时 x 的值； （2）是否存在这样的点 P，连接 PD、QD，使得 PDQD？若存在，请求出 AP 的长度； 若不存在，请说明理由； （3）设PQD 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关
37、系式，并求出 y 的最小值 【分析】 （1）证明ADFECF（AAS） ，推出 DFCF，AFEF，由 QFAE，推出 QAQE，设 QAQEy，在 RtABQ 中，利用勾股定理构建方程求解即可 （2）如图 2 中，存在过点 P 作 PGDF 于 G证明 RtDAPRtDCQ（HL） ，推出 PACQx，再证明PGFFCQ，利用相似三角形的性质构建方程求解即可 （3）构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可 【解答】解： （1）如图 1 中， 四边形 ABCD 是正方形， ADBCDCAB，ADBE， ADFFCE90 DCDE， ADEC， AFDEFC， ADFECF（AAS） ， DFC
38、F，AFEF， QFAE， QAQE，设 QAQEy， 在 RtABQ 中，则有 42+（8y）2y2， 解得 y5， yCQQEEC541 （2）如图 2 中，存在过点 P 作 PGDF 于 G PADADGDGP90， 四边形 APGD 是矩形， ADPG4，APDG， DAPDCQ90，DADC，DPDQ， RtDAPRtDCQ（HL） ， PACQx， QFPF，PGCD， PGFFCQPFQ90， QFC+FQC90，QFC+PFG90， PFGFQC， PGFFCQ， ， ， 解得 x， AP （3）如图 3 中，过点 P 作 PGDF 于 G PGFFCQ， ， ， GF2x， PADG22x，PB4（22x）2+2x，BQ4x， yS正方形ABCDSPADSPBQSDCQ164（22x）（2+2x） （4x） 4xx2x+8（x）2+， 10， x时，y 有最小值，最小值为
